Statement of nonlinear thermal problem for the system of conjugate elements Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.523 ББК 22.19

© Б.Д. Цыдыпов

Отдел физических проблем Бурятского научного центра СО РАН, Улан-Удэ E-mail: [email protected]

© С.Г. Баргуев

Бурятский филиал Сибирского университета телекоммуникации информатики, Улан-Удэ

E-mail: [email protected]

Постановка нелинейной термической задачи для системы сопряженных элементов

В работе представлена тепловая задача для осесимметричного катодного узла генераторов низкотемпературной плазмы. Тепловая задача основана на решении двумерного уравнения нестационарной теплопроводности с нелинейными граничными условиями для системы вставка -обойма с учетом всех видов энергообмена с внешней средой.

Ключевые слова: оптимизационная задача, тепловой поток, энергообмен, генератор,

низкотемпературная плазма.

© B.D. Tsydypov

Department of physical problems of Buryat Scientific Center of SB RAS, Ulan-Ude

© S.G. Barguev

Buryat branch of Siberian University of Telecommunication and Information, Ulan-Ude

E-mail: [email protected]

Statement of nonlinear thermal problem for the system of conjugate elements

The article deals with the thermal problem for the axis-symmetrical cathode assembly of generators of low-temperature plasma. The thermal problem is based on solution of two-dimensional unsert-sleeve system with consideration of all types of heat transfer between the electrode assembly and the ambient environment.

Key words: problem of optimization, heat flux, energy transfer, generator, low-temperature plasma.

Введение

Развитие вычислительной математики и ее приложений в значительной степени связано с необходимостью решения крупных физико-технических проблем. Одной из таких задач является математическое моделирование функциональных режимов сильноточных плазменных систем (СПС), работающих в экстремальных условиях по уровням радиационных излучений и тепловых потоков [1]. Решение ее требует многопараметрической оптимизации токовой нагрузки и радиационного потока из плазмы, электро- и теплофизических свойств материалов, геометрических размеров и характеристик теплообмена катодного узла, представляющего сложную конструкцию в тепловом поле большой интенсивности в 103 - 105 Вт/см2 [2, 3]. Оптимизация на основе прямых натурных экспериментов является чрезвычайно трудоемким и дорогостоящим процессом, а цена ошибок и просчетов в эксплуатации «изделия в единственном экземпляре» недопустимо высока.

Теоретический подход к данной проблеме основан на решении уравнения нестационарной теплопроводности

дТ

ср— = div(A, grad Т) + qv (1)

dt

с нелинейными граничными условиями с учетом основных видов радиационного и термического энергообмена электродной системы с внешней средой. Здесь Т -температура, с - удельная теплоемкость, р - плотность материала, X - коэффициент теплопроводности, - объемная плотность внутренних источников и стоков,

обусловленных различного рода физико-химическими процессами выделения и поглощения энергии.

Постановка задачи

На рис. 1 показана полуплоскость осевого сечения расчетной модели типичного осесимметричного катодного узла плазменных устройств, составленного из двух соосно сопряженных элементов с различными физико-механическими свойствами. Для СПС наиболее работоспособными являются конструкции, состоящие из стержневого электрода -вставки I из тугоплавкого металла (например, из чистого или активированного вольфрама), запрессованного в медный цилиндрический корпус держателя - обойму II [4]. Длина вылета катода из обоймы варьируется от Ьс = 0 (заделка заподлицо) до Ьс / й1 >>1 (длинный катод). В [5] показано, что при анализе энергообмена для таких электродных узлов в источниковом составляющем уравнения (1) определяющим является вклад джоулевой диссипации энергии. Поэтому температурное поле в осесимметричном катодном узле находится совместным решением уравнения (1) в виде:

ск Р к

дТк

дї

1 _д_ г дг

дТк г%к (Г)-

дг

+ -

_д_

дг

х к (т )5Гк

дг

и уравнения непрерывности тока

1 _д_

г дг

/ -2 . -2\1/2 Л = Ог + Л) ,

г о к (Г)Ъх}"

дг

+ -

_д_

дг

о к (г )

дг

+ Л2/ О к (Г)

0,

(2)

Лг = -ок (Г )дик /дг, = -ок (Г )дик /дг

для вставки (к = 1) и обоймы (к = 2).

