CC BY
40
Естественные науки
УДК 519.714.2
АНАЛИЗ ЗАДАЧИ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЕ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ
Н.С. Демин*, C.B. Рожкова**, О.В. Рожкова**
♦Томский государственный университет, """Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Исследуются свойства фильтра-интерполятора-экстраполятора, синтез которого осуществлен в [1], касающиеся оптимальности процедуры исключения аномальных компонент вектора наблюдения, зависимости точности оценивания от размерности вектора аномальных помех и структуры воздействия его компонент на компоненты вектора наблюдений.
1. Введение
В [1] на основе анализа научных публикаций была поставлена и решена задача синтеза оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора (далее ФИЭ) в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения с памятью произвольной кратности, когда экстраполяция осуществляется одновременно в произвольном числе будущих моментов времени, а в дискретном канале наблюдения действуют аномальные помехи. В результате рассмотрения крайних ситуаций отсутствия аномальных помех, либо их воздействия по всем компонентам вектора наблюдений, а также содержательного примера, была заявлена необходимость исследования вопросов зависимости точности оценивания от количества аномальных каналов наблюдения и структуры воздействия компонент вектора аномальных помех на компоненты вектора наблюдений. Модели процессов х, система обозначений те же, что и в [1].
2. Оптимальность процедуры исключения
аномальных наблюдений
Пусть вектор дискретных наблюдений ) размера -г) получается из вектора г)(гт) путем исключения компонент с номерами , /2, • • •, / , по которым действуют аномальные помехи. Пусть
(л„) - матрицы
соответственно размеров [(^-г)хл], [(<?-/-)хя], [(^-/-)х(7У + 1 + 1)и] , которые получаются из матриц £„(*„), ^N+1+1 ((т ) исключением строк с номерами цл2,---,1г, а матрица размера
[(д-г)х(д-г)] получается из матрицы V (/т ) исключением строк и столбцов с указанными номерами. Тогда оптимальный в среднеквадратическом смысле ФИЭ, в котором используется вектор наблюдений 'п(^т)' будем называть усеченным.
Утверждение 1. Усеченный ФИЭ на интервалах < £ < ¿т+1 определяется для
Г0*(**,/). Г"(*„/),
уравнениями (2.1-2.11) теоремы 1 из 11] с начальными условиями, которые определяются следствием 2 из [2], в которых Л (С). Л (О' ^о (0> ^(О'-^СО заменяются соответственно на
Данное утверждение очевидным образом следует из упомянутых теоремы и следствия.
Теорема 1. ФИЭ, определенный теоремой 1 из [1], и усеченный ФИЭ эквивалентны.
Доказательство. Пусть момент - первый момент появления аномальной помехи. Это означает,
что
И 1 Л'+/,+1 ( ТЛ''
в усеченном фильтре совпадают с соответствующими величинами в ФИЭ из Теоремы 1 в [1]. Тогда
А*+£+1 Л Л ) = Дл+Л+1 Л, - Ь ) +
^М^-'ОЛ (2)
лСО^СО-^Ж)* тям приводит с учетом (2.35) из [1] к соот-
ношению
ХДлг+^+1 ~ , Ч , ч „Г -Н/ ч ,г-1/ \~1 —,7-
Таким образом, из (П.45) в [1] и (1) следует, что №{гт) = ]¥{1т)+ (*и)] С ,
доказательство сформулированной Теоремы сво- откуда следует матричное тождество дится к доказательству равенства
Введем в рассмотрение булеву матрицу £разме- хСЙ'1 (г ) СТ1¥~] )1 ) -
ра <?], которая получается из матрицы 1д т
исключением строк с номерами г',,^,... ,г'г.Очевид- (О ~ ^ (Ох
но, что хСЛГ~1 (гт)СГЖ-' (0]**ЧО"
= ^(О • Следовательно, доказательство упомянутого равенства сводится к доказательству
Пусть - левая часть (7). Используя
для
уииминушш уавьпыва свидт^и 14 дик.а.зсисльи1ву ~ 7 ' \ V т/ ^ ' - • ■
1 ~ / \ (г (), которые стоят в качестве сомножителей
матричного тождества К{1т)Е = К{1т), которое прич кратной скобке слева и справа в ¥(/„),
с учетом (2) и (П.46), (П.74) из [1] расписывается в формулу (2.35), а затем (П.70) из [1], получаем:
виде:
(¿л, л - ол) х х ^^ ^ ^ _ ^ ^ ^ ^ сГ х
= (гл^т -О'О* тогда из (7) СЛедуех:
т ) Г) Г ('« )• IV'1 (/„ ) - ж-1 (*„ ) СДГ1 (*и ) 1 (/„ ) =
Таккак = ЕС^т), У{1т) = ^"ЧО-^ЖК^ЧО^'ЧО-
= ЕУ{1т)ЕТ, то Ж^т) = ЕЖ^я)Ет, и дока- Использование (8) в (5) с учетом (П.47), (2.33), (П.70)
зательство (4) сводится к доказательству матрично- из [1] приводит к тому, что доказательство (4) сво-
го соотношения дится к доказательству свойства
Ет[ш(и)ЕтуЕ^{1я)Ця). \У(1т)Ет[Е1¥{1т)ЕтХЕ +
Использование матричного тождества [3] (¿т)С'И/~1 (/„,) = 1гГ
[ А + ВИВ7 ] ' = А'1 - А'ХВ х Введем обозначения:
х^-Ч/Л-^/Л"1 Д =ГГ^Я)ЕТ[Е1¥ЬЯ)ЕТТ1Е,
А2^сы~х {(т)Ст1У-1((т).
