CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XV 19 8 4
№ 2
УДК 533.6.011
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ГАЗОДИНАМИКЕ И СИЛЬНОВОЗБУЖДЕННЫЕ МОЛЕКУЛЫ
Н. К. Макашев
Показано, что в случае выполнения обычно используемого критерия равновесности течений многоатомных газов—малости времени (длины) релаксации по сравнению с характерным временем (масштабом) течения—пространственно неоднородное поле температуры газа может приводить к значительному отклонению населенностей верхних энергетических уровней молекул от их локальноравновесных значений.
Хотя относительное число высокоэнергетичных молекул невелико, а их непосредственный вклад в плотность, среднемассовую скорость, температуру или внутреннюю энергию газа мал, процессы с участием таких молекул играют важную роль в течениях многоатомных газов. Например, многие химические реакции имеют энергетические пороги в несколько электронвольт [1]. Это значит, что молекулы, вступающие в такие реакции, должны иметь энергию какой-либо из степеней свободы, значительно превышающую среднюю тепловую энергию порядка где А — постоянная Больцмана, Т —температура газа, т. е. принадлежать так называемым „хвостам“ функций распределения молекул по их энергиям. При наличии в газе высокопороговых реакций значительное количество энергии может быть запасено в молекулах—продуктах этих реакций. Процессы релаксации, возобновляя число высокоэнергетичных молекул, служат при этом каналом, по которому энергия передается от основной массы частиц к находящимся на „хвостах“ функций распределения, а от них—к молекулам—продуктам реакций. В результате, оказывая влияние на кинетику химических реакций, „хвосты" функций распределения могут повлиять не только на состав газовой смеси, но и на поток тепла к каталитической поверхности, тягу ракетных двигателей и т. п.
С другой стороны, поскольку величина квантов вращательных или колебательных уровней изменяется с ростом номера уровня, населенности верхних уровней могут определять ход таких селективных по величине кванта процессов как межмолекулярная передача внутренней энергии, поглощение или испускание излучения определенной длины волны, разделение изотопов и т. п.
Сказанное определяет актуальность рассматриваемых в работе вопросов. Ранее в работах [2—5] были исследованы свойства „хвостов“ функций распределения молекул по их скоростям. В данной работе, которая является развитием [6], рассмотрены некоторые особенности формирования равновесных распределений на верхних энергетических уровнях при наличии сильно неоднородного поля температуры газа Т.
Для анализа привлекались простые модели релаксационных процессов, позволяющие получить наглядные результаты. В частности, предполагалось, что релаксирующие многоатомные молекулы составляют небольшую примесь в газе одноатомных частиц, что позволяет учитывать лишь один релаксационный процесс (например, колебательно-поступательную релаксацию без колебательно-колебательных обменов).
1. Для того, чтобы выявить основные качественные особенности механизма возмущения „хвостов* локально-равновесных распределений под влиянием градиента температуры газа, рассмотрим свойства решения простого модельного уравнения
ОУ,
дУ,
В](Т)-У,
Д,(7’) = (2У + 1)ехр(— Е]!кТ)
__
£(2М + 1)ехр(—£м/£7) м
-1
(1.1)
которое согласно [7] удовлетворительно описывает процесс вращательной И — Т релаксации. Здесь У/ — ги/п, йу —числовая плотность молекул на У-м вращательном уровне, /г==Е«у, т^ —время релаксации, ^ — вязкость, р — давление газа, Z^г — столкновитель-ное вращательное число, В/(Т) — локально-равновесное распределение молекул по вращательным уровням с энергиями Е/ =
— Л0дУ(У+1), 6# — характеристическая температура, « — скорость газа. Для стационарных течений перепишем (1.1) в интегральном виде
К, = Г ДО) ехр (- | + | ехр йз , (1.2)
где х—координата в направлении скорости газа.
