Разрешающее уравнения и граничные условия для тонких оболочек и пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

1 УДК 624.074.43

•УХ'у/.

С.К. Ельмуратов

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Жер бетмщ ортальщ цатысьта векторльщ турде тепе-тецЫк пен цабьщтыц крзгалу теориясыньщ тецдеу цорытындысы келт1ршен. Жаца сстдьщ сызба иег1зшде - /$исьщ сызьщты тор эд1с1мен турацтьщ пен тецселуге пластина мен цабьщ алгоритм! жасалган.

Приведен вывод уравнений равновесия и движения теории оболочек в векторной форме относительно срединной поверхности оболочки. На основе новой численной схемы -метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета пластин и оболочек на устойчивость и колебания.

The derivation of equilibrium and movement quations of theoty of shells in vectorial form relative to middle surface of a shell is reduced. Based on numerical scheme — method of curvilinear net ~~ the algorithm calculation of plates and shells was worked out for stability and oscillations.

Рассмотрим оболочку двоякