CC BY
9
Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3
УДК 517.982 + 517.53
ДВА ОБЩИХ УСЛОВИЯ НЕДОПУСТИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНОГО СИНТЕЗА ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ1
Б. Н. Хабибуллин
Семидесятипятилетию профессора Ю. Ф. Коробейника посвящается
Пусть п — выпуклая область на комплексной плоскости с и н — пространство голоморфных в области п функций с топологией равномерной сходимости на компактах из п. Строятся последовательности л = л1 и л2 с с такие, что инвариантные (относительно дифференцирования) подпространства Wl,W2 С Н со спектрами соответственно л1, л2 допускают спектральный синтез, а пересечение w1 п w2 теряет это свойство.
§ 1. Введение. Постановка задачи
Всюду в данной работе под последовательностью чисел (точек) в комплексной плоскости С понимается пустая, конечная или бесконечная последовательность вида Л = {А&} С С, где к = 1, 2,..., не имеющая предельных точек в С. При этом для простоты и краткости формулировок всегда предполагаем, что в рассматриваемых последовательностях все точки попарно различны. Для подмножества В С С полагаем Л(В) = ^лкеБ 1 — число точек последовательности Л в подмножестве В.
Каждой последовательности Л = {А&} в С сопоставляем систему экспонент
Ел := {еЛк*} , г € С. (1)
Всюду далее П — область в С. Через Н(П) обозначаем локально выпуклое пространство голоморфных в П функций над С, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах. Там, где это не вызывает разночтений, пространство Н(П) обозначаем одним символом Н. Замкнутое линейное подпространство Ш в Н называем инвариантным (относительно дифференцирования), если вместе с каждой функцией / € Ш оно содержит и производную / € Ш. Очевидно, множество всех инвариантных подпространств на П замкнуто относительно пересечения любого числа таких подпространств. Подпространство нетривиально в Н, если не совпадает ни с Н, ни с {0}.
Инвариантное подпространство Ш С Н допускает спектральный синтез (на П), если замыкание в пространстве Н линейной оболочки всех конечных наборов функций вида еЛ, геЛг,..., £Пл-1еЛ*, Пл € Н, содержащихся в Ш, совпадает с пространством Ш.
© 2005 Хабибуллин Б. Н.
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 03-01-00033, и частично фонда «Государственная поддержка ведущих научных школ», грант НШ-1528.2003.1.
Для каждой последовательности Л = {А&} С С строится специальное подпространство Ш(Л), получаемое замыканием линейной оболочки системы (1). Очевидно, равенство Ш (Л) = Н эквивалентно полноте системы экспонент Ел в пространстве Н. Легко видеть, что по построению замкнутое подпространство вида Ш(Л) всегда инвариантно относительно дифференцирования и обязательно допускает спектральный синтез.
Здесь мы не останавливаемся подробно на обсуждении обширного круга ситуаций, когда инвариантные подпространства того или иного типа допускают спектральный синтез (см. [1-13], где различные случаи подобного рода отражены как в прямой, так и в двойственной форме, а именно: через локальное описание замкнутых идеалов или подмодулей над кольцом многочленов С[г]).
Нас будет интересовать только следующая
задача. Дать достаточно общие принципы построения последовательностей Л, для которых при любом представлении Л в виде объединения (здесь объединение понимается в обычном теоретико-множественном смысле, т. е. если А £ Л1 П Л2, то в объединении Л1 и Л2 эта точка А считается однократной) двух непустых подпоследовательностей Л = Л1 и Л2 при нетривиальных Ш (Л1) и Ш(Л2) в Н пересечение Ш(Л1) П Ш(Л2) не допускает спектральный синтез.
