Потоки в сетях с нестандартной достижимостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

ПОТОКИ В СЕТЯХ С НЕСТАНДАРТНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ

© 2012 г Я.М. Ерусалимский

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Б. Садовая, 105/42, г. Ростов-на-Дону, 344006 B. Sadovaya St., 105/42, Rostov-on-Don, 344006

Рассмотрены задачи о потоках в сетях с нестандартной достижимостью. Показано, что классическое определение потока в сети не учитывает тот факт, что допустимыми на таких сетях являются не все пути. Введенные в работе определения позволяют корректно определить поток в таких сетях, максимальный поток и пропускную способность сетей с нестандартной достижимостью. Рассмотрено семейство сетей с барьерной достижимостью. Найден предел последовательности пропускных способностей семейства, когда высота барьеров неограниченно возрастает.

Ключевые слова: граф, сеть, пропускная способность, поток, нестандартная достижимость.

Problems about streams in networks with non-standard connectedness are considered. It is shown that classical definition of a stream in a network doesn't consider that fact that on such networks all ways are admissible not. The definitions entered in work allow defining correctly a stream in such networks, the maximum stream and throughput of networks with non-standard connectedness. The family of networks with barrier connectedness is considered. The limit of sequence of throughputs is found when the height of barriers increases to infinity.

Keywords: graph, network, stream, non-standard connectedness.

Нестандартная достижимость на графах предполагает, что допустимыми к рассмотрению являются не все пути, а только удовлетворяющие определенному i условию (оно называется типом или видом нестан- : дартной достижимости). Как правило, тип нестандартной достижимости возникает после того, как задано некоторое разбиение множества дуг графа, а ограничения на достижимость формулируются с помощью (в терминах) этого разбиения. Изучение графов с : нестандартной достижимостью началось сравнительно недавно. Первые работы в этой области принадлежат Я.М. Ерусалимскому и Е.О. Басанговой [1-4]. В i последующем изучение графов с нестандартной достижимостью было продолжено Я.М. Ерусалимским, В.А. Скороходовым, С.Ю. Логвиновым, А.Г. Петро-сяном, М.В. Кузьминовой, Н.Н. Водолазовым [5]. Характерной особенностью для всех типов нестандартной достижимости оказалась неприменимость напрямую известных алгоритмов решения задач о кратчай- i ших путях, случайных блужданиях и максимальных потоках. Все алгоритмы основаны на том, что допустимыми на графах являются все возможные пути, что для графов с нестандартной достижимостью не выполнено.

Графы с нестандартной достижимостью - первый известный пример, когда мультиграфы (графы с крат-

ными дугами) приходится рассматривать по существу, когда задача, исходно поставленная на мультигра-фе, не может быть сведена к задаче на обычном графе заменой кратных дуг кратчайшей из них в задаче о кратчайших путях или дугой с суммарной пропускной способностью в потоковых задачах. Это связано с тем, что кратные дуги могут быть разных типов.

Во всех рассмотренных случаях «идеология» оказалась одной и той же - построение вспомогательного графа, названного развёрткой графа, и замена исходной задачи на графе с нестандартной достижимостью соответствующей задачей на развёртке, построение которой определяется конкретным типом нестандартной достижимости. Главное при построении развертки - возможность установить соответствие между путями на ней и допустимыми путями на графе с нестандартной достижимостью. Это позволяет применять известные или соответствующим образом модифицированные алгоритмы для решения таких задач, как задача о кратчайшем пути или о случайных блужданиях частицы по графу.

Наиболее сложными оказались потоковые задачи. Они потребовали существенного пересмотра даже исходной постановки. Необходимо пересмотреть базовое понятие потока, поскольку определение Форда-Фалкерсона [6] учитывает только локальную структу-

ру графа и никак не учитывает, по каким путям транспортируется поток. Важной для нашего понимания стала книга [7], в которой приведена теорема о декомпозиции потока в виде набора потоков по путям. Именно такой подход к потоку на графе с нестандартной достижимостью мы сочли единственно возможным.

Прежде чем переходить к описанию нашего подхода к теории потоков в сетях с нестандартной достижимостью, рассмотрим один из видов нестандартной достижимости и примеры потоков в сетях с барьерной достижимостью. Конструкция развёртки в случае барьерной достижимости очень похожа на ту, которую применяют при исследовании динамических потоков в сетях [8], однако смысл предложенной конструкции в нашем случае совсем другой. В работах по динамическим потокам мы имеем дело с разверткой графа во времени, в нашем случае можно говорить об энергетической развертке.

Барьерная достижимость на графах

Пусть 0(Х, и,/) - граф и = и0 ии^ иив; множества и0, ии ив попарно не пересекаются; и0 -множество нейтральных дуг; и^ - множество дуг, увеличивающих барьерный показатель (множество увеличивающих дуг); ив - множество барьерных дуг.

