Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. Ii. Непрерывно-дискретные наблюдения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.С. Демин, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ.

II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

В данной работе рассматривается общая задача, постановка которой приведена в [1], когда одновременно наблюдаются процессы с непрерывным и дискретным временем. Осуществлен синтез фильтра. Доказаны свойства нечувствительности фильтра к неточному знанию матрицы интенсивности аномальных помех и оптимальности процедуры исключения аномальных компонент векторов наблюдений. Рассмотрена проблема зависимости точности оценивания от количества и структуры аномальных каналов наблюдения.

Система обозначений та же, что и в [1].

1. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА

Утверждение 1. Пусть /0 (* ) = 0. Тогда на интервалах времени *т < * < *т+х оптимальный в среднеквадратическом смысле несмещенный в классе линейных фильтр определяется уравнениями (23) - (29) из [1] с начальными условиями

Н'От ) = ^(т - 0) + К0 (т )Л (т );

Ц(тк , *т ) = Ц(^ , *т - 0) + Кк (т )П (*т );

Г(/т)=Г(*т -0)-К0 (*т)(?0 (*т)

гkk (Tk>tm) = гkk (Tk>tm -0)-Kk (tm)Gk (tm);

Г0к (Tk > tm )=r0k (Tk > tm - 0)-K0 (m )Gk (m ); rkl (Tl, Tk > tm) = Гkl (Tl, Tk > tm -0)-Kk (tm)Gl (tm)

где П (tm ) = n(tm )-G0 (tm )^(tm - 0)-

N

-Z Gj (tm )^(T ( > tm - 0);

j=1

G0 (tm) = G0 (tm)r(tm -0) +

N

+ Z G( (tm)Г0( (T( >tm -0);

(=1

Gk (tm) = Gk (tm)rkk (Tk > tm - 0) +

N

+ Z G( (tm)rTkj (j > Tk > tm -0);

( ^k

K (tm ) = GT (tm )W-1 (tm ),

Kk (tm) = GT (tmW- (tm); (10)

W (tm) = W(tm) + C®(tm)CT ; (11)

W (tm ) = V (tm ) + G (tm )^N+1 (T N , tm - 0) GT (tm ) (12)

G (tm )=[G0 (tm) jG (tm) ••• \ Gn (tm)] ; (13)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

- N+1 (T N ,t) =

r(t) r01 (T1>t) r0l (Tl>t)

rT1 (•) r11 (t1> t) r ß ( > t (> 0 r0l (•) rfl (•) r„ (Tl, t)

l = 2; N, j = 1; N-1, l > j, (14)

а g (tm - 0) =lim g () при t ^ tm , то есть обозначает решение соответствующего дифференциального уравнения для g(t) на предыдущем интервале времени, которое вычисляется в точке t = tm.

Сформулированный результат очевидным образом следует из Теоремы 1 в [1] и Теоремы 2 в [2] с учетом независимости f (tm) и §(tm).

Ведем в рассмотрение матрицу К(іт) размера [(Ж + 1) п х ,\ вида

кт (іт)=[кТ (т Я К (у кЖ (т)]. (15)

Тогда из (15) в [1\, (1), (2)

Аж+1 (ТЖ , Іт) = Дж+1 (ТЖ , Іт - 0) + К (т)п (іт). (16)

Используя в (16) вместо неизвестного / (іт) оценку / (іт ) = У (іт )т\ (іт) в виде линейного преобразования процесса п (іт), приходим к тому, что структура фильтра в момент времени іт имеет вид

Дж+1 (ТЖ ,Іт) = ДЖ+1 (ТЖ , Іт -0) + К (іт)П (іт), (17)

К (Іт ) = К (іт )У (Іт ), У (т ) = I, - СУ (іт ), (18)

с условиями несмещенности

У (Іт)С=о, у (Іт)с=/г. (19)

В качестве критерия оптимальности фильтра в момент времени Іт выбираем среднеквадратичный критерий, то есть критерий вида J = 1Г [

Ж+1 Ж , І т )] ,

где І^ж+1 (;^Ж , Іт)=М{ДЖ+1 (;^Ж , Іт)а^ЖТ+1 (;^Ж , Іт)} . С учетом условий постановки задачи получаем, что J=1г [Г ж+1 ( ж , т- 0)]+

+ * [К (Іт )У (Іт )ЇЇ (Іт )УТ (т )КТ (т )]-

- ЇГ [Гж+1 (Тж , Іт - 0]ОТ (Іт )УТ (т ) К (^ )]-

- ЇГ [К (^ )У (Іт )0 (Іт )Гж+1 (¿ж , ^ - 0)] . (20)

Итак, пришли к следующей задаче: на классе фильтров (17), удовлетворяющих условиям несмещенности (19), найти матрицу К( т), доставляющую минимум функционалу (20).