Из известных до сих пор принципов такого построения отметим один способ из работы И. Ф. Красичкова-Терновского [2, § 7], а также один наш пример из статьи [13, § 6]. Предлагаемые в настоящей статье две новые конструкции геометрического характера отличны от рассматривавшихся ранее, но в основе их по-прежнему лежит двойственная схема И. Ф. Красичкова-Терновского из работ [1-3], [6, 7]. Первая конструкция опирается на понятие (слабо) достаточного множества (см., например, статьи Ю. Ф. Коробейника [14] и А. В. Абанина [15, 16]), а другая — на описание самплинг-последовательностей для весовых пространств целых функций (см. статью Н. Марко, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Черды [17] и обзор Х. Бруны, Х. Массанеды и Х. Ортеги-Черды [18]).
§ 2. Формулировки основных результатов
Существенно используются сведения из теории целых функций, изложенные в монографиях Б. Я. Левина [19, 20].
2.1. Через Т обозначаем класс 2п-периодических тригонометрически выпуклых функций. Каждой функции Н £ Т при любых а и в, а < в ^ а + 2п, можно сопоставить функцию
вн(а, в) := (Н'(в - 0) - Н'(а + 0) + /^ Н(в) йв\. (2)
• ' а
Пусть П — ограниченная выпуклая область с опорной функцией
Н(в) = Нп(в):=8ирИегв-*9, в £ Ж,
которая всегда принадлежит классу Т. Тогда величина (2) имеет простой геометрический смысл — это длина дуги границы дП области П, заключенная между точками касания двух опорных прямых к области П, ортогональных направлениям (направление а — это направленный к бесконечности луч {Ьвга: Ь ^ 0}) соответственно а и в. В таком контексте мы будем обозначать величину (2) как вп(а, в) := (а, в).
Для последовательности точек Л = {А&} через Пл(г1, Г2; а, ß) обозначаем число точек из Л, попавших в множество {z Е C: ri < |z| ^ Г2, а ^ argz < ß}.
Минимальная угловая плотность последовательности Л задается как
^л(а,ß):= lim liminf Л ^ ' (—+———^-ß-,
е^+0 т^ж er
а индекс конденсации —
— Гe|Ak| n(Ak; t) - — 7л := lim limsup^— -dt,
где ^(z; t) означает число точек из Л в открытом круге D(z, t) С C с центром z радиуса t; D(z,t) — замыкание этого круга.
Для последовательности Л = {А&} симметричную ей относительно вещественной оси R последовательность {А&} обозначаем через Л и называем ее последовательностью, сопряженной к Л.
В приведенных терминах и обозначениях мы можем сформулировать наш первый результат по рассматриваемой задаче:
Теорема 1. Пусть П С C — выпуклая ограниченная область. Пусть последовательность Л содержит некоторую подпоследовательность Г, сопряженную к последовательности Г с нулевым индексом конденсации Yr = 0, для которой
2ndr(a,ß) ^ sn(a,ß) (Va,ß) а < ß < а + 2п.
Тогда при любом представлении Л в виде объединения двух непустых подпоследовательностей Л = Л1 U Л2 при нетривиальных W(Л1) и W(Л2) в H пересечение W(Л1) П W(Л2) не допускает спектральный синтез на П.
2.2. В этом пункте мы будем накладывать некоторое условие на границу выпуклой ограниченной области П, опираясь на терминологию из [17, 18], адаптированную к нашей ситуации.
Для любого интервала (а, ß) с центром (а+ß)/2 интервал (а', ß') с тем же центром, но вдвое большей длины будем называть удвоением интервала (а, ß). Граница 0П выпуклой области П обладает свойством удвоения, если существует постоянная С такая, что для любого интервала (а,ß) выполнено неравенство 5п(а'^') ^ С^п(а,ß), где (а'^') — удвоение интервала (а, ß).
Как известно, для любой функции h Е T функция H(rei0) := h(0)r, r ^ 0, — однородная субгармоническая функция с мерой Рисса
d^H = ^dsh(0) ^ dr (3)
(запись дана в полярных координатах через плотности мер). В случае, когда h = hn — опорная функция, то вместо нижних индексов H и h в (3) будем писать П. Если область П обладает свойством удвоения, то для каждой точки z € C однозначно определен радиус Pn(z) такой, что
№( z,pn(z)) = —. (4)
Последовательность Л называют рп-разделенной, если существует число e > 0 такое, что
|А - А'| ^ emax{pn(A), рп(А')}, А, А' € Л, А = А'.