Пусть масштаб течения совпадает с масштабом изменения температуры газа £г~| I-1, который удовлетворяет нера-
венству
Гт-»4и* = 4 (1.3)
В (1.3) и далее звездочками сверху обозначаются характерные значения величин, /д—длина релаксации для модели (1.1). Неравенство (1.3) совпадает с обычно используемым условием равновесности течений многоатомных газов с конвективным переносом частиц.
Предположим, что Д/ изменяется на свою величину на масштабе Ь*г вместе с и и другими параметрами газа. Так как при
входящие в (1.2) интегралы определяются значениями
подынтегральных функций в небольшой, размером порядка /у? окрестности точки х, разложим Bj, и около этой точки по степеням (s — х). В результате вместо (1.2) запишем
у (у\ ГГ, , d\nBj(x) 1 (s — x) 1 ,
Vj(x)~ ^r{x)u(x) J [н-----^-----(S—л:) + . . . exp -;R{x)u(x)\ds-
0
Выполнив интегрирование и опустив экспоненциально малые члены, окончательно получим
Л din В, \ / \
Yj{x) = Bj(\ — ^----Ь • • .)=6/(l-----w—TRu^lnT+ ...J (1.4)
Здесь E° — ZBjEj — равновесное значение средней внутренней энергии молекул. Неравновесная поправка к Yj, связанная с градиентом Т, по своему построению должна быть малой в сравнении с единицей, как это обычно и считается, если выполнено условие
(1.3).
Однако нетрудно видеть, что для уровней с энергиями
Ej ~ с = kT* (Lt/xr и*) (1.5)
поправка не мала, а распределение Yj согласно (1.4) может принимать не имеющие физического смысла отрицательные значения (если иу1п7’>0). Следовательно, для энергий Ej^E*Rc алгоритм, приводящий к решению (1.4), ошибочен.
Причину ошибки просто установить. В силу экспоненциальной зависимости Bj от отношения EjjkT при выполнении условия (1.5)
масштаб изменения функции exp J* сравним с масштабом
изменения Bj. Поэтому при интегрировании в (1.2) нельзя считать, что Bj изменяется медленнее, чем экспонента ехр J d<3jlR «j .
В простейшем случае учет этого обстоятельства осуществляется так. Поскольку при | х — s | ~ 1*r < Lt справедливо выражение
[Е, — Е° дЫТ I
Bj (S) -Ду(х)еХР[ —kT(x) (S - X) + ■ ■ .
то, пренебрегая изменением xR, и на масштабе l*R, будем иметь
f-.fw ,е,р(1г - * W
J ^R(s)u(s) J T/?(s)u(o)
0
Л
bj(x\ f (s — x) I Ej-EP(x) ■ ' Й1п^(л;)\п .
R{x)u(x) J exp %R(x)u(x) ( ^ kT{x) ''*(*)“(*) dx )J
Выполняя интегрирование и опустив экспоненциально малые членыг в главном приближении получим
Вг(х) £, — £0
У у (■*)=~лу(х)~ ’ А/=1-1- т;/гау1п7’. (1.6)
Решение (1.6) справедливо для Д/(л;)> 0. Согласно ему распределение YJ значительно отличается от Ду для энергий EJ^E*RtC, несмотря на выполнение неравенства (1.3). Для EJ<^ER,C из (1.6) переразложением получаем решение (1.4).
Физическая причина отличия У/ от Ду на верхних уровнях заключается в следующем. Как уже отмечалось, масштаб изменения Ду уменьшается с ростом Ду. Непосредственное вычисление показывает, что это уменьшение масштаба описывается зависимостью
LУ = \v\nBJ\-^Lт{kT*|EJ), Е;>кТ. (1.7)
Распределение Гу может быть близким Ду лишь тогда, когда длина релаксации много меньше 1*7, т. е.
