CC BY
19моделирование отношений обмена при согласовании экономических интересов субъектов рынка
MODELLING EXCHANGE RELATiONS iN COORDiNATiON
wiTH economic interests of market enterprises
УДК 330.4 : 339.13
СКоБЕЛЕВ Владимир Леонидович
доцент кафедры экономики кино и телевидения Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения, кандидат экономических наук, доцент, [email protected]
SKOBELEV Vladimir Leonidovich
Associate Professor, Department of Film and Television Economics, Saint-Petersburg State University of Film and Television, Candidate of Economic Sciences, Associate Professor, [email protected]
Аннотация.
В статье представлены результаты моделирования экономических отношений обмена через описание системы целеполагаемых и ценностнопола-гаемых критериальных условий взаимодействия экономических субъектов на отраслевом (межотраслевом) товарном рынке с позиции согласования частных экономических интересов и коллективного (социально-институционального) интереса.
Ключевые слова: экономико-математическое моделирование, экономические отношения обмена, экономические интересы субъектов рынка.
Abstract.
The article presents the results of modelling economic exchange relations through a description of some goal-directed and value-directed system of criterial conditions of economic enterprises interactions on the sectoral (intersectoral) product market in coordination with private economic interests and collective (social and institutional) interest.
Key words: economic and mathematical modelling, economic exchange relations, economic interests of market enterprises.
В статье продолжено изложение результатов актуального авторского исследования теории согласования социально-экономических интересов субъектов рынка, опубликованных в предыдущих номерах журнала.
Статья посвящена моделированию рыночных обменных процессов в системе согласованных интересов их участников.
Началу разработки экономико-математической модели предшествуют идентификация
разрабатываемой модели и сравнение предлагаемой модели с известными моделями-аналогами (теориями), имеющими схожее назначение, с выявлением их непротиворечивости и принципиальных отличий. Это позволяет обосновать преемственность методологии и научную новизну предлагаемой модели.
Модели схожего назначения были исследованы в следующих теориях: «оптимального потребительского поведения» и «оптимальных производственных решений», «общего рыночного конкурентного равновесия», «общественного благосостояния и общественного выбора», «справедливости», «ценообразования» на рынках с различной структурой, «теории монопольной конкуренции», «теории игр и экономического поведения», в том числе оли-гополистического поведения, а также в «новой институциональной экономической теории».
Объектом моделирования отношений обмена является социально-экономическая подсистема предприятия (фирмы или объединения группы компаний) в системе отраслевого или межотраслевого (вертикально интегрированного) рынка.
В качестве исходных были использованы три известных типа микроэкономических моделей:
1. Оптимизационная модель - для определения оптимального поведения субъектов, участвующих в деятельности и отношениях обмена на отраслевом рынке, с учетом целе-полагаемых критериев.
2. Равновесная модель - для анализа и определения рыночных экономических взаимодействий субъектов отраслевого рынка и их поведения с учетом согласования частных экономических интересов.
3. Институциональная модель - для обоснования ценностнополагаемого критерия справедливости экономических отношений как принципа согласованности частного экономического и коллективного (социально-институционального) интересов субъектов отраслевого рынка, а также для развития оптимизационной модели поведения (взаимодействий) субъектов рынка с учетом человеческого фактора, вносящего риски неопределенности в функционирование экономической системы.
Оптимизационная модель имеет простую структуру, соответствующую процессному подходу к обмену.
А. Два вертикально взаимодействующих субъекта, представляющих подсистему и систему (внутреннюю и внешнюю взаимодействующие стороны) в процессах производства и обмена, вступают в вертикальные рыночные взаимодействия и отношения управления, а также в горизонтальные отношения конкуренции, стремятся к согласованию своих частных (групповых) экономических и коллективного (социально-институционального) интересов.
В общем смысле, к субъектам двусторонних вертикальных экономических взаимодействий относятся: во внешней среде - лицо, принимающее решения от имени системы и устанавливающее «правила игры» для подсистемы; во внутренней среде - лицо, принимающее решения о подчинении и исполнении этих «правил» от имени подсистемы или отказе от них, оказываясь в этом случае вне системы.
До построения модели обменных процессов следует ответить на вопрос - относятся ли индивиды (конечные потребители), являющиеся работниками компаний (групп компаний) и членами семей работников, к субъектам отношений обмена? В неоклассической микроэкономике они классифицируются как независимые домохозяйства и считаются активной стороной отношений обмена, инициирующей и формирующей институты рынка.
По обоснованному убеждению автора, они не являются агентами отношений обмена, а представляют собой внутреннюю сторону отношений распределения. В реальной структуре отраслевого (межотраслевого) рынка количество собственников (людей или групп людей), в исключительном распоряжении которых оказались активы предприятий, крайне ограниченно, и реальный рынок является по факту двухуровневой социально-экономической системой с вертикальными управленческими отношениями. Собственники компаний, вступающие в отношения свободного товарного обмена, находятся на верхнем
уровне. На нижнем уровне находятся исполнители (работники), которые участвуют исключительно в отношениях распределения, основанных на механизме оплаты труда работников в денежной форме с последующими покупками товаров личного потребления. То есть на нижнем рыночном уровне функционирует распределительная система, организованная собственником, который распределяет между подчиненным ему персоналом часть продукции, полученной в результате рыночного обмена. При этом свободного обмена труда работников в форме денежного эквивалента на нужные им товары не существует, потому что у работников нет возможности удовлетворить свои потребности вне этого отраслевого (межотраслевого) бизнес-процесса, включающего и социальную инфраструктуру предприятий, контролируемую собственниками, тем более, если этот бизнес-процесс реализуется в вертикально интегрированном межотраслевом комплексе. То есть работник, получая оплату труда у одного собственника-капиталиста, покупает нужные ему продукты у других собственников-капиталистов, которые интегрированы в одном общем бизнес-процессе в финансово-промышленную группу на межотраслевом рынке. При этом разные, но интегрированные отрасли хозяйства принадлежат одним и тем же собственникам [1]. Исключение составляют творческие работники, капитализировавшие затраты своего креативного труда в форме интеллектуальной собственности (прав на ее использование), которая участвует как товар в рыночных отношениях обмена.