с учетом (2.35) из [1] дает, что для рангов произвольных матриц Аш В имеют
- , . . ... . . х место свойства [4]
1Г<(,.) = 1Г-(/.)-1ГЧОСх *1АВ]-Л[А-ЛВ] = *[Л11Г].
х Г©"1 (/т ) + N (/т )] СТ\У ~Л (гт), В результате последовательного применения (10)
к А1 и А2 и того, что для обратимой матрицы
где А/"(/т) = Сг1¥~' (гт)С. Умножая обе части (6) ^ _ получаем
слева на СТ и справа на С, а затем сворачивая пра- г вую часть по упомянутому матричному тождеству, получаем
гк[А2] = гк с+с[ст1¥-1(1т)су С1
Так как по построению матрицы Е и С являются Отсюда с учетом (П.70) из [1] следует матрицами соответственно с независимыми стро-
= Умножение обеих к?ми и столбцами, то ЕЕ+ =
у .! ч/ 4 ' [41. Учитывая (10) и последнее свойство в (11) полу-
частей последнего выражения слева на С неправа ^ гк\А\=*\ЕТЛ = ч-г,гк\АЛ = гк\сТ~\ = г.
на С с последующим прибавлением к обеим час- 1 ^J ь J LJ
Из определения А1 и А2 следует, что А] = А1, = А2, то есть матрицы А1 и А2 являются проекционными [5]. По построению матриц С и Е имеем ЕС = О. Тогда А,А2 = О , А2Аг - О и, кроме того, гк^]* - ц. Поскольку проекционные матрицы, удовлетворяющие этим условиям, обладают свойством А1 + А^ =1д [4], то это с учетом вида А1 и Аг доказывает (9), а тем самым (4). Произвольность момента 1т следует по индукции. Теорема 1 доказана.
Данная теорема дает объяснение нечувствительности ФИЭ из [1] к неточному знанию матрицы интенсивности аномальной помехи (см. теорема 2 в [1]) и означает, что процедура исключения аномальных компонент вектора наблюдений в случае неизвестного математического ожидания аномальной помехи является оптимальной в смысле минимума среднеквадратической ошибки оценки в классе линейных несмещенных ФИЭ вида (П.45) из 11]. Использование в прикладных задачах ФИЭ из [1], а не усеченного ФИЭ предпочтительнее, так как в нем обрабатывается полный л ), а не усеченный г[ ) вектор наблюдений. Если часть аномальных компонент Л (с) становятся не аномальными, то в структуре ФИЭ это учитывается через изменение структуры матрицы С.
3. Точность оценивания
Поскольку матрица Охарактеризует воздействие компонент вектора аномальных помех на
компоненты вектора наблюдения Г| ), то различным матрицам С будут соответствовать различные точности ФИЭ (среднеквадратические ошибки оценок).
Пусть - булев вектор размера (], в котором компоненты с номерами ^, /2, ...,1г являются нулевыми, а остальные единичными. Под точностью оценивания (¿т ) в момент времени 1т, соответствующей вектору 1(г}, будем понимать величину
АГ(г>
Л)
где А - произвольная симметричная неотрицательно определенная матрица, а (г^,/,^) -матрица вторых моментов ошибок ФИЭ, соответствующая вектору /(г). Очевидно, что (¿т ) при А - ^+¿+1)« является среднеквадратической ошибкой ФИЭ, соответствующей .