Теорема 1. На интервалах времени Іт <і<Іт+1 оптимальный в среднеквадратическом смысле несмещенный фильтр (ОСКСНФ) в классе линейных фильтров вида (19) из [1\ и (17) определяется уравнениями (23) - (29) из [1\ с начальными условиями

Д(т) = Д(т -0) + К0 (т)^ (т)

Д(Тк , Ъ ) = Д(Тк , ^ - 0) + ^к (т )'Л (т );

Г(Іт ) = Г(Іт - 0)-К0 (Іт )0о (іт )

Гкк (тк , Іт ) = Гкк (тк , Іт - 0)-^к (іт )(^к (іт )

r0k (Tk > tm ) = r0k (Tk > tm - 0)-^0 (m )Gk (m );

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

^kl (Tl > Tk > tm ) = rkl (Tl > Tk > tm - 0) - ^k (m )'Gl (m ) ; (26)

K0 (tm) = K0 (tm)[/, - CY (tm)] ;

Kk (tm) = Kk (tm)[!q - CY (tm)\; (27)

У (Іт) = [СТ#-1 (Іт)С]-1 СТЇЇ- (Іт), (28)

а 'П (Іт ) А0 (Іт ) , &к (Іт ) & (Іт ) , № (Іт ) , К0 (Іт ) ,

Кк (іт) определяются формулами (7) - (13).

Доказательство. Необходимое условие оптимальности ШІ дК (іт ) = 0, согласно (20), приводит к матричному алгебраическому уравнению для нахождения К (іт) вида

К (Іт У (Іт )№ (Іт )УТ (т ) =

= ГЖ+1 (ТЖ ,Іт -0) АТ (т)УТ (т).

(29)

Из сравнения (29) с уравнением (33) из [1] следует, что дальнейшее доказательство будет повторять доказательство Теоремы 1 из [1] и поэтому опускается. Отметим лишь, что вместо формул (29), (39) здесь получатся их аналоги вида (28) и

К (*т) = Г*+1 (% , *т-0)0Т (*т)&- (*т). (30)

2. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

^ / \ ^ / \

Как и в [1], считаем, что Ф () и © ((т) - истинные, Ф() и ©((т) - используемые в фильтре матрицы интенсивности. Тогда для

= М

- N+1 (ТN , (т ) =

{ д0 (Т N {т ^ (Т N , (т )} , где д0 (% , (т ) - ошибка

реальной оценки ДN+1 (ТN, *т), получаем на основе (17) с учетом условий постановки задачи выражение

ГN+1 (ТN ,(т^[^+1)п -К ((т)0((т)] ^^N+1 (N , (т -0)х х[^+1)п - К ((т )С ((т )^]Т +

+К (*т )\У (*т ) + С/0 (*т ) /0 (*т )СТ ] К (*т ) +

+К (*т)С©* (*т)СТК (*т). (31)

Согласно [l], П (т )=аг N+1 (Т N , (т )/5©у

является функцией чувствительности фильтра относительно (/¡/)-го элемента матрицы интенсивности помехи /((т) (1 <I,]<г). Непосредственные вычисления с использованием (31) дают П^ ((т ) =

= К ((т)С1уСТКТ ((т), где является матрицей раз-

мера (г*г), у которой (¿¡/)-й элемент равен единице, а остальные элементы нулю. Использование (18), (19) приводит к свойству Пу ((т ) = О для всех I = 1; г ,

] =1; г . Таким образом, получили следующее утверждение.

Теорема 2. ОСКСНФ, синтезированный в п.1, является нечувствительным к неточному знанию матрицы интенсивности ©((т) аномальной помехи / ((т).

3. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПРОЦЕДУРЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ АНОМАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Пусть ц((т) - вектор дискретных наблюдений размера (д - г), который получается из вектора ц((т)

путем исключения компонент с номерами /1, /2, —, 1г, по которым действуют компоненты вектора аномаль-

ной помехи / (т) . Пусть (т) , Ск (т) к = 1; N -

матрицы размеров [(д - г)х п], а V ((т) - матрица размера [(д - г)х(д - г)], которые получаются из матриц 00 ((т), Ск ((т) и V ((т) исключением строк и соответственно строк и столбцов с номерами /1, /2, —, 1г. Тогда оптимальный в среднеквадратическом смысле фильтр, в котором используются вектора наблюдений 7 (() и ц((т) будем называть аналогично [1] усеченным.

Утверждение 2. Усеченный фильтр на интервалах времени (т <(<(т+1 определяется для Д(), Д(тк,(),

г((), гкк (тк,(), г0к (тк,(), ги (Т ,Тк,() уравнениями Утверждения 2 из [1] с начальными условиями (1) -

(6) в которых П(*т) , П ((т ) , К0 ((т) , Кк ((т), С0 (т) ,

Ок (т) , ¿0 (*т) , 0к ( т) , С(*т) , V (*т) , # (*т) ,

+1 (') заменяются соответственно на ц(т), (т),

К0 (*т ) , Кк (*т ) , 00 (*т ) , 0к (т ), 00 (*т Ь 0к (*т ),

О (*т ) , V (*т ) , & (*т ) , ^+1 (•) .

Данное утверждение непосредственно следует из утверждения 2 из [1] и утверждения 1.

Теорема 3. Фильтр, определяемый теоремой 1, и усеченный фильтр эквивалентны.

Доказательство. Пусть *т есть первый момент появления аномальной помехи, а это означает, что

+1 (ТN , *т - 0) и ГN+1 (ТN , *т - 0) в усеченном фильтре совпадают с соответствующими величинами в фильтре из Теоремы 1. Поскольку доказательство данной теоремы строится аналогично доказательству Теоремы 3 из [1], то выделим лишь основные моменты. Введем в рассмотрение булеву матрицу Е размера [(д - г)х д], которая получается из 1Ч исключением

строк с номерами /1,г2, —, 1Г. Так как (т) = Ег\(т),

то доказательство равенства К (т ^ (т ) = ^ (т )тП (т), в чем заключается доказательство теоремы, сводится, как это следует из (17), (18), (30), к доказательству матричного тождества

^ N+1 (N , *т -0)0Т (*т)&- (*т)Е =

= ^ N+1 (ÍN , *т -0)0Т (*т )»Г“1 (*п )¥ (*п). (32)

Так как 0(т) = ЕС (*т) , V(т) = ^ (*т)ЕТ , то доказательство (32) сводится к доказательству соотношения

ЕТ [Е&(*т )ЕТ ]-1 Е = &-1 (*т )У (*т ). (33)

Из сравнения формул (51) из [1] и (33) следует, что дальнейшее доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 3 из [1]. При этом аналогом промежуточных формул (57), (58) будут формулы

&^ (( т)-&-1 (*т)С[СТ#-1 (*т)С]-1 СТ&- (т) =

= &-1 ((т )-&-1 (( т )С [СТ&-1 ((т )С]-1 СТ&- (^ ). (34)

& (*т)ЕТ [Е& (*т)ЕТ ]-1 Е +

+С [СТ&- ((т)С]-1 СТ&-1 ((т) = Iд . (35)

Произвольность момента т следует по индукции.

4. ТОЧНОСТЬ ОЦЕНИВАНИЯ

Введем в рассмотрение булев вектор 1г размерности д, в котором компоненты с номерами /1,/2,---, 1г являются нулевыми. Под точностью оценивания J¿г) ((т), соответствующей вектору 1г, будем понимать величину J(г) ((т ) = *г [А ГN+1 (ТN , (т )] , где А - ПрОТЗВОДШаЯ симметричная неотрицательно определенная матрица, а Гж+1 (, (т)- матрица вторых моментов ошибок оценок +1 (тN, (т), соответствующая вектору 1г.