На современных отраслевых (межотраслевых) мировых рынках имеет место колоссальная концентрация собственности в руках немногочисленной группы компаний. Они владеют почти всеми мировыми активами, что уже стало серьезной проблемой, обсуждаемой на самом высоком уровне, например, на Всемирном экономическом форуме в Даво-се-2014. В докладе, распространенном перед началом форума, отмечалось, что 85 самых богатых людей мира контролируют столько же денежных средств, сколько имеют 3,5 млрд
самых бедных граждан, и 95% мирового населения живет в режиме жесткой экономии. Международный валютный фонд наконец-то «проснулся» и, ссылаясь на предупреждение Нобелевского лауреата Дж. Стиглица о неравенстве в распределении ВВП, отметил, что несправедливые отношения распределения замедляют темпы экономического роста, создавая условия для нестабильности в обществе [2].
Б. Два объекта обмена:
1. Деньги (платежное средство) у потребителя, под которыми понимаются так называемые «внешние деньги» - наличные или безналичные деньги, поступающие на товарный рынок от внешнего агента, служащие посредником обмена и средством сохранения стоимости (денежных остатков субъекта).
2. Ресурс, товар, услуга или иное благо у производителя.
В. Входная достоверная и достаточно полная информация, представленная описанием субъектов и оценкой экономического потенциала объектов обмена, а также исходными институциональными условиями (правилами игры) системы.
Равновесная модель представлена:
А. В виде частичного (на одном отраслевом рынке) равновесия.
Б. В виде равновесия на вертикально интегрированном межотраслевом рынке с вертикально интегрированным межотраслевым бизнес-процессом в цепочке производства многопередельного продукта, где нижерасположенный передел и рынок являются подсистемой, а вышерасположенный - системой.
Равновесная модель также имеет простую двухуровневую структуру процессов обмена. В исходной (упрощенной) модели не учитываются отношения конкуренции, которые при необходимости могут быть введены через специальные поправки или специальные функции спроса и предложения. В качестве исходных приняты условия абстрактной модели рынка совершенной конкуренции, при которой взаимодействия компаний не могут самокоординироваться, но могут регулироваться государством через институциональный меха-
низм с целью согласования частных экономических интересов с коллективным интересом.
Входная информация в модели равновесия представлена актуальными и достоверными функциями рыночных цен предложения и спроса на начало делового (рыночного) оборота, которые соответствуют оптимуму производителя и потребителя в краткосрочном периоде. Предполагается, что входные функции частичного рыночного спроса и предложения учитывают реакцию на общее конкурентное экономическое равновесие, т. е. определены в соответствии с принципами моделей Вальраса и Эджуорта, а также удовлетворяют принципам Парето-оптимальности.
Между предлагаемой моделью обменных процессов в системе согласованных интересов и вышеперечисленными микроэкономическими моделями не существует противоречий. Но использование этих моделей для анализа вертикальных взаимодействий субъектов обмена ограничено согласованием только частных экономических интересов через ценовой механизм по критерию максимизации полезности, который не учитывает влияния институционального механизма на согласование интересов субъектов подсистемы и системы.
Институциональная модель экономических отношений субъектов рынка также имеет двухуровневую систему, представленную внутренней и внешней сторонами их формальных и неформальных взаимодействий, например, продавца и покупателя. Институциональная модель экономики в отличие от равновесной и оптимизационной (рациональной) моделей поведения абстрактного «экономического человека» является более реалистичной, так как учитывает человеческий фактор через введение трех дополнительных ограничений:
а) ограниченности рационального выбора, связанной с неопределенностью будущего;
б) влияния оппортунистического поведения человека, обусловленного эгоистическим поведением в личных интересах, с одной стороны, и альтруистическим поведением в интересах общества (иных людей), с другой стороны;
в) воздействием риска достоинства личности, которого человек стремится избежать, придерживаясь таких иррациональных принципов поведения, как «не бойся, не надейся, не проси».
Введение этих ограничений в модель отношений обмена как следствие отказа нео-институционализма от абстрактной модели «экономического человека» обусловлено институциональной структурой социально-экономической системы и доказанным влиянием институциональных факторов на ВВП. То есть неоинституциональная модель макро- и микроэкономики стала рассматривать ВВП как функцию от системы факторов экономических и институциональных. Платформой социально-институциональной экономической системы является механизм принуждения соблюдать правила игры как добровольно принимаемого обществом «насилия», называемого социально-экономической политикой, в виде формальных и неформальных институтов, которые должны находиться в гармонии. При этом важно понимать, что институциональные факторы уже эволюционно встроены в экономические факторы. Это значит, что они непосредственно регулируют экономические отношения: отношения распределения через правила личных свобод; отношения обмена через правила конкуренции; отношения собственности через правила частной и общественной собственности. Поэтому с целью согласования частных и коллективного интересов субъектов рынка институциональные факторы выполняют функции управления (планирования и координации).
Микроэкономическими теориями не предусмотрено понятие «коллективный интерес» хозяйствующих субъектов, а используется термин «общественный (коллективный) выбор», осуществляемый на основе критерия Парето-эффективного распределения благ между субъектами системы, который трактуется как критерий «справедливости» [3]. Утверждается, что этот критерий соответствует принципу демократического выбора при регулировании рынка со стороны государства по принципу «большинство «за». Но это не соответствует реальности, так как принцип
«большинства» не гарантирует согласованности интересов. При формировании экономической стратегии согласование интересов граждан может быть достигнуто только при условии исполнения государством роли «справедливого диктатора» [1]. Еще один принципиальный недостаток «коллективного выбора» [4] учитывается в функции общественного благосостояния и соответственно в оценке общего равновесия, в то время как проблема формирования единой для всего общества функции полезности (функции справедливого выбора) из множества индивидуальных полезностей (справедливостей) не была решена. Даже Д. Ролз [3], представивший справедливые экономические отношения как компромисс между максимизацией производства благ при получении максимальной полезности и распределением этих удовольствий равным образом между субъектами экономических отношений, не учел принцип согласования экономических интересов. Он свел идею социальной справедливости к выбору между степенью равенства и уровнем благосостояния по принципу - чем больше одного, тем меньше другого.