4 и* «1*7- (кТ*!Е^ или EJ<^E*R,C (1.8)
При нарушении условия (1.8) для энергий Д/~£я, с масштаб изменения Д, совпадает с 1*К, и неупругие столкновения молекул не в состоянии поддерживать локально-равновесное распределение по уровням. Неоднородность поля температуры играет здесь особую роль: в силу (1.7) именно масштаб изменения Т определяет масштаб изменения Ду при Ду>£7\ А характер зависимости /.у7 от величины Ду определяет тот факт, что появление сильного отклонения Уу от Ду вследствие влияния градиента температуры возможно в течениях, параметры которых удовлетворяют обычному критерию равновесности течений многоатомных газов.
Все сказанное о физических причинах отклонения У/ от локально-равновесных распределений в течениях с переменной по пространству температурой газа справедливо и в отношении других типов течений и других моделей релаксации, некоторые из которых рассмотрены ниже. Разница заключается только в определении соответствующих длин релаксации.
Вернемся к рассмотрению свойств решения уравнения (1.1). Выражение (1.6), хотя и описывает значительные отклонения Уу от Ду, соответствует решению, которое обладает важным свойством, аналогичным такому же свойству решения (1.4): согласно (1.6) распределение Ку является локальной функцией параметров, определяющих состояние газа. Свойство локальности У1 может нарушаться в течениях, где газ движется в сторону уменьшения Т. Действительно, при выполнении (1.5) и для иу1пГ<0 в силу возрастания Ду(в) с уменьшением « подынтегральное выражение в (1.2) может иметь максимум не в точке х (этому случаю соответствует решение (1.6)), а в некоторой точке х0<С*. Если х0 > 0, то, пренебрегая
3—* «Ученые записки» № 2 за
первым членом в правой части (1.2), в главном приближении найдем
причем точка х0 определяется из условия А/(а’0) = 0.
С помощью (1.9) легко объяснить нелокальность У/. в более горячих областях течения молекуле энергией Д/—£* настолько больше, чем в холодных, что релаксация не успевает уменьшить их число в соответствии с уменьшающейся величиной локальной температуры. Эта причина возникновения нелокальных свойств является общей для течений других типов и других процессов релаксации (см. ниже и [2, 3, 5]).
Иллюстрацией сказанному служат приведенные на рис. 1—3 результаты расчетов решения уравнения (1.1) для различных течений.
Функция Л/ = Уу/5у характеризует отклонение распределения Уу от локально-равновесного. На рис. 1, 2 показаны результаты
\ Т/То=0,тЗ;Хк и/10 = 0,0705
os Рис. 2
Рис. З
расчета ^—Т релаксации малой примеси [азота (0#= 2,879 К) в изоэнтропическом дозвуковом течении одноатомного газа с параметрами
Здесь а — скорость звука в газе-разбавителе, £0—размер, определяющий масштаб изменения Т. На рис. 1 для х4 = 1,214 сплошной кривой показано решение, полученное для начального условия ЛДл-, = 1) = 1,0, штрихпунктирной—то же, но для начального условия /?у(х^ = 1) = 5,0, штриховой кривой—локальное решение (1.6). На рис. 2 в тех же обозначениях показана эволюция А/ вниз по потоку для вращательных уровней с У=1, 11, 21, 31.
Согласно [6] функции Л/ имеют собственное эффективное время релаксации х^Ау1, которое для иу1пГ>0 стремится к нулю при EJ|kT-> оо. Поэтому связанное с влиянием начального условия отклонение Л/ от решения (1.6) затухает тем быстрее, чем выше номер вращательного уровня. Это непосредственно видно из приведенных результатов.
В рассматриваемом течении локальный масштаб изменения температуры Ьт= | V 1п Т\_1 растет вниз по потоку. Это приводит к увеличению энергии Е*я с и уменьшению возмущения Б/ для заданного значения У. Данные на рис. 2 иллюстрируют это обстоятельство.
