CC BY
10
УДК 519.17
О ВСПЛЕСКАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОТОКА И МИНИМАЛЬНЫХ РАЗРЕЗАХ
© 2014 г. Я.М. Ерусалимский, А.Е. Куликовский
Ерусалимский Яков Михайлович - кандидат физико-математических наук, профессор, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: ymerusalimskiy@sfedu. ru.
Erusalimsky Yakov Mikhaylovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: ymerusalimskiy@sfedu. ru.
Куликовский Александр Евгеньевич - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: fit.aleks@gmail. com.
Kulikovski Alexander Evgen 'evich - Post-Graduate Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected].
Рассматриваются динамические потоки в ориентированных сетях и всплески потока в них. Приведённые примеры показывают, что причиной возникновения всплесков является асинхронность сети, т.е. наличие в ней путей различной длины, ведущих в сток из ближайшего к нему минимального разреза. Получено необходимое и достаточное условие возможности возникновения всплесков динамического потока в сети.
Ключевые слова: ориентированный граф, ориентированная сеть, динамический поток, всплеск динамического потока, асинхронность сети.
The article discusses the dynamic flows in oriented networks and bursts of flow in them. These examples show that the cause of the bursts is asynchronous of the network, i.e. the presence in it of varying lengths ways to the drain from the nearest minimum cut. Obtained necessary and sufficient condition for the occurrence of bursts of dynamic flow in the network.
Keywords: oriented graph, oriented network, dynamic flow, burst of dynamic flow, asynchronous of the network.
Exempla docent -
Примеры учат.
Латинская поговорка
Рассматривается ориентированный граф О(Х,и, /, с), где Хг - множество вершин; и - множество дуг; / и ^ X х X; с и , Я+ = (0;+да). Величина с(и) называется пропускной способностью дуги и .
Обозначим и_ (х) - множество дуг, входящих в вершину х; и+ (х) - множество дуг, выходящих из вершины х .
Напомним определение стационарного потока в сети [1] .
Определение 1. Стационарным потоком в сети 0(Х,и, /, с) называется отображение и ^ Я+ , удовлетворяющее условиям:
I 2 <(и) = 2 <(и); х е X, х Ф 5, х Ф г
)и^и_(х) иеи+ (х) , где 5 -
[о < <(и) < с(и), и е и
источник; г - сток.
Определение 2. Величиной стационарного потока < называется величина V(<), равная суммарному потоку через любой разрез графа О и, в частности,
V(<) = 2 <(и) = 2 <(и).
иеи_ (г) иеи+ (5)
Когда мы говорим о динамическом потоке, то в рассмотрение добавляется дискретное время / е 2 (Ы). Считается, что каждый переход по дуге совершается за единицу дискретного времени (т.е. за один такт).
Приведем определение динамического потока. Определение 3. Динамическим потоком в сети 0(Х,и,/,с) называется отображение <р.их2 ^Я+ , удовлетворяющее следующим условиям: Г Г) = 2<(и,t +1); х е X, х Ф 5, х Ф г, t е 2
)иеи_ (х) иеи+ (х)
|о < <(и,^ < с(и), и е и, t е 2 где 5 - источник; г - сток; t - время.
В случае динамического потока определение величины потока должно быть привязано ко времени и к конкретному разрезу; в качестве такого мы выбрали разрез, состоящий из дуг, ведущих в сток.
Определение 4. Величиной динамического потока < в момент времени t будем называть V(<, Г):
V(<,^ = 2 <(и,^ .
иеи_ (г)
Определение 5. Величиной динамического потока < на интервале [Т1;Т2]2 (далее вместо [Т1;Т2]2 будем писать [Т1;Т2]) называется величина
V(<,[T1,T2]), определенная равенством V(<,[T1;T2\) =
Т2
= 2 V(<, t), т.е. суммарный поток, приходящий в
t=Т1
сток за промежуток времени [Т ;Т ] .
