CC BY
18Тогда из теоремы 3 вытекает, что ограничение преобразования T на первые три координаты консервативно. Следовательно, по теореме 5 преобразование T консервативно. Для итераций преобразования T имеем
Tn(u,k,x,^) = (Тпш, (к,х,ф) * pn(и)),
где коцикл pn(u) порождается функцией p : и ^ ^Ia(u), lnr(u), 0(и)^ и принимает значения в группе Z2 х R х S1 c операцией
(k, х, ф) * (I, y, p) = (k + l mod 2, x + yeink, ф + peink + nkl mod .
Снабдим эту группу следующей нормой: ||(k, х, ф)^ = k + |х| + (1 — k)|ф|/2.
Согласно теореме 2, lim^ ,JC ||pra(w)|| = 0 п.н. Обозначим (zn(ui), wn(u))T := Ап(ш)(1, 0)т. Для каждого n G N определим измеримую функцую kn : Q ^ Z2, равную 0 на множестве {zn(и) =0} и 1 на множестве {wn(w) = 0}, имеющую смысл номера ненулевой координаты вектора (zn(w),wn(w))T. Пусть xn(w) и Фп(ш) — вещественная и мнимая части логарифма этой координаты соответственно. Заметим, что pn(w) можно представить в виде (kn(w),xn(и),фГ1 (и)). Очевидно, что
lim \\(кп(ш),хп(ш),фп(ш))\\ = 0 п.н. lim \zn(uo) — 1| = 0 п.н.
n—n—
Последнее равенство равносильно рекуррентности коцикла An(u). Теорема 1 доказана.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору В. И. Оселедцу за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ochs G., Oseledets V.I. On recurrent cocycles and the nonexistence of random fixed points. Report N 382. Bremen: Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 1996.
2. Thieullen Ph. Ergodic reduction of random products of two-by-two matrices //J. Anal. Math. 1997. 73. 19-64.
3. Oseledets V.I. Classification of GL(2, R)-valued cocycles of dynamical systems. Report N 360. Bremen: Institut für Dynamische Systeme, Universitat Bremen, 1995.
4. Aaronson J. An introduction to infinite ergodic theory // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 50. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.
5. Atkinson G. Recurrence of co-cycles and random walks //J. London Math. Soc. 1976. 13, N 2. 486-488.
Поступила в редакцию 21.12.2009
УДК 511.35
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ МОДУЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ
В. А. Кухта1
В работе получена асимптотическая формула для среднего значения модуля дзета-функции Римана на последовательности, лежащей в критической полосе. Ключевые слова: дзета-функция Римана, среднее значение.
An asymptotic formula for the mean absolute value of the Riemann zeta-function in a critical stripe is obtained in the paper.
Key words: Riemann zeta-function, mean value.
В настоящей работе мы продолжаем исследования Р. Т. Турганалиева [1]. Нами получена асимптотическая формула для среднего значения модуля дзета-функции Римана по некоторой последовательности
1 Кухта Вячеслав Анатольевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
точек, лежащих в критической полосе. Общие подходы к изучению дробных моментов ((s) были предложены А. Е. Ингамом [2] и Г. Бором, Б. Йессеном [3]. С другим методом решения рассматриваемой нами задачи можно ознакомиться в работе К. Б. Хаселгрова [4]. Наилучшая оценка остатка в асимптотической формуле для среднего значения модуля ((s) получена Р. Т. Турганалиевым [1] (см. также [5, гл. 7, с. 180; 6]).
Пусть N ^ 2 — натуральное число; ст, ti,..., ¿n, T — вещественные положительные числа, и пусть на прямой !Rs = ст в критической полосе дзета-функции Римана заданы точки Sk = ст + it к, где
1/2 < ст < 1, ti < ¿2 < ... < tk < ... < ¿n = T(N) = T. Выведем асимптотическую формулу при T суммы
N
Mi(T) = N-i£ |Z(Sk)|.
к=1
Пусть в = а + Тогда при а > 1 справедливы следующие разложения:
\ те
й=1 ) т=1
где
3 ■ 5 ■ ... ■ (21 - 1) 1 , 1 .
Щ =--т-т- < 1, а! = 1, ат = йн ■ ... ■ а^ < 1 при т = '[){■...■ р',
¿12*
Теорема. Пусть N ^ Т 1п Т/2, вк = а + ¿¿к, где
1/2 < а < 1, 0 ^ ¿1 < ¿2 < ... < ¿к < ... < ¿м = Т(^ = Т,
, , , IУ11 + ... + \УмI п tk-tk-l=T/N+ ук, Ига ---= 0.
N ^те Т
Тогда при Т имеем
М1{Т) = А + 0{Т1/^/2)+0{В1/2), А=^а2тт~2°, В = М±1_±Ш_
т=1
Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение [1]. Лемма. Пусть в = а + Тогда при а > 1 и |£| ^ Т имеем
К (в)| = |Дв)|2 + 0(|5(в)|) + 0(Т),
где
Я(в) = Я(в; Т) = ^ атш-5, 5(в) = 5(в; Т) = ^ Ьтш-5,0 < Ьт < 1.
