Об одном обобщении суммы Гаусса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство теоремы опирается на метод работы [3] и является его развитием. Наиболее существенный новый элемент в рассуждениях — применение нетривиальной оценки тригонометрической суммы, подобной сумме W [2, с. 41], и последующая корректировка выбора параметра п.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Montgomery H.L. Topics in Multiplicative Number Theory. LNM 227. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer Verlag, 1971.

2. Ivic A. The Riemann Zeta-Function. The Theory of the Riemann Zeta-Function with Applications. N.Y.: John Wiley & Sons, Inc., 1985.

3. Авдеев И.Ф. Об оценках количества нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Орел: Изд-во ОГУ, 2007.

Поступила в редакцию 15.09.2008

УДК 511

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ СУММЫ ГАУССА Х. М. Салиба1, В.Н. Чубариков2

Для обобщенной суммы Гаусса

Nq

1 / 1 2\

k=1

где N,q — натуральные числа, a — целое число, 0 ^ a < q, (a,q) = 1, найдено ее значение. Ключевые слова: сумма Гаусса, суммирование Пуассона.

For the generalized Gauss sum

Nq

1 /1 / S(N;a,q) = ^2el-(k

U— 1 V

1 r, a\2

qJ

k=i

where N, q are natural numbers, a is integer, 0 ^ a < q, (a, q) = 1, its value is determined. Key words: Gauss sum, Poisson summation.

Изучаются свойства следующей обобщенной суммы Гаусса:

Nq

к=1

где Н,д — натуральные числа, 0 ^ а < д, (а,д) = 1.

Известно (см., например, [1, с. 444]), что значение суммы Гаусса ;0,1) равно

Нам необходима следующая формула Пуассона суммирования значений функции в целых точках (см., например, [1, с. 442-443]).

1 Салиба Холем Майсур — стажер каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected]. Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: [email protected].

Лемма. Пусть а ^ Ь — полуцелые числа, т.е. числа вида г+1/2, где г — целое число. Пусть функция /(х) имеет непрерывную производную на отрезке [а,Ь] и для любого х из этого отрезка существует вещественное число М, такое, что \/'(х)\ ^ М. Тогда при любом натуральном числе К ^ 2 справедлива формула

к 0

Б = Е /(п) = Е I/(х)е2Пкх йх + Ек,

~ ^--1-_ Т^

а<п^0

к=—К

где \Ек\ ^ *М(Ъ-а)ЫК_

Отсюда при К ^ 2 имеем

2Кд-1

Б N; а,д)= Е I(т) + Ек,

т=-2Кд

где

1/2+Мд

1 (т)= I ^ йх,Ек «

АПп К К '

1/2

1 ( а\2 1 ( а Ыт\2 Ыт2 ат д(х) = — ( х--) + тх = — ( х---1—— )-----1--.

N V д) ' "" N V д ' 2 )

Следовательно, полагая е(х) = ех, преобразуем интеграл:

Т, , , Ыт2 ат 1{т) = е (--— + —

е (у2/Ы) йу.

1_N111

2 д' 2

Представив т в виде т = 2дв + г, 0 ^ г < д, —К ^ в < К, получим

2-1 / ы 2 х К-1

/(2дз + г)= Е е ( " 7 ) Е / <У2/Н)

г=0

8=-К

в+дМв

где /3 = I + £.

Таким образом,

2д-1 , „т 2

\ I ыг2 аг

/(2дз + г) = е ( -

г=0

4 д

в+дМК

е(у2/М) йу.

в-дМК

Поскольку при |7| ^ л/Й справедливо неравенство

е(х2) йг

у+куДЯ

< к-1/2N-1/4

находим

I (2дв + г) = Е

2ч-1 / АТ 2

Ыг2 аг

г=0

е --

4д

) У е(у2/Ы) йу + Е, Е « д1/2К-1/2N-1/4.

Так как

] йг =

1 + г

то, переходя к пределу при K ^ ж, получим

S(N; a,q) =

(1 + i)

■ 25-1, ЛТ. 2

Е( Nr2 ar el-

r=0

4

Суммируя отдельно по четным r и отдельно по нечетным r, имеем

2q-1

r=0

Nr2 ar\ ^ / 2ar\ ^ уД

q r=0 q r=0

4

N a 2ar\

e{-T + -q—u

q

= 1 + e

aN

q4

q-1

E

r=0

2ar

e --

Далее, находим

q-1

E

r=0

e --

2ar q

1, если д = 1;

2, если д = 2; 0, если д > 2.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть Ы,д — натуральные числа, а — целое число, 0 ^ а < д, (а,д) = 1. Тогда значение обобщенной суммы Гаусса

2^

равно

VÑ, если q = 1;

S(N-,a,q) = <( 2^-rVÑ, если q = 2;

0, если q > 2.

Далее оценим неполную обобщенную сумму Гаусса. Пусть И,И,д — натуральные числа, М — целое число, 0 ^ М < М + Н ^ Ыд, 0 ^ а < д, (а, д) = 1 и пусть

S0 = S(N,M,H;a,q)= el^C

M<n^M+H V ^

1a п —

q

С помощью приема И. М. Виноградова [2] перейдем от неполных сумм к полным суммам. Получим

1

n=1 Nq-1 / Nq

1

Nq-1

Nq S E '

y b=0 M<n^M+H

b(n — m) Wq

E E'

If a\2 bn

E

По теореме 1 сумма

Nq í 1 /

T(N-,a,q,b) = J2el — i n=1 V ^

M<n^M+H

1 a 2 bn

— bm Nq

будет отлична от нуля, только если b = 2a (mod Nq) либо b — 2a = ±q (mod Nq).

Найдем b0 = 2a (mod Nq),b1 = 2a + q (mod Nq),b2 = 2a — q (mod Nq), 0 ^ \b0\,\b1 \,\b2\ ^ Nq/2. Далее, поскольку при 0 ^ x ^ 1/2 справедливо неравенство sinnx ^ 2x, в случае \b\ ^ Nq/2 имеем

E

M<n^M+H

—bm Nq

1e

ML

' Nq

1

<

q_ Щ'

2

q

2

2

e

e

Следовательно, при N ^ 6 получим

\Бо\ <

1 + г

-м

1 + г

-1

+

1 + г

-м

1 + г

-1

1

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. При N ^ 6 для неполной суммы Б(Ы, М, Н; а,д) справедливо неравенство

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00566а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. 5-е изд., перераб. М.: Дрофа, 2004.

2. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 26.09.2008