Предлагаемая автором модель имеет общие цели и назначение с теорией игр и выбора ог тимального поведения (оптимальных стратегий) игроков, а также с вытекающей из нее моделью олигополистической конкуренции. Но есть одно принципиальное отличие: правила игры не являются данностью, они представлены переменными институциональными факторами, отражающими качество и справедливость этих правил, гарантом соблюдения которых становится государство. Такой подход автора согласуется с концепцией Ф. Найта [5], для которого было важно, чтобы игра как стремление людей идти на риск в условиях неопределенности продолжалась по справедливым правилам, отвечающим интересам игроков. В модели обменных процессов фактор неопределенности должен учитываться как в виде неизвестного параметра, так и в виде критерия минимизации риска не достижения ценностнополагаемого критерия справедливости при функционировании экономической системы фирмы на отрасле-
вом рынке. Таким образом, справедливые правила, обеспечивающие согласованность экономических интересов субъектов рынка и минимизацию рисков неопределенности человеческого фактора при условии действия механизма принуждения к их соблюдению, и есть ценностнополагаемый критерий разрабатываемой модели оптимальных отношений обмена.
Предлагаемая модель обменных процессов и известные микроэкономическими модели дополняют друг друга, оставляя возможность их объединения. В основе возможного синтеза лежит дополнение критерия максимизации полезности как частного экономического интереса критерием оптимальности обменного процесса в целом через согласование частных и коллективного экономических интересов вертикально взаимодействующих субъектов рынка в каждом рыночном обороте (цикле) «деньги-товар-деньги».
Рыночный оборот в обменном процессе иллюстрируется известной схемой трансформации потоков ресурсов:
РФР ^ ДРХ ^ ПР1 ^ П ^ Т ^ ДРг Т) ^ РФР
Т Рыночный оборот (цикл)
Здесь ДР1 - денежные ресурсы производителя; ПР1 - производственные ресурсы производителя; П - производство (процессор трансформации факторов производства в товар); Т1 - товар производителя, предназначенный для обмена на денежные средства потребителя; ДР2 (Т2) - денежные ресурсы потребителя (деньги как товар потребителя, предназначенный для обмена); РФР - рынок финансовых ресурсов.
Ценовой механизм обменного процесса «деньги-товар-деньги» предлагается моделировать с учетом функций не только рыночных, но и «эквивалентных» цен спроса и предложения товара x и денег у.
«Эквивалентная» цена спроса и предложения - понятие, предложенное автором для моделирования, представляет собой уровень цены при условии проведения «эквивалентного обмена». Под «эквивалентным обменом»
петербургский экономический журнал • № 2 • 2014
31
понимается такой его итоговым результат, при котором субъект, заплатив деньги и получив товар (продав товар и получив деньги), ничего не выигрывает и ничего не проигрывает. То есть излишки у потребителя и продавца (избыточный спрос и на товар, и на деньги) равны нулю. Ситуация «эквивалентного обмена» теоретически представлена в модели абстрактного рынка «совершенной» конкуренции. Она соответствует такому его равновесному состоянию, при котором ни продавцы, ни покупатели не смогли реализовать свои частные интересы, но реализовались их общественные (коллективные) интересы, выражаемые государством. В отличие от абстрактной рыночной модели, в реальной экономике наблюдается только неэквивалентный обмен. Он характеризуется такими отношениями распределения, при которых отдельные эффективные субъекты рынка получают прибыль за счет того, что другие субъекты терпят убытки, но в средней ситуации (для среднерыночной стоимости «редуцированного труда») по народному хозяйству или отрасли в целом сумма прибыльных и убыточных отклонений у субъектов рынка всегда равна нулю. Например, подобная модель действует на рынке продукции горнодобывающих предприятий, находящихся в разных природно-климатических и горногеологических условиях, она описывает реальный механизм природной (горной) ренты и ценообразования. При «эквивалентном обмене» минимизируются экономические риски, теоретически приближаясь к нулю.
Рассмотрим, как формируется уровень рыночной цены спроса и предложения с учетом частных экономических интересов продавца и покупателя.
Цена предложения производителя (producer) формируется двояко, а именно:
А. Для продавца, предлагающего товар в обмен на деньги, фактическая цена Pp^ состоит из «эквивалентной» цены предложения Рржф и приростного рыночного эффекта - дополнительной прибыли (излишков) производителя-продавца товара АЭ^. Исходя из его интересов «эквивалентная» цена предложения характеризуется максимально возможными приростны-
ми затратами производства и продажи товара при «эквивалентном обмене» на деньги. То есть рыночная цена предложения в этом случае соответствует предельной полезности приростных затрат производственных ресурсов, использованных для изготовления товара.
Б. Для продавца, спрашивающего деньги в обмен на товар, цена формируется в виде равновесной рыночной цены спроса денег Pps. Она состоит из суммы «эквивалентной» цены денег Ррмз, которая соответствует предельной их полезности с учетом интересов продавца, направляющего деньги на приобретение производственных ресурсов, и максимально возможного приростного эффекта - прироста прибыли (излишков) продавца АЭ. В этом случае равновесная цена денег, спрашиваемых продавцом на потребительском рынке в обмен на товар, должна соответствовать предельной полезности товара у потребителя.
Формирование рыночной цены спроса потребителя (consumer) также двойственно, а именно:
А. Для покупателя, спрашивающего товар в обмен на деньги, цена формируется в виде фактической рыночной цены спроса Рс^ как сумма «эквивалентной» цены спроса на товар РсмЛф при «эквивалентном обмене» с учетом интересов потребителя и приростного рыночного эффекта - дополнительной прибыли (излишков) потребителя АЭсЛф с учетом его платежеспособности.
Фактическая (текущая) рыночная цена спроса соответствует приростной полезности товара.
Б. Для покупателя, предлагающего деньги в обмен на товар, цена формируется в виде рыночной цены предложения денег Pcs^Pcd как сумма максимально возможной равновесной цены денег, стремящейся к равновесной рыночной цене спроса товара Pces^ Pced, с учетом интересов потребителя при «эквивалентном обмене» денег на товар, и предельного эффекта - дополнительной прибыли (излишков) потребителя АЭ"d.
Максимально возможная рыночная цена предложения потребителем денег продавцу товара должна соответствовать цене спроса на товар.
Таким образом, логика установления цены, выраженная записью условия равновесного состояния с использованием «эквивалентных» цен спроса и предложения, отличается от общепринятого в микроэкономике равенства рыночных цен спроса и предложения, а именно:
1. Функцией цен, формирующихся в процессе обмена:
1.1.На рынке продавца-производителя:
рр*ф(я)= рРмМ)+АЭР*фЮ - фактическая рыночная цена предложения товара х в обмен на деньги у; Рр^^Рр^^+АЭр^) - максимально возможная рыночная цена спроса денег у в обмен на товар х.
Здесь «эквивалентные» цены предложения товара и спроса денег продавцом являются равными при любом значении q.
1.2. На рынке покупателя-потребителя:
рс<1фЮ=рс„<1фЮ+АЭс<1фЮ - фактическая рыночная цена спроса товара х в обмен на деньги у; Рсл(^у)=РсеЛ(^у)+АЭсл(^у) - максимально возможная цена предложения денег у в обмен на товар х.
Здесь рыночные цены спроса товара и предложения денег покупателем являются равными.
2. Условием равновесия, выраженным через критерий эффективности (результативности) обмена в следующем виде:
а) на рынке продавца:
р!ф (Чх) ,Р1 (Чу)
/-
у.
^ 1;
Ржф (Чх ) Рш (чУ ) б) на рынке покупателя
Р1 (Чу) / Рф (Чх)
Рес1 (чу ) РсФф (Чх )
в) на товарном рынке
^ 1;
Ра (Чу) , Рф(Чх)
с -/ с реа (чу) Рмаф (Чх)
-X
Рф (Чх) , Ра (Чу) ,
X-/~---> 1-
Рмаф (чх) реа (чу)
(1)
маф х еа \1у < Двойственность формирования рыночных цен понимается микроэкономикой через принципы оптимального поведения потре-
бителя и производителя или распределения благ и ресурсов при общем равновесии, но в моделировании процессов товарно-денежного обмена частичное равновесие рассматривается отдельно у потребителя и производителя. Вместе эти «две стороны одной медали» не сводятся. Запись такого сводного (системного) критерия показана в виде формулы (1).
Выражение критерия частичного рыночного равновесия (1) полностью соответствует принципам Эджуорта и Парето, а именно: предельная норма замены одного товара другим в одном наборе равна отношению их цен. Здесь рассматривается модель набора из двух благ: объема товара х (в стоимостном выражении) и всех остальных товаров набора в виде денег у, в соответствии с оставшимся бюджетом потребителя. Если представить рыночные цены товара х и денег у как соответствующие им предельные полезности у производителя Мис и потребителя Мир, то есть
Рр М )=Мир и ); Рр ^ )= Ми ^ ); РсФМ )=
вф^ ±х' Бф^ ¿х' еэ^ ¿у' ев4 1-у' йф ¿х'
Мисф^х); Рйщу)= MUcd(qy), а «эквивалентные» цены товара и денег как цены, которые задают бюджетное ограничение продавца и покупателя, то становится очевидным, что запись формулы (1) соответствует модели Дж. Хикса [6, Ч. 1], примененной для оценки излишков продавцов и покупателей на рынке
миф (чх) мир д)
---/-— х
РМф (ЧХ ) Рш (Чу )
миРф д) мис (Чу) ,
х-^-/—с---> 1-
РМсф (Чх ) РеС (Чу )
В нашей модели обмена «деньги-товар-деньги» условие рыночного равновесия предложения и спроса 0$(Р(п))=0й(Р(п)), где п -количество оборотов, соответствует знакомому из количественной теории денег равенству Р^(Р(п))=М^Уй(Р(п)). Оно показывает равенство объемов предложения товара объему спрашиваемых денег М- Ул продавцом, а у потребителя товара - равенство предлагаемых денег спрашиваемому объему товара.
Разрабатываемая модель рыночного обмена «товар-деньги-товар» основывается также на теории потребительского поведения «Парето-Слуцкого-Хикса» [6, Ч. 1, 2, 5, 9], в
дальнейшем усовершенствованной Д. Патин-киным в фундаментальном труде [7]. Его анализ исходит из функции спроса на благо, то есть из предложения денег в обмен на товар, в отличие от неоклассического (или кейнсиан-ского) варианта анализа в денежной теории через функцию спроса на деньги (при обмене товара на деньги). Неоклассическая и кейн-сианская теории «не смогли дать обратную трансформацию функции спроса на деньги в функцию спроса на товар» [7, с. 10]. В предлагаемой здесь модели используются обе функции спроса - на товар и на деньги.
Д. Патинкин показал, что функция объема избыточного спроса индивида на благо определяется ценой (пропорцией) обмена благ, реальной стоимостью первоначального запаса благ (доходом) и первоначальным количеством каждого блага. Положительная величина функции избыточного спроса толкает цены на благо вверх, а отрицательная - вниз [7]. Величина избыточного спроса при равновесной цене равна нулю. Отсюда функция стоимости избыточного спроса на благо - это функция излишков (эффекта) потребителей, где переменными являются цена товара и его первоначальный запас.
В модели, предлагаемой автором, объем спроса на товар есть сумма его первоначального запаса и избыточного спроса, или цена спроса есть сумма цены единицы товара из первоначального запаса и эффекта (излишка) потребителя. То же самое можно сказать относительно функции избыточного предложения товара. Значит, если существует функция избыточного спроса на товар, то существует и функция избыточного спроса на деньги в виде разницы между величиной спроса на деньги и величиной первоначального запаса денег вследствие того, что индивид (группа индивидов) формулирует решения о рыночной сделке, исходя из бюджетных ограничений.
Отсюда следует, что избыточный спрос на деньги при данном наборе относительных цен, реальном доходе и реальных денежных остатках должен соответствовать совокупной стоимости избыточного предложения товара. Избыточный спрос на товар, включая риски, должен быть равен излишкам продавца, ко-
торые соответствуют избыточному спросу на деньги с учетом рисков, что и заложено в методологию модели отношений обмена.
Таким образом, между предлагаемой автором моделью и моделью потребительского поведения, а также моделью количественной теории денег нет противоречий. Предложенный критерий согласования частных и коллективного интересов не противоречит принципам микроэкономики, но дополняет их в части оптимизации вертикальных экономических взаимодействий субъектов рынка и согласования их интересов, что является принципиальной новизной научных исследований.
Следующим этапом моделирования является математическая формализация обменных процессов с применением нового подхода -объемного моделирования отношений обмена с учетом функций «эквивалентных» цен, представленного следующими действиями:
1. Идеализируем и упрощаем экономическую систему до абстрактной системы вертикальных взаимодействий двух субъектов (групп субъектов) со своими частными экономическими интересами на рынке:
а) субъект со стороны предложения товара и спроса денег;
б) субъект со стороны спроса товара и предложения денег.
2. После субъектного упрощения приводим модель к системе двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений [8], качественный анализ которых осуществляется не в плане «цена-объем», принятом в микроэкономике, а в трехмерном фазовом пространстве «цена-объем-обороты» или, по крайней мере, в фазовой плоскости «цена-обороты».