Из определения 4 следует, что величина динамического потока V (<, t) не может превосходить суммарную пропускную способность множества дуг, приходящих в сток (и (г) ), т.е. имеет место оценка
0 < V(< 0 < 2 с(и) . (1)
иеи_ (г)
Определение 6. Всплеском динамического потока в сети в момент времени ^ будем называть V(<, ^), если V(<, ^) превышает величину максимального
стационарного потока в этой сети.
Пример 1. Приведем пример сети и динамического потока в ней, имеющего всплески (рис. 1).
Рис. 1. Динамический поток в сети: а - t = 1; б - t = 2 ; в - t = 3 ; г - t = 4 ; д - t = 5 ; е - t = 6
в
е
д
Будем считать, что пропускная способность всех дуг сети равна 1. Четырехугольной звездочкой обозначаем значение потока, равное нулю, пятиугольной - единице. Значение потока по дуге будет обозначаться соответствующим значком, проставленным около этой дуги. Предполагается, что при t = 0 поток в сети нулевой. Ясно, что величина максимального стационарного потока в этой сети Утах (О) = 2. Всплески рассмотренного динамического потока наблюдаются при t = 4,6,... и их величина равна 4. Из оценки (1) следует, что это максимально возможная величина всплеска в этой сети (¥тах (О)).
Таким образом, для этой сети имеем Vmx(G) = 2-VmxiG) = 4 .
(2)
Этот пример позволяет понять причину возникновения всплесков. Она заключается в наличии путей разной длины, ведущих к стоку из ближайшего к нему разреза с минимальной пропускной способностью.
Пример 2. Рассмотрим ещё один пример, полученный из предыдущего сменой ориентации всех дуг на противоположную. Здесь наблюдается другой эффект. Мы создаем всплески на входе сети, которые сглаживаются ближайшим к стоку разрезом минимальной пропускной способности (рис. 2).
^ * +
Рис. 2. Динамический поток в сети при смене ориентации всех дуг (рис. 1) на противоположную:
а - t = 1; б - t = 2 ; в - t = 3 ; г - t = 4
Приведенные примеры показывают, что наличие путей разной длины на участке между ближайшим к стоку разрезом с минимальной пропускной способностью и самим стоком (асинхронность) является необходимым условием возникновения всплесков динамического потока. Из приведенного ниже примера следует, что асинхронность не является достаточным условием для возможности возникновения всплесков.
Пример 3. На рис. 3 изображена сеть, в которой пропускные способности дуг, обозначенных пунктиром, равны единице, а остальных дуг - четырем. Ясно, что на этом графе всплесков динамического потока быть не может.
Кроме наличия путей разной длины, важны еще пропускные способности дуг и топология участка сети, заключенного между стоком и ближайшим к нему разрезом сети, имеющим минимальную пропускную способность.
Рис. 3. Пример сети, не допускающей всплесков
Мы не обсуждаем здесь связь средней величины динамического потоков с теоремой Форда -Фалкерсона [1] о равенстве величины максимального стационарного потока и пропускной способности минимального разреза сети. Более подробно о средней величине динамического потока и величине максимального стационарного потока (и минимальной пропускной способности разреза) см. в [2 - 5]. Ясно, что величина максимального всплеска динамического
б
в
г
потока может существенно превосходить Vm.1X(О) (см., например, (2)).
Тщательно проанализировав примеры 1-3, можно сформулировать необходимое и достаточное условие для возможности существования в ориентированной сети динамического потока, имеющего всплески. Для этого потребуются определения.
Определение 7. Пропускной способностью с(х) вершины х разреза будем называть суммарную пропускную способность входящих в неё дуг, т.е. с(х) = 2 с(и) .
иеи_ (х)
Определение 8. Ближайшим к стоку минимальным разрезом будем называть такой минимальный разрез, что все пути, ведущие из него в сток, не содержат дуг других минимальных разрезов.