Теорема 4. Пусть т - первый момент появления аномальной помехи. Тогда для векторов 1(0), 1^,...,

•••, 1(д), последовательно отличающихся друг от друга значением лишь одной компоненты, точности оценивания при г = 0; д -1 удовлетворяют неравенству

J(r+1) ((т) > J(г) ((т). (36)

Доказательство. Рассмотрим два вектора 1^ и 1(г2), отличающихся друг от друга значением лишь одной компоненты, то есть г2 = г1 +1, и соответствующие этим векторам матрицы Сг, Ег ( = 1;~2). Тогда доказательство (36) сводится к доказательству неравенства

Ы ((т ) = J(г2) ((т )-^П)((т )> 0. Пусть ^+1 (% , () -

матрица вторых моментов ошибки оценки Д N+1 (Т N , () соответствующей гг, то есть матрице Сг. Тогда из (23)

- (26), (14) с учетом (30) и (34) для Сг получаем

Г N+1 (ТN , (т ) = Г N+1 (ТN , (т - 0) -

-ГN+1 (ТN ,(т -0)0Т ((т)&- ((т)[1д --С^- ((т )СТ&-1 ((т )] О ((т )^+1 ^ , (т - 0), (37)

где Ы- (т)=СТ&- (т)С-, - = 1; 2. В (37) учтено, что (т

- первый момент появления аномальной помехи, поэтому ГN1+l¿N , (т -0) = :гN2t)l(;eN , (т -0) = Г, (т -0) .

Тогда с учетом гг [В1Б1\ = гг [В2 В1]

^ ((т ) = гг [¿1,2 ((т ) Ь ((т )& ^ (т )] ; (38)

^ ((т )= 0 ((т )Г N+1 (Т N , (т - 0)х

х АГ N+1 (N , (т - 0)0Т (т ); (39)

¿1,2 (т ) = [С2 ^ ((т С - С (т С ] &-1 (т ). (40) Так как А>0, то Ц ((т)>0 [3]. Используя (35) при С = С2 и Е = Е2 из (40), получаем ¿12 ((т) = 1д -

-(А12 + А21), где

А12 = & ((т)Е2Т [Е2&((т)Е2Т ]-1 Е^ ,

А21 = С1 ^Г1 ((т)СТ&- ((т) . (41)

По построению матриц С1 и Е2 имеем, что

Е2С1 = О. Тогда

А12А21 = О, А21А12 = О. (42)

Аналогично теореме 3 из [1] можно получить, что гк [А12] = д -г2, гк[А21] = г1. Из (41) следует, что

А122 = А12 , А221 = А21 , то есть матрицы А12 и А21 являются проекционными [4]. Поскольку эти матрицы удовлетворяют условию (42), матрица А = А12 + А21 также является проекционной [4] и гк[А] = гк [А12] +

+ гк[А21] = д-1, г2 = г1 +1. Матрица ¿1,2 ((т) = 1д - А

также является проекционной, так как (1д - А)2 =

=1Ч - 2 А+А2 = 1д - А. Последнее равенство следует

из того, что матрица А - проекционная. Поскольку для проекционной матрицы ранг равен следу [4], то

±[¿1,2 ]=]=И[1д ]-И[А ]=гг[1д ]-гк[ А ]=д-(д-1)=1.

Пусть {Хг- (Ф)} (г = 1,2, • • •) означает спектр матрицы Ф . Так как собственные числа проекционной матрицы равны либо 0, либо 1, а

гг [¿1,2 ((т )] = С (¿1,2 ((т )) = 1 ,

г=1

то {Хг (¿12 ((т ))} = {0,0,---,1,0,--- ,0}, г = 1; д , то есть

¿1,2 ((т)> °. Так как ¿ ((т)> 0 ¿1,2 ((т)> ^ то

(^ ((т)) > 0, г = 1; д , где ^ ((т) = ¿1,2 ((т)¿ ((т) [3], то есть ¿ ((т )> 0. Так как ¿ ((т )> 0, &- ((т )> 0, то (^ ((т) &- ((т)) > 0 , г = 1; д . Следовательно,

^ ((т ) = гг ^ ((т )& _1 (т ^ ^ (^ (т ) & (т )) > ^

г = 1

что и требовалось доказать.

