CC BY
46
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
УДК 514.76.2
ДИВИЗОРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ПРИМА И АБЕЛЕВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ НА ТОРЕ
Т. С. Крепицина
DIVISORS THE PRYM DIFFERENTIALS AND ABELIANS DIFFERENTIALS ON THE TORUS
T. S. Krepizina
Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима на торе нашла приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики [1-7]. Цель работы — получить новые свойства мероморфных дифференциалов Прима и абелевых дифференциалов на переменном торе и для переменных характеров в связи с дивизорами.
The theory of multiplicative functions and Prym differentials on torus has found applications in the theory of functions, the analytical theory of numbers and in the equations of mathematical physics [1-7]. The work purpose — to receive new properties of meromorphic Prym differentials and abelians differentials on variable torus and variable characters, in connection with divisors.
Ключевые слова: дифференциал Прима, дивизоры, абелевы дифференциалы, переменный тор, переменные характеры, мероморфные дифференциалы.
Keywords: Prym differential, divisors, abelians differentials, variable tor, variable characters, meromorphic differentials.
Работа поддержана грантом ФЦП (№ 02.740.11.0457).
1. Предварительные сведения
Пусть Го — компактная риманова поверхность рода д = 1, Го = С/Г, где Г — группа с двумя образующими А1(г) = г + и, В\(г] = г + и , 1т7 > 0.
Положим цо = 77. Фундаментальная группа для поверхности Го имеет алгебраическое представление "^(Го) = Г =< 01,61 : а-1 Ь-1 = > . Класс
[Го, {01,61}] конформно эквивалентных отмеченных компактных римановых поверхностей рода 1 единственно определяется одним комплексным параметром (модулем) ло = 77, лежащим в верхней полуплоскости Н = {г € С : 1тг > 0}. При этом Го = С/Го, где Го — группа с двумя образующими Ао1 (г) = г + 1, Во1(г) = г + Ло.
Любой другой класс [ГЧ, {а^,Ь^}] конформно эквивалентных отмеченных компактных римано-вых поверхностей рода 1 также единственно определяется одним комплексным параметром (модулем) ц € Н и ГЧ = С/Г Ч, где ГЧ порождается двумя образующими А^1(г) = г + 1, В%1(г) = г + ц. Кроме того, существует квазиконформное отображение fц : Го ^ ГЧ и его поднятие fЧ : С ^ С на универсальные накрывающие поверхности задает изоморфизм отмеченной группы Го на отмеченную группу Г% = f^Гоf-1 и а% = ^(01),
ЬЧ = и(ь{).
Пространство Тейхмюллера Т1 = Т^Го), состоящее из классов [ГЧ, {аЧ,ЬЧ}] конформно эквивалентных отмеченных компактных римановых поверхностей рода 1, параметризовано точками Н и является 1-мерным комплексно аналитическим многообразием. Это пространство с метрикой Тейхмюллера биголоморфно изометрично пространству (Н, ЦУ), г = х + ¡у, постоянной от-
рицательной кривизны -4. [9].
Далее, для любого натурального числа п > 1 существует расслоенное пространство над Ti, у которого слой над р G T1 есть пространство всех целых дивизоров степени n на . Голоморфные сечения этого расслоения определяют на каждой F^ целый дивизор Dм степени п, который голоморфно зависит от р [7].
Характер р на торе F это произвольный гомоморфизм из Г в C* = C\{0}. Он однозначно определяется вектором (р(а1), p(b1)) G [C*]2. Отсюда имеем изоморфизм группы характеров Нот(Г, C*) и [C*]2. Характер р называется несущественным на F^, если существует с(р, р) G C1, такое, что р(а±) = exp2nic(p, р),
p(b\) = exp2nic(p, р)пц,
где для канонического базиса £1 (р) = Cdz,C = 0, голоморфных абелевых дифференциалов на переменной римановой поверхности F^, двойственного каноническому базису {a^,b^} в n1(F^) имеем
fai- С1 (Р) = ¿11 = 1, /ьм £1(Р) = П11 = р. Несущественные характеры образуют подгруппу L1 в группе Нот(Г, C*). Характеры из Нот(Г, <C*)\L1 будем называть существенными [3; 6]. Характер называется нормированным, если все его значения лежат на окружности S1 = {z G C : \z\ = 1}.