Нижнюю равномерную плотность последовательности Л относительно области П определяем как
Л(Р(г,грп(*)))
¿ее Б(г,грп(г)))
V- (Л) := Иш И ' чч) . (5)
Теорема 2. Пусть П С С — выпуклая ограниченная область с границей, обладающей свойством удвоения. Пусть последовательность Л содержит некоторую подпоследовательность Г, сопряженную к последовательности Г, являющейся рп-разделенной, и при этом ^^(Г) > • Тогда при любом представлении Л в виде объединения двух непустых подпоследовательностей Л = Л1 и Л2 при нетривиальных Ш (Л1) и Ш (Л2) в Н пересечение Ш (Л1) П Ш (Л2) не допускает спектральный синтез на П.
Замечание 1. Условие удвоения для границы можно снять, так как произвольную выпуклую область П можно вписывать в сколь угодно близкие в естественном смысле выпуклые области П' с границей дП', обладающей свойством удвоения. Но при этом, несколько ослабляя теорему 2, необходимо каждый раз в условиях также заменять П на П', т. е. рп и V-(Г) на рп' и V-,(Г).
Замечание 2. Впервые функции типа рп из (4) и плотность (5) возникли у А. Бер-линга [21, с. 300] еще в конце 1950-х годов для последовательностей вещественных чисел Л, когда в роли П выступал интервал. Довольно детальный анализ различных случаев функции рп(г) из (4) проведен в работе Р. С. Юлмухаметова [22]. Общие факты о функциях типа (4) и подробная библиография, связанная с их исследованием, содержится в [17, 18]. Так, если граница дП области П класса С2 и ее кривизна Н'П + Нп отделена от нуля, то рп всюду в п. 2.2 можно заменить на тождественную единицу [17, Введение].
§ 3. Двойственная схема И. Ф. Красичкова-Терновского
В этом параграфе дается необходимая далее сводка сведений из [1-3].
Всюду П — выпуклая область в С с опорной функцией Нп, Н* — пространство, сильно сопряженное к Н (П). Через Рп обозначаем пространство целых функций / экспоненциального типа с индикатором роста
^(в) := Пш8ир (Ге%в)| <Нп(в), в € Ж,
наделенное естественной топологией индуктивного предела (подробнее — в § 4). Преобразование Лапласа, действующее на элементы Б € Н* по правилу
Т : Б ^ ¡в(г):= (Б, в*) , г € С ,
определяет топологический линейный изоморфизм пространства Н* на пространство Рп*, где П* — область, симметричная области П относительно вещественной оси. Локально выпуклое пространство Рп* далее для краткости обозначаем одним символом Р.
Следуя [1, 2], для подпространства Ш С Н замкнутое подпространство всех функционалов из Н*, аннулирующих Ш, обозначаем через Ш0, а подпространство в Р всех преобразований Лапласа функционалов из Ш0 обозначаем Т(Ш0). В основе доказательства теорем 1 и 2 лежит
Теорема Л ([2, предложение 6.2]). Пусть инвариантные подпространства Ш,..., Шп в Н допускают спектральный синтез. Пересечение ПП=1 Шк допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда для какой-либо точки Ао € С, не принадлежащей спектру
ни одного из пространств Шк, к = 1,..., п, при любом наборе а = (а\,..., ап) комплексных чисел, связанных условием а\ + ■ ■ ■ + ап = 0, замыкание в Р множества
Т(а, Ас) := {Е = Е + ■ ■ ■ + Еп: Рк е Т(Щ?), Рк(Ао) = од, 1 < к < п}
содержит тождественный нуль.
