CC BY
120
УДК 519.1
Я.М. ЕРУСАЛИМСКИЙ, Н.Н. ВОДОЛАЗОВ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК В СЕТИ
В представленной работе рассматривается нестационарный поток в сети. Даны определения нестационарного потока, величины потока за время Т, средней величины потока. Найдено ограничение на среднюю величину потока.
Ключевые слова: граф, стационарный поток, нестационарный поток, величина потока.
Введение. В работах [1, 2] рассмотрены задачи нахождения максимального потока на динамических периодических графах. Для обыкновенных ориентированных графов вводится дискретное время Т, и рассматриваются динамические графы. Динамическим графом в [1] называется ориентированный граф вида G(X,и, f, т), множество дуг которого представляет собой объединение двух непустых непересекающихся подмножеств, называемых множеством обычных и множеством временных дуг, Т -функция активности. Временные дуги графа доступны для прохождения не в любой момент времени, а только в периоды активности.
В данной статье рассматриваются нестационарный поток на графе, который представляет собой обобщение динамических графов, и ограничения на величину максимального нестационарного потока. Приведен пример, который показывает, что величина нестационарного потока может в некоторые моменты времени превосходить величину максимального стационарного потока.
Постановка задачи. Пусть дан граф С(у,Е,ф) , где V - множество вершин; Е - множество дуг; ф : Е ® V х V. Обозначим 0 _ (и ) - множество дуг, входящих в вершину V ; 0 + (и) - множество дуг, выходящих из вершины V . Пропускная способность каждой дуги с(е) .
Определение 1. Стационарным потоком на графе ,Е,ф) называ-
ется отображение /: Е ® R +, удовлетворяющее условиям [3]:
м е f (е) = е f (е), "и О V, V № 5, V № г,
неО 0_(и) еО 0 +(и) (1)
3 0 J f (е) J с(е), " е О Е,
где 5 - источник; Г - сток.
В нестационарном потоке добавляется дискретное время t е Z+ . Считаем, что суммарный поток, выходящий из вершины в момент времени t + 1, равен суммарному потоку, входящему в вершину в момент времени t .
Дадим определения нестационарного потока и величины нестационарного потока за время Т .
Определение 2. Нестационарным потоком назовем отображение /: Ех Z + ® R+, удовлетворяющее условиям:
м е f (е, t) = е f (е, t + 1), "V О V, V № 5, V № г, V t О Z+
3 еО 0_ (V) еО 0 + (V) (2)
0 0 J f (е, () Л с(е), V е О Е, V t О Z+, где 5 - источник; Г - сток; t - время.
Определение 3. Величиной потока f за время Т назовем величину
V(У, т ) =£ X f (е, ‘ ).
t = 0 ее 0 _ ( г )
Ограничение на величину нестационарного потока. Возьмем произвольное Т е N. Покажем, что по нестационарному потоку f величины
V (У, Т) можно построить стационарный поток У2 величины
V ( У, Т ) „
-----Т-----■ Сначала по нестационарному потоку У построим нестационарный поток У, имеющий ту же величину потока за время Т и равный нулю в момент времени Т . Затем по нестационарному потоку У пой У й V У Т)
строим стационарный поток У2 , имеющий величину------------Т------■
Рассмотрим любой нестационарный поток до момента Т . Он удовлетворяет следующим условиям:
t = Т X У (е, Т) = X У (е, Т + 1), " V е VV £ 5,Ь £ г,
ее0 _ (V ) ее0 + (V )
t = Т _ 1 X У (е, Т _ 1) = X У (е, Т), "vе V,V £ 5,Ь £ г,
ее0 _ (V ) ее0 + (V )
t = 1 X У(е,1) = X У(е’2), " V е VV £ 5,Ь £ г,
ее0 _ (V ) ее0 + (V )
t = 0 0 = X У(е,1), " V е VV £ 5,Ь £ г.
ее0 + (V )
(3)
Вытекающий поток представлен в (3) У(е, t) , е е 0 _ (г), поэтому величин У(е, Т) , е е 0_ (г) нет в системе равенств (3) для г = Т (вытекающий на шаге Т _ 1 поток не втекает ни в одну вершину на шаге Т ). Положим У1(е, Т) = У (е, Т) , е е0_ (г), У1(е,Т) = 0 , е £ 0 _ (г) .
Далее рассмотрим равенства при t = Т _ 1.
X У(е, Т _ 1) = X У(е, Т), "vе V V £ £ г .
ее0 _ (V ) ее0 + (V )
(4)
Нам нужно найти У1(е, Т _ 1) . Если вместо У(е, Т) в правую часть равенств (3) подставить У1(е, Т) , то получим неравенства:
X У(е,Т _ 1) > X У1(е,Т) , V V е У** 5V£ г . (5)
ее 0 _ (V ) ее 0 + (V)
Величин f(e, T - 1), e е 0- (r) нет в левой части (4), поэтому мы можем присвоить им любые значения без нарушения (4). Положим fi(e, T - 1) = f (e, T - 1) , e е 0-(r) .
