CC BY
9
II УДК 624.074.43
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧА ТЕОРИИ НЕОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК ■ НЕРЕШЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ
С.К. Ельмуратов
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
;!!! Аталган жумыапо взгеретт крттычьщтьщ жукд эр memni крбатты
есептеуде теорияныц сызьщты емес ece6i цопданылады. Ол /fаттыльщ жылжуыньщ к,ызмет1нен коварианттьщ жургЬудщ аппроксимациялау сэйкесЫздшн жоюды цамтамасыз emedi.
§¡§1 В настоящей работе используются нелинейные задачи теории при
lift расчете тонких неоднородных оболочек переменной жесткости. Это позволяет исключить погрешность аппроксимации ковариантных производных от функции жестких смещений.
The nonlinear sums of theory on calculation of thin heterogeneous coverings of variable rigidity are used. It allows to exclude the error of approximation of covariant derivatives from hard displacements function.
При расчете тонких неоднородных оболочек; переменной жесткости в большинстве случае невозможно применить аналитические методы. Решение таких задач обычно выполняется численными методами. Наиболее широко при- расчете тонких оболочек и пластин используются метод конечных разностей, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов и другие методы, ставшие уже традиционными. При расчете оболочек этими методами задача сводится к получению скалярных дифференциальных соотношений, описывающих поведение исследуемого объекта и дискретизации полученных соотношений каким-либо численным методом.
В настоящей работе используется разностная схема, позволяющая перейти от векторных дифференциальных соотношений теории оболочек к системе алгебраических уравнений. Применяется дискретизация векторных дифференциальных соотношений в системе криволинейных координат, которая полностью исключает погрешность аппроксимации ковариантной производной от вектор-фунции жестких смещений [1,2,3].
Исключение погрешности аппроксимации ковариантных производных от функции жестких смещений элементов оболочки приводит к значительному улучшению численных результатов расчета оболочек и пластин на устойчивость и динамику по предлагаемой схеме - методу криволинейных сеток (МКС) по сравнению с результатами, полученными методом конечных разностей [1-4]. Уравнения равновесия и движения оболочки и их дискретизация на основе МКС даны в работах [2,3,4].
На основе предлагаемой численной схемы - метода криволинейных сеток разработан комплекс программ на языке Turbo Pascal для расчета ортотроп-ных оболочек и пластин переменной толщины на устойчивость, собственные и вынужденные колебания. Для оптимального использования программ все входящие в комплекс подпрограммы оформлены в виде загрузочных модулей. Подпрограммы представляют независимые блоки, выполняющие промежуточные операции при расчете тонкостенных конструкции. Главным образом - это операции по формированию систем уравнений МКС для различных классов задач расчета оболочек и пластин (устойчивость, собственные колебания, изгиб, вынужденные колебания). Исследования сходимости для задач устойчивости оболочек выполнены ранее и даны в работах [1, 5, 6]. Далее исследована сходимость МКС применительно к задачам динамики оболочек [3, 4]. После этого решались задачи по собственным и вынужденным колебаниям пластин и оболочек с учетом сил в срединной поверхности. Рассмотрим нелинейные колебания цилиндрической ортотропной оболочки-панели при действии сжимающих сил в срединной поверхности. Нагрузка действует вдоль образующей. Граничные условия приняты комбинированными: по торцам сочетаются жесткое защемление и шарнирное опирание на половине стороны, вдоль прямолинейных сторон принято шарнирное опирание (рисунок 1). Прямоугольная в плане оболочка исследуется, при следующих исходных данных:
Ei = 1,5-Ю3 kH/см2; Е2 = 3,2-103 кН/см2; G = 0,7-103кН/см2; Vi = 0,11; V = 0,22; ц'= 1,6
Кривизна оболочки в направлении координатной оси х принята ki = Щ Нагрузка, приложенная по торцам оболочки, будет меняться от нуля до своего критического значения.
Исследуем вначале собственные колебания незагруженной оболочки. Построим амплитудно-частотную зависимость W-v°; которая приведена на рисунке 1. Здесь W - амплитудное значение прогиба, v° = - отношение частоты нелинейных колебаний оболочки к частоте основного тона линейных колебаний. На
графике отмечены четыре характерные точки для частоты собственных колебаний оболочки. Точка 1 соответствует частоте основного тона линейных колебаний, при этом =1, Точка 2 характеризует момент, когда частота не линейных колебаний достигает своего наименьшего значения (v° = 0,75). Это означает, что в оболочках, в отличие от пластин, на первом этапе увеличения прогибов наблюдается уменьшения частоты собственных нелинейных колебаний. Это имеет большое значение при исследовании резонанса в тонких оболочках. В точке 3 частота нелинейных колебании сравнивается вновь с частотой линейных колебаний. Наконец, точка 4 соответствует наибольшему значению частоты собственных нелинейных колебаний (v° = 1,65). При этом значение амплитудного прогиба достигает значения W = 6 hep , где hep - толщина оболочки в середине пролета. Отмеченные нами точки будут играть существенную роль при исследовании колебаний оболочки с учетом сил в срединной поверхности.
