Неравенство типа теоремы площадей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 2 (2009). С. 3-8.

УДК 517.5

НЕРАВЕНСТВО ТИПА ТЕОРЕМЫ ПЛОЩАДЕЙ

Н.Ф. АБУЗЯРОВА

Аннотация. В работе получено обобщение классического принципа площадей для областей на компактной римановой поверхности.

Ключевые слова: однолистные функции, теорема площадей, римановы поверхности.

Пусть S — класс функций, однолистных в круге А = {z : |z| < 1} и имеющих

разложение tp(z) = z + a2z2 + ...; Е — класс функций, однолистных в дополнении Ае = {w : |u>| < 1} с разложением ф(т) = w + b0 + b1w-1 + b2w-2 + ... , Е0 — подкласс Е,

состоящий из функций ф таких, что 0 Е ф(Ае). Преобразование инверсии <p(z) ^ ^-1(z-1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между функциями из S и Е0. Классический принцип площадей утверждает, что для ф Е Е площадь дополнения к области ф(Ае) неотрицательна. Аналитическое выражение этого факта — лемма Гронуолла (внешняя теорема площадей, 1914-1915 гг.):

1 г

-/ ^'2(w) — 1|2|dw| = ^2 п^2 < 1, (1)

^ Ае п=0

причем равенство имеет место только для "полных"отображений гф (для которых площадь дополнения к ф(Ае) равна нулю), см. [1, §1, гл. 1]. Много других утверждений было получено на основе принципа площадей для однолистных функций. Например, неравенства Грунского, дающие критерий принадлежности функции классу S (см. [1]), оценка Кебе-Бибербаха для р Е S и z Е А (см., например, [1, §5, гл. 1])

tp"(z) 2Z

ф' (z) 1 — |z|2

Эта оценка точная: равенство достигается лишь для "полных"отображений <^.

Целью данной работы является развитие и обобщение метода площадей на компактные римановы поверхности.

1. Одно следствие теоремы Стокса. Пусть S — компактная риманова поверхность. Обозначим через W1,2(S) пространство классов смежности [/] = {/ + const} всех локально суммируемых функций f : S ^ C, для которых дифференциал Uf = df принадлежит гильбертову пространству L2(S) (см. [2, гл. 7, с. 181-182]). Напомним, что норма в L2(S) определяется следующим образом:

IMIb = / и л *й,

J S

где

и = и dz + v dz, *u = — iu dz + iv dz,

N.F. Abuzyarova, Area theorem type inequality.

© Абузярова Н.Ф. 2009.

Поступила 19 мая 2009 года.

4

< ---------i :— .

1 — Z 2

а г — какой-нибудь локальный параметр на Я. На множестве функций / с Ш/ = ¿/ Е Ь2(Я) равенство

II/12 = ШИЬ

определяет полунорму. Пространство Ш1,2 (Я) мы снабдим нормой

Ц[/]||^ 1.2 = II/12 = На/ |Ц2.

Ясно, что для двух представителей /1 и ¡2 одного и того же класса смежности [/] будет ¿/1 = ¿/2, поэтому в дальнейшем элементы пространства W1,2 (Я) — классы смежности [/] — будем обозначать просто £ и называть функциями.

В терминах локального параметра г дифференциал = ¿/ может быть представлен в виде Uf = дг f ¿г + дг/ ¿Г, где дг = д/дх, дг = д/дГ Это представление есть локальная форма глобального разложения

Ш/ = Шf>l + ^/,2,

где = дх/ ¿г, ^/,2 = дг/¿г в терминах локальных координат (см. [3, гл. 1, 2]).

Элемент f Е Ш1,2 (Я) порождает дифференциалы второго порядка

Л/д = Ш/,1 Л ГГf,l, Лf,2 = —^/,2 Л <Г/,2,

которые в локальных координатах имеют вид

Л/,1 = \дг/12 ¿г Л ¿Г, Л/,2 = \дг/12 ¿г Л ¿Г. (2)

Заметим, что

II/1|^1,2 = 1^ Л/,1 +1 J Л/,2.

8 8

Утверждение 1. Пусть f Е Ш 1,2(Я). Тогда оба интеграла / Л/д и / Л/,2 конечны и

88

имеет место соотношение

! Л/,1 = J Л/,2. (3)

88

Доказательство.

По существу, сформулированное утверждение является одним из следствий теоремы Стокса (см. [2])

Предположим сначала, что / Е С2(Я), и рассмотрим интеграл

/¿(/ ¿Г)- (4)

8

Несложные вычисления приводят к следующему соотношению в терминах локальных координат

¿(/ ¿л = (\&/\2 — \дгf\2) ¿г Л ¿г.

