CC BY
35
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивин А.А. Основания логики оценок. — М.: МГУ, 1970 — 229 с.
2. Баранов А.Н. Когнитивный статус естественно языковой оценки (к типологии языковых стратегий оценивания). Формальные и неформальные рассуждения // Ученые записки Тартуского государственного университета. Вып. 840. — Тарту: 1989. — С. 5—23.
3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М.: Мир, 1987 — 360 с.
4. Ходашинский И.А. Псевдофизическая логика оценок величин // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. — 1988. — № 5. — С. 96—107.
5. Emami M.R., Turksen I.B., Goldenberg A.A. A unified parameterized formulation of reasoning in fuzzy modeling and control // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — V. 108. — P. 59—81.
удк 519.714.2
НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ КАНАЛОВ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ
Н.С. Демин*, С.В. Рожкова**, О.В. Рожкова**
*Томский государственный университет, **Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Результаты работ [1, 2] обобщаются на случай резервирования дискретных каналов наблюдения с памятью. Исследуется зависимость точности оценивания от кратности резервирования каналов наблюдения.
1. Введение
В [1] на основе анализа научных публикаций была решена задача синтеза оптимального в сред-неквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора (далее ФИЭ) в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех, а в [2] доказана оптимальность процедуры исключения аномальных компонент вектора наблюдения и исследована зависимость качества оценивания от размерности и структуры аномальных каналов наблюдения. На практике одним из средств повышения надежности измерительных систем и точности систем обработки информации является резервирование каналов наблюдения [3]. В данной статье исследуется вопрос зависимости точности оценивания от кратности резервирования каналов наблюдения. Модели процессов х,, г.,, и система предположений и обозначений те же, что и в [1].
2. Резервирование каналов наблюдения
Пусть индекс [/] - кратность резервирования в дискретном канале наблюдения. Тогда д-/-мерный вектор дискретных наблюдений в соответствии с (1.3) из [1] принимает вид
N
Пфш) = ) х,т + £ о!]«т) хТ4 +
к=1
+ )£[]('я ) + С[1}/«Я ), (1)
где: О01(,т) и О^^п), являются блочно-столбцовыми матрицами размеров (д-/хп), состоящими соответственно из / матриц О0(,и) и Ок(,и) размеров (дхи); £м(0 - —мерный вектор регулярных помех с матрицей интенсивности ^](4>) размера (д- /хд- /), которая является блочно-диагональной и состоит из матриц У/((т) размера (дхд),у = 1;/; матрица Си размера (д-/хг) является блочно-столбцовой, состоящей из / булевых матриц С размера (дхг) той же структуры, что и в [1];ДО - г-мерный вектор аномальных помех, г <д-/, того же типа, что и в [1].
Следующие два Утверждения очевидны.
Утверждение 1. Оптимальный в среднеквадра-тическом смысле несмещенный ФИЭ в случае резервирования дискретных каналов наблюдения с кратностью [/] определяется Теоремой 1 из [1], где всюду должен быть поставлен индекс резервирования [/].
Утверждение 2. Для определенного в Утверждении 1 ФИЭ справедливы Теорема 2 из [1] и Теоремы 1-3 из [2].
3. Фиксированный момент включения системы
с резервированием
Аналогично [2] введем критерий качества, характеризующий точность оценивания при кратности резервирования [/]
J[,]('» ) = tr
W+L +1 (TN , m , SL )
(2)
где А>0, Гд^Т,^^) - матрица вторых моментов ошибки оценки ФИЭ, соответствующая кратности резервирования [/].
Замечание 1. Нас может интересовать не только совместная точность ФИЭ, но и раздельные точности фильтра, интерполятора и экстраполятора
/[0](С) = * А(Г[Рт)
/[[¡(С) = 1Г [ Лы Г И^, С)
•ЙС-)=* [ ль Г [](^, т)
(3)
соответствующие кратности резервирования [/], что обеспечивается соответствующим конструированием матрицы А из неотрицательно определенных матриц А0, Аю А£ соответствующих размеров.