В расчетной схеме (рис. 1) на рабочий торец стержневого термоэмиссионного катода (г = 0) в пределах круга радиуса г0 поступает осесимметричный тепловой поток, моделирующий термическое воздействие плазмы разряда: д0 = F(r), где Г(г) - в общем

случае известная функция, г и г - цилиндрические координаты. Граничные условия к уравнению (2) поставлены следующим образом.

1) на рабочем торце вставки (поверхность ОА) реализуются теплоперенос из дугового разряда на катод, теплообмен с газовой средой и излучение по закону Стефана-Больцмана

-дo, 0 < г < го

ав (Ті - Г8) + еДТ )а, (ТХЛ - Т/), Го < г < Я і

2) на горячем торце держателя (ВС) происходит теплообмен с газом

МТ) М=]

дг

(4)

дТ (Г Т )

Х2(т)_2(_1^ = а (Т 2-Т8), Я і < г < Я 2 (5)

дг

3) холодный торец держателя (КЕ) охлаждается жидкостью

дТ (Г Т )

К(Т)—= -а. (Т 2 -Т.), о < г < Я 2 (6)

4) на цилиндрических поверхностях вставки (АВ) и держателя (СЕ) осуществляются конвективный теплообмен и излучение по закону Стефана-Больцмана

Хі(Т) 1(, 1,г) = -а,(Ті -Т8)-Єі(Т)ств (Ті4 -Т4), 0< г <- (7)

ЭТ1(Я1,г) = а (Т Т ч „ ^4 ^4,

= -а г (Т1-18,

т 2(Я 2, г) =-а

Эг а *(Т 2 ^

дг

X2(Т)дТ^2’г) =-а' (Т2 -тг), Ьс < г < Ь (8)

5) на оси симметрии катодного узла (ОК) радиальный тепловой поток равен нулю

= 0, 0 < г < Ь (9)

дТ„ (0, г)

дг

Уравнение (3) решается для катода с граничными условиями:

1) на рабочем торце катода (ОА)

I

ди 1(г ,0)

®і(Т )-

дг

-, 0 < г < г

пг0

0

(10)

[а го <г < я!

2) на холодном торце (ЬН)

и 1(г,Ь1) = 0,0 < г < Я1 (11)

3) на цилиндрической поверхности (АН)

ди 1(Ярг} = 0, 0<г <Ьс (12)

дг

иг(Я!,г) = 0, Ьс <г <Ьх (13)

4) на оси катода (ОЬ)

ди‘(0,г} = 0, 0<г <Ь1 (14)

дг

В выражениях (2) - (14) приняты следующие обозначения:

ик - потенциал электрического поля, стк(Т - удельная электрическая проводимость, I -разрядный ток, ]к - плотность тока, ств - постоянная Стефана-Больцмана, £к(Т) - степень

черноты, а8, а - коэффициенты теплоотдачи газу и жидкости, Т&, Т-^ - температуры газа и жидкости.

Отметим особенности поставленной задачи.

1. Система уравнений (2) и (3) с граничными условиями нелинейна, так как коэффициенты 'ки(Т), £к(Т) и стк(Т) зависят от температуры. Поскольку зависимости 'ки(Т) и £к(Т) слабые, в практических расчетах ими можно пренебречь. Важен учет зависимости стк(Т). Например, для вольфрамового электрода при изменении температуры от 300 до 3660 К ст1 уменьшается примерно в 20 раз, Х1 - 1.4 раза, а е1 увеличивается в 2 раза [6].