Замечание 1. Введением матрицы А в (¿т ) задача обобщается в том смысле, что нас может интересовать не только совместная точность ФИЭ, но и раздельные точности фильтра, интерполятора и экстраполятора, то есть
3
I
соответствующие вектору . Это обеспечивается соответствующим конструированием матрицы из А неотрицательно определенных матриц А0, Ак, А1, соответствующих размеров.
Теорема 2. Пусть /(0), - вектора,
последовательно отличающиеся друг от друга значением лишь одной компоненты. Если tm - первый момент появления аномальной помехи, то имеет место свойство
Доказательство. Рассмотрим два вектора и
, отличающихся друг от друга значением лишь
одной компоненты, т.е. г2 = г, +1. Этим векторам соответствуют матрицы С,, Е1 и, соответственно,
' ) ' I = 1; 2 • Тогда доказательство Теоремы сводится к доказательству неравенства
Расписывая (П.79) из [1] с учетом (П.47), (2.33), (П.70) из [1] и (8) получаем
{Уы^т^ь) = ГЛГ+1+1
(Тдг Лт- ОЛ ) (¿и ) X ('„)[/,■-«СДГ1 ).С^"1 )]:X (*„)Г(т„, (т - 0,), (13)
где ЛГ. (*„ ) = С?Г'1 (*и)СУ, / = 1^2. В (13) учтено, что = =
(•), так как - первый момент появления аномальной помехи. Тогда
= ъ[ЛГ„+1+1 (ты,гт -0Л)х
-^ЛГЧО^КЧО*
х (с ) Гн+Ш (ты, 1т - 0, зь )]. (14)
Используя свойство = йг[525,], (14)
можно записать в виде
г ,. , \ш-Ч Л Поскольку теорема 2 предполагает, что 1т -пер-
^Ут) = ™ ут)], (15) вый момент появления аномальной помехи, то воз-
никает вопрос о том, при каких условиях неравен-
где = ство (12) будет справедливо, если снять данное ограничение.
(гл,,1т -О,^)01,ш (*„), (*и) =
Теорема 3. Пусть
1 N+L+l\TN'lm и>лЛ,/-
Так как А>0, то >0 [6]. Использова- _ ние (9) при С = С2 и Е = Е2 дает, что
где А)2=Ж(ф г2=П+1. (16)
хЕ2 [е^ (г ) ] ' Ег Агх = СХЫХ1 (/ )х Тогда неравенство (12) справедливо для произволь-
(/,„). Как и при доказательстве Теоремы ного момента времени 1т.
1, получаем гк[Аи] = д - г2, гк[Ап\ = гх. Так Доказательство. Для доказательства данной те-
как 4 - Ап, = Л21, то Л]2 и Л2] - проек- °Ремы Достаточно показать, что из неравенства
ционные матрицы [5]. По построению матриц С, ^(О-0' следующего из Теоремы 2, с учетом
и Е2 имеем, что Е2СХ = О. Тогда Л12Л21 = О, Условия <16)> записанного для момента времени
А2ХАп = О. Для проекционных матриц, которые > бУдет следовать неравенство ДУ (*я+1) > 0.
удовлетворяют этому условию, матрица Матрица О,с учетом (16)
А = Ап + А1Х также является проекционной [5] и может быть представлена в виде (т„,
= = так как ~°А) = ^Иш^я^ж*+ где
г2 = гх +1. Матрица ЬХ 2 ((т) = 1д~А также яв- Г > 0 [3]. Тогдаиз (2.37) в [1] следует
ляется проекционной, так как = = 1) +
= 1 — А. Поскольку для проекционной матрицы „ / /V \ ранг равен следу [5], то г«[д2 =
= &|\2(0] = ь[1д]-*х[Ау^[1д]-гк[А] = д- Из (П.79) и (П.47) в [1], получаем
-(д-1) = 1. Пусть здесь и далее Шф)) г^'^ (т / (т / -0 ? "I-
(г = 1,2,...) означает спектр матрицы Ф. Посколь- , .