Теорема 1. Пусть
с* =
сТ I О
с] I О
(4)
Ч<]
(ТМ , ¿т " 0 "ь ) 1(Т , т " 0 | ) =
= Г
N+Ь+1 , 'т 0, "ь )-
(6)
Х^[,+1]^[]]а+1 (^т )ГN+Ь +1 (Т ,1т 0, "ь X
(7)
щж)=^¡+1]Ст)+о^от) х
¿+1]Ут)~ у [ + ф
N+Ь+1 (ТЫ 0, "ь )GN+.L+1(т)-
(8)
Поскольку
о[г+1] а ) =
KJN+Ь+1 V т/
о[] (г )
УJN+Ь+141т )
0N+Ь+1 (гт )
^+1]('т ) =
о
о
V;+1 (¿т )
е = Е[;+1] =
е[] о о т
(9)
где О - матрица размера (дхг), т.е. (/+1)-й резервный канал наблюдения является идеальным без аномальных помех. Если до момента времени Iт работает система без резервирования с заданной матрицей Си = С, а, начиная с момента т, вступает в работу система с резервированием, то
/](*т ) > /+1]^ )• (5)
Доказательство. Поскольку система с резервированием вступает в работу с момента ¡т, то
Из (П.79) в [1] с учетом (П.47), (2.33), (П.70) в [1] и (8), (9) в [2] следует
Г[,+1] (т г V ) =
А N+ь+1\1 ь)
ГN + Ь+1 (Т , ¿т " 0 "ь ) " Г +Ь + 1(Т , 1 " 0 " ) Х
х^!^) ЕТ+1][ Е+Щ+1](т) ЕТ+пГ1 Х
где ^[,+1] матрица размера [((/ + 1)-)х(/ + 1)д], соответствующая матрице С[;+1] вида (6) и построенная аналогично матрице Е в Теореме 1 из [2]. В соответствии с (2.36) из [1]
то из (8) следует
Щ+1]('т ) =
Щ]('т ) »Т & ) »«т ) Щ+1 (¿т )
(10)
Щт ) = +ь+1 (гт )Г„ +Ь +1 (Т , 4 " 01 ) Х
N+Ь+1 (т ) (11)
хО[]Т
щж)=ум(т)++ь+1(т) х
хГ
N+Ь+1
(ТЫ , ¿т - 0, ^Ь )0}Т +Ь + 1(т )• (12)
Используя (7) также и для кратности резервирования [/], получаем
^Глг]г +1 (JN , ¿т , ^Ь ) -Г?[+Ь+1 , т , )
N+Ь+1(ÍN , ¿т -0, "ь )5(гт ) Х
N+Ь+1'
= Г.
хГГ
N+Ь+1 (Т-Ы , ¿т 0, "ь ),
(13)
) = °1+Ь+1 (гт )Е[;+1][Е[;+1]Щ[;+1](?т )ЕТ+1]] :
Х Е;+1]0[++Ь]+1 (гт ) - +Ь+1 (гт ) Х
хЕ[][ Е[,]Щ,](гт )Е[]]-1 Е
Согласно (9), (10)
Ь"('т ) = [ Е[;+1 ]Щ[;+1 ] (¿т ) ЕТ+1]]-1 = " E[W](tm )Е[] Е[]»Т (¿т ) "
(14)
»(¿т )е
[]
щ ж)
(15)
Использование формулы Фробениуса [4] в (15) с последующей подстановкой в (14) дает
В«т ) =
'Щт )Е[[]Ф-1 (¿т )Е[] X
<0[+Ь+1 (^т ) 0N +Ь +1 (/т ),
»(¿т )Е[]Ф-1 (т )Е[ ] X
Х0[]+ Ь+1 (т ) - 0 +Ь +1 (/т )
(16)
Ф('т ) = Е[,]Щ,]('т )Щ],
^(¿т ) = ) - »(т )Е^]Ф-1(^т )Е[,]^Т (¿т )• (17)
Из (11), (12), (17) с учетом (7), (12) получаем
т) = У+1(0 + ОЛ+Ш(,ш)ГЛ+Ш( Г Г 1)ОЛ+1+1(,ш).
Так как У+;(,ш)>0, то ¥(/ш)>0 и Т-1(,ш)>0. Тогда из (16) следует, что В(/ш)>0, 'результате чего, согласно (13), ДГЛ+ш( т
ГЛ+Х+1( Г Л,(ш,$ ГЛ+Х+1( Г Л
/ш,т £). Посколькь ^>0, то собственные значения Я,(-), у = 1;и(Л+£+1), матрицы ЛД^+К тЛ,/ш,в'£) вещественны и неотрицательны [4]. Поэтому
^+¿+1);
1г[ЛДГЛи( 'лАЛ)] = 2 Л<ЛДГЛ+Ш( Гл,/ш,Гь))>0.
1=1
Так как неравенство (5) эквивалентно неравенству Д-^Ю = Ш - /[ы](0>0, то согласно предыдущему неравенству с учетом (2) Теорема 1 доказана.