гп^л/Т \/Т<т^Т
Доказательство теоремы. Положим N1 = N2-к, Т1 = N1N-1Т, к ^ N. Из леммы имеем
и1(Т1)= £ К (вк)| = Е |д(вк; Т1)|2+
Мх/2<к^Мх N1 /2<к<М
+о( £ |5(вк; Т1)^ + О^Т-^2) = ип + 0(ВД + 0(^13).
' Nx/2<k^Ni
Далее получим
иш =
\ атап (тп)а
Е со8(^1п(^)
Оценим ^1ц:
|иш| < Е Е
(шп)с
ЕМк 1п -2-
е к т
М1/2<к^М1
Так как ¿к = ¿к-1 + Т//У + Ук, то найдем
^ = £
М1/2<к^М1
0Ик 1п — —
е к т = е N т
£
е
1п 1п
^ 1п £
т "1 т = е N
£ 1п ^ ет+11п ^ 29
N1 /2<к^М1
N1 /2<к^М1
„г-!? 1п — с I 1п ~
= е N т 5 + е N т
£
е К т
(ет+1Ш- _ 1) + 2в,
где В — постоянная, удовлетворяющая неравенствам 0 ^ В ^ 1. Получим
Е - 1)+2В.
N1 /2<к^1
= е^1п ™
Отсюда имеем
5(1 _е%1п^)
< £
О • /Ук+1 , п 2 эш —— т — 2ш
Следовательно, справедлива оценка
|5| <
1 — егх
От 1П ^
Далее, при N ^ Т 1п Т/2 имеют место неравенства
£
Мк 1п -2-
е к т
<
у- |2 «ш. }д П. I
' I п т
пЛ т
^ N
Е |Ук+1| Г
= N5.
Так как 1 ^ т < п ^ \/ТГ, ТО можно положить п = т + г, г ^ 1. Отсюда находим
п
1п — = 1п 1 - -
ш \\ п)
г \
1
При х ^ 0, воспользовавшись неравенством 1п((1 — ж) 1) ^ ж, получим
п г г 1п — > — >
т п у/Т[
Таким образом, имеем
|ишк Е Е
1
((п — г)п)ст гТ
1 ^ 2-к/2мт-1/2 ьт ^ _^МТ1/2 ьт
23к/2
Оценим теперь ^12. Используя неравенство Коши, получим
и12 = Е |5(вк; ^1/2 и121 ,^121 = ( Е |5(вк; Т1)|2
1/2
1
где
Далее находим
S(sk; Ti) =
^ bmm
-a-itk
U121 =
Ni
E
bm.bn
b2
m
2ct
+ 2U1211,
^ (mn)a
E cos(SlnO-
Оценим U1211:
i U12n i < E E
1
(mn)c
£
N1 /2<k^Nx
0iifc In ^ e k m
Оценивая внутреннюю тригонометрическую сумму, как это сделано выше, приходим к неравенству
1
iU12111 < Е Е
((n — r)n)a rT
\/bN-\ 1
V - < TiiVTf7 In T ^ ——-NT~a In T.
2k(1-a)-
Следовательно,
Теорема доказана.
U12 < 2-k(2-CT)/2NT-a/2 ln1/2 T.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Турганалиев Р. Т. Асимптотическая формула для средних значений дробной степени дзета-функции Римана // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1981. 158. 203-226.
2. Ingham A.E. Mean-value theorems and the Riemann zeta-function // Quart. J. Math. 1933. 4, N 13. 278-290.
3. Bohr H., Jessen B. Mean-value theorems for the Riemann zeta-function // Quart. J. Math. 1934. 5, N 17. 43-47.
4. Haselgrove C.B. A connexion between the zeros and the mean-values of Z (s) //J. London Math. Soc. 1949. 24. 215-222.
5. Titchmarsh E.G. The theory of the Riemann zeta-function. 2nd ed./ Revised by D.R. Heath-Brown. Oxford: Clarendon Press, 1986.
6. Ivic A. The Riemann zeta-function. N.Y.: Wiley-Interscience, 1985.
Поступила в редакцию 26.02.2010
2
УДК 511
ИДЕНТИФИКАЦИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ ДВУХСЛОЙНЫХ КОМПОЗИТОВ
И. И. Степаненко1
В статье приводятся метод идентификации упругих свойств двухслойных композитов и его оценка при различных параметрах.
Ключевые слова: идентификация, упругий композит, эффективные модули, метод Ньютона решения систем уравнений.
An identification method for evaluating the elastic properties of two-layer composites is proposed. The method is estimated for different parameter values.
Key words: identification, elastic composite, effective modulus, Newton's method for systems of equations.
Введение. В настоящее время известен ряд методов для определения упругих констант материала.
Наиболее распространенным является следующий: из материала вырезается плоский образец в определен-
1 Степаненко Ивам Игоревич — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
