CC BY
7
УДК 514.75
Ю. И. Попов1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия [email protected]
Нормализация Фосса основных структурных подрасслоений ЭН-распределения аффинного пространства
Выяснена геометрическая интерпретация построенных нормализаций Фосса основных структурных подрасслоений скомпонованного гиперплоскостного распределения аффинного пространства.
Ключевые слова: распределение подрасслоения, фокальная гиперплоскость, фокальный гиперконус, биекция Бомпьяни — Пантази.
В статье использована следующая схема индексов:
1,3,К = 1,п; 1,у,к = 1,т; а,р,у = т +1,п-1; аа = т +1,п; а,р,т = 1,п-1.
1. Рассмотрим п-мерное аффинное пространство Ап, отнесенное к подвижному реперу Я = {М, е1}, дифференциальные уравнения инфинитезимального перемещения которого имеют вид
ёМ = ю1 е1, ёе1 = са^е3 , (1)
а инвариантные формы га1 и ю^ аффинной группы преобразований удовлетворяют структурным уравнениям аффинного пространства
ёс = С люС, ёсС = юС л сК . (2)
Поступила в редакцию 24.05.2018 г. © Попов Ю. И., 2018
Присоединим подвижной репер R = {M, e¡} пространства Ап к скомпонованному гиперплоскостному распределению [1] (в дальнейшем — ^^-распределение) в каждом его центре A следующим образом:
M = A, {ёг Л{А), {ёа}<^ L{A), e„ й Hn_i{A).
Известно [1], что в выбранном репере нулевого порядка R0 «SH-распределение задается следующим образом:
n An K n An K а а K i Л K =ЛK® , ®а=ЛаК® , = Ak® , ®а = Ла1С® , w лп лп L V7 лп лп L V7 а лп а ла L /->\
=ЛKL® , =Akl® , + =ЛKL® ,(3)
где Г1 =W ,ЛаK Л } Г2 =\Ti^kl ,Л"а^ , ЛаKL I последовательность фундаментальных геометрических объектов [2] Ж-распределения.
Для невырожденных несимметрических фундаментальных
тензоров Л } {/Лар\ {Лр} 1-го порядка введем обращенные
тензоры {Л } {Л } {ЛР }, компоненты которых удовлетворяют соотношениям
ЛЛ=ЛЩЛ=s'k лалпРг==s% Л?лрт=лр:лр=з°
и, соответственно, уравнениям
ЧЛ„ = о, члар = 0, ЧЛ„р = 0.
n ' n ' n
2. Следуя работе [3], назовем фокальной гиперплоскостью Л-подрасслоения в центре A данного «SH-распределения всякую гиперплоскость C{A), которая содержит две бесконечно близкие плоскости Л-подрасслоения при смещении центра A вдоль произвольной интегральной кривой Л-подрассло-ения.
Поскольку л(а )^с(а ), то уравнение гиперплоскости С(А) в локальном репере Я0 ищем в виде
Са^+Сп*" = 0. (4)
Из (1—3) следует, что
ёА а =юв:, ёв\ а =ю'в- + Лю1 еа + Лю1 еп. (5)
\а> =0 '' 1 \а> =0 'IV а У п у '
В силу (4), (5) для искомых интегральных кривых Л-под-расслоения выполняются соотношения
= 0, СаЛ +С„Л С = 0. (6)
а п
ю =ю =У
Система (6) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда выполняется условие
СаЛ, +СпЛ, = 0. (7)
Таким образом, уравнение (7) определяет геометрическое место фокальных гиперплоскостей — фокальный гиперконус класса т [3], вершина которого есть т-плоскость Л(А).
Линейной полярой гиперплоскости Н (А) [4] относительно фокального гиперконуса (7) является связка гиперплоскостей
С + т Л ЛЛСа = 0,
которую, согласно (4), представим в виде
(ха-фапхп Са= 0, (8)
где
Фа 1 а л п ^ча а ^а К /п\
= — ЛЛ уф +ю =Ф,^а (9)
п т 11 п э ¥ ^п ^ шп ■ У '
Все гиперплоскости связки (8) пересекаются по (т + 1) -плоскости
Ф т+1 (А)= [а ,ёи + Ф^а], (10)
которую и будем называть линейной полярой гиперплоскости Н (А ) [4] относительно фокального гиперконуса (7). В ло-
кальном репере Я0 (А) плоскость Фт+1 (А) (10) задается урав-
нениями
а п
X =фаХ .
Поле квазитензора {ф^ } (9) 1-го порядка задает поле нормалей Фт+1 1-го рода Ь-подрасслоения.