4. Произвольный момент включения системы с резервированием
Теорема 2. Пусть система с резервированием работает с начального момента времени. Тогда, если
41]
(^, tя - 0, ^) >1^+ ^ , tя - 0, |), (18)
то свойство (5) справедливо для произвольного момента времени ,ш.
Доказательство. Справедливость теоремы будет доказана, если из (5) при справедливости условия (18), записанного для момента времени /ш+1, будет следовать неравенство /[1](,ш+1) > /[/+1](,ш+1). Воспользуемся методикой доказательства теоремы 3 из [2]. Матрица ГЛ+!+1( тЛ,/ш+1-0,Г£) с, учетом (18) может быть представлена вГвиде ГГЛ1+ш( г,ш+1-0,г£) = =ГЛ+ш( ГЛ,/ш+1-0,Т:)+ Г, где Г>0. Аналогично выводу формулы (27), получаем
=Г /,
(N+ 1+1)п '
-(fN++1^+l(^w, tя+1 - 0,,) +Г)> х^^) Ef]X
Ч]^)+£^N+¿+1^+1) >
хг а£+l(tя+l) Е[] х Е^+1 (^1) ] (^++11Т, я +1 - 0,3 ) + Г),
+ 1) + GN}L + 1(tя + l') '
(19)
хГ
ГХ^,tя+1 -0,,+l(tя+1)]Е[Т]. (20)
Введем матричную функГцию скалярного переГ-менного а>0 вида Ф(а) = ГЛ+1[+1(ГЛ,/ш+1-0,Г£)+аГ. Рассматривая 'Л+ш^лтЛ+ьГ) как функцию а, из (19) получаем
- И
г 1-
^ л.
1( fN = ^
;а) =
(Ы + ¿+1)п
-Ф(а)0&+1^я+1) X
хET][И^[.](tя+l) +аE[.]GJ[+L+li^GJ[fL+l(tя+l) Е[]]-1 х
)]ф(а). (21)
Аналогично (22) в [2] ¿Г +1 (ТЫ, tя+1,;а)/ёа = , (22)
В = V+¿+1),-Ф^Е^) х хEf][И^[.](tя+l) +аE[.]G^[[+L+l(tя+l) х
N+¿+14 'я + Ь
хГГ ^[+¿+1 (tя+1 ) Щ] E[]GV+]L +1 (я +1 )
. (23)
~ Так как Г>0, то из (22) следует Гм+Д Г' Л,^ш+1,Гь,а)/йа>0 [5], следовательно, Гл™ ( ГЛ,/ш+1,Г1,а) - монотонно неубывающая по а в смысле определенности матрица. Поэтому
Г []
N+¿+1 (^Ы , ¡я + 1, 4 ; а)
>
> ГN+¿+1 О^ , ¡я + 1, 4 ; а)
(24)
Из (21) и (7) с учетом (8), записанной для момента /ш+1, следует
Г+1 (J■N , ¡я+1, ^ ; а) | а=0 --Г[+1] (Т t ,5 ) =
х N+L+1ЧЬ N5 я+1'
= Г ^Х^, ^ -0, 4 ) В (я+1) х
х ГN+.¿+1 (^N , К+1 - 0, ^),
В(tя+l) = ^Оя + 1) х хET+l][E[l+lWl+l](tя+l)ET+l]]-1 х
хE[l■+l]G^+l]+1 °-я + 1 ) - ^ +1 (tя + 1 ) х
(25)
11+1]'
-?Ттгг-1
хE[:^1 (tя+l)E[.]GNirL+l(tя+1),
ЩЖ+1) = V+l](tя+l)+с|+1]+10я+1) х
(26)
[1+1^ я+^ г [1+1]Ч'я+1/ 1 KJN +L + П*я+1>
хfN++1^+l(тTN,¡я+1 -0,^)Gí;Lf 1(я+1). (27)
Из сравнения (26) и (14) следует, что доказательство свойства В](,ш+1)>0 может быть проведено аналогично доказательству свойства В(/ш)>0. Тогда из (25) будет следовать
ГЛ+¿+1(Т л,/ш+1,Г1/а)|о=0>ГЛ+1+1(Т Л,,ш+1,ГЬ).
Согласно (19), (21),
ГМ+1( Г Л,/ш+1,Г1) =ГЛ+!+1( Г Л,/ш+1,Г 1">а)\а=1.
