CC BY
12
УДК 537.523
© Б.Д. Цыдыпов
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИФФУЗИОННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИЛЬНОТОЧНЫХ КАТОДОВ ПЛАЗМОТРОНОВ.
ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ
В работе представлены постановка и метод решения нестационарной задачи высокотемпературной диффузии и испарения легирующих элементов с нелинейными граничными условиями для катодных узлов генераторов низкотемпературной плазмы.
Ключевые слова: высокотемпературная диффузия, легирующий элемент, термокатод, плазмотрон.
© B.D. Tsydypov
NONSTATIONARY DIFFUSION PROBLEM FOR HIGH-CURRET CATHODES OF PLASMATRONS.
STATEMENT AND METHOD OF SOLUTION
The article deals with the statement and method of solution nonstationary problem of high- temperature diffusion and evaporation of doping components with nonlinear boundary conditions for the cathode units of low-temperature plasma generators.
Keywords: high-temperature diffusion, doping components, thermocathode, plasmatron.
Введение
Одной из актуальных задач в физике и технике сильноточных плазменных систем (СПС) является проблема повышения ресурса катодных узлов, функционирующих в экстремальных условиях по уровням тепловых потоков и плотностей тока [1]. В последнее время для решения данной проблемы широко используются твердотельные электроды, легированные эмиссионно-активирующими компонентами с малой работой выхода электронов [2]. Однако во время работы из-за высокотемпературной диффузии и интенсивного испарения активаторов снижаются эксплуатационные характеристики катодов данного класса. Исследование динамики этих процессов для оптимизации функциональных режимов СПС представляет собой сложную многопараметрическую задачу.
Постановка задачи
Обобщенная диффузионная задача основана на решении системы из трех нестационарных уравнений в двумерном приближении в цилиндрических координатах с нелинейными граничными условиями: уравнений
теплопроводности для всей электродной структуры (катода - тугоплавкой вставки и медного корпуса узла - обоймы), непрерывности тока и диффузии для катода (рис. 1 в [3]). Тепловая задача позволяет определить температурные поля катода ¡\ir.z) и обоймы Т2(г,г) для корректного учета зависимостей коэффициента диффузии /)(/ ) и скорости испарения \\(7 ) при решении уравнения диффузии. Решение тепловой задачи для составного катодного узла представлено в [4].
Двумерное нестационарное уравнение диффузии с учетом нелинейной зависимости коэффициента диффузии от температуры записывается в виде:
V ' &
дt г дг[_ дг \ дг
£(Г) = £0ехр(-%.
к1
Граничные условия к (1) поставлены следующим образом:
(1)
а)
б)
в) -Я(Г)
п (г, г, 0)
п(г, Ь1, t )
По
'-По,
дп(г,0,0
0 <г <ЯХ (1 -??)(«/«м)2/3те(Г),
&
(п1пш)21ъМП
0 < г < г0 г0<г<^
г)
дп(0,г,0 &
= 0,
дп(Я гЛ) ,,,
д) -Б(Т) УУ' = (п / пш)2'ъ
дг дг
= 0,
0<г<£с ЬС<2<Ь\.
Здесь «(г,г,0, £>(?), А), «о, (Л, - соответственно концентрация, коэффициент диффузии, фактор диффузии, исходная концентрация и энергия активации легирующего элемента (присадки), пш - концентрация частиц основного металла (матрицы) катода, - скорость испарения, г| -доля атомов присадки, возвратившихся на катод из приэлектродной области в результате ионно-атомного рециклинга [5].
Метод решения
Уравнение диффузии (1) в рассмотренной выше постановке аналитически не решается, так как является квазилинейным уравнением с переменными коэффициентами. Поэтому для численного решения применяем локально-одномерную схему прогонки метода конечных разностей [6]. Чтобы обойти трудности, связанные с выбором системы единиц измерения, а также в целях универсализации решения, исходное уравнение приводим к безразмерному виду:
Г г & дг г дг дг
£ = ехр (-0/£Г):
(2)
где
Г = /7 Гп
г = г IЬ,
г = г/Я1,
у = п / п0,
Ь = В!В„ в,=О0т0/Ц, С2=П0т0/Я2.
Остановимся на некоторых особенностях поставленной задачи. В данном случае использование явных схем нецелесообразно, так как /)(/ ) является быстроменяющейся функцией и условие устойчивости таких схем х < к2 / 2тах/)(7 ) требует очень малого шага х по времени. Поэтому расчет необходимо вести по безусловно устойчивым неявным схемам с весом 5 > 0,5 [7].