Мультипликативной функцией f на F для р называется однозначная мероморфная функция w = f (z) на C, удовлетворяющая условиям f (Tz) = р(Т)f (z), z G C,T G Г.
Если fo — мультипликативная функция
без нулей и полюсов на F^ для р, то d0 =
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
2nic1(p, p)Zi(p), а значит
fo(p,P)=exp 2nici(p,p)Zi(p),
Jpo[M]
где P0[p] = fsM(Po) Є , ci зависит голоморфно от p и p. При этом интегрирование ведется от фиксированной точки Po [p] до текущей точки P на переменной поверхности F^, и s[p] — сечение К. Эрла над Ti [7]. Такую функцию будем называть мультипликативной единицей для p.
Определение 1.1. q-дифференциалом Прима ф для р, относительно группы Г, т.е. (р, q)-дифференциалом, называется дифференциал ф(г)(1гч, такой, что ф(Тz)(T'z)q = ф(г)р(Т), z Є
C,T Є Г.
В частности, при q = 0 это мультипликативная функция для p, относительно Г.
Определение 1.2. Дифференциал Прима ф класса C1 на компактной римановой поверхности F для характера р называется мультипликативно точным, если ф = df (z) и
f (Tz) = р(Т)f (z),T Є Г, z Є C,
т. е. f — мультипликативная функция на F класса C2 для р.
Пусть D — дивизор на F. Введем, по аналогии с классическим случаем р = 1, для любого характера р следующие пространства : Lp(D; F), состоящее из мультипликативных мероморфных функций f на F для р, таких, что (f) > D, и Qp(D; F), состоящее из мероморфных 1-дифференциалов ш на F для р, таких, что (ш) > D. Обозначим через rp(D) = dime Lp(D; F), ip(D) = dime ^p(D; F) размерности этих комплексных векторных пространств.
Теорема Римана-Роха для характеров [3;
6]. Пусть F — компактная риманова поверхность рода g = 1. Тогда для любого дивизора D на F и любого характера р, р = 1 верно равенство rp(D-1) = deg D + ip-i (D).
Предложение
1.1.
рактер для F и D =
pa 1 DC P1 ...pn
Яв1 ...Qs^
Следствие 1.1. [4; 6]. Для любого несущественного характера р на торе F, т.е. характер задается мультипликаторами р = вХш, р' = вХш с условием -П(и log р' — и log р) = 0 в J(F), не существует мультипликативной функции f на F для р, имеющей точно один простой полюс на F.
Следствие 1.2. [3; 10]. Каждый дивизор
D
P ai P am
P1 ...pm
Яв1 ...Qe s
= 1,
аз ,@2 € М, степени нуль на торе F будет дивизором мультипликативной функции
f (P) = f (Qo)exp
£'
_aj TPj Po
j=i ■'Qo
s f‘ P f‘ P
-Y1TQjPo + logр(аіч zi
j_1 J Qo J Qo
P
Qo
[10]. Размерность
dime Lp(l; F) = rp(l) ра,вна 1 при р Є L1 и ра,вна 0 при р Є Нот(Г, C*)\L1.
Положим ф(р) = 22пї(logр(Ь1) - logр(а1)пп). Теорема Абеля для характеров на торе
[3; 4; 6]. Пусть [F; {а1,61}] — отмеченная ком-
пактная риманова поверхность рода 1, р — ха-
дивизор сте-
пени нуль на F. Тогда существует мультипликативная функция / на F для р с ) = Б ^
т з
ф{р) = ^2 а2^ - X!вк= ф(б) в J^) = ^), 2=1 к=1
где ф(Рз) = , ф^к) = тк и ф — отображение
Якоби из F на J^).