Из двух последних неравенств с учетом (24) следует
ГЛ+¿+1( т л,,ш+1,]1)>ГЛ+!'+1( ~ N^+11'1)1
то есть
Гх) - ГЛ+Х+1( ГЛ> Таким образом, неравенство Д/[1](,ш+1) = /[,](,ш+1) -- ^¡((м)^ следует аналогично неравенству для Д/[,](,ш) при завершении доказательства Теоремы 2. Тем самым Теорема 2 доказана.
а=1
а=0
Смысл приведенных результатов состоит в том, что добавление идеального резервного блока без аномальных помех может лишь улучшить качество оценивания.
Замечание 2. В соответствии с Замечанием 1 Теоремы 1 и 2 справедливы для раздельных задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции.
Пример. Пусть ненаблюдаемый процесс x1 задан уравнением (1.1) из [1], в котором F(t) = -a, a>0, Q(t) = Q = const. Процесс z1, определяет непрерывные наблюдения без памяти вида (1.2) из [1], где Hk = 0, k = 1;Д H0 = H = const, R(t) = R = const. Дискретный канал наблюдения формируется как совокупность двух скалярных каналов, в каждом из которых наблюдается сигнал X(tm,T) = G0xm+G1xT, где G0 = const, G1 = const, на фоне некоррелированных регулярных помех ^(Q, £2(tm) с одной интенсивностью Ф2= const. Пусть L=1 (^=s).
Рассматриваются три ситуации:
1) аномальные помехи отсутствуют (С=0);
2) аномальная помеха действует по первой компоненте п(0 (CT = [1| 0]);
3) аномальные помехи действуют по обеим компонентам п(0 и n2(tm) двумерного вектора наблюдения n(tm) (C = I2). Соответствующие этим случаям среднеквадратические ошибки оценок экстраполяции в момент tm будем обозначать Y4s,tm), Y^O, Y22(s,tffl).
Рассмотрим, как и в примере из [1], случай редких дискретных наблюдений, когда решения дифференциальных уравнений (2.4-2.10) из [1] для рассматриваемого примера достигают своих стационарных значений (см. (3.2) в [6])
Y = (Я- а)/5, Х = 4 а2 + 5Q, 5= HЦR, ym(t*) = Yexp{-Яt*}, Уп(* *) = Y[k + (1 -к)ехр{-2Я *}], к = (Я + а)/2Я, ут(Т) = yехр{-аТ},
Yi2 (Л Т) = Y ехр{-Я t *} ехр{ - аТ}, Y22 (Т) = Ql2а + (y- Q/2а)ехр{-аТ}, (28)
где t* = t-т есть глубина памяти, а T = s-t есть интервал экстраполяции. Пусть Д10 = Yn(s,Q -Y02(s,tm), Д21 = Yn(s,tm) - Y^(s,tm). Тогда аналогично (2.49) из [1] получим
А10 =
Ф32[СО7О2 + GIYI2]2
[Ф32 + (GO2Y + GI27II + 2GoGiYoi)] х 1/[Ф32 + 2(Go2y + Gi27n + 2GoGiYoi)],
A 2i =
[GoYo2 + GiYi2]2
[Ф 2 + (G2y + G^Yu + 2Go GiYoi)]
(29)
(30)
Y22 (s, tm ) ^(s, tm ) > Y22 (s, tm ). (31)
Канал наблюдения, формирующий n2(tm) в ситуации 2, может быть интерпретирован как резервный относительно n(tm) и являющийся при этом идеальным. Поскольку ситуация 3 эквивалентна ситуации скалярного наблюдения n(tm), то согласно принятым обозначениям для оценки экстраполяции J[1](tm)=Y222(-sA), J\2](tm)=Y122(s,tm), ДЯ=J[1](tm)-J[2](tm). Так
как Д21 > 0, то J[1](tm)>J[2](tm), что отражает свойство (5) для рассматриваемого примера относительно оценки экстраполяции (см. Замечание 2), причем при конечных значениях параметров получено строгое неравенство, означающее, что наличие идеального резервного канала лишь улучшает качество экстраполяции. Воспользовавшись последней интерпретацией Д21, введем меру эффективности £21 = Д21 - Д21 дискретных наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче экстраполяции, где Д21 - значение Д21 при G1 = 0. Если £21 > 0, то наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти, так как наличие идеального резервного канала с памятью дает большее уменьшение среднеквад-ратической ошибки оценки экстраполяции, нежели наличие идеального резервного канала без памяти. Если е21 < 0, то наблюдения без памяти эффективнее наблюдений с памятью. Исследование зависимости £21(t*), как функции глубины памяти, дает следующий результат.