ку собственные числа проекционной матрицы рав- ы+ш ^ л" т+1 1'
нылибоО, либо 1, а -СД^)]*
)]-гг[А>2= (А,1, хСд,+£+1 (гд,,/т+, -0А)- (18)
то (я,. {Ьхг (/и ))} = {о, 0,..., 1,0,... 0} / = 1; ТО Записывая (8), (9) для С, и соответствующей ей
Е1 и используя эти соотношения в (18) с учетом
есть ¿12 (О-0- Так как I ) > 0, 1,,2 (О > 0 ^^ да 70) из[1]и представления ^ ) из (6),
и №-1(1п)> 0, то [6] А,2(0^'«) получаем
(О ^ 0>то есть ГА) = ~
ММОМО^'М)*0.*^ _Г(,) , _оЛСг (7 )х Таким образом,
Теорема 2 доказана. х?лг+£+1 (^>^¡+1 (19)
Полагая г, = г2 в (19) с учетом (17) получаем окончательное выражение для (т^,
в виде
^ЛГ+1+1 ~ ^(ЛГ+£+1)я -
-(г(тд,, - О, ^ ) + Г) ) X
+ (20)
Введем матричную функцию
скалярного переменного а > 0. Рассматривая матрицу (гд,,^,,^) как функцию а, из (20) получаем
Согласно (20), (21), t{^L+l(xN,tm+l,~sL) =
■Ль)
(N+L+1);
I (^A^m+l'^i'01) ~~ In
~E2W(ri]{tm+l)ET2 + +aE2GN+L+l(t^)fGTN+L+l(tm^Jlx
lMJgH- (21)
x E2GN+L+l i
Использование формулы дифференцирования обратной матрицы в (21) дает
(т N,tm+I, sL; a)/da = BY В1, (22)
где
~E2W{ri){tm+l)El + i
Так как Г > 0 , то из (22) следует, что [6],
то есть Гд?+£+1 (;а) - монотонно неубывающая по а в смысле определенности матрица. Тогда
Ч*)
+а E2GN+L+iy
^N+L+l
— Гjvi/,+1 (i JV J J ^L'a )
a=0
(23)
_ f (i) ~ L N+
следует
= (хдг,/и+1,5г;а)|а=1, отсюда, из (21), (23)
f^ (х t ч \>Ч*
1 N+L+1 V Л" /и+1 } — т '
(24)
где
4 =
-Г
(ч)
l(N+L+\)n х N+L+l (V А+1 ^ ) Х
хЕ2 gn+l+1 (tm+]) f(;L+1 (t^'Ch-i ~),
Из (9) для С,, Ех, j в момент времени im+1 следует
Отсюда получаем
Щ^Е?
El
-El
е2 =
х~Е21¥м(^)ЕГ1
+cxN;\tm+l)clw{^(tm,l)
E2+
(25)
Аналогично доказательству свойств Ц 2 (¿т) > О и ¿,2 (¡т)Ь((т)IV1 ((т)>0 в предыдущей теореме может быть доказано, что
Е2 +
+cxK{tn+x)cTxw^(tm+x)
Тем самым, согласно (25) \E2W(n]{tm^)El
>0
El
-El
Е2> 0.
(26)
Полагая rt = rx, получаем из (19), (26) с учетом вида для ¥ , что
4х (Тдг,/т+1,5£)-
-E^E.W^t^El
(U)fïL. ( -0Л) * 0- (27)
Тогда из (24), (27) следует f (■) > ^ f ï'Li (•)• Поскольку A > 0, то [6]
iL. 0-f<;L, (■)])*<>,
j = l;(N + L + \)n. Из определения J^ (tm+] ) имеем, что
MO(0-^.(0]].
Тогда
= i 4
г
ы
N+L+l
O-fÎL, (.)])> 0.
Теорема 3 доказана.
Смысл приведенных результатов состоит в том, что добавление аномальных компонент вектора наблюдения к уже имеющимся аномальным компонентам может лишь ухудшить точность оценивания.
В общем случае для двух векторов и ^у,) таких, что гг > /}, но набор нулевых компонент вектора \Г1) не поглощает набор нулевых компонент вектора ^ , ничего определенного о соотношении
между /(п)(0 и ^(О сказать нельзя.
Замечание 2. В соответствие с Замечанием 1 Теоремы 2 и 3 справедливы также и для раздельных задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции.
4. Заключение
Для ФИЭ, синтез которого осуществлен в [1], доказаны следующие свойства:
- процедура исключения аномальных компонент вектора наблюдения является оптимальной;
- добавление аномальных компонент вектора наблюдения к уже имеющимся аномальным компонентам не улучшает качество оценивания;
- свойства ФИЭ, отмеченные выше, справедливы также и для раздельных задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демин Н.С., Рожкова C.B. Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. Синтез // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 3. - С. 5-16.
2. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева A.B. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 48-59.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. -576 с.
4. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. - М.: Наука, 1977. - 224 с.
5. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. - М.: Наука, 1973. -432 с.
6. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М.: Наука, 1972. -232 с.