В этой работе из теоремы А нам потребуется только необходимость при п = 2 и а = —а2 = 1 в следующей форме (ср. [2, предложение 6.4]):
Теорема Л'. Пусть Л1 и Л2 две последовательности, для которых инвариантные подпространства Ш := Ш(Л1) и Ш2 := Ш(Л2) нетривиальны в Н, Ао е Л1 и Л2, а их пересечение ШП Ш допускает спектральный синтез на ^. Тогда найдутся две направленности [23] (сети [24], обобщенные последовательности) целых функций /о е Т(Ш0) С Р и до е Т(Ш0) С Р по направленному множеству £ = {а} с условием /о(Ао) = до(Ао) = 1 для всех а е £ такие, что разность /о — до стремиться к тождественному нулю в Р по направленному множеству £.
Отметим, что для нетривиального инвариантного подпространства Ш = Ш(Л) подпространство Т (Шс) С Р — это замкнутый подмодуль над кольцом С [г], состоящий из всех функций из Р, обращающихся в нуль на последовательности Л. Таким образом, Теорема А' дает
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы А'. Тогда найдутся две направленности целых функций /о е Р и до е Р по направленному множеству £ = {а}, обращающихся при каждом а в нуль соответственно на последовательностях Л1 и Л2, с условием /о(Ао) = до(Ао) = 1 для всех а е £ такие, что разность /о — до стремиться к тождественному нулю в Р по £.
§ 4. (Слабая) достаточность множеств и доказательство теоремы 1
Введем различные топологии на P (см., например, [14, 25, 26]). Пусть функции hn(9) < hn(-9), 9 G R, из T образуют возрастающую последовательность, причем hn(9) ^ hn(-9) при n ^ то для всех 9 G R.
Пусть S — подмножество в C. По указанной последовательности возрастающих функций hn G T можем ввести полунормированные пространства
Pn(S) := { f G P: ||f||n,s := sup Л • (6)
[ reio6S exp(hn(9)r) J
В векторном пространстве P = (Jn Pn(S) можно рассматривать топологию ts (внутреннего) индуктивного предела пространств Pn(S), снабженных полунормами || ■ ||n,s. Напомним, что фундаментальная система окрестностей нуля в этой топологии индуктивного предела порождается абсолютно выпуклыми оболочками объединений шаров {/ G P: ||/||n,s < en| по всевозможным последовательностям чисел en > 0, n = 1, 2,... В частности, при S = C топология те есть ни что иное, как отмечавшаяся в начале § 3 естественная топология индуктивного предела на пространстве P. При этом множество S называется слабо достаточным для P, если ts совпадает с те на P.
Рассмотрим также класс K положительных функций k(z) со свойствами:
1) lim ——г- = то, z = rei0, для каждого n;
ехр( hn (9)r)
2) inf k(z) > 0 для каждого компакта D С C.
zgD
Теперь для Б С С по классу функций К можно определить на Р локально выпуклую топологию тк,я с помощью системы полунорм
(/):=8ПР !|М , / € Р. (7)
хеЯ
Еще в [1, § 3] было установлено совпадение топологий тс = тк,е-
Подмножество Б называется достаточным для Р, если топология тк,я совпадает с тк,с = тс на Р. В. В. Напалковым [25] было доказано, что множество слабо достаточное для Р тогда и только тогда, когда оно достаточное для Р (весьма общие результаты в этом направлении принадлежат В. В. Напалкову [26, теорема 5] и Ю.Ф. Коробейнику [14, теорема Д]).
Доказательство теоремы 1. Если выполнены условия теоремы 1, то по критерию А. В. Абанина (см. [15, теорема 1] и [16, теорема 3.2.1]) Л — слабо достаточное множество для Р, а значит, и достаточное для Р.