3. Идеализируем представление обменных процессов как процессов взаимодействия субъектов на рынке совершенной конкуренции.
4. Из автономной системы дифференциальных уравнений спроса и предложения получаем систему уравнений «эквивалентных» цен (интересов при «эквивалентном обмене») покупателя и продавца:
{ Рма = ЛЯ), РХЯ), (2)
^Рм = Л РХ я ), РХ Я ), ( )
34
петербургский экономический журнал • № 2 • 2014
где РмЛ и Рмз - «эквивалентные» цены спроса и предложения на товар с учетом интересов потребителя и производителя; Рл и Рз - рыночные цены спроса и предложения на товар; q - объем спроса или предложения; и Кл -коэффициенты совокупных рисков обменного процесса на рынке предложения и спроса.
Искомая система уравнений есть следствие дифференцирования функций общих затрат и выручки по объему товара q, так как Р^) и Р5(ф, по сути, есть функции предельной выручки и предельных затрат. Учитывая, что объем q рассматривается как функция от числа оборотов п, характеризующих скорость процесса обмена во времени, можно сказать, что функции Р^(п)) и Р^(п)) есть результат также и дифференцирования по времени t. При этом текущее (историческое) время не отслеживается. Фиксируются только количество оборотов и временные интервалы, в течение которых происходит трансформация ресурсов в процессе обмена: а) первая трансформация - денег в производственные ресурсы и затем производственных ресурсов в товар за интервал (приростное время) - А t¡•; б) вторая трансформация - товара в денежные ресурсы за интервал (приростное время) -А12. Действие фактора времени является дискретным и проявляется в двух периодах анализа: а) в коротком периоде - в виде количества временных интервалов и фикса ции постоянной ставки систематического риска использования денег при н еизменных условиях внешней среды; б) в длительном периоде -в виде изменения величины систематического риска, изменения начальных исходных условий и соответственно несистематического риска неопределенности («неясности») при изменяющихся условиях внешней среды. То есть вместо традиционной оценки времени оцениваются события. Система дифференциальных уравнений без учета текущего времени как независимой переменной называется автономной (стационарной).
5. Кроме общепринятых критериев оптимизации (максимизации результативности и прибыли) в предлагаемой модели заложен критерий согласования экономических
интересов субъектов обмена и критерий устойчивости процессов обмена при функционировании и развитии предприятий-производителей как субъектов товарного рынка. Поэтому в используемом при моделировании математическом аппарате учитываются приемы исследования устойчивости, описываемые дифференциальными и конечно-разностными уравнениями, известными как прямой (или второй) метод А. М. Ляпунова [8; 9]. Он нашел широкое использование в экономике, например, в работах К. Эрроу и Ф. Хана [10], исследовавших модели самопроизвольного установления цен. Кроме этого, были использованы аналогии с упрощенной моделью делового цикла Кейнса [11].
6. Общий вид модели обменных процессов социально-экономической системы, состоящей из двух субъектов (сторон отношений) -производителя-продавца (внутренняя сторона) и потребителя-покупателя (внешняя сторона) и двух товаров (продукта и денег) для обмена, представлен в виде системы уравнений со связями ее показателей:
{
дХ
ы
дУ_
1 1
- — Х31\ — о
x
— Ydt\ - —
I_i
(3)
Здесь: У - собственные или заемные денежные средства производителя в момент времени предназначенные для приобретения производственных ресурсов и производства товара х с циклом производства t = = t1 - t0= АХ$п - количество произведенного товара х в стоимостном выражении, предлагаемого потребителю для обмена на денежные средства, исходя из его платежеспособного спроса в момент времени t1; УЛ1 - денежные средства как товар у потребителя, которые он готов обменять на товар х, исходя из платежеспособного спроса в момент времени t1; Уи - денежные средства производителя, полученные им в момент времени t2 в резуль-
тате обмена товара х на деньги у с периодом обращения гобр = г2 - г = А г2. Рыночный цикл обменного процесса (оборот) составляет:
г, = г п + г,.
обм пр обр
Модель обменных процессов учитывает риск по фактору времени, то есть разновременность денежного потока, который должен быть приведен к одному (начальному) моменту г0.
7. Рассмотрим и опишем в отдельности каждый элемент модели (3). Система уравнений состоит из взаимосвязанных функций частей (t)
ных производных первого порядка
и
дУ (г)
дг
дг
приравненных к нулю, моделирует в
динамике процессы обмена со стороны производителя-продавца и потребителя-покупателя с учетом скорости их протекания.
Количество первоначальных финансовых ресурсов У должно быть минимальным, но достаточным для приобретения необходимых производственных ресурсов с учетом их запасов и подготовки. Объем изготовленного и предлагаемого к продаже товара х с учетом запаса должен быть оптимальным, т. е. быть готовым к поставке по минимально возможной стоимости, с требуемым качеством и в требуемые сроки при реальном производственном цикле и максимальном использовании имеющихся производственных возможностей с минимально допустимыми рисками. Эта минимальная стоимость должна быть равна «эквивалентной» цене предложения продукции в единицу времени (за рыночный оборот).
С учетом такого подхода произведем запись переменной X в модели (3) с приведением к начальным условиям (моменту времени г0):
Хах Ус1г\ ' Аг1
= (рг1 ■ Ьп 'Га)•(■
У
• Ь), (4)
г 0
предложения товара; qdt1 и qst1 - объемы спроса и предложения товара х в момент обмена (фг1 > 1) - коэффициент, учитывающий технические риски в сфере производства; ап (ап < 1) - коэффициент, учитывающий финансовые систематические риски (коэффициент дисконтирования - приведения в сопоставимый вид ценности денежных ресурсов к моменту времени г0; Ъа (Ьп < 1) - коэффициент, учитывающий экономические риски неопределенности в момент времени г1; У а (Уп > 1) - коэффициент, учитывающий необходимость запаса товара х у потребителя с учетом запасов на складе, потерь товара при доставке и хранении, износа товара при его использовании.
Коэффициент дисконтирования ап учитывает ставку (норму) доходности использования денежных ресурсов г, компенсирующую
систематические риски:
а
п =
т_т
Ат
=(1+г
где
число временных интервалов;
где АЙ1 - приведенная к моменту времени го отдача производственных ресурсов с единицы финансовых ресурсов Ую в одном цикле производства г ; Pdt1 и Рг1 - цены спроса и
т0=0 - начальный момент времени предложения товара х на рынке; т1 - завершающий момент предложения товара; Ат - временной интервал дисконтирования.