На рис. 3 приведены данные расчета К— Т релаксации малых примесей азота и водорода (0« = 87,66 К) в свободных струях одноатомного газа, параметры которых заимствованы в [8, 9]. Входящая в определение (1.10) координаты хх и величины К0 длина Ь0 считалась равной начальному радиусу струи. Значения Т0 и К0 полагались равными соответственно 100 К и 10-2. Отношение где
Лу получены при условии Л/ (л:, = 1) = 1,0, а Л) —при Л/ {хх= 1) = 5,0, обозначено Д. Сплошные и штриховые кривые соответствуют азоту №2, штрихпунктирные кривые и кривые с кружками—водороду Н2. В точке л1=1,202 отношение Г/7'0=0,557, т/ги/Х0=:2,77-10~2. В точке л:1 = 1,402 имеем 7’/7’0=0,454, т и//,0=4,19-10~2. Вязкость газа здесь, как и в случае течения (1.10), предполагалась пропорциональной Т.
2. Рассмотрим в рамках модели (1.1) течения, где в перенос молекул конечный или основной вклад вносит диффузия (пограничный слой, слой смешения, теплопередача в многоатомном газе и т. п.). Здесь вместо (1.8) в качестве условия поддержания в газе распределения Б/ следует записать
поскольку скорость переноса частиц—скорость диффузии порядка скорости звука, умноженной на величину числа Кнудсена, в данном случае оценивается так
7’=Г0(1 - 0,25/*?), т0= 100 К, хг =х/Ь0 1;
*о = (** а)Хі=і/Л„ = 0,1.
} (1-Ю)
Гг (кТ*!Еі) » 4 а* (/о/Гг)(Е^кТ*),
(2.1)
V} % а* (10/Ь‘У) =» а* (1*0,Ът) (£>/£Т*).
(2.2)
В (2.1) и (2.2) Со — длина пробега молекул. Согласно (2.1) сильное отклонение У/ от BJ следует ожидать для энергий EJ, удовлетворяющих условию [6]
где £)* = а* 1о — характерное значение коэффициента диффузии. Энергия если выполнено обычное условие равновесности
таких течений
Все эти выводы подтверждаются решением уравнения (1.1) для Уу, которое при выполнении (2.4) и для уровней С в главном приближении имеет вид
Величины D вместе с параметрами газа меняются на масштабе
имеет существенно меньший масштаб изменения по координате л;. Это упрощает исследование свойств решения уравнения (2.5).
Пусть температура газа Т монотонно уменьшается на масштабе Ьт от величины Т0 до Тт<^Т0. Сделаем замену переменных г=Т0/Т. Тогда в главном приближении с учетом (2.4) уравнение (2.5) можно записать следующим образом:
координата z меняется от z = 1 до zm > 1, функции q(z) и b (z) на этом интервале изменяются на свою величину. Граничные условия на У наложим, исходя из предположения о локальном равновесии на границах рассматриваемого течения: У (l)=&t exp (—Л0), Y(z=zm)= = bmexp(—-A0zm). Если e2A%q2(z)^l для 1 <z<zm, соответствующее решение почти для всех 2>1 в главном приближении имеет вид
Не учитываемое в (2.6) влияние „холодной11 границы на У проявляется в небольшой окрестности точки гт.
Ej~E^d = kT* {L*TlV-%D*),
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Ст. Как будет видно из дальнейшего, распределение У/ при Ej^kT
$2 ?3(2:)~їг= Y~ *Ф)ехР(~ г),
где
b(z) = Bjexp(A0z), Л0 = -^-> 1,
Ь(г) ехр (— А0г) _ h е*Р (—Л) 1)
1-в*А%дЦг)
• (2-6)
Из (2.6) видно, что Y) близко к Bj только при гЛ0<1, т. е. для Ej<^E*r d. Конечное отличие Yj от Дг имеет место для £Л0~1, когда Ej~Er d. Для таких энергий Yj теряют локальные свойства, так как влияние „горячей11 границы сказывается практически во всей области течения. Наиболее сильно свойство нелокальности Yj проявляются для Ej^>ERd, т. е. при еЛ0>1. Здесь при (г—1)—1 первым членом в правой части (2.6) можно пренебречь по сравнению со вторым и записать
Yj bx exp (— Л0) exp ^ - | » b (z) exp (— Л 0 z) = Bj.