Определение 9. Пусть О(Х,и,/,с) - ориентированная сеть; л - путь из источника в сток. С каждой дугой и, через которую проходит путь л, свяжем характеристику ул (и) - кратность дуги и на пути л ,
определённую равенством у ¡(и) = | Л 1 ({и})|.
Определение 10. Пусть О(Х,и,/,с) - ориентированная сеть; л - путь из источника в сток. Потоком по пути л будем называть такую постоянную рле (0, ж), которая удовлетворяет условию ул(и)-рл<с(и) для любой дуги пути л .
Определение 11. Пусть О(Х,и,/,с) - ориентированная сеть. Потоком по путям в такой сети будем называть множество ¥, элементами которого являются пары вида Л; рл), где л - путь из источника в
сток; рл - поток по пути л , при этом для каждой дуги графа выполнено условие
2 . Ул(и) <л< с(и) . (3)
иел,(л;Рл)е¥
При этом сумму, стоящую слева в неравенстве (3), называют величиной потока ¥ на дуге и .
Известно, что любой стационарный поток, определенный на дугах графа, может быть реализован в виде потока по путям графа [6].
Определение 12. Динамический поток на дугах графа будем называть насыщенным с момента времени Т , если он в каждый момент времени / еТ насыщает все дуги ближайшего к стоку минимального разреза.
Ясно, что насыщенные потоки существуют. В частности, насыщенным потоком является максимальный стационарный поток. Если рассматривается насыщенный поток, то в каждый момент времени через любую концевую вершину дуги ближайшего к стоку минимального разреза проходит поток, равный её
пропускной способности. Этот разрез «выравнивает» поток. Насыщенный поток по своему смыслу является аналогом максимального стационарного потока.
Рассмотрим какой-нибудь максимальный стационарный поток, перейдем к его декомпозиции, т.е. представим его как поток ¥ на путях графа. Зафиксируем концевую вершину y ближайшего к стоку разреза минимальной пропускной способности. Выделим из потока ¥ пути, проходящие через остальные концевые вершины ближайшего к стоку разреза минимальной пропускной способности. Уменьшим пропускную способность каждой дуги графа, находящейся между стоком и ближайшим к стоку разрезом минимальной пропускной способности, на величину потока ¥ по выделенным путям. Полученный граф обозначим G'y¥. Сформулируем теперь критерий существования всплесков динамического потока в сети.
Теорема. Для того чтобы в ориентированной сети существовал динамический поток, имеющий всплески, необходимо и достаточно, чтобы существовали такой насыщенный поток ¥ и концевая вершина y ближайшего к стоку разреза с минимальной пропускной способностью, из которой на графе G'y ¥ ведут
в сток пути разной длины, имеющие суммарную пропускную способность большую, чем пропускная способность этой вершины.
Необходимость этого условия очевидна, а возможность построения потока, имеющего всплеск в этой ситуации, мы продемонстрировали на примере 1.
Занимаясь потоковыми задачами, нельзя не думать о возможных приложениях. Ясно, что дискретность динамического потока, рассмотренного нами, не позволит применить эти результаты к гидравлическим сетям. Автотранспортные сети по существу дискретны. Всплеск динамического потока в них можно рассматривать как «пиковое» увеличение пропускной способности (без возникновения «пробок»).
Литература
1. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях : пер. с англ. М., 1966. 276 с.
2. Водолазов Н.Н., Ерусалимский Я.М. Нестационарный поток в сети // Вестн. ДГТУ. 2009. Т. 9, № 3. С. 402 - 409.
3. Водолазов Н.Н., Ерусалимский Я.М. Максимальный всплеск в сети и максимальный объём сети // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 6. С. 9 - 13.
4. Ерусалимский Я.М. Нестандартная достижимость на ориентированных графах и сетях : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ярославль, 2012. 36 с.
5. Ерусалимский Я.М. Нестандартная достижимость на ориентированных графах и сетях. Теория, приложения, задачи. Palmarium Academic Publishing, 2013. 92 c.
6. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М., 1978. 432 с.
Поступила в редакцию
21 апреля 2014 г.