2. Решение уравнения (3) позволяет корректно учесть мощность объемного источника тепла. При использовании в электродном узле элементов W - Си в силу соотношений ст1 << ст2 и ]1 >> ]2 уравнение непрерывности тока решается только для вольфрамовой вставки. Эти же соотношения учтены при постановке граничных условий (11) и (13), т.е. на всей поверхности контакта двух элементов конструкции и(г,1) = 0. По локальным значениям плотности тока ]1(г,1) вычисляется джоулево тепловыделение в катоде.

3. Удельный тепловой поток #0 и радиус пятна г0 находятся из эксперимента или же из совместного решения замкнутой системы уравнений, описывающих катодные и

прикатодные процессы. Граничное условие (4) при 0 — г — Г соответствует случаю, когда #0 и г0 определяются из экспериментальных данных кондуктивного теплового потока в катод. Ввиду отсутствия точных данных по распределению ^0(г,0) и ]1(г,0) для определенности считаем их постоянными в пределах катодного пятна, а вне пятна равными нулю, т.е. аппроксимируем ступенчатой функцией Хевисайда

интегральный тепловой поток. При обобщенной математически замкнутой постановке задачи [5] #0 и г0 вычисляются из энергобаланса на катоде, учитывающего тепловые потоки, отводимые электронами эмиссии, испаряющимися атомами металла и радиационным излучением с активной поверхности, а также тепловые потоки в катод, подводимые ионами, «обратными» электронами и атомами, излучением из плазмы разряда и др. Кроме этих составляющих баланса на величину и знак #0 сильное влияние оказывает джоулев нагрев внутри катода [7].

4. Граничные условия задачи также нелинейны - для высоких температур, реализующихся в термоэмиссионном режиме, доля лучистой энергии с поверхности катода достаточно велика [3, 4].

5. Условия сопряжения элементов катодного узла зависят от метода их соединения. Наиболее простой вариант - идеальный тепловой контакт, когда выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

где п - нормаль к внутренней границе, совпадающая с координатой г на поверхности ЬИ с координатой г на ВН.

Тепловая задача в данной постановке аналитически не решается. Поэтому используется численный метод конечных разностей с локально-одномерной схемой прогонки [8]. Метод позволяет строго учесть все рассмотренные выше факторы, такие как двумерность задачи, нелинейности граничных условий, зависимостей тепло- и электрофизических свойств материалов от температуры и неравномерность распределения тока в объеме электрода. Область интегрирования I - II разбивалась на несколько простых областей (рис. 1) и смежные области «сшивались» едиными граничными условиями. Применены неявные

где постоянная а0 принимает значения соответственно % =йПО2 и І0 = I/ПО2, й

т і = т 2

(15)

(16)

двухслойные консервативные разностные схемы, где уравнения и граничные условия аппроксимируются со вторым порядком точности. При этом для устранения немонотонности в решении сеточной функции коэффициенты разностного уравнения выбирались на полушаге пространственной сетки. Численный алгоритм позволяет рассчитать температурное поле Tk (r, z) во всей системе вставка - обойма.

В последующих работах будут представлены метод решения задачи и результаты математического моделирования.

Литература

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

2. Fauchais P., Vardelle A. Thermal plasmas // IEEE Trans. on Plasma Sci. 1997. Vol. 25. № 6. P. 1258-1280.

3. Дресвин С.В. Генераторы низкотемпературной плазмы // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том II / под ред. В.Е. Фортова. М.: Наука, 2000. С. 280-328.

4. Жуков М.Ф., Засыпкин И.М., Тимошевский А.Н. и др. Электродуговые генераторы термической плазмы. Новосибирск: Наука, 1999. 712 с.

5. Цыдыпов Б.Д. Динамика нестационарных процессов в сильноточных плазменных системах. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2002. 268 с.

6. Амосов В.М., Карелин Б.А., Кубышкин В.В. Электродные материалы на основе тугоплавких металлов. М.: Металлургия, 1976. 224 с.

7. Цыдыпов Б.Д. О критериях теплового состояния термокатода // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. Вып. 18. С. 87-94.

8. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.