Определение 1. Пусть ц :[1; ^ и - путь на графе в(Х,и,/), и = и0 иЩ иив, и0 = Щ оив = = ио оив = 0. С каждым отрезком [0;/]^ (0 < / < п) пути ц свяжем числовую характеристику рц(/) , определенную индуктивно следующим:

1. рц (0) = 0.

|Рц (/),апёе ц(/) еи 0;

2. Рц(/ +1) = (/) + 1,апёе ц(/) еит;

[0,апёе ц(/) еив.

Характеристика р (/) называется величиной накопленной энергии на отрезке [0;/]^ пути ц.

Определение 2. Графом с барьерной достижимостью высоты к (к е Ы) будем называть граф

0(Х, и = ^ иЩ иив/к), все пути ц на котором

удовлетворяют условию ц(1)еив ^Рц(/-1)>к.

Другими словами, если к шагу с номером т путь ц от своего начала накопил величину барьерного показателя рц (т — 1) , большую либо равную к , то на

последующем шаге становятся допустимыми для прохождения дуги из множества и .

Пример 1. На рис. 1 изображен граф с барьерной достижимостью. Знаком «+» помечена дуга множества и^ , буквой Ь - ив . Будем считать, что к = 1.

Ясно, что на этом графе путь 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 отсутст-в ует, а путь 1 ^ 2 ^ 3 ^ 6 ^ 5 ^ 2 ^ 3 ^ 4 является барьерным с высотой барьеров, равной 1. Если взять

барьерный показатель к = 2, то этот путь уже не является допустимым. Допустимым барьерным путем с высотой барьера 2 является путь 1 ^ 2 ^ 3 ^ 6 ^ 5 ^ ^ 2 ^ 3 ^ 6 ^ 5 ^ 2 ^ 3 ^ 4 .

Рис. 1. Граф с барьерной достижимостью

Опишем построение развертки графа с барьерной достижимостью G(X,U = ^ и^ и ив,/,к).

Каждой вершине X исходного графа ставится в соответствие к +1 вершина вспомогательного графа

х0,х\...хк . Каждой нейтральной дуге (х,у) (еЩ ) исходного графа ставится в соответствие к +1 дуга вспомогательного графа вида (х*,у1), / = 0,...,к (рис. 2).

Рис. 2. Преобразование нейтральных дуг

Каждой увеличивающей дуге исходного графа (х, у) (е и^) ставится в соответствие к +1 дуга вспомогательного графа: к дуг вида (х(/),у(/+1)), / = 0,...,к — 1, и одна дуга (хк,ук) (рис. 3).

Рис. 3. Преобразование увеличивающих дуг

Каждой барьерной дуге исходного графа (X,у) (еив) ставится в соответствие одна дуга вспомогательного графа (хк, у0) (рис. 4).

Рис. 4. Преобразование барьерных дуг

Построим развертку графа, изображенного на рис. 1 (рис. 5).

потока на сети с нестандартной достижимостью как потока на развёртке в силу наличия на ней связанных дуг (получающихся из одной и той же дуги исходного графа) тоже некорректно.

О

о

о

-ю

-*о

3

6

3

12 3 4

Рис. 6. Максимальный поток при h = 1

5

4

6

Рис. 5. Развертка графа

Будем считать граф на рис. 1 сетью, пропускные способности всех дуг которой, кроме дуги (6,5), равны 6, а пропускная способность дуги (6,5) - 4. Тогда величина максимального потока в этой сети без условия барьерной достижимости равна 6. Перенесем на развертку пропускные способности дуг исходного графа и найдем в ней максимальный поток. Его величина равна 4. Однако этот поток нельзя интерпретировать как поток на исходном графе, поскольку его величина на дуге (2,3) равна 8, что больше пропускной способности этой дуги. В чем причина возникшей ситуации? Причина в том, что мы рассматриваем не все пути, а только допустимые условием барьерной достижимости. Эти пути не являются простыми, на них имеются дуги, по которым путь проходит несколько раз. Возникает наложение потока на себя и естественное падение величины максимального потока. На рис. 6 изображен максимальный поток в такой сети с условием барьерной достижимости (к = 1).

При к = 2 величина максимального потока равна 2, а сам поток изображен на рис. 7.