Допустим напротив, пересечение Ш(Л1) П Ш(Л2) допускает спектральный синтез на
Тогда по следствию 1 найдутся две направленности целых функций /а, да € Р по направленному множеству £ = {а}, обращающихся при каждом а в нуль соответственно на последовательностях Л1 и Л2, с условием /а(Ао) = да(Ао) = 1 при некотором Ао € Л1 и Л2 для всех а € £ такие, что разность /а — да стремиться к тождественному нулю в Р по £ в топологии тс. В частности, для сужений этой разности на Л тем более имеет место стремление к тождественному нулю (на Л) в топологии тд по £, а значит, в силу совпадения слабо достаточных и достаточных множеств для Р, и в топологии тк,л по £. Но для сужений на Л имеем равенства
|(/ + д*)(А)| = |(/* — д*)(А)|, А € Л. (8)
Действительно, в (8) если А € Л1, то /а(А) = 0, а если А € Л2, то да(А) = 0. Поскольку топология тк,л определяется через полунормы (7), то из (8) следует Рк,л(/а + да) = Рк,л(/а — да), откуда направленность /а + да также стремиться к тождественному нулю (что, кстати, совсем не видно из определения топологии индуктивного предела) на Л в топологии тк,л по £. Поскольку Л — достаточное множество для Р, это означает, что направленность /а + да стремиться к тождественному нулю в топологии тс. В частности, она стремиться к нулю в точке Ао, хотя должна принимать в этой точке значение /а(Ао) + да(Ао) = 2 при любом а € £. Полученное противоречие доказывает теорему.
§ 5. Самплинг-последовательности и доказательство теоремы 2
Следуя обозначениям из [17], наряду с пространством Р рассмотрим нормированное пространство (ср. с (6))
Я» := Я» :=(/ € Н(С): ||/:= «пр ^^ < (Л . (9)
[ ¿ес ехр(Лп(—0)г) ]
По определению топологии индуктивного предела тс на Р легко видеть, что топология т^, индуцированная с пространства Я» на Р, слабее, чем тс. Кроме этого, по последовательности Л на Я» введем полунормы
о(л) := 8ИР К У . (10)
! л^е^ел ехр(Лп(—
Последовательность Л = {А&} называют самплинг-последовательностью (для F^), если существует постоянная C такая, что
II/llF» < C||/||,J»(A), / GF~. (11)
Положительная борелевская мера ^ на C обладает свойством удвоения (в терминологии [17, 18] «doubling measure»), если существует постоянная C такая, что 2t)) < C^(D(z,t)). Нетрудно показать, что если граница выпуклой области П обладает свойством удвоения, то мера ^n = ^H, построенная по опорной функции h = hn области П как в (3), также обладает свойством удвоения. Поэтому общий критерий Марко — Массанеды — Ортеги-Черды [17] самплинг-последовательностей в нашем очень частном случае можно сформулировать как
Теорема B ([17, теорема B]). Пусть граница выпуклой области П обладает свойством удвоения. Л — самплинг-последовательность для Fесли и только если Л содержит подпоследовательность Г, сопряженную (сопряжение возникает ввиду того, что в (9) и (10) при определении (полу)нормы имеем дело с hn( —9), т.е. с опорной функцией сопряженной области П*) к последовательности Г, являющейся pn-разделенной, и
D-(r) > 2П •
Доказательство теоремы 2. Выполнение условий теоремы 2 по теореме B означает, что Л — самплинг-последовательность для F
Вновь допустим, что пересечение W(Л1) П W(Л2) допускает спектральный синтез на П. Тогда по Следствию 1 найдутся две направленности целых функций /а, да £ P по направленному множеству X = {а}, обращающихся при каждом а в нуль соответственно на последовательностях Л1 и Л2, с условием /а(Ао) = да(Ао) = 1 при некотором Ао £ Л1 U Л2 для всех а G X такие, что разность /а — да стремиться к тождественному нулю в P по X в топологии Тс. Поскольку топология tf^ , индуцированная с пространства Fна P, слабее, чем тс, разность /а — да стремиться к тождественному нулю в P по X ив этой индуцированной топологии tf гс. Очевидно, сужения разностей /а — ga на Л тем более стремятся к тождественному нулю (на Л) в топологии, определяемой полунормой || ■ ||^(Л) из (10), и, кроме того, опять имеют место равенства (8). Отсюда ||/а + да||^(Л) = ||/а — да||^(А) ^ 0 по X. Следовательно, для самплинг-последовательности Л из характеризующего такие последовательности соотношения (11) получаем ||/а + да^ 0 по X. Тем более /а(Ао) + да(Ао) ^ 0 по X, а это противоречит равенству /а(Ао) + да(Ао) = 2 для всех а G X. Теорема 2 доказана.