Используя последнее равенство, перепишем интеграл (4) в виде

J ¿(/ ¿л = у л/,1—у л/,2- (5)

8 8 8 Из теоремы 6-4 [2, гл. 6, с. 167] следует, что

/ ¿(/¿/) =0-

8

Учитывая (5), получаем

j Л/,1 = j Л/,2.

S S

Утверждение доказано для f G С2(S). В случае произвольной f G W1,2 (S) применяем аппроксимацию в соответствующей норме гладкими функциями.

Отметим, что Предложение 1 утверждает следующее: для точной диференциальной формы первого порядка ш имеет место соотношение

J U Л LO = 0.

S

2. Решение уравнения Лапласа в области на поверхности S и неравенство типа теоремы площадей. Рассмотрим конечносвязную область О на S (О = 0, S) и мероморфную функцию R на S, все полюсы которой принадлежат О. Обозначим р1,... ,р^ полюсы функции R, и пусть mj — кратность полюса pj, j = 1,... , N. Имеет место

Теорема 1. Существует функция Q : S ^ Сте, обладающая свойствами:

(Q1) Q равна нулю на множестве S \ О;

(Q2) Q — гармоническая на О \ (р1,...,рм};

(Q3) разность Р = R—Q (более точно, класс смежности [Р] = {Р + const}) принадлежит, пространству W1,2 (S) и выполняется неравенство

j 2ap,i ^ J ^2Лр>2. (6)

П П

Доказательство.

Предположим сначала, что область О имеет кусочно аналитическую границу. Эта область сама может быть рассмотрена как риманова поверхность. Введем для нее сопряженную поверхность О* (см. [2, гл. 8, с. 217, задача 1]). А именно, пусть О* — еще одна копия О и * : О ^ О* — тождественное отображение, р* = *(р), обратное к которому *-1 мы тоже будем обозначать *, так что р** = р. Комплексная структура на О* определяется следующим образом. Если отображение z = Ф(р) задает локальные координаты в окрестности какой-нибудь точки р0 G О с Ф(р0) = 0, то локальный параметр Ф*(р*) в окрестности точки р0 задается так: z = Ф(р) = Ф*(р*). Определим "удвоенную"область (’Schottky double’) О = О U О* U дО, отождествляя сопряженные граничные точки р G дО и р* G дО*. В качестве локального параметра в окрестности таких отождествленных точек р0 и р* берется

X(q), Р G О,

X(h-1(q)), q G О*,

где z = х(р) — специальный локальный параметр, определенный в некоторой окрестности V С S точки р0 и отображающий множество V П О на область в верхней полуплоскости Imz > 0 так, что х(р0) = 0 и связная часть дО П V, содержащая р0, переходит взаимно однозначно и непрерывно в отрезок вещественной оси (см. [2, гл. 8, с. 217, задача 2]). Таким образом, область О с введенной комплексной структурой становится компактной римановой поверхностью.

Далее, согласно следствию 8-1 в [2, гл.8, с. 211], для каждой точки pj, j = 1,...,N, существуют функции gj и g*, обладающие следующими свойствами: gj — гармоническая в О \ {pj}, g* — гармоническая в О \ {р*} ;

Qj имеет в точке Pj ту же особенность, что и R, а д* имеет в точке р* особенность такую же, как (-R о *).

Положим

Qj (Р) = 2 {& (Р) + 9*j(P) — 9j (Р*) — 9j(P*)} , 3 = l,...,N.

Функция Qj удовлетворяет условиям:

(1) она гармонична в Q \ {pj};

(2) функция (R — Qj) регулярна (не имеет особенности) в точке pj;

(3) Qj непрерывна в О \ {pj}, и Qj(р) = 0 на границе dQ.

Определим теперь функцию Q :

(N

Е Qj(р), р G Q,

3 = 1

0, р g S \ Q,

и положим

Р (р) = R(p) — Q(p).

Из свойств функции Q следует, что Р совпадает с R на компактном множестве S \ Q, а также, что Р гармонична всюду в Q. Так как граница области Q предполагается кусочно аналитической, функция Q и ее производные dzQ, dzQ гармоничны и равны нулю на дQ. Из всего вышесказанного можем заключить, что справедливо включение Р G W1,2 (S).