Теорема 5. Пусть

^^1 (^N , (т - 0) > ГN1+1 (ТN , (т - 0), (43)

где г2 = г1 +1. Тогда неравенства (36) справедливы для произвольного момента т .

Доказательство. Справедливость теоремы будет доказана, если из неравенства А/ ((т )> 0, следующего из теоремы 4, с учетом (43), записанного для момента (т+1, будет следовать неравенство А/ ((т+1)> 0. Согласно [3], ГN+1 ("сN ,(т - 0) с учетом (43) может б^гть представлена в виде

Г N+1 (Т N , (т -0) = ^ N+1 (Т N , (т - 0) + ^ , где Г > 0 . Тогда из (12) следует

&(г2) (т+1) = &(п) ( т+1) + О ((т+1)Г0Т (т+1). (44)

Записывая все выражения для гг из (23) - (26), (14) с учетом (18), (28), (30), (34), (35) следует

ГN+1 ¿N ,( т+1) = +1)п - N+1 ¿N ,( т+1 - 0)0 (т+1) х

хЕ- \_Е1Ш(Г)) ((т+1)ЕТ ]-1 ЕС(^+1)] ГN+1 (ТN ,(т+1 -0). (45) Полагая г = г2 в (45) с учетом (44) получаем оконча-

тельное представление для Г N2+1 (Т, (т+1) в виде

ГN-11 ¿N ,(m+l) = [I(N+1)п -(Г(+1 ¿N ,(т+1 -0) + Г)х хСТ ((т+1)ЕТ [Е2&(г1)((т+1)Е2Т +

+ Е2О ( т+1) Г СТ ( т+1) Е2 ]-1 Е2О ((т+1) ]х

х((+1 ¿N , (т+1 - 0) + Г). (46)

Введем в рассмотрение матричную функцию Ф (а) = Г^+1 (%, (т+1 - 0) + аГ скалярного переменного а>0. Рассматривая ГN2+1 (%,(т+1) как функцию а, то есть Г N+1 (ТN , (т+1) = ГN+1 (ТN , (т+1; а) , получаем из (46) ГN+1 ¿N , (т+1; а) = [I(N+1)п - Ф (а) СТ ((т+1) Е2 х

х[Е2&(п) (т+1) Е2 +аЕ2С ((т+1)^СТ (^+1) Е2 ]-1 х

х Е2О ((т+1 )]Ф(а). (47)

Отсюда, используя формулу а4_1=-А_1[а4/аа]А_1, получаем

а Г N+1 ( N, (т+1; а) а = ВГВТ; (48)

В = V+1)п -Ф(а)СТ ((т+1)Е2Т ((т+1)Е2Т +

+аЕ2С((т+1 )ГОт ((т+1 )Е—]-1 ЕС ((т+1). (49)

Так как Г > 0, то из (48) следует, что

аГN+1 (ТN , (т+1; а)а> 0, то есть ГN-+1 (ТN , (т+1;а) -

монотонно неубывающая по а в смысле определенности матрица. Тогда

ГN-+1 ¿N , (т+1; а)а=1 > ГN-+1 (ТN , (т+1; а)а=0 . (50)

Так как, согласно (46), (47), ГN2+1 (%, (т+1) =

= ГN+1 ¿N , (т+1; а)|а=1 , то из (47), (50) следует

ГN+1 (ТN , (т+1)>^ , (51)

^[^Цп-^ N1+1 ¿N , (т+1 ~0)0Т (т+1)ЕТ х

х[Е2&(г1)(т+1)Е2Т ]-1 Е2 О ((т+О]^ ¿N , (т+1 - 0). (52) Из (35) для С1 , Е1, в момент времени (т+1

следует

ЕТ [^ ((т+1) Е\ ]-1 Е1 = &(-1) ((т+1) х

х[1д - С1 [с2^ ((т+1)С1]-1 С^) ((т+1)^. (53)

С использованием (53)

ЕТ [^(п) ((т+1)ЕТ]-1 Е1 -ЕТ [Е^) ((т+1)Е— ]-1 Е2 =

= &(-) ((т+1) [1д -[&(г1) ((т+1)Е2Т [Е^) (т+1 )Е" ]^ Ег +

+С [СТ&(-1) ((т+1)С1]-1 С—^-) (^+1)]] . (54)

Из сравнения (41) и (54) следует, что аналогично доказательству ¿12 ((т )> 0 может быть доказано, что

¿1,2 (т+1) = 1д -[&(г1) ((т+1 )Е2 [Е2&(г1) (т+1 )Е2 ] х

хЕ2+С1 [с2^) ((т+1 )С1]-1 с2^) ((т+1)] > 0 .