Ясно, что потоки, изображенные на рис. 6 и 7, являются допустимыми в смысле определения Форда-Фалкерсона, но не являются максимальными. «Исправить» это определение, т.е. сделать его работающим в случае нестандартной достижимости, невозможно. Классическое определение потока как функции, определенной на множестве дуг, значения которой на каждой дуге не превосходят её пропускной способности и для которой в каждой вершине выполнено условие неразрывности потока (равенство суммарного потока по приходящим в вершину дугам суммарному потоку по дугам, выходящим из вершины), не содержит в себе никаких требований на пути, по которому транспортируется поток. Определение

Рис. 7. Максимальный поток при h = 2

Определение 3. Пусть G(X,U, f, c) - сеть с нестандартной достижимостью; c - пропускная способность дуг, т.е. c: U ^ (0,+да); ц - допустимый путь из источника в сток. C каждой дугой u , через которую проходит путь ц, свяжем характеристику v^ (u) -

кратность дуги u на пути ц, определённую равенством Vц (u) = |a_1({u}) .

Определение 4. Пусть G(X,U, f, c) - сеть с нестандартной достижимостью; ц - допустимый путь из источника в сток. Потоком по пути ц будем называть постоянную фц е [0, х>), которая удовлетворяет условию

V (и) 'Фц< c(u) (1)

для любой дуги пути ц .

Ясно, что нулевой поток всегда является допусти-c(u)

мым; фц < min—— .

ыец ^(u)

Определение 5. Поток по пути ц называется насыщающим, если существует такая дуга пути ц, для которой в соотношении (1) выполнено равенство.

Определение 6. Пусть G(X,U,f,c) - сеть с нестандартной достижимостью. Потоком в такой сети

3

5

6

3

3

2

6

2

1

2

3

4

будем называть множество т, элементами которого являются пары вида (ц; фц), где ц - допустимый путь

из источника в сток; фц - поток по пути ц, при этом для каждой дуги графа выполнено условие Е Уц(и) -фц< с(и) .

иец,(ц;фц)ЕТ

Определение 7. Пусть G(X,U, f, c) - сеть с нестандартной достижимостью; т - поток в такой сети. Величиной потока т на дуге u будем называть величину фт (и), определенную равенством

def.

фт(u) = Е фц.

иЕц, (ц;фц )еТ

Определение 8. Пусть G(X,U, f, c) - сеть с нестандартной достижимостью; s - источник; t - сток; т - поток в такой сети. Величиной потока т будем называть величину фт = Ефт (u), равную суммар-

ueU_ (t)

ному потоку по всем дугам, заканчивающимся в стоке.

Теперь мы можем дать определение максимального потока в сети с нестандартной достижимостью.

Определение 9. Максимальным потоком в сети с нестандартной достижимостью называется такой поток ттах, для которого выполнено фтах = max фт .

т

В случае графов и сетей с нестандартной достижимостью меняется не только такое базовое понятие, как «поток», но и понятие «разрез».

Определение 10. Пусть G(X,U, f, c) - сеть с нестандартной достижимостью; s - источник; t - сток; ттах - максимальный поток в такой сети. Разрезом сети будем называть такое подмножество дуг графа, удаление которого разрывает все пути потока ттах.

Заметим, что таким образом определенный разрез может вообще не являться разрезом в обычном понимании (если с сети снимается условие нестандартной достижимости). Действительно, вернёмся к сети с барьерной достижимостью, изображенной на рис. 1. Разрезом этой сети в смысле определения 10 является множество, состоящее из одной дуги (6,5). Ясно, что эта дуга не образует разрез в обычном понимании. Величина максимального потока через этот разрез в сети с барьерной достижимостью при h = 1 равна 3, при h = 2 - 2.

Определение 11. Минимальным разрезом называется такой, все дуги которого насыщены максимальным потоком, т.е. для каждой дуги которого выполнено равенство Е уц(u) • фц = c(u).

«Ец, (ц;фц)Ет

Утверждение о том, что максимальный поток в сети с нестандартной достижимостью насыщает все дуги минимального разреза, не является в этом случае теоремой, а просто следует из определений.

Заметим, что определения 6 и 7 породили функцию фт : U ^ (0, да). Она удовлетворяет условиям, которым должен удовлетворять классический поток в сети. Именно этот подход мы неявно использовали, рассматривая примеры, приведенные выше.

Развёртка позволяет находить допустимые пути на графе и определять кратность каждой дуги пути. В случае графа, приведенного на рис. 1, при к = 1 определяется путь 1 ^ 2 ^ 3 ^ 6 ^ 5 ^ 2 ^ 3 ^ 4, на котором дуга (2,3) имеет кратность, равную 2, поэтому её фактическая пропускная способность становится равной трем. Эта дуга и определяет максимальную пропускную способность этого пути. Ясно, что она разрезает все допустимые пути из источника в сток, поэтому минимальный разрез этой сети с барьерной достижимостью состоит из этой дуги, и его пропускная способность равна 3. При к = 2 с помощью развертки определяется путь 1 ^ 2 ^ 3 ^ 6 ^ 5 ^ 2 ^ 3 ^ 6 ^ 5 ^ 2 ^ 3 ^ 4 , на котором дуги (3,6), (6,5), (5,2) имеют кратность, равную 2, а дуга (2,3) - 3. Поэтому фактическая пропускная способность дуг (6,5) и (2,3) становится равной 2, а дуг (3,6) и (5,2) - 3; минимальный разрез при к = 2 состоит из одной дуги (3,6) или (2,3), а его пропускная способность - 2.