Литература
1. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб.—1972.—Т. 87(129).—№ 4.—С. 459-489.
2. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб.—1972.—Т. 88(130).—№ 1.—С. 3-30.
3. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Мат. сб.—1972.—Т. 88(130).—№ 3.—С. 331-352.
4. Леонтьев А. Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применении // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова.—1971.—Т. CXII.—С. 300-326.
5. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент.—М.: Наука, 1980.
6. Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1979.—Т. 43.—№ 1.—С. 44-66.
7. Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1979.—Т. 43.—№ 2.—С. 309-341.
8. Абузярова Н. Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Мат. сб.—1999.—Т. 190.—№ 4.—С. 3-22.
9. Хабибуллин Б. Н. Замкнутые идеалы и подмодули голоморфных функций с двумя порождающими ll Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Геометрическая теория функций и краевые задачи.—Казань, 2002.—Т. 1З.—С. 158-163.
10. Хабибуллин Б. Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций, порожденные подмодулями, допускающими локальное описание // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Геометрическая теория функций и краевые задачи.—Казань, 2002.—Т. 14.—С. 280-298.
11. Хабибуллин Б. Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими // Функц. анализ и его приложения.—2004.—Т. 38, № 1.—С. 65-80.
12. Хабибуллин Б. Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими // Мат. заметки.—2004.—Т. 76, вып. 4.—С. 604-609.
13. Хабибуллин Б. Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций I/ Мат. сб.—2005.—Т. 196, № З.—С. 119-142.
14. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1986.—Т. 50, № З.—С. 539-565.
15. Абанин А. В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Мат. заметки.—1991.—Т. 49, вып. 2.—С. 3-12.
16. Абанин А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: Дис. ... доктора физ.-мат. наук.—Екатеринбург, 1995.—268 с.
17. Marco N., Massaneda X., Ortega-Cerdaà J. Interpolating and sampling sequences for entire functions ll Geom. and Funct. Analysis.—2003.—V. 13, Issue 4.—P. 862-914.
18. Bruna J., Massaneda X., Ortega-Cerdà J. Connections between signal processing and complex analysis // In: Contributions to Science.—Barselona: Institut d'Estudis Catalans. 2003.—V. 2(3).— P. 345-357.
19. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Физматгиз, 1956.—632 с.
20. Levin B. Ya. Lectures on entire functions.—Transl. Math. Monographs. Amer. Math. Soc. Providence RI.—1996.—V. 150.—248 p.
21. Beurling A. The collected works of Arne Beurling. Vol. 2 l Edited by L. Carleson, P. Malliavin, J. Neuberger and J. Wermer.—Boston: Birkhaser Boston Inc., 1989.—389 p.
22. Юлмухаметов Р. С. Аппроксимация однородных субгармонических функций // Мат. сб.—1987.— Т. 134 (176).—№ 4 (12).—С. 511-529.
23. Келли Дж. Л. Общая топология.—М: Наука, 1981.—431 с.
24. Эдвардс Р. Функциональный анализ.—М: Мир, 1969.—1071 с.
25. Напалков В. В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций ll Докл. АН СССР.—1982.—Т. 264, № 4.—С. 827-830.
26. Напалков В. В. О строгой топологии в некоторых весовых пространствах функций ll Мат. заметки.—1986.—Т. 39, вып. 4.—С. 529-538.
Статья поступила 4 мая 2005 г.
ХАБИБУЛЛИН Булат НУРМИЕВИЧ, д. ф.-м. н. г. Уфа, Башкирский государственный университет; Институт математики с ВЦ УНЦ РАН E-mail:[email protected]