Все f1(e, T -1), входящие в равенства для вершин
u е V • X У(e’T) _ 0 , положим равными 0.
ее 0 + (и )
Если f1(e, T - 1) входит в равенства для вершин
ие V • X f1(e,T) * 0 то
ее0 + (u ) 1
О < X f1(e,T) £ X f(e,T) = X f(e,T - 1). Тогда поло-
ее0 + (u ) ее0 + (u ) ее0 - (u )
X Л(е,T)
жим K (u ) = ее0 +(u'
I /(е, Т - 1)'
е£0_ (V )
Из (5) следует К(V) < 1. Так как /1(е,Т) > 0 и
/ (е, Т - 1) > 0 , следовательно, К (и ) > 0. Тогда положим
/1(е, Т - 1) = К (и) / (е, Т - 1) . Так как К (V) < 1, то из
0 < /(е, Т - 1) < с(е) следует, что 0 < /1(е, Т - 1) < с(е) .
Из построения ясно, что для /1(е, Т - 1) выполнены равенства
(4).
Аналогичным образом построим поток в моменты времени
г = Т - 2, г = Т - 3 ,..., г = 0, который удовлетворяет условию
/1(е, Т + 1) = 0, " е е Е . На каждом шаге значение /(е, г),
е е 0_ (г) не изменялось, следовательно, величина потока /1 равна
величине потока / , V(/, Т) = V(/1, Т) .
При этом /1 удовлетворяет системе равенств: г = Т I /\(е,Т) = 0, " V е V,и ф ф р,
ее0 - (V )
г = Т - 1 I /х(е,Т - 1) = I /х(е,Т), " V е VV ф ф р,
ее0 - (V ) ее0 + (V )
(
г = 1 I /1(е1) = I /(е,2), " V е VV ф ^ ф р,
ее0 - (V ) ее0 + (V )
г = 0 0 = I /х(е1), " V е VV ф ф р.
ее0 + (V )
6)
Просуммируем равенства (6) по Т и разделим на Т . Получим по-
I •№>г)
/г(е) =
ток ^ , ч —0 1 , " е е E , удовлетворяющий ограничениям, на-
T
кладываемым на стационарный поток, т.е. поток f2 удовлетворяет системе равенств (1) и ограничениям О < f2(e) < c(e).
Итак, величина стационарного потока равна величине потока f за время T и величине потока f за время T . Таким образом, для любого нестационарного потока f , имеющего величину V(f ,T) за время
- - V V (f ,T)
T , можно построить стационарный поток величины Устац --------t-----■
Пусть величина максимального стационарного потока Vmax , тогда
V > V (f,T)
max T
V ( f T )
Определение 4. Назовем ----------t--- _ средней величиной нестационар-
ного потока f за время T .
Таким образом, мы доказали теорему:
Теорема 1. Средняя величина нестационарного потока f в сети G за время T не может превосходить величины максимального стационарного потока.
V (f,T) < V
T max
Построим пример.
Пример 1. Пусть дан граф (рис.1). Пропускная способность всех дуг равна 1.
о--------=^о------------------------►о г
і г Ь
Рис.1. Пример графа
Рассмотрим граф до момента времени, равного 5. Построим вспомогательный граф (рис.2) по следующим правилам:
- каждой вершине исходного графа V є V поставим в соответствие
Т вершин vT ;
- каждой дуге исходного графа (и, V) поставим в соответствие Т - 1 дугу вида (и, V+1) , г = 1Т - \ ;
- пропускную способность каждой дуги (иг, V+1) положим равной пропускной способности дуги (и, V) исходного графа.
Из рис.2 видно, что поток за 5 шагов равен 1.
Построим новый поток Л таким образом, чтобы в момент времени 5 весь поток, за исключением выходящего в сток, обращался в 0.
Положим Л ((Ь, р),5) = /((Ь, р),5) = 1, Л ((а, Ь),5) = 0 , Л1((а),5) = 0 , Л1((Ь, а),5) = 0 .
В момент времени 4 в вершине а должно выполняться соотношение
Л1((Ь, а),4) + Л1((а),4) = /((а, Ь),5) = 0 .
Положим Л1((Ь, а),4) = 0 , /1((5, а),4) = 0 . В вершине Ь выполняется равенство
Л1((а, Ь),4) = Л1((Ь, а),5) + Л1((Ь, р),5) = 0 + 1 = 1.
Получаем Л1((а, Ь),4) = 1.
В момент времени 3 в вершине Ь должно выполняться соотноше-
ние:
ние
Л1((а, Ь),3) = Л1((Ь, а),4) + Л1((Ь, р),4) = 0 .
Положим Л1((а, Ь),3) = 0 . В вершине а выполнено соотноше-
Л1((Ь, а),3) + Л1((5, а),4) = /((а, Ь),4) = 1.
