Новая оценка константы Х. Л. Монтгомери в теории распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

76

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №2

УДК 511.331.1

НОВАЯ ОЦЕНКА КОНСТАНТЫ Х. Л. МОНТГОМЕРИ В ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ

И. Ф. Авдеев1, Л. Г. Архипова2

Найдено новое значение постоянной а = jjg, такой, что при всех а ^ а выполняется "плотностная гипотеза" для дзета-функции Римана в критической полосе. Прежнее значение а = jj было найдено М. Ютилой в 1977 г.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, критическая полоса, плотностная гипотеза.

The new value а = jfg is obtained for the constant a such that for all a ^ a the "density hypothesis" is valid for the Riemann zeta-function in the critical stripe. The previous value a = jj was obtained by M. Jutila in 1977.

Key words: Riemann zeta-function, critical stripe, density hypothesis.

В 1971 г. в работе [1] Х. Л. Монтгомери доказал существование постоянной a[0, 5;1), такой, что при всех а > a выполняется плотностная гипотеза, т.е. оценка вида

N (а, T ) <£ T 2(1-^+£, T —

Здесь е > 0 сколь угодно мало, а величина N (а, T ) определяется как количество комплексных чисел p, лежащих в прямоугольнике 1 > Rep ^ а, |Imp\ ^ T и удовлетворяющих равенству ((p) = 0, где ((s) — дзета-функция Римана.

Проблемы, связанные с распределением точек p, удовлетворяющих последнему равенству и называемых нулями дзета-функции Римана, играют, как известно, ключевую роль в вопросах исследования асимптотических свойств средних значений арифметических функций, и прежде всего в задачах, касающихся распределения простых чисел в натуральном ряде. В частности, из гипотетической оценки

N (а, T ) < T2(l-a)+£, У а ^ 0, 5, называемой плотностной гипотезой, вытекает, что

pn+1 - pn p°n5+£,

где {pn} — последовательность всех простых чисел, занумерованных в порядке их следования в натуральном ряду.

Теорема о справедливости плотностной гипотезы, очевидно, равносильна утверждению о том, что в качестве значения константы Х. Л. Монтгомери можно взять число a = 0, 5.

В то же время в работе [1] доказано, что a ^ 0, 9. В последующие годы ряд известных математиков улучшали эту оценку. При этом были указаны следующие значения: а = | (M. Н. Хаксли, 1972), а = || (М. Ютила, 1972), а = Ц (К. Рамачандра, 1975), а = 0,8059... (Ф. Форти и С. Виола, 1973), а = 0,8 (М.Н. Хаксли, 1975), а = (М. Ютила, 1977, см. [2, с. 294]). Последний результат М. Ютилы а = оставался наилучшим до настоящего времени.

В данной работе указывается новое значение величины a. Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Оценка N(a,T) <Се Tl2(1-<J)+e; j1 _» -¡-qo выполняется при всех а ^ а = j^.

Ввиду того что Tjjg < сформулированная выше теорема дает некоторое улучшение результата М. Ютилы.

1 Авдеев Иван Федорович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического и информационного анализа экономических процессов ф-та экономики и управления ГОУ ВПО ОГУ, e-mail: [email protected].

2Архипова Людмила Геннадьевна — мл. науч. сотр. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №2

77

Доказательство теоремы опирается на метод работы [3] и является его развитием. Наиболее существенный новый элемент в рассуждениях — применение нетривиальной оценки тригонометрической суммы, подобной сумме W [2, с. 41], и последующая корректировка выбора параметра п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Montgomery H.L. Topics in Multiplicative Number Theory. LNM 227. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer Verlag, 1971.

2. Ivic A. The Riemann Zeta-Function. The Theory of the Riemann Zeta-Function with Applications. N.Y.: John Wiley & Sons, Inc., 1985.

3. Авдеев И.Ф. Об оценках количества нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Орел: Изд-во ОГУ, 2007.

Поступила в редакцию 15.09.2008

УДК 511

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ СУММЫ ГАУССА Х. М. Салиба1, В.Н. Чубариков2

Для обобщенной суммы Гаусса

Nq

1 / 1 2\

k=1

где N,q — натуральные числа, a — целое число, 0 ^ a < q, (a,q) = 1, найдено ее значение. Ключевые слова: сумма Гаусса, суммирование Пуассона.

For the generalized Gauss sum

Nq

1 /1 / S(N;a,q) = ^2el-(k

U— 1 V

1 r, a\2

qJ

k=i

where N, q are natural numbers, a is integer, 0 ^ a < q, (a, q) = 1, its value is determined. Key words: Gauss sum, Poisson summation.

Изучаются свойства следующей обобщенной суммы Гаусса:

Nq

к=1

где Н,д — натуральные числа, 0 ^ а < д, (а,д) = 1.

Известно (см., например, [1, с. 444]), что значение суммы Гаусса ;0,1) равно

Нам необходима следующая формула Пуассона суммирования значений функции в целых точках (см., например, [1, с. 442-443]).

1 Салиба Холем Майсур — стажер каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected]. Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: [email protected].