для некоторого нормированного характера р(а-\) = exp2nic, р(Ъ\) = exp2ni(cnii + d), d € C\Z, где tpq — нормированный абелев дифференциал третьего рода с простыми полюсами P,Q и вычетами + 1 и -1 соответственно.
Следствие 1.3. [3; 10]. Для любого существенного характера р на торе F существует мультипликативная функция f для р, имеющая точно один простой полюс в любой точке Qi на F. При этом
f (р ) = exp[f TPi Po — i TQiP0 +log P(ai) f CiL
J Qo Qo Qo
где p(Pi) = p(Qi) + Ф(р) в J(F) и ф(р) = 0.
Обозначим через Qqp(D; F^) пространство (р, д)-дифференциалов, которые кратны дивизору D на F^. Его размерность обозначим через ip,q(D).
Теорема Римана — Роха для д—дифференциалов и характеров. ([3; 6]). Для любого q € Z верно равенство
ipq(D) = — deg D + i((f )Zq/D) =
= — deg D + r((f )Z q-i/D)
при любом характере р на римановой поверхности F рода g = 1, где f — любая мультипликативная функция для р, f = 0 и Z — канонический класс дивизоров абелевых дифференциалов на F.
Предложение 1.2.[10]. Пусть р — любой характер на переменном торе F^ и q € Z. Тогда ip,q(1; F^) = dime ^qp(l; F^) = 1 при р € Li и ip,q(1; F^) = 0 при р € Нот(Г, C*)\Li. Причем Qqp(1; F^) = (dzq exp2nic(p, р)г) при р € Li, где р(а^ = exp2nic(p, р).
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
2. Элементарные дифференциалы Прима
Для построения общей теории однозначных и мультипликативных дифференциалов большую роль играют так называемые элементарные дифференциалы [3; 6; 8] любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов, т. е. либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от характеров р и от модулей р римановой поверхности рода один.
Теорема 2.1. 1. Для любого существенного характера р, точки Q1 на торе Гр и натурального числа д > 1 существует элементарный (р,д)-дифференциал трл;о1 третьего рода с единственным простым полюсом Ql = Q1[р\ на Гр, локально голоморфно зависящий от р и р;
2Для любого несущественного характера р и точки Q1 € Гр при д > 1 не существует элементарный (р, д)-дифференциал тр Л-^1 третьего рода с единственным простым полюсом Q1 на Гр.
Доказательство. 1) Пусть р — существенный характер и д > 1. Построим такие дифференциалы локально голоморфно зависящие от р и р. Такой (р, д)-дифференциал Прима тр,ч;о1 можно задать в следующем виде тр,ч;о1 = ¡¿г4, где / — мультипликативная функция для р на Гр, д > 1, и ¿г — голоморфный абелев дифференциал на Гр. Дивизор (тр,ч;д1) = о! = а). Отсюда получаем равенство
^(К1) = <р^1) + ф(р),ф(р)=0, (*)
в многообразии Якоби Т(Гр) для Гр, где Q1 голоморфно зависит, от р, а значит, правая сторона голоморфно зависит от р. Тогда существует единственное решение В,1, голоморфно зависящее от р и р. Отсюда (а) = О- тоже голоморфно зависит от р и р.
2) Пусть р — несущественный характер и д > 1. Если существует дифференциал т = трл;д1 с вычетом в гево1т = 0 для некоторой его ветви, то ¡1 = ¡-1йг-4т — однозначная мероморфная функция с единственным простым полюсом на торе Гр и (¡1) = О, В-1 = Ql, где ¡о — мультипликативная единица для р. По классической теореме Абеля р(Е1) = ф^1) в Т(Гр). Так как р — взаимно однозначное отображение из Гр на .1 (Гр), то К1 = Q1. Противоречие. Теорема доказана.
3. Однозначные мероморфные дифференциалы на торе
Обозначим через 02(Гр) пространство однозначных (абелевых) дифференциалов второго рода с конечным числом полюсов на Гр, а через О2,е(Гр)
- подпространство всех точных дифференциалов второго рода на переменном торе Гр.