Пусть к (а) = Л((Ь а)-4) + Л-((Ь- Р)-4) = = 1
"у Л ((а, Ь),3) 1 '
отсюда
Л((Ь, а),3) = К (а) Л ((Ь, а),3) = 1;
а),3) = К(а) Л ((s, а),3) = 0 .
Аналогично получаем Л((s,а),2) = 0 .
Поток Л по остальным дугам положим равным Л . Тогда поток Л (рис.3) удовлетворяет ограничениям, накладываемым на поток, и в момент времени 5 весь поток, за исключением выходящего в сток, обращается в 0.
О СҐ "о" О
s а Ь р
Рис.3. Поток Л на вспомогательном графе
Так как поток Л по выходящим дугам равен потоку /, то величина V (/1,5) = V (/ ,5) = 1 .
Далее сложим поток по каждой дуге для моментов времени от 1
до 5 и поделим на 5, получим стационарный поток /2(и) = 1, V и е и .
_ 1 V ( /1,5) V ( / ,Т )
Тогда величина потока /2 = — = --------1— = -----------.
2 5 5 5
Расширенный нестационарный поток. Обобщим задачу, будем считать, что не весь поток должен выходить из вершины на каждом шаге. Тогда поток будет определен на дугах и в вершинах /: (V и Е)х 2 + ® R+. Условия (2) заменим на следующие:
м / (V, t) + е / (e,t) = / (V, t + 1) + е / (е, t + 1), "и О V, и № 5, и № г, V t О 2 *
Н еО 0-(и) еО 0 + (и) (7)
О 0 J /(е,О J с(е), V еО Е, V tО г +.
Дадим определение расширенного нестационарного потока.
Определение 5. Назовем отображение f: (V и Е)х г+ ® Е+ расширенным нестационарным потоком, если для него выполнены условия (7).
Задачу о нахождении ограничения на максимальный расширенный нестационарный поток можно свести к уже рассмотренной ранее, добавив к графу для каждой вершины V дугу (V, V) неограниченной пропускной способности. Тогда величины всех разрезов не изменятся, и доказанное выше ограничение (теорема 1) на максимальный поток останется в силе.
Таким образом, мы доказали теорему:
Теорема 2. Средняя величина расширенного нестационарного потока / в сети G за время Т не может превосходить величины максимального стационарного потока.
Пример 2. Отметим, что в некоторые моменты времени поток на графе может превосходить величину максимального нестационарного потока. Рассмотрим пример графа (рис.4).
О--------►(*= =►0------►О
sab t
Рис. 4. Поток, превышающий пропускную способность:
- источник; - сток
Пусть пропускная способность дуги (s, a) равна 1, пропускная способность остальных дуг равна 2. Тогда возможен следующий поток (таблица).
Поток на графе в моменты времени от 0 до 4
Момент времени Дуги
(s, a) (a, b) (b, a) (b, t)
О І О О О
І І І О О
2 І І І О
3 І 2 І О
4 І 2 О 2
Из таблицы видно, что втекающий в сток поток в момент времени 4 равен 2, при том что величина максимального стационарного потока равна 1. Выводы. Доказана теорема о том, что средняя величина нестационарного потока не может превышать величины стационарного потока. Однако из построенного примера ясно, что нестационарный поток в определенные моменты времени может превосходить максимальную величину стационарного потока.
Библиографический список
1. Ерусалимский Я.М. Динамические периодические графы.
/ Я.М. Ерусалимский, М.В. Кузьминова. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тр. III-й всероссийской школы-семинара. - Ростов н/Д: Терра Принт, 2007. - С. 39-40.
2. Кузьминова М.В. Динамические периодические графы. Задача о максимальном потоке. / М.В. Кузьминова. // Сборник материалов
5U U U и I
-й всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века - будущее российской науки». В 2 т. - Т.1. - Ростов н/Д: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. - С. 99-100.
3. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход;
пер. с англ. / Н. Кристофидес. - М.: Наука, 1978. - 432 с.
Материал поступил в редакцию 2.06.09.
Y.M. ERUSALIMSKY, N.N. VODOLAZOV NON-STATIONARY NETWORK FLOW
Non-stationary network flow is considered. Definitions of non-stationary network flow, amount of flow in T time, average amount of flow are given. Limitation on the average amount of flow is found.
ЕРУСАЛИМСКИЙ Яков Михайлович (р. 1947), кандидат физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и дискретной математики Южного федерального университета. Окончил механико-математический факультет РГУ (1970).
Сфера научных интересов: операторы мультипликативной дискретной свертки, теория графов и её приложения.
Имеет 87 научных публикаций.
ВОДОЛАЗОВ Николай Николаевич (р. 1984), аспирант второго года обучения факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета. Окончил магистратуру ЮФУ (2007).
Научные интересы: теория графов и ее приложения.
Имеет 3 научных публикации.
І53