Аналогично тому, как при доказательстве теоремы 4

было доказано, что L (tm )W 1 (tm )> 0, может быть доказано свойство №(“) (tm+1 )Ц 2 (tm+1 )> 0, а тем самым, что

ETX \ElW{n)(tm¥i)ET]- Ei -

—Е2 [E2W(ri)(tm+i)ET]-1 E2 > 0. (55)

Полагая r = r1, получаем из (45), (52) с учетом (55) Т-Г^ (т n , t m+1) = Г д!+1 ( , tm+1 -0)GT (m+1) \_E X X^) (tm+1 )ET]-1 E1 -ET2 lEW) (tm+1 )E?]- 1 ]x

xGT N+1 , tm+1 - 0)> 0 ,

то есть T > ГN+1 (tn , tm+1), а это приводит к свойству

ГN+1 Cn , tm+1) > rN‘+1 Cn , tm+1) . Из определения

J(r )(tm+1) имеем

AJ Cm+1) = tr [A[ ГN_+1 (N , tm+1) - ГN+1 Cn , tm+1)]] .

Так как A > 0, то

^ j (A [ГN2) 1 CN , ^m+1) - ГN+1 (N , ^m+1)]) > 0 .

Тогда

tr [A[ ГN4*1 (n , tm+1) - ГN+1 (N , tm+1 )H =

(N+1)n

= E ^ j (A [ГN2+1 Cn , tm+1 )-^N+1 Cn , tm+1)]) > 0. (56) j=1

Из (56) следует AJ (tm+1)> 0, что и требовалось доказать.

Пример. Пусть ненаблюдаемый процесс x (t) является скалярным с корреляционной функцией экспоненциального типа (процесс Орнстейна - Уленбека) и задан уравнением (1) из [1], в котором F(t) = -a,

a > 0 , Q (t) = Q = const. Процесс z (t) определяет наблюдения без памяти вида (2) из [1] при отсутствии аномальных помех, где Hk (t) = 0, k = 1; N,

H0 (t) = H = const, R (t) = R = const, B = 0. Дискретный канал наблюдения формируется как совокупность двух скалярных каналов с полезным сигналом X(tm,t) = G0x(tm) + G1 x(т), где G0 = const, G1 = const, который наблюдается на фоне некоррелированных регулярных помех |1 (tm), |2 (tm) с одной интенсивностью V (tm) = V = const.

Рассмотрим три случая: 1) аномальные помехи отсутствуют; 2) аномальная помеха действует по первой компоненте n1 (tm); 3) аномальные помехи действуют по обеим компонентам n1 (tm), П2 (tm) двумерного вектора наблюдений n(tm). Соответствующие этим случаям ошибки оценок интерполяции в момент tm

будем обозначать У°1 (x, tm), Y11 ('т, tm), Tl21 ('T, tm). Дифференциальные уравнения (24) - (26) из [1], совпадающие для рассматриваемого примера с (6) - (8) из [1], допускают точные решения, стационарный вид которых при t таков (см. (3.19) в [5]):

у = (Х-a)/5 , X = Ja2 +5Q , 5 = H02/r ,

Y01 (t*) = y exp {-^t*} , k = (X + a)2X ,

У11 (г1*) = у [(1 - к) + к ехр {-2Х/1*} , (57)

*

где г = г -т . Рассмотрим ситуацию редких дискретных наблюдений, когда интервал между соседними наблюдениями п(т-1) и п(гт) настолько велик, что указанные дифференциальные уравнения при г е[/т-1, гт) достигает своих стационарных значений, то есть У(т -0) = У , У01 Ыт -0) = Уо1 (**) У11 (т,гт -0) = Уп (О .