3. Выше исследовалась простейшая модель процесса релаксации, не учитывающая зависимость вероятности неупругого процесса при столкновениях молекул от энергии уровня и ограниченное число квантов внутренней энергии, которыми молекулы обмениваются в неупругих столкновениях. В связи с этим рассмотрим более реальную модель релаксационного процесса, а именно колебательно-поступательную V—Т релаксацию молекул-гармонических осцилляторов, происходящую за счет одноквантовых переходов, вероятность которых растет пропорционально номеру уровня [10].
Колебательно-поступательная релаксация в течениях с конвективным переносом молекул описывается уравнением [10]
DY" :Zc(P:^Ya^~Pl-lYa + Paa+1Ya+l-P:+1Ya), (3.1)
Dt
где 1'а = па/п, пл — числовая плотность молекул на а-м уровне, п = Ей,*, Zc—частота столкновений, Р\—вероятность V—Т перехода а -> (3, обладающая свойствами
РГ1 = аР? = Р1-1 ехр (Е^Т), (3.2)
где Ех — колебательный квант. Следуя [10], сложим уравнения (3.1) для я от 0 до р — 1 и получим выражение
_ exp (- - A.) Y-------------2
00
у рР—1 Jmi Dt
откуда по индукции найдем
Здесь В* — локально-равновесное распределение для гармонических осцилляторов. Так как 2д*Ха = 0, то
Предположим, что Ха<С1- Условия, необходимые для этого, будут ясны из дальнейшего. При температурах таких, что Е{>кТ, основной вклад в сумму DYv|Dt дает слагаемое при р = 5, т. е.
Еъ DlnT k Т Dt
Тогда с учетом (3.2) из (3.3) и (3.4) получим, что
Ех 1 £>1п 4iM* Ех
го~ kT Zcp0 Dt ~ ^ kT*.
XR, 1 — z* рО* )
(3.5)
1 DlnT
/л Хо - у рО Dt
Г\
I* kT*
Таким образом, ХоСЬ если хк1и*/Ь*т<^ЬТ*/Е1<С\, а (хя| перестает быть малой величиной для уровней с энергиями
причем Ev.c^kT*, если выполнено обычное условие равновесности таких течений: Согласно (3.5) в течениях, где темпе-
ратура падает вниз по потоку, Уа больше Ва, и наоборот, в течениях с ростом Т населенности Уа меньше Ва.
Физический смысл оценки (3.6) может быть установлен следующим образом. Пусть течение стационарно и Din T/Dt=u\[In Т<0. При Ya~Ba на расстояниях AZ. ~ L*T(kT*IEa) происходит конечное уменьшение числа молекул, обладающих энергией~ЕЛ. Это уменьшение—следствие потери молекулами доли своей колебательной энергии — из-за V—T переходов. Если E^kT и иу1пГ<0, то имеет место преимущественное „движение" молекул вниз по колебательным уровням (см. (3.2)). Из-за одноквантовости V — Т переходов1 время, необходимое для того, чтобы молекула „прошла" интервал энергий — Еа, равно произведению характерного времени одноквантового перехода на число таких переходов, т. е. (ZcPl~1)~1 (EajE1)^(ZcPi)-i—xja. За это время рассматриваемый газовый объем пройдет расстояние Если ДL — что
выполняется для энергий (3.6), релаксация не успевает поддержать локально-равновесное распределение и отличается Вна свою величину.