Всё обстоит достаточно просто в рассмотренном примере, но результаты, полученные совсем недавно [9] о ЖР-полноте задачи о максимальном потоке в сетях с нестандартной достижимостью (для большинства её видов), показывают, что для её решения необходимы полнопереборные алгоритмы, использующие, например, метод последовательного насыщения путей (алгоритм прорыва [10]).

Семейство сетей с барьерной достижимостью

Рассмотрим семейство сетей с барьерной достижимостью , и = и0 ^ и^ , /, к)}. Параметр к

управляет высотой барьеров. Для каждой сети семейства можно говорить о её максимальной пропускной способности фтах(к) (определение 9). Имеем числовую последовательность {сртах(к)}, к е N. Как она ведёт себя?

Теорема 1. Для любого семейства сетей с барьерной достижимостью имеет место:

Фтах(1) ^ Фтах(2) ^ "' ^ ФтахО) ^ "'. (2)

Выполнение неравенств (2) очевидно, так как множество допустимых 5 — / путей (обозначим эти

множества

Ф, И))

таковы, что

|а(ОД) 2 |(0,2) 2 2 • • • 2 /) 2 • • •

Действительно, с ростом высоты барьеров допустимый путь может стать недопустимым, а новые допустимые пути не могут появиться. Тогда из определения фтах следуют неравенства (2).

Из определения величины максимального потока следует, что она неотрицательна. Таким образом, последовательность |фтах(к)} - невозрастающая и ограниченная снизу, поэтому она должна иметь предел при к ^ да.

Определение 12. Путь |: [1; п^ ^ и будем называть

безбарьерным на графе с барьерной достижимостью

0(х,и = и0 иив,,к), если |([1;п]N) оив = 0 .

Ясно, что любой безбарьерный путь является путем на графе с барьерной достижимостью при любом к е N.

Теорема 2. Пусть ^Х,и = и0 иЩ иив,/,к)} к е Ы, 5, г - семейство сетей с барьерной достижимостью, тогда

10, если множество безбарьерных путей пусто; максимальному потоку в сети, протекающему через безбарьерныепути. Элементарные пути, на которых имеются барьеры, перестают быть допустимыми (исчезают на графе р(Х ,и = и0 иит иив, /, к)}) при к > |ц([1; п]Ы ).

Если же путь имеет контуры, то преодоление высокого барьера возможно за счёт накопления дополнительной энергии. Это можно обеспечить только прохождением дополнительных витков по контурам, содержащим дуги из множества щ. Как видно из

примера 1, дополнительные витки по контуру приводят к наложению потока на себя и к снижению пропускной способности контура (п-кратная прокрутка снижает ее в п раз). Таким образом, пропускная способность таких путей стремится к нулю при к

Литература

1. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Алгоритм нахождения максимального потока в частично -ориентированной сети // Дискретные структуры и их приложения. Элиста, 1988. С 23-28.

Поступила в редакцию_

2. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Различные виды

смешанной достижимости // Алгебра и дискретная математика. Элиста, 1985. C. 70-75.

3. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Смешанная

достижимость на частично-ориентированных графах // Вычислительные системы и алгоритмы. Ростов н/Д, 1983. C. 135-140.

4. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Смешанная

достижимость на частично-ориентированных графах. Деп. в ВИНИТИ. 1982. № 5892-82.

5. Графы с нестандартной достижимостью. Задачи, приложе-

ния / Я.М. Ерусалимский [и др.]. Ростов н/Д, 2009. 195 с.

6. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях.: пер. с англ. М., 1966. 276 с.

7. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический под-

ход. М., 1978. 432 с.

8. Ahuja R. K., Orlin J.B., Tarjan R.E. Improved time bounds

for the maximum flow problem // SIAM J. Copmut. 1989. № 18. P. 939-954.

9. Ерусалимский Я.М., Водолазов Н.Н. NP-полнота задачи

нахождения максимального потока в графах с дополнительными ограничениями на достижимость // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней мат. школы «Понтрягинские чтения-XXI» (доп. выпуск). Воронеж, 2010. С. 14-15.

10. Ерусалимский Я.М., Петросян А.Г. Многопродуктовые

потоки в сетях с нестандартной достижимостью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Прил. 2005. № 6. C. 8-16.

30 ноября 2011 г