Коэффициент Ъп учитывает экономический риск неопределенности так называемого второго типа - риск «неясности» [5]. В случае «неясности» (в отличие от «фундаментальной», то есть первого типа неопределенности) будущее неопределенно, но познаваемо, так как возможно получить рыночную информацию, что потребует значительных транзакционных затрат. Неизвестная переменная риска «неясности» присутствует в модели (4) в качестве фактора, отклоняющего поведение социально-экономической системы от ценностнополагаемого состояния спр аведливости (согласованности экономических интересов субъектов). Автором при моделировании отношений обмена субъектов рынка поставлена задача оценки системного рыночного риска неопределенности -«неясности» в параметрах неэффективных объемов и цен спроса и предложения на отраслевом рынке. Ее решение отличается от существующих методов моделирования ри-
ска (методы «сценирования», «допустимого риска» [12]).
В модель (3) введено допущение, что на предложение товара х в объеме 1 всегда имеется спрос в обмен на деньги у, при котором х = хЛ1. Кроме того, принято допущение, что продолжительность транзакций обмена (сведения субъектов на рынке и согласования параметров спроса и предложения) равна нулю. В случае уточнения расчетов, не сложно дополнить модель (4) фактором риска, учитывающим несовпадение моментов реального предложения товара и подписания договора на его приобретение (обмен на деньги). При этом сами транзакционные затраты учитываются в цене предложения товара х и (или) цене спроса на этот товар (предложении денег у).
Величина денежных средств потребителя УЛ1 не может превышать общей стоимости покупки товара х в объеме qt , то есть равна
ТаЛМ^ • 1м. Величина денежных средств У5 , вырученных производителем-продавцом по завершении процесса обмена товара х на денежные средства у, определяется следующим образом:
У8г2 Р8г2 " <8г2 Х Р8г\ ' Чзгх ' Фл ' аг\ ' Ьг\ '1 р8г ' аг 2 ,
----ь
у,;
г 2'
г 0
где Рз{2 - рыночная цена предложения товара х в момент времени 12 (момент оплаты товара); I = Р5Й/Р 5(1 - индекс роста цены предложения за период обращения аа - коэффициент дисконтирования, учитывающий систематический риск в период Ь2 - коэффициент, учитывающий экономический риск неопределенности, возникший в периоде
Обозначив значения объемов свершившегося акта обмена 1Л1=15(1=1(1 через 1 и введя обозначения коэффициентов рисков
Рц = У л ' (Фа ' ал ' Ьп ) и , получим общий
вид модели обменных процессов в виде системы двух уравнений:
У2
Я
— д )■ Р,( д )■ Ял= 0
У
г 0
Я
р2. (*)
р. (<1)
(6)
■Рг 2 = 0.
(5)
Оптимальное решение этой системы уравнений (по аналогии с упрощенной моделью делового цикла Кейнса) соответствует принципу баланса притоков и оттоков, то есть принципу нулевого сальдо движения денежных средств в рыночном обменном процессе с учетом фактора времени и рисков Я (У(0 = Уг2 ■ Р). Такой подход основывается на финансовом принципе полного возмещения (окупаемости) инвестиций в товар за период общего рыночного оборота.
В первом уравнении модели (5) отноше-
У о й
ние — показывает желаемый, максималь-
Я
ный с позиции интересов покупателя уровень «эквивалентной» цены спроса на товар
Y
х --= Рм^ . Если цена превышает уро-
q
вень РмЛ(ф, то обмен для потребителя возможен, но не желате лен (н е выгоден). Снижение цены ниже этого уровня является желательным для потребителя, но повлечет за собой необходимость снижения цены предложения, в том числе затрат производства, поэтому не удовлетворит его интересов. Цена РмЛ(ф представляет собой ту ее максимально желаемую и возможную величину с учетом интересов потребителя, по которой потребитель еще хочет произвести обмен денег у на товар х. То есть цена РмЛ(ф соответствует «эквивалентной» цене спроса, характеризующей цену предложения денег в обмен на товар. У
Отношение — во втором уравнении моде-Я
ли (6) показывает желаемый, минимальный с позиции интересов производителя-продавца
уровень «эквивалентной» цены предложения
0
товара х --= Рмв(я). Если цена превыша-
Ч
ет уровень Р(ф, то обмен для производите-
ля возможен, но не желателен (не выгоде н). Снижение цены ниже этого уровня желатель -но для производителя, но повлечет за собой необходимость вложений в технологию и технику производства, что снизит в б удущем рыночную цену предложения. Величина цены Р(д) представляет собой ту ее минимальную (желаемую с учетом интересов производителя) величину, по которой производитель еще хочет произвести обмен товара х на денежные средства у. То есть цена Р(ф является «эквивалентной» ценой предложения товара х, характеризующей цену спроса производителем денег у в обмен на товар х.
Для потребителя рыночная цена спроса Рл(ф определяется его платежеспособными возможностями, а «эквивалентная» цена спроса РмЛ(ф - его желаниями. Для производителя ситуация зеркально противоположна: рыночная цена предложения Р(ф определяется его желаниями, а «эквивалентная» цена предложения Р (а) - его платежеспособными возможностями. В интервале между ценовыми желаниями и возможностями для конкретных значений объемов купли-продажи формируется взаимосвязанное поведение потребителя и производителя. Превышение максимальных ценовых возможностей потребителя, с одной стороны, и минимальных ценовых возможностей производителя, с другой стороны, делают сделку купли-продажи полностью неопределенной. Поэтому ценовые желания потребителя и производителя товара находятся в зоне их ценовых возможностей. «Эквивалентные» цены спроса и предложения отражают нижний ценовой уровень сделки, а рыночные цены спроса и предложения - верхний ценовой уровень. К решению задачи определения зоны возможностей в отношениях обмена очень близко подошел Д. Патинкин, соединивший теорию денег и теорию стоимости.
Для последующего анализа и интерпретации модели обменных процессов (6) отнесем показатели обобщенных рисков Яп и Яа в каждом уравнении модели к функциям спроса и предложения и преобразуем ее в систему уравнений «эквивалентных» цен спроса и предложения:
{
Ъ ( q, Rd, R. ) = ( P ( q )• R Г-P (q )• R/3 f
P (q R R)=p 2 (q) • R
P-(q ,Rd,R.)=PUR
2/3 1/3 •
(7)
8. Продемонстрируем на рисунке 1 на примере тестовой задачи графическое решение модели (6) при заданных линейных функциях цен спроса и предложения Pd(q)= = (200а q) • R/3; Ps(q)=(20+p • q) • R1/3, а также их «эквивалентных» цен P d(q)=
= (Pd(q) • Ps(q))1/2; Рш(q)=Ps(q)2/PJq^ Rd=Rs=1.