Для высоких температур, когда Et<^kT, „движение" молекул вниз по уровням эффективно замедляется за счет сближения величин вероятностей переходов а-*-(а— 1) и а ->(а-|- 1) и увеличения вследствие этого потока молекул вверх по уровням. В результате скорость движения молекул по уровням составляет величину порядка EJkT по сравнению с ее максимально возможным значением. Поэтому время „ухода" молекул из диапазона энергий—ЕЛ здесь
1 Это обстоятельство не было учтено в [6], что привело к выводу о сохра нении Ва в течениях с конвективным переносом частиц.
Ea~Ev,c = kT* (L*rh*R i и*),
(3.6)
равно (2СР1 *) 1(кТ/Е1)(Еа1Е1)^(1сР01) 1 (*7'/£,1) — а условие
конечного отклонения Уа от Ва имеет вид ДА— и вЬШ0Л'
няется для энергий
Еа ~ Еу, с = Ех (Ь’т/и*) г; рГ. (3.7)
Оценка (3.7) подтверждается решением системы уравнений (3.1), которую, воспользовавшись малостью отношения Ех1к.Т, можно привести к уравнению типа уравнения Фоккера— Планка [10]
DY Ег ро_д_ Dt — kT дЕ
(3.8)
В случае E^kT уравнение (3.8) преобразуем к уравнению для функции F = Y[B
/АТУ U'T dF „ kT 1 Dill Г . kT kT 1 DF
д& пл дЕ —‘ Et Zcp\ DT 1 E Ei ZCP\ Dt ’ решение которого при условии
* *
kT* 1 //* kT ZD с и
Д»=-^--ЛпгЛ---------U----^4— «1 (3.9)
* £Г Z*pO* L*T £«c Z, ^ V ’
оо
будем искать в виде разложения F = '^FM Д‘. Главный член раз-
г=о
ложения удовлетворяет уравнению
_^=_Я°>-А_ д = -*!.. 1 -РЧГ^д.
<Э£ 1 kT ’ Ех zc Р\ Dt *
и, следовательно, имеет вид Р<°) = Сехр(—ДEjkT). Постоянная С выбирается из условия нормировки: j" Y (Е) dE = 1, откуда С =
= 1 + 0(Д*).
Таким образом, для течений, которые в силу (3.9) принято считать равновесными, в условиях высоких температур получаем следующее распределение молекул—гармонических осцилляторов по их колебательным уровням
Ya~ итехр
Ел / . kT 1 Din Г
kT I El ZcP\ Dt
(1 + 0(Д*)). (3.10)
Согласно (3.10) локально-равновесное распределение нарушается для энергий Е*~Е*ч, с ~ ^Г*/Д* > №*. Важной особенностью решения (3.10) является то, что оно обладает локальными свойствами при Ел~Е*у, с даже в том случае, если рассматривается движение газа в сторону уменьшения Т.
4. Сделаем несколько замечаний по поводу полученных выше результатов.
На „хвостах" распределений растет величина флуктуаций числа молекул с внутренней энергией Е^кТ. Флуктуациями можно
пренебречь и использовать описание на уровне функций распределения молекул по Еь, если выполняется условие
nl%i exp (— EJkT) » 1, (4.1)
т. е. если велико число молекул с энергией Et в интервале ДEt—kT и объеме где 1щ — длина релаксации таких молекул. В (4.1)
учтено, что масштабом, на котором происходит исследуемое отклонение населенностей энергетических уровней от их локальноравновесных значений — яехр(— EJkT), является длина релаксации 1щ. Величина lRi зависит от рассматриваемого процесса релаксации и вида течения (см. выше),
При заданной величине отношения EJkT условие (4.1) можно записать как ограничение на числовую плотность газа N. Пусть, например, lRi — 1%N0/N, где ^/„ — характерное значение N, 1% — длина релаксации при N = N0. Тогда для величины N получим условие
N « N0 YW exp (- EJ2kT), (4.2)
где К =/г/А'’—относительная концентрация релаксирующих молекул. Сильное отклонение от имеет место в том случае, если
Ь*т Е-
— - (4.3)
,* kT* •
Ri
С учетом (4.3) из (4.2) найдем условие на L*r
<4-4»
Воспользовавшись связью (4.3) перепишем неравенство (4.1)
*3
в виде ограничения на число молекул в объеме — Ьт
NLt>-y(#)3ехр(#)» !. (4.5)
Видно, что для не слишком больших значений отношения Е^Т условия (4.2), (4.4), (4.5) накладывают не очень жесткие ограничения на параметры течения.