Пусть Е = и 02(Гр)/02,е(Гр) — векторное
расслоение у которого над точкой р из базы Т1 лежит слой 0,2(Г^)/0,2,е(Гр).
Теорема 3.1. Векторное расслоение Е1 является голоморфным векторным расслоением ранга 2 над Т1. При этом набор классов смежности
(2)
Pi
(**)
задает базис локально голоморфных сечений этого расслоения.
Доказательство. Зададим отображение Ф из пространства О2{Рр)/О2,є{Рр) на С2 по правилу: сопоставляем ш его базисные периоды, т. е.
{j u,Ju) Є C2.
Ядро отображения Ф совпадает с Q2,e(Fp). Действительно, если все указанные периоды для ш равны нулю, то и все остальные периоды тоже равны нулю. Поэтому дифференциал ш будет точным на Fp, а значит, принадлежит пространству Q2,e(Fp). Ясно, что если дифференциал принадлежит пространству Q2, e(Fp), то все его периоды равны нулю. Так как отображение Ф взаимнооднозначно и линейно на классах смежности, то dime Q2(Fp)/Q2,e(Fp) < 2.
Докажем обратное неравенство
dime Q2(Fp)/Q2,e(Fp) > 2
и построим базис этого фактор-пространства.
Рассмотрим набор (**). Если существует линейная комбинация C1Z1 + CiTp'* = df, то коэффициент Ci =0, так как в противном случае f
— однозначная функция с единственным простым полюсом на Fp. Осталось равенство C1Z1 = df. Тогда a1 — период левой части будет равен С1, а для правой части все периоды равны нулю. Отсюда Ci = 0. Таким образом, доказали линейную независимость классов смежности дифференциалов из набора (**).
Поэтому dime Q2F)/Q2,e(Fp) = 2.
Базис Ci пространства голоморфных абелевых дифференциалов, по теореме Берса [9], можно выбрать голоморфно зависящим от р. Также классический факт: дифференциалы tP2'1 можно выбрать голоморфно зависящими от р. Теорема 3.1 доказана.
Замечание 3.1. Из классических результатов известно, что Zi и тр2 только локально голоморфно зависят от р из TV
Следствие 3.1. Расслоение E1 является (глобально) тривиальным над пространством Тейх-мюллера и существуют глобальные сечения для E1 над T1, т.е. существует два абелевых дифференциала первого и второго рода, которые являются глобальными функциями от р над T1.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
Доказательство. Это следует из теоремы Грауэрта, в силу односвязности базы Т1, о том, что над такой базой расслоение становится глобально тривиальным или комплексно аналитически эквивалентным Т1 х С2. Следствие 3.1 доказано.
Обозначим через &( д11.д ,Ер) пространство абелевых дифференциалов с дивизорами кратны-
ми
1
д-, где Q1...Qs — локально голоморфное сечение в пространстве дивизоров степени в над Т1.
Пусть Е2 = и^(д11 д ,Ер) — векторное рас-р -
слоение над Т1, в > 1. По теореме Римана-Роха, г^1..^^ = -в + %(д1_д-). Отсюда г( д1. 1 д-) = s, так как т^1..^з) = 0.
Рассмотрим набор дифференциалов
Cl,TQ2Qi > ■■■,TQsQi >
(1)
которые, по теореме Берса и по классическим результатам, локально голоморфно зависят от ц.
Этот набор линейно независим над С. Если СіСі + С^іг02Чі + ... + ся_ітд3ді =0 на Ер, то С = ... = С8_і = 0, так как нет особенностей в правой части. Коэффициент Сі =0 в силу линейной независимости Сі над С на Ем. Таким образом, доказано предложение.
Предложение 3.1. Векторное расслоение Е2 ранга в, в > 1, является голоморфным векторным расслоением над Т1, а набор дифференциалов (1) дает базис локально голоморфных сечений этого расслоения.
Следствие 3.1. Векторное расслоение Е2 комплексно аналитически эквивалентно прямому произведению Ті хС и существуют в глобальных голоморфных сечений этого расслоения над Т1.