3. Аналогичные построения (см. п. 2) проведем для Ь-подрасслоения данного ^^-распределения. Уравнение искомой фокальной гиперплоскости г)(.А) Ь-подрасслоения в локальном репере Я0 зададим следующим образом:
чХ +СпХп = 0. (11)
Геометрическое место фокальных гиперплоскостей г/(А) (11) Х-подрасслоения — фокальный гиперконус класса (п - т -1), вершиной которого служит плоскость Ь(А), — представим в виде
=0. (12)
кп^р+к^р
Линейной полярой гиперплоскости Н (а ) относительно гиперконуса (14) является связка гиперплоскостей
(х'--1-т ЛаВлРахп к = 0,
V п-т-1 ар п //' '
которая задает (п - т)-плоскость
Фп-т (а)=[а;ёа,ё„ + Ф% ] , (13)
где
Ф'п = п-ьЛарЛра, УФ'п + Сп =Ф'сЮК . (14)
Итак, поле квазитензора \Фп} (14) 1-го порядка задает поле нормалей Фп-т (А) (13) 1-го рода Л-подрасслоения.
Плоскости (10) и (13) пересекаются в каждом центре А по прямой
Ф (А )= Фи+1 {А )п Фп^ {А), ФХ{А) = вп + Фапга , (15)
где
фп=} ^Ф:+=Ф>К. (16)
Следуя работам [5; 6], прямую Ф1 (А) (15) и плоскости Фт+1 (А) (10), Фп_т (А) (13) назовем прямой Фосса и нормалями Фосса 1-го рода в смысле Нордена [7] соответственно Н-, Ь-, Л-подрасслоений данного ^^-распределения.
В силу биекций Бомпьяни — Пантази [1] полям нормалей
Фосса Фп }|ф"} ффФ } 1-го рода поставим в соответствие поля нормалей 2-го рода Л-, Ь-, Н-подрасслоений фф | \фа \ Фп}:
ф, = ЛфП + Т", УФ, = Фгк®К, Фа=ЛпавФРп+ , УФа=Фк®К, (17)
а ар n а? a aK
Ф =АпФр+1 УФ =Ф^ок
где
def
TT = t. + Aja„, VTT= , def ■ в
■Ta= ta + ■ , VTa = АрШп , def K
ta = A"an, VtB=AnppaP+ t^K,
def
,a лаР+ a. r-7.a,a.a K
t n =~An tp~A t., Vtn +Ш = t пкш , .def ■ k J A.a, ■ i J K
tn = - AntJ -A a, Vtn +шп = tnKш •
Поля нормалей (17) назовем полями нормалей Фосса 2-го рода A-, L-, Н-подрасслоений данного SH-распределения. Таким образом, справедлива
Теорема. Нормаль Фосса Ф1 (A) SH-распределения в каждом центре A есть пересечение линейных поляр гиперплоскости Н (A ) относительно фокальных гиперконусов (7) и
(12) соответственно A-, L-подрасслоений. SH-распределение 150
внутренним инвариантным образом порождает нормализации Фосса {фгпф ), , соответственно Л-, L-, Н-подрасслоений в дифференциальной окрестности 1-го порядка.
Список литературы
1. Попов Ю. И. Скомпонованные гиперплоскостные распределения аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2018. № 2. С. 5—18.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Акивис М. А. Фокальные образы поверхностей ранга r // Изв. вузов. Матем. 1957. № 1. С. 9—19.
4. Ивлев Е. Т., Лучинин А. А. О полярном соответствии относительно алгебраической поверхности и его приложениях // Геом. сб. 1968. Вып. 7. С. 23—24.
5. Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий // Матем. сб. 1962. Т. 58:2. С. 695—706.
6. Благонравов В. В. Распределения на гиперповерхности аффинного пространства // Деп. В ВИНИТИ. 17.08.1982. № 4552—82.
7. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
Yu. Popov1 1 Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo ul., Kaliningrad, 236016, Russia [email protected]
The Foss normalization for main structural subbundles of the SH-distribution in affine space
Submitted on May 24, 2018
Geometric interpretation of Foss normalizations constructed for the main structural subbundles of compiled hyperplane distribution is found in affine space.
Keywords: distribution of subbundle, focal hyperplane, focal hyper-cone, bijection of Bompiani — Pantazi.
References
1. Popov, Yu.l.: Composed hyperplane distributions of affine space. IKBFU's Vestnik. Ser. Physics, Mathematics, and technology. Kaliningrad. 2, 5—18 (2018) (in Russian).
2. Laptev, G.F.: Differential geometry of imbedded manifolds. Group theoretical method of differential geometric investigations. Tr. Mosk. Mat. Obs. GITTL, Moscow. 2, 275—382 (1953) (in Russian).
3. Akivis, M.A.: Focal maps of a surface of rank r. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1, 9—19 (1957) (in Russian).
4. Ivlev, E. T., Luchinin, A.A.: On the polar correspondence with respect to an algebraic surface and its applications, Geom. Sb. Tomsk. 7, 23—24 (1968) (in Russian).
5. Akivis, M.A.: On the Voss normals of a surface carrying a net of conjugate lines, Mat. Sb. (N. S.), 58(100):2, 695—706 (1962) (in Russian).
6. Blagonravov, V. V.: Distributions on the hypersurface of an affine space. VINITI, 08/17/1982. No. 4552—82 (in Russian).
7. Norden, A.P.: Spaces with an affine connection. Nauka, Moscow (1976) (in Russian).