Пусть Д10 =у1х (т,гт )-Уп (т,гт ), Д 21 = Уп(Т,'т УЧп^т ). Тогда с использованием (24) получаем

д = V [^0 У01 + дуп]2

10 [V + (2 у + О2 Ун + 200^)] у.\/\у + 2 (О02 у + (2 у„ + 2О0О1У 01)]], (58)

д = [°р У 01 + 01Уи]2 (59)

21 [V+(0,2 у+О2 Ун + 2О0О1У01)

где у, у01, у11 определяются формулами (57). Из (58), (59) с учетом (57) следует, что Д10 > 0 , д21 > 0 , то есть

УП (Тгт)>у1х (Тгт)>У01 (т,гт). (60)

Согласно принятым обозначениям для задачи интерполяЦии у°01 (т гт ) = J(0)(гт ) , Уп (Т гт ) = ¿(1) (т К у121 (т, гт ) = ¿(2)(т). Таким образом, неравенства (60)

отражают свойство (36) для рассматриваемого примера относительно задачи интерполяции, причем при конечных значениях параметров достигаются строгие неравенства, означающие, что наличие аномальных каналов наблюдения только ухудшают качество интерполяции. Пусть Д21 означает соответствующую величину для случая дискретных наблюдений без памяти (01 = 0). Тогда из (59) следует, что

Д 21 = Оо! (»/( + 00 у). (61)

Введем меру эффективности е21 =Д21 - Д21 = е(а, Q, 5,00,01, /*) дискретных наблюдений с памятью

относительно наблюдений без памяти в рассматриваемой задаче. Если е21 > 0, то наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти, а при е21 < 0 имеем обратное свойство. Исследуем зависимость е21 от глубины памяти г*.

Большая глубина памяти (t ^ да). Пусть е21 = lim е21 при tда. Использование (57), (59), (61) дает, что

e“i = GУ2 (1 - к)2/[V + (2 + G2у2 (1 - к) у]. (62)

Из (62) следует, что е21 > 0, то есть при большой глубине памяти аномальный канал с памятью в задаче интерполяции эффективнее аномального канала без памяти, поскольку составляющая G1x(т) сигнала n(tm) в этом случае привносит дополнительную информацию. Малая глубина памяти ( ^ о) . Пусть е21 = lim е21 *

при t ^ 0 . Использование (57), (59), (61) дает, что е21 =[y 2V (G? + 2GoG1)]x ХУ [(V + yGo2 )[(V + y(Go + G1 )2 )]. (63)

Из (63) следует, что е21 >0, если (G0,G1)íM и е21 < 0 , если (G0, G1) e M , где M = {(G0, G1): G12 + +2G0G1 < 0}, то есть при малой глубине памяти аномальный канал с памятью эффективнее аномального канала без памяти в случае (G0, G1)í M и менее эффективен в противоположном случае. Поскольку при

* /

малой глубине памяти ak >> t , где а к = 1/ a - время корреляции процесса x (t), то коэффициент корреляции между x (tm) и x (т) близок к единице и сигнал X (tm , т) = G0 x (tm) + G1 x (т) воспринимается как X (tm, t) = (G0 + G1) x (tm). Так как среднеквадратические ошибки оценок в случае наблюдений с памятью и без памяти определяются интенсивностями сигналов X (tm, т) и G0 x (tm), которые пропорциональны

соответственно | G0 + G112 и | G112, а условие (G0, G1)e M означает |G0 + G11< |G0|, то этим и объясняется полученное свойство.

Для случая (G0, G1)e M величина t**ff, которая

может быть определена в рассматриваемой задаче как эффективная глубина памяти определяется формулой

. 1ln G0 W G0I2-k(1-k)G12 ífi1)

teff =xln KG\ ’ (64)

которая получается как единственный положитель-

*

ный корень уравнения e21(t ) = 0, причем условие (G0, G1) e M является условием существования такого корня.

ЛИТЕРАТУРА

1. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помехах. I. Непрерывные наблюдения // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 183-186.

2. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. 1995. №10. С.36-49.

3. Маркус М., МинкХ. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1978.

4. Абгарян К.А.. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973.

5. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН. Теор. и системы упр. 2000. №4. С. 39-51.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета и кафедрой высшей математики факультета естественных наук и математики Томского политехнического университета, поступила в научную редакцию 20 мая 2003 г.