Обозначим через Е3 = и П( д^ 1 д ,Гм)/ії(1, Гм)
векторное расслоение над Т1, в > 2, где ії(1,Ем) — пространство голоморфных абелевых дифференциалов на Ем.
По теореме Римана-Роха, і( ді 1 д ) = в и ¿(1) = 1. Поэтому
dimC
1
Qi...Qs
> fp)/^(1> F^) = s — 1.
Докажем, что набор классов смежности дифференциалов
TQ2Q
TQsQl
(2)
будет линейно независим над С на Ер. Если С1ТЯ2Я1 + ... + С8-1Тд-д1 = и, где ш — голоморфный дифференциал, то все коэффициенты С1 = ... = С8-1 = 0, так как особые точки правой и левой сторон различны. Таким образом, доказали предложение.
Предложение 3.2. Векторное расслоение Е3 будет голоморфным векторным расслоением ранга s — 1 над Ti и классы смежности дифференциалов набора (2) образуют базис локально голоморфных сечений этого расслоения. Кроме того, Е3 комплексно аналитически эквивалентно прямому произведению T1 х Cs-i и существуют s — 1 глобальных голоморфных сечений этого расслоения над Т1.
4. Мультипликативные функции и единицы на переменном торе
Пусть на задана мультипликативная меро-морфная функция f для любого характера р. То-
Ra1 Ram
гда дивизор (f) = D = ^ ' ' Qjs на Fp, где
Rj, Qi е Fp, aj е N,j = 1,..., m,pi e N, i = 1,..., s,
m s
и 0 = deg D = aj —Y1 pj.
j=1 j=1
Рассмотрим однозначный (абелев) дифференциал u(z)dz = dz третьего рода на Fp с
простыми полюсами в точках R1,..., Rm, Q1,..., Qs и вычетами a1,..., am, —@1,..., —fis соответственно. Тогда
ш(^^ = ^2 атщРо - ^2в3Тд>ро + 2^*с1
3=1 3=1
(* * *)
где С1 € С, и Ро не принадлежит
впррБ = {К1, ...,Кт^1, ...^8}. Отсюда /(Р) = р
ехр / ш(z)dz на Ем.
Ро
Пусть ] — мультипликативная функция на торе Ер. Предположим дополнительно, что в окрестности и (Р3 ) функция
](Р) ~ ¿ик)(р),к.(Р,) = ж,
дз - некоторые многочлены от к^, ] = 1,...,1, а
в точках Р+1,..., Рп возможны либо полюса, либо нули порядков г 1+1, ...,гп соответственно. Положим д(Р) = ХР1КР) (р) на ^ где ХР1,...р (Р) будет 1-точечная функция Бейкера-Ахиезера на Ер с теми же асимптотиками в точках Р1,..., Р1, как у
т з
функции ] [8]. Тогда 0 = 6.е^(д) = £ а3 - £ вз +
3=1 3=1
п ~ ~'(г)
Г3. Дифференциал ^д(z)dz = ~~(|у-dz будет
3=1+1
абелевым дифференциалом третьего рода с простыми полюсами R\, ...,Rm,Q\, ...,Qs,Pi+i, ...,Pn, где функция g имеет дивизор
Rai Ram D = Re .R pri + г ...prn,
Q41 Q 1+1 n
rj € Z,j = l + 1, ...,n на Fp, и
m s
ü{z)dz = ^2 ajTRj Po ~Y^ ejTQj p0 + j=1 j=1
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
+ 53 rjTpíP + 2niciZi, (* * **)
j=i+i
где ci € C. Таким образом доказана.
Теорема 4.1. Мультипликативные функции f на торе Fp для любого характера р, с указанными выше условиями, имеют следующие представления :
p
1.f (P) = exp f w(z)dz, где w(z)dz задана фор-
Po
мулой (***) на Fp;
p
2. f (P) = xPi,...,P¡ (P)exP f oj(z)dz, где iv(z)dz
Po
задана формулой (****) на Fp и 1 < l < n, n > 1, которая имеет асимптотики вида
eqj (kj)(P) в U (Pj ),j = l,...,l. Здесь xp1 ,...,Pi (P) - l-точечная функция Бейкера-Ахиезера на Fp с указанной асимптотикой в точках Pi,...,P¡. Эти функции локально голоморфно зависят от р и р.