Модель обменных процессов (7), кроме оптимального решения в точке Е, показывает для каждого значения q предпочтительные, исходя из экономических интересов сторон сделки, значения «эквивалентных» цен PMd(q) и P (q), при которых может осуществляться эффективный обмен, характеризующийся соответствующим излишком (эффектом) потребителя, производителя и общества (государства, представляющего общественные интересы). Например, при q=2 млн ед. стороны отношений обмена имеют следующие эффекты: излишки потребителя, соответствующие площади фигуры Pd0рР'мdP'Md0; излишки производителя - площади фигуры
Ps0P'P'msP'msO; излишки государства - площади фигуры Pid0PPdPsPs0 в виде налогов, рентных платежей и других сборов. Знание функций PMd(q,Rd,Rs) и PMs(q,Rd,R) позволяет определить экономические потери субъектов рынка в случае q < qe • При q= = 2 млн ед. эти потери составят: для потребителя - площадь фигуры P' EP'M '; для производителя - площадь фигуры P^EP^; для
общества - площадь фигуры P' ¿EP'
Микроэкономическая теория определяет излишки потребителей и производителей только с позиции частных интересов, то есть при равновесном объеме qe. В этом случае излишки общества равны, якобы, нулю, так как при равновесной цене весь эффект перераспределяется между производителями и потребителями, что не соответствует практике.
По причине того, что экономическая теория не применяла функции «эквивалентных» цен в модели отношений обмена, не был использован метод анализа экономических эффектов потребителя и производителя, предложенный Ж. Дюпюи [13], теоретически оформленный А. Маршаллом и развитый Дж. Хиксом [6]. Общепринятый в микроэкономике метод определения излишков для заданных объемов купли-продажи занижает оценку результативности обмена для потребителя и завышает ее для производителя, а оценку излишков государства не учитывает, тем самым, искажается структура эффектов рыночных сделок.
Модель обменных процессов (7) и определение «эквивалентных» цен спроса и предложения позволяет оценить максимально возможную результативность (effectiveness) ek фирмы во внутренней и внешней средах. Опираясь на эту оценку и используя тестовый пример (при q=qe), формализуем через геометрическое представление на рисунке 1 запись выражения искомого критерия согласования коллективного интереса, представив его как импульс коллективного интереса 1ек:
Iek 1евнут ' 1евнеш
е,
_ ^внут _ евнеш _
max max
ее
ьвнут ьвнеш
Ps0 Eqe0 Pd 0 Eqe0 PMs0Eqe0 PMd0Eqe0 _ Ps0Eqe0
(8)
^ 1.
РеЕЧв0 р 0 ЕЧв0 Рма о ЕЧв0 РмБ0ЕЧв0 РвЕЯв0
Определив площади фигур через интегрирование функций рыночного предложения Рз (д)ч и «эквивалентной» цены Рм4^)ч в анализируемом интервале значений объемов товара Я0 - Ях -Я, получим вид критерия согласованности коллективного интереса субъектов рынка:
/Ps (ч)ч ■ dq
1 s % =
^ 1.
(9)
! PMd (q), ■ dq
Далее, раскрыв функции, входящие в уравнение (9) и добавив к нему выражение критерия согласования частных экономических интересов, получим новое выражение модели обменных процессов как системы двух импульсов экономических интересов:
и
250
200
н ю
£ 150
а." ■
х 100
О
50 0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Объем - Q, тыс, т — Ps — Pd -PMd -PMS
Рисунок 1
Система взаимодействия спроса и предложения (здесь Р& и Ра - функции рыночных цен предложения и спроса; Рш и Рш - функции «эквивалентных» цен предложения и спроса)
1) импульс частных интересов: Р ( Я )
Г =
/ Л1/3
Я
Р( Я )
V
2) импульс коллективного интереса:
I8 =
к
Чх
я, 1/3 •{ Р ( Я )• ^Я
(10)
->1.
(Я ■ Я )1/3 К Р ( Я )• Р ( Я )) • ^Я
Представим геометрическую интерпретацию модели обменных процессов (9) с учетом критериев согласования экономических интересов и ее решение в двух вариантах:
1) в двумерном пространстве (в плане Р^);
2) в трехмерном пространстве (в объеме Pq,n). В первом уравнении модели (10) импульс
частных интересов 1ч =| [Р5, Р^^, Rs, Rd ]
есть отношение цен предложения и спроса, представленных высотами фигур при заданном q (рисунок 1). Во втором уравнении модели (10) импульс коллективного интереса
1К = \ (Р, рма, ^, Ъ) представляет собой
отношение площадей фигур (полутрапеций), образуемых функциями рыночной цены предложения и «эквивалентной» цены спроса при различных значениях q.
Импульсы частных и коллективного интересов для одного и того же значения q могут не совпадать. Например, при qe =3 млн ед.
1=1; !/<1. 6
ч 7 к
Несмотря на простоту записи модели в плоскости Р^, ее применение, даже при линейных функциях спроса и предложения, затруднительно из-за сложности решения системы этих уравнений. Если бы это решение было представлено, то мы бы увидели,
что в функции S[Pмd (д, , Ра, Я , ЯЛ ]
присутствует выражение атсвт [14]. Это означает, что на функцию в целом влияет осциллятор, то есть колебательное воздействие.
Недостатки двумерной модели (9) устраняются, если перейти к объемной форме ее отображения - к модели варианта 2. Объемное выражение модели получим умножением числителя и знаменателя уравнений импульсов 1ч и 1к на величину п, представив величины рыночных и «эквивалентных» цен спроса и предложения в виде радиусов г5Ц = Р5 К5 )ч ,
Гч = р ^ )ч и гмс1ч = (д, , ) с общим центром, лежащим на оси q. Объемная
форма модели обменных процессов примет
вид:
1)Т, = ^!
п • г
dч
2) ¡у =
V (Ps (д, Я )ч ]
V (Рм, (д, Я,, Я )ч ]
Чх
г1 (g, ¥д
(11)
до
^ 1.