Рисунок 1 - Амшштудно-час готная зависимость для ортотройной цилиндрической оболочки с комбинированными граничными условиями
Исследуем теперь колебания оболочки при действии сжимающей нагрузки в ее срединной поверхности. Рассмотрим вначале колебания сжатой оболочки при малых прогибах, то есть линейную задачу. Будем менять сжимающую нагрузку от 0 до Ккр и строить зависимость частотных характеристик ®'®о от величины сжимающей нагрузки.
Построим теперь аналогичную зависимость "нагрузка - частота" для случая наименьшего значения частоты нелинейных колебаний оболочки, которой на рисунке 1 соответствует точка 2. В этом случае при К/Ккр = 0 отношение частот oo/ffio = 0,75, а амплитудное значение прогиба W=l,8 hep. При этих исходных пара-
метрах будем загружать оболочку сжимающей нагрузкой строить зависимость "нагрузка - частота". Она представлена на рисунке 2 в виде кривой 2.
Рассмотрим момент колебания оболочки, соответствующий наибольшему значению частоты нелинейных колебаний. На рисунке I - этому моменту соответствует точка 4. Для этой точки юЬо - 1,56, а значение амплитудного прогиба W ~ 6 hep. Построим для этого случая зависимость "нагрузка - частота". На рисунке 2 эта зависимость отражена кривой 4.
На рисунке 2 эта зависимость приведена в виде кривой 1 (сплошная линия).
Рисунок 2 Влияние сжимающих усилий на нелинейные колебания оболочек
Особо нужно отметить точку 3 (рисунок 1), когда частота нелинейных колебаний равна частоте основного тона линейных колебаний. Однако, амплитудное значение прогиба достигает в этом случае значения W = 3,8 hep, тогда как при линейных колебаниях W меньше hep Зависимость "нагрузка - частота" для этого случая приведена на рисунке 2 пунктирный кривой 3. Она практически совпадает с кривой 1.
Анализируя полученные графики, можно отметить, что если кривая 1 отражает линейные колебания сжатой оболочки, то зона ограниченная кривыми 2 и 4 и вертикальной осью определяет область нелинейных колебаний сжатой оболочки. Причем, та ее часть, которая ограничена кривой 2 снизу и кривой 1 сверху
т-'-Ш^
о
MS 0,5 0.7$ i, 00
определяет область нелинейных колебаний, соответствующих наименьшим частотам основного тона собственных колебаний сжатой оболочки. Обозначим ее Amin . Та часть, которая ограничена снизу кривой 1, а сверху кривой 4, определяет область нелинейных колебаний, соответствующих наибольшим частотам основного тона собственных колебаний сжатой оболочки. Причем, любая точка из областей Агаш и Атах имеет физический смысл. Например, произвольно взятая точка "Ь" из области Атах принадлежит этой области и одновременно лежит на кривой 5. Эта кривая приведена на рисунке 2 пунктирной линией и представляет график зависимости "нагрузка - частота" при начальном значении ®/®0 = 1,25. На этой кривой точке "Ь" соответствует сжимающая нагрузка К/Ккр = 0,3.
Полученные зависимости для колебаний сжатой оболочки очень важны, так как они определяют область возможных резонансов при нелинейных вынужденных колебаниях оболочки. При этом, область Amin лежит ниже резонансной линии линейных колебаний. Это приобретает особое значение при проектировании тонких оболочек, подверженных динамическим нагрузкам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жадрасинов Н.Т. Нелинейная деформация составных оболочек.-Алма-ты: Гылым,1998.
2. Ельмуратов С.К. Жадрасинов Н.Т. Численное исследование тонких пологих оболочек методом криволинейных сеток //Труды университета. Караганда: КарГТУ, 2005.- Вып.З.
3. Ельмуратов С.К. Расчет тонких оболочек и пластин на устойчивость и динамику // Вестник ПТУ им.С.Торайгырова.- серия "Физика и математика". -2005,-Вып.З.
4. Ельмуратов С.К. Исследование устойчивости и колебаний тонких оболочек и пластин методом криволинейных сеток // Поиск.-Серия естественных и технических наук. - 2005,- № 4.
5. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Жадрасинов Н.Т. Сходимость метода криволинейных сеток в задачах теории оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: 1981Вып.39.
6. Ельмзратов С.К. Нелинейная устойчивость пологих оболочек // Качество. Инновация. Наука. Образование: Материалы международной научн,- тех-.конференции, посвященной 75 -летию СибаДи. - Омск: СибаДи, 2005-Кн. 1