В общем случае, когда граница dQ не является кусочно аналитической, область Q аппроксимируем возрастающей последовательностью областей Qn с кусочно аналитическими границами. Для каждой области Qn можно построить функцию Qn описанным выше способом. Для перехода к пределу воспользуемся результатом А. Берлинга (см. [4, с. 53]), из которого следует равномерная по п ограниченность так называемых Lip 1 -норм (норм в пространстве Гельдера с показателем 1/2) функций Qn, взятых вне объединения малых окрестностей точек pi,... ,рн. Ограниченность таких норм влечет слабую сходимость подпоследовательности {Qn} к некоторой функции Q, определенной в Q. Введем, как и выше, Р = R — Q с этой предельной функцией Q.

Ясно, что для функций Р и Q выполнены все требуемые условия, кроме, может быть, включения Р G W 1,2(S). Это включение будет вытекать из следующего факта: функция Р решает задачу Дирихле в области Q с граничными значениями, равными R, а решение задачи Дирихле минимизирует интеграл Дирихле, взятый по области Q. W 1,2(S) — норма (полунорма) функции Р есть сумма ее интеграла Дирихле по Q и интеграла Дирихле функции R по S \ Q; оба эти интеграла конечны. Следовательно, получаем, что Р принадлежит W1,2 (S).

Докажем неравенство (6) для функции Р = R — Q. Согласно (2), имеем

Лрд = ldzR — dzQl2 dz Л dz, Лр,2 = ldzQ|2 dz Л dz,

где z — локальный параметр.

Заметим, что |dz| = 2 dz Л dz. Верны соотношения

S п

и

J ЛР,2 = J ЛР,2. S п

Учитывая эти соотношения и применяя (3) к функции Р, получаем

у 2^. £ У 2Л^

п п

где в терминах локальных координат

2ЛРД = 1дгк — дх^|2 |а^|, 2лр,2 = ^^|2 |а*|.

Теорема1 доказана.

Замечание. Знак равенства в (6) имеет место в точности тогда, когда дополнение Я \ О имеет нулевую площадь.

Замечание. Положим Я = и пусть, как и выше, П С — конечносвязная нетривиальная область, П = 0, Сте. Рассмотрим мероморфную функцию Д(^) = (т — ^)-1, 'ш Е П с единственным простым полюсом ^ Е П. Если Ф(и>) — функция, конформно и однолистно отображающая область П на единичный круг А, то фунция Грина области П имеет вид

Ф(и> — Ф(^))

Функция

Q(w) = 2д^Сп =

1 — Ф(^)Ф(^)

Ф'Ы Ф'М

Ф(^) — Ф(ц) 1 — Ф(Ш)Ф(^)

удовлетворяет условиям доказанной теоремы для выбранной К. Для функции Р = К — Q имеем

= 1 + Ф'МФ'Н

и'ш (т — /л)2 + (Ф(т) — Ф(^))2 ,

д п„Р — — -

Ф'(^)Ф'(т)

1 — (Ф(и>)Ф(^))2

—пКп^,^),

где Кп — воспроизводящее ядро Бергмана (см. [5, с. 208, формула (2.3) Неравенство (6) в данном случае будет иметь вид

1

Ф'(^)Ф'(т)

<

^|Ф'ЫР

(т — ^)2 (Ф(и>) — Ф(^))2

п

так как в силу свойств функции Кп

[ \дшР|2|dw| = п2 [ |Хп(^,^)|2|^^| = п2Кп(^,^)

(1 — \Ф(^)\2)2’

^|Ф'(^)|2

пп Переходя к интегрированию по А получим

(1 — |ФМ\2)2'

Ч>’(г V(Л)

(<р(г) — ^(Л))2 (х — Л)2

№ | <

(1 — \А|2)2:

где <р = Ф 1, Л = Ф(^). В частности, при Л = 0, <^(0) = 0, р'(0) = 1 будет

1

'К

р2(г) х2

|^ | < 1.

Если переписать последнее соотношение в терминах функции ф('ш) = .(и) .), которая,

в силу условий на р, принадлежит классу Е, мы получим лемму Гронуолла (1).

2

2

2

1

1

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука. 1975. 336 с.

2. G. Springer Introduction to Riemann surfaces. Addison-Welsey, USA. 1957. 307 p.

3. Форстер О. Римановы поверхности. М.: Мир. 1980. 248 с.

4. A. Beurling The collected works of Arne Beurling. Vol.1. Complex Analysis (L. Carleson, P. Malliavin, J. Neuberger and J. Wermer, eds.). Birkhauser Boston. Boston. 1989.

5. S. Bergman , M. Schiffer Kernel functions and conformal mapping. Compositio Math. V. 8. 1951. pp. 205-249.

Наталья Фаирбаховна Абузярова,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]