Если дана функция f для любого р, то дивизор D = ( f), степени нуль, состоящий из ее нулей и полюсов с учетом кратности, определяется единственно на Fp. Выясним будет ли верным утверждение, что функция f для некоторого характера по заданному дивизору D, deg D = 0, определяется с точностью до умножения на ненулевую константу.
Известна теорема 1.1.3. [6, с. 40; 3], что каждый дивизор D = 1 степени 0 будет дивизором единственной (с точностью до умножения на ненулевую константу) мультипликативной функции на торе Fp, принадлежащей единственному нормированному характеру.
Предложение 4.1. Пусть D — дивизор, deg D = 0 на компактной римановой поверхности F рода g = 1, тогда:
1. Если существуют две функции fi и
f2, (fi) = (f2) = D, для одного и того же характера р, то fi = cf2, где c = const = 0 на Fp;
2. Если существуют две функции fi и
f2, (fi) = (f2) = D, для различных характеров р1 и р2, р1 = р2, то fi = f2 g, где g — мультипликативная единица для несущественного характера ро на Fp, где fJi = р2ро;
3. Если существуют две функции fi и
f2, (fi) = (f2) = D, для нормированных характеров р1 и р2, то р1 = р2 и fi = cf2, где c = const = 0 на Fp;
4. Для любого несущественного характера р не существует функции f для р с дивизором (f) = Q, Pi = Qi, на Fp.
Доказательство. 1) Рассмотрим частное g = f. Дивизор (g) = 1 и характер р = 1, поэтому g = c = 0 на Fp, так как g однозначная аналитическая функция на Fp.
2) Также рассмотрим g = f. Для этой функции (g) = 1, а значит, ее характер р0 = — должен
быть несущественным. Таким образом, fi = f2g, где g — мультипликативная единица для ро.
3) Снова рассмотрим g = f. Для этой функции (g) = 1, а значит, ее характер р0 = ^ должен быть несущественным. Отсюда ро одновременно будет несущественным и нормированным, и по теореме [6, с. 130], р0 = 1. Поэтому р1 = р2 и, по утверждению 1), имеем fi = cf2, c = 0 на Fp.
4) Действительно, если существует такая функция для несущественного характера р, то рассмотрим функцию g = f, где fo — мультипликативная единица для р. Функция g — однозначная функция с одним простым полюсом на F. Противоречие. Предложение 4.1 доказано.
Замечание 4.1. В то же время существует функция f с заданным дивизором (f) = Q- для нормированного характера р, а значит, р будет существенным характером [6, с. 130].
Следствие 4.1. Для любого фиксированного характера функция f на торе Fp восстанавливается по своему дивизору с точностью до умножения на ненулевую константу.
Ясно, что (р, т) — дифференциал wp,m имеет единственный дивизор D из своих нулей и полюсов с учетом кратности и
deg D = (2g — 2)т = 0, т > 1.
Выясним будет ли по заданному дивизору
D, deg D = 0 находиться (р, т)-дифференциал wp,m с точностью до умножения на ненулевую константу на поверхности Fp рода g = 1.
Известно из [3, с. 23], что любой дивизор D степени нуль при т > 1 есть дивизор единственного (с точностью до умножения на ненулевую константу) (р, т)-дифференциала, принадлежащего к единственному нормированному характеру на торе.
Предложение 4.2. Пусть D — дивизор, deg D = 0, на торе Fp и т > 1, тогда:
1. Если существуют два (р, т)-дифференциала wi и w2, (wi) = (w2) = D, для одного и того же характера р, то wi = cw2, где c = const = 0 на Fp.
2. Если существуют два (р, т)-дифференциала wi и w2, (wi) = (w2) = D для различных характеров р1 и р2, р1 = р2, то wi = w2g, где g — мультипликативная единица для несущественного характера р0 на Fp, где р1 = р2р0.