Отметим, что условие (4.1) и его следствия существенно зависят от размерности течения. Например, в одномерном случае вместо (4.1) следует записать п1щ Н2 ехр (— Е^кТ) 1, где /^1,2— размеры потока в направлениях, по которым параметры газа постоянны.
Далее, если <3 — порог реакции, преодолеваемый за счет возбуждения молекул-реагентов, то возмущение локально-равновесного распределения Вь из-за влияния ^7'дает конечный вклад в скорость реакции, если (2 — Е*, где Е* — энергия, при которой У,-конечным образом отличается от В{. В этом случае скорость реакции обладает качественно теми же свойствами, что и Кг, т. е. может
значительно превышать равновесную в течениях с об-
ладать нелокальными свойствами и т. п. В частности, возвращаясь к решению (3.10), отметим, что в силу уравнения сохранения энергии, в котором вкладом малой примеси релаксирующих молекул можно пренебречь, величина D In TjDt = — 2уи/3. Поэтому в соответствии с (3.10) неравновесные и экспоненциально зависящие от уи поправки должны входить в определяемую населенностями верхних колебательных уровней макроскопическую скорость реакции с порогом Q~E*, если этот порог преодолевается за счет колебательного возбуждения молекул.
При Q<^E* влиянием движения на кинетику реакции можно пренебречь, а отклонение распределения молекул по уровням вызывается самой реакцией, приводя к соответствующим изменениям в величине макроскопической скорости химического процесса (см., например, [Ю]).
В заключение автор выражает благодарность Е. С. Асмолову, В. С. Галкину, В. А. Жарову, М. Н. Когану и В. М. Кузнецову за внимание к работе и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агафонов В. П., В е р т у ш к и н В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. /Под ред. Г. И. Майкапара. —М.: Машиностроение,
1972.
2. Макашев Н. К. О поведении решения уравнения Больцмана в области высокоскоростного „хвоста" функции распределения. —В сб.: Динамика разреженного газа. /Тр. VI Всес. конфер., ч. I, Новосибирск, 1980.
3. Макашев Н. К. Свойства решения уравнения Больцмана при высоких энергиях поступательного движения молекул и их следствия. —ДАН СССР, 1961, т. 258, № 1.
4. А см о лов Е. С., Макашев Н. К. О возмущении равновесной кинетики высокопороговых химических реакций. — ДАН СССР, 1981, т. 261, № 3.
5. Абрамов А. А., Макашев Н. К. Нарушение равновесной кинетики высокопороговых реакций в течениях с переменной по пространству температурой газа. —ДАН СССР, 1982, т. 263, № 5.
6. Макашев Н. К. Особенности релаксации сильновозбужденных молекул и связанные с ними неравновесные эффекты в газодинамике. —ДАН СССР, 1982, т. 264, № 1.
7. Ко ига К. Rotational distribution of N2 in free jet and shock wave. In: „Rarefied gas Dynamics, 11 — th Int. Symp. Proc“ 1979, vol. 2.
8. Гусев В. H. О влиянии вязкости в струйных течениях.
— Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, № 6.
9. Гусев В. Н., Климова Т. В. К подобию гиперзвуковых струйных течений. —Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. III, № 6.
10. Гордиец Б. Ф., Осипов А. И., Шелепин Л. А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. —М.: Наука,
1980.
Рукопись поступила ЩХ1 1981 г.