х
Мч (g, , Я
до
Здесь у[р (д, к ) ] - объемное выражение функции рыночной цены предложения;
У\Рма(Я,К,Я)ч] - объемное выражение функции «эквивалентной» цены спроса; П ■ гзч - площадь круга в основании объемного тела, отображающая предложение; п • г2ч -площадь круга в основании объемного тела, отображающая спрос.
Геометрическая интерпретация модели (11), применительно к тестовому примеру (линейные функции спроса и предложения), представлена на рисунке 2. Объемные функции рыночных цен спроса и предложения имеют вид объемов круглых конусов, объемная функция «эквивалентной» цены спроса - объема эллипсоида, а функция «эквивалентной» цены предложения - объема гиперболического конуса.
В случае применения линейных функций спроса и предложения модель (11) примет для переменного объема q следующий вид:
Я
л =в
а
К
V К У
л/3
о + Ч).
iЧd о- чУ
1¥ =
к
Г \1/3
ч
V к у
(12)
в
а
2 2 3Ч*о + о • Ч + Ч
3Чао • Чsо + Ъ1(Чао - Чsо) • Ч - Ч2
Рисунок 2
Геометрическая интерпретация объемной модели обменных процессов
Модель (12) описывает систему целепола-гаемых и ценностнополагаемых критериальных условий взаимодействия (отношений обмена) экономических субъектов отраслевого (межотраслевого) рынка с позиции, соответственно, частных экономических интересов и коллективного (социально-институционального) интереса. Ее применение позволяет оценить количественно состояние отраслевого рынка (поведение его субъектов) в параметрах системы с учетом рисков неопределенности («неясности») в диапазоне между двумя состояниями равновесия и установить интервал оптимальных объемных и ценовых
параметров, соответствующий состоянию согласованности экономических интересов с минимальными рисками. Модель также системно описывает действие ценового механизма в экономических отношениях обмена и конкуренции субъектов рынка.
Первое уравнение модели, имеющее динамический характер, показывает импульс частных экономических интересов субъектов
_ р (ч, Rs)ч
системы I = —^—для переменных q
ч Ра (ч, Rd )ч
(объем) и Я (риски). При отсутствии риска (Я.в = = 1) и Ч, = Ча импульс частных ин-
тересов равен единице 1ч = 1, то есть данный критерий превращается в известное условие частичного рыночного равновесия (согласования частных интересов субъектов рынка).
Второе уравнение модели характеризует импульс коллективного (социально-институционального) интереса субъектов системы
1к . При отсутствии риска = Я. = 1 и вы-т V 1
полнении условия I = 1 его решение определяет второе равновесное состояние при согласованном коллективном интересе субъектов рынка.
Геометрическая форма динамической модели обменных процессов представляется в виде пульсирующего объемного тела, состоящего из комплекса объемов четырех тел, параметры которых задаются функциями рыночных цен предложения и спроса, а также функцией «эквивалентной» цены спроса, с одним общим сечением, перпендикулярным оси q (рисунок 3).
Критерий согласования частных экономических интересов, заданный как целевой параметр 1ч ^ 1, характеризует экономичность реализации этих интересов в отношениях обмена, а также величину индекса Лернера, который определяет изменение прибыльности (рентабельности) продаж на рынке и степень рыночной концентрации:
Значению
Ь14 = 1 - Р )ч = 1 - 14. т л Ра (я, )ч 4
Ыц = 1 соответствует рынок чистой конкуренции, находящийся в равновесном состоянии. Максимизация индекса Лернера полностью соответствует критерию максимизации прибыльности.
В тестовом примере равновесный объем, максимизирующий прибыль при 1=1 в безрисковой ситуации, равен q =3000 тыс. ед./год.
Второе состояние равновесия - согласованности коллективного интереса субъектов системы достигается при соблюдении условия:
(Я, К, Я)* -Р?(д,К)ч • ^
Чо
(13)
-1.
п\Р2ма(Ч,К,К)ч • ^
Чо
В безрисковом случае (= Я. = 1) равновесный объем, определяемый по критерию согласованности коллективного интереса, составит для тестового примера qек = 4854,1 тыс. ед./ год.
Таким образом, колебание между приоритетом частных и коллективного интересов субъектов рынка соответствует интервалу объемов купли-продажи товара qeч<qx<qeк, что для тестового примера составляет 3000^я<4854,1.
Модельные параметры равновесных состояний, соответствующие максимизации частного и коллективного интересов субъектов отраслевого рынка, не сопоставимы (как не сопоставимы площадь фигуры и объем тела), поэтому их требуется привести в сопоставимый вид. О решении этой теоретической задачи и развитии моделирования отношений обмена на отраслевом (межотраслевом) рынке через определение фрактального числа как коэффициента подобия (приведения) импульсов частного и коллективного интересов, а также о переходе к волновой форме функций спроса и предложения, будет рассказано в следующем номере журнала.
Список литературы
1. Скобелев В. Л. Анализ современных теорий и практики социально-экономической справедливости // Петербургский экономический журнал. 2014. № 1. С. 12-27.
42
петербургский экономический журнал • № 2 • 2014
2. Вести. RU. Экономика. - ВГТРК. URL: http://www.vestifinance.ru/ articles/39976 (дата обращения: 27.02.2014).
3. Ролз Д. Теория справедливости: Пер. с англ. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1995.
4. Эрроу К. Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности: Пер. с англ. / Науч. ред., авт. предисл., послесл. А. Ф. Алескеров. М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2004.
5. Найт Ф. Х. Риск, неопределенность и прибыль: Пер. с англ. М.: Дело, 2003.
6. Хикс Дж. Стоимость и капитал: Пер. с англ. М.: Прогресс, 1988.
7. Патинкин Д. Деньги, процент и цены. Соединение теории денег и теории стоимости: Пер. с англ. / Под ред. Н. Я. Петракова. М.: ЗАО Изд-во «Экономика», 2004.
8. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 2-е изд. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
9. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е изд. М.: Наука, 1987.
10. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. М.: Мир, 1999.
11. Кейнс Дж. Избранные произведения. М.: Экономика, 1993.
12. Клейнер Г. Б. Предприятие в нестабильной экономической среде: риски, стратегии, безопасность. М.: Экономика, 1997.
13. Дюпюи Ж. О мере полезности гражданских сооружений // Теория потребительского поведения и спроса / Вехи экономической мысли: Вып. 1. СПб.: Экономическая школа, 1993.
14. Зарубин В. С., Иванов Е. Е., Кувыркин Г. Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002.