3. Если существуют два (р, т)-дифференциала wi и w2, (wi) = (w2) = D, для нормированных характеров р1 и р2, то р1 = р2 и wi = cw2, где c = const = 0 на Fp.
Доказательство. 1) Рассмотрим частное g = . Дивизор (g) = 1 и характер Р = 1, по-
этому g = c = 0 на Fp, так как g — однозначная аналитическая функция на Fp.
2) Теперь рассмотрим g = ^. Для этой функции (g) = 1, а значит, ее характер р0 = — должен
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
быть несущественным. Таким образом,
где д — мультипликативная единица для ро и
Р1 = Р2 ро-
3) Рассмотрим д = ^. Для этой функции (д) = 1, а значит, ее характер р0 = ^ должен быть несущественным. Отсюда характер р0 одновременно будет несущественным и нормированным и, по теореме [6, с. 130], р0 = 1. Поэтому р1 = р2 и, по утверждению 1), Ш1 = сш2, с = 0 на Гр. Предложение 4.2 доказано.
Литература
[1] Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. - М.: Наука, 1970.
[2] Чуешев, В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2005.
[3] Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч.2 / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.
[4] Appell, P. Principes de la theorie des fonctions elliptiques et applications / P. Appell, E. Lacour. -Paris: Gauthier-Villars, 1897.
[5] Forsyth, A. R. Theory of functions of a complex variable / A. R. Forsyth. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1900.
[6] Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - Vol. 71. New-York: Springer, 1992.
[7] Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties / C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - 107. - P. 255 - 286.
[8] Дубровин, Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ч.1 / Б. А. Дубровин. -М.: МГУ, 1986.
[9] Альфорс, Л. В. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения / Л. В. Альфорс, Л. Берс. - М.: ИЛ, 1961.
[10] Крепицина, Т. С. Группа характеров и мультипликативные функции на торе / Т. С. Крепицина // Вестник КемГУ. - 2011. - Вып. 3(47). - C. 11 - 16.
УДК 515.17 + 517.545
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА И ИХ КЛАССЫ ПЕРИОДОВ НА ПЕРЕМЕННОЙ КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Т. А. Пушкарева, В. В. Чуешев
HARMONIC PRYM DIFFERENTIALS AND THEIR CLASSES PERIODS ON VARIABLE COMPACT RIEMANN SURFACE T. A. Pushkareva, V. V. Chueshev
Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов играют большую роль в современной теории функций на компактных римановых поверхностях [1 - 5]. В работе исследовано гармоническое расслоение Прима, слои которого есть пространства гармонических дифференциалов Прима на переменных компактных римановых поверхностях. Доказано, что когомологическое расслоение Ган-нинга, связанное с классами периодов, будет вещественно-аналитически изоморфно гармоническому расслоению Прима над произведением пространства Тейхмюллера и пространства нетривиальных нормированных характеров.
Harmonic Prym differentials and their periods classes play the big role in contemporary theory functions on compact Riemann surfaces. In this paper is investigated harmonic Prym bundle, whose fibre is space of harmonic Prym differentials on variable compact Riemann surfaces. Proven that cohomology Gunning bundle, which connect with periods classes, are real analytically isomorphic harmonic Prym bundle over product Teichmueller space and a space of nontrivial normalized characters.
Ключевые слова: гармонический дифференциал Прима, переменная компактная риманова поверхность, переменные характеры, пространство Тейхмюллера.
Keywords: harmonic Prym differential, variable compact Riemann surface, variable characters, Teichmueller space.
Работа поддержана грантами: АВЦП, 2.1.1.3707; ФЦП, №-02.740.11.0457; РФФИ 09 - 01 - 00255; НШ -7347.2010.1; РФФИ 11 - 01 - 90709;
1. Предварительные сведения с отмечанием {ak,bk }9к=1, т. е. упорядоченным
набором образующих для n\(F), а F0 - рима-
Пусть F - фиксированная гладкая компакт- нова поверхность с фиксированной комплексно-ная ориентированная поверхность рода g > 2,