Утверждение 3. Пусть s21 = lim £21 при t*^0; es = lim £21 при t*ts; G = {(G0,Gi):G2 + 2ад<0|. Тогда
1) для e21 и ^справедливы формулы
£21 = [^3Y2(Gi2 + 2G0 G1)exp{-2 aT}]/
[(Ф 2 + (Go + G1)2 Y)(o 2 + G02Y)], (32)
£ 2л =-[G2GiVexp{-2 aT}]/
[(Ф 2 + (Go2 + G2K)Y)^ 2 + Go2Y)]; (33)
2) при большой глубине памяти идеальный резервный канал без памяти эффективнее идеального резервного канала с памятью, то есть el<0;
3) если (G0,G1)iG, то при малой глубине памяти идеальный резервный канал с памятью эффективнее идеального резервного канала без памяти, то есть £а>0 и £^<0 при (G0,G1)e G;
4) если (G0,G1)iG, то £21(t*) является монотонно убывающей функцией глубины памяти, обращаясь в ноль в точке t* = tf, определяемой формулой
V =-ln
Gl(Фз2 +kyGq)
X I Go([Фз4 + kyGi2(Ф^ +KYGO2)]^2-Ф2)
.(34)
где y, Ym, Y11, Y02, Y12 определяются формулами (28). Из (28-30) следует A10 > 0, A21 > 0, то есть
Дадим некоторые комментарии к полученному результату.
10) Величина tiff может быть определена как эффективная глубина памяти. 20) Влияние непрерывных наблюдений осуществляется через параметр 8, см. (28), пропорционального отношению сигнал/шум по интенсивности в непрерывном канале. При отсутствии непрерывных наблюдений, когда 8 = 0, из (28) следует, что Я =a, к =1, и, таким образом, формула (34) дает явную зависимость эффективной глубины памяти от времени корреляции ak = 1/a процесса xt.
Заключение
Для ФИЭ, синтез которого осуществлен в [1], доказаны следующие основные свойства:
- добавление в канале наблюдения идеального резервного блока без аномальных помех может лишь улучшить качество оценивания;
- свойства ФИЭ, отмеченные выше, справедливы и для раздельных задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции,
- рассмотренный пример показывает, что наличие памяти может как улучшать, так и ухудшать качество оценивания.
Применительно к системам управления, навигации, передачи данных, имеющих непрерывно -дискретные во времени инерционные каналы наблюдения, полученные результаты позволяют обоснованно выбирать кратности резервирования каналов наблюдения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демин Н.С., Рожкова С.В. Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. Синтез // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2000. — № 3. — С. 5-16.
2. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Анализ задачи непрерывно-дискретного оценивания стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т 306. - № 2. - С. 5-10 .
3. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных устройств. - М.: Машиностроение, 1976. - 312 с.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 576 с.
5. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М.: Наука, 1972. -232 с.
6. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева А.В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН. Теория и системы управления. -1997. - № 4. - С. 48-59.
удк 159.9:681.3
АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ ЛОКАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
О.Г. Берестнева, Е.А. Муратова, А.Е. Янковская
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассматриваются один из подходов анализа структуры многомерных данных методом локальной геометрии. Обосновывается разработка интеллектуальных систем, способных адаптироваться к конкретным прикладным задачам, учитывать особенности исследуемых данных и строить вычислительный процесс в зависимости от полученных результатов.
Введение
Одним из методов получения наглядного визуального представления о логических закономерностях в структуре данных является метод локальной геометрии. В отличии от традиционных методов анализа многомерных данных, которые используют представление об общем пространстве признаков и об одинаковой мере сходства и различия, в методе локальной геометрии каждый объект рассматривается как самостоятельный классификатор, и для него строится собственное (локальное) пространство признаков, в котором определяется индивидуальная мера сходства и различия с другими объектами [1].
Использование метода локальной геометрии для обнаружения закономерностей в базах данных позволяет получать следующие преимущества, указанные в [1]: 1) достаточно простое построение IE..THEN правил в данных; 2) устойчивость закономерностей проверяется с помощью множества фальсификаторов; 3) выявляется структура логических закономерностей в данных; 4) достигаются минимальные ошибки при решении задач классификации, распознавания образов и прогнозирования.
Анализ геометрической структуры данных методом локальной геометрии не имеет готовых шаблонов и реализуется известными методами и алгоритмами, использующие геометрическое описание