Используя пространственно-временную сетку, введенную при решении тепловой задачи [4], с учетом переменности коэффициента £>{Т), производные уравнения аппроксимируем следующим образом (для упрощения записи знак «тильда» опускаем):
ду ~дт
■уй1
д_ &
дг
1
(А
1+1/2
1 д 1 Г
г дг дг ь2/яХ
А
Уг+1~Уг
И,/ц
Ук+1 ~Ук
-а
:-1/2
-А
Ук-Ук-1
где У7,к =
Уг.к =
Ук-Ук-1 V д, Л+1-Л
■— {Вк-И2-У7,к+Вк+У2-Уг,к\
2 г,.
левая разностная производная в точке ук,
правая разностная производная в точке у к.
/?2 /д,
Коэффициенты И^ут = £>(хг>- 0,5/2и), От+т = 0(хик + 0,5/2и) выбираются из условий второго порядка аппроксимации на полушаге пространственной сетки в точках (хгд - 0,5/212) и (х,-+ 0,5/212) соответственно. Это позволяет устранить немонотонность в решении сеточных функций, появляющихся при использовании полных шагов на пространственной сетке. Применяемая схема является абсолютно устойчивой, монотонной, непрерывно дифференцируемой и имеет погрешность аппроксимации 0 (х + к2).
Уравнение (2) в разностном виде запишется:
уГ1 -у{ =а1[д.+1/2о>£1 --уГ)]/(А /А)2 + +с2[д+1/2«-у^)-ок_1/2(у1+1 -уС^КК/ю2 + (3)
2^
Применяя локально-одномерную схему, вместо уравнения (3) последовательно решаем одномерные задачи с соответствующими граничными условиями
уГ -у{ -уГ)-Ц_и2(уГ-у£)\ик /А)2
(4)
уГ1 -Я =^2[д+1/2«-уП-ок_У2(У1+1 -уЩ)]/^/^)2 + С (5)
соответственно по координатам гиг.
Расчет по координате г
После несложных преобразований уравнения (4) имеем:
Д-1/2 • - (Д-1/2 + А+ш +1 / )+ Ц_тУм = у{ / (Л^) .
Обозначив
А = Д-1/2, = Д+1/2, с, = д_1/2 + д+1/2 + = у1/(м2о,),
получим разностное уравнение вида:
Решение системы алгебраических уравнений такого типа подробно рассмотрено в [4]. Здесь остановимся на деталях аппроксимации граничных условий данной задачи.
После обезразмеривания граничное условие на рабочем торце электрода в разностном виде запишется следующим образом:
' (ВД-К1
Уы Уы-\ ¡г21Ц
w0Z1w (Н,к)-У];1
0 < г < г„
г < г <
М/'о "м ^Ы-У2\УЫ)
Подставив у;(.= ссуу'у1 + в уравнение, находим значение концен-
трации у]ы на новом временном слое:
У]и1 =
^N-1/2 ' Рх
0 < г < г„
(1 - аы)Оы_У2 + Рх у,(М,к) / (^)1/3' Г° < Г <К'
где Р\ = \\,1И\1(1),Л1\ 'X.2 ) - безразмерный параметр; \¥0 - скорость испарения присадки при температуре Т0.
Расчет по координате г
Подставляя в уравнение (5) выражения соответствующих производных из (3), получим
У3?-У3" =7-уп-»к-т(у1+1 - + + „^^[А-шСуГ1 -у£1) +ок+1/2(уГ+1 -уП]-
2к(п2 /щ)
С учетом соотношения М2 = \/{к2/К\)2 имеем
У:1 -у1=с2м2{ок+1/2(У1:\-у^)-пк_1/2(у1+1 -у£)+
-у£) + пк+т(у1:1 -уг1)]}-
Раскрывая скобки, приведя подобные члены и обозначив
Ак=(2к-\)Ок_У2, Вк=(2к+1 )А+1/2, Ск=(2к+ \)Вк+ш+{2к-\)Вк_ш+2к/{С2М2), Рк=2кук/(С2М2), М=ЯА2, получим систему разностных уравнений для значения искомой функции ук на новом временном слое / = |
АуП-скЯ+1 +вкУ£1=-Рк,о<к<м,
где Рк - известная функция, определяемая по значениям функции на предыдущем слое у.
На внутренней границе (к = 0) определяются начальные прогоночные коэффициенты а! и Р1 .Так как на оси симметрии радиальный поток равен нулю, в уравнении диффузии член ——(г/)—) при г—>0 является
г дг дг
неопределенностью типа 0/0. Раскрывая эту неопределенность
1 5 , „ дп. „ ^ д2п
1Ш1--(гБ—) = 2Б—-
г->о г дг дг дг
на оси симметрии для прогонки по г, получаем следующее разностное
уравнение:
у?1 -у1=2С2О0+У2(у^ - 2у30+1 -уП/^/Я,)2. Поскольку З'7, 1 = 3',' 1 , получим
у^-У0=4М2С2П0+У2(уГ1-УП-
Сравнивая с V,' 1 =аху(+1 + Д, находим
а, = 4М2О2О0+1/2 /(1 + 4М2О2О0+1/2), Д =^7(1 + 4М2С2^1/2). Краевое условие на цилиндрической поверхности в разностном виде запишется как
д,«3 д«/2о^)1/3' 15
Исключая , находим граничное значение искомой функции
__^М-1/2 ' Р\!_
с обозначениями
Р2 =^0И2/ ф^п™), Вилп = (Д. - Д.ч) / 2.
При прогонке по локально-одномерной схеме разностные уравнения (4) и (5) преобразуем к алгебраической системе вида А-ьк УЦк)-1 ~ Сг.к Уьк+Вцс У(г,к)-1 = -с условиями Ац,- > 0, В, !: > 0, Сгд > А, /.- Вц( разрешимости системы данным методом. Далее, решение задачи находим по известной формуле [7]: Уьк=а-мУм+\+$м+\, /' = 0,1,2,...,/V-1; £=0,1,2,..., М-1
(6)
_ А/. г, _ ~
а(г,к)+1 " Г _а „ ' ~ г -А а '
Значения начальных прогоночных коэффициентов а! и Р1 определяются на внутренних граничных условиях катода. Затем из других граничных условий вычисляются значения сеточных функций у^м и по формуле (6) - все остальные значения у^. Переход от времени / к / 1 реализуется через последовательное чередование прогонок по координатам г, г. В результате получается двумерное распределение концентрации активатора в объеме цилиндрического катода в зависимости от времени работы плазменного устройства.
Математическое моделирование процессов тепломассопереноса проводится в следующей последовательности. Сначала решается тепловая задача в предположении постоянства эмиссионных характеристик катода. Затем, используя поле температур в системе «катод - обойма», решается уравнение диффузии по составленному выше алгоритму.
Заключение
Поставлена и решена в двумерном приближении задача тепломассопереноса эмиссионно-активирующих элементов термокатодов цилиндрической геометрии. В совместной постановке решены нелинейные уравнения теплопроводности и протекания тока, диффузии и испарения легирующих компонентов. В задаче строго сформулированы граничные условия, учтены нелинейные зависимости коэффициента диффузии и скорости испарения активатора от температуры. Численный алгоритм позволяет рассчитать поля температур Т\ 2(г, ¿) и концентрации п(г, г, исследовать динамику выхода активатора из катодов плазменных устройств в широком диапазоне изменения их рабочих параметров.
Литература
1. Генерация низкотемпературной плазмы и плазменные технологии: проблемы и перспективы / Г.Ю. Даутов и др. Новосибирск: Наука, 2004. 464 с.
2. Электродуговые генераторы термической плазмы / М.Ф. Жуков и др. Новосибирск: Наука, 1999. 712 с.
3. Цыдыпов Б.Д., Баргуев С.Г. Постановка нелинейной термической задачи для сопряженных элементов // Вестник БГУ. Сер. Математика и информатика. 2010. Вып. 9. С. 189-193.
4. Цыдыпов Б.Д. Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Метод решения // Вестник БГУ. Сер. Математика и информатика. 2011. Вып. 9. С. 280 - 284.
5. Динамика паров металла в пристеночных слоях плазмы / М.Ф. Жуков и др. // Доклады АН СССР. 1981. Т.260. №6. С. 1354 - 1356.
6. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
Цыдыпов Балдандоржо Дашиевич, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник Института физического материаловедения СО РАН, 670047, г. Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 6. Тел.: (3012) 432282, e-mail: lmf@ipms .bscnet. ru
Tsydypov Baldandorzho Dashievich, doctor of technical sciences, leading researcher, Institute of Physical Materials Science SB RAS, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanova Str., 6. E-mail: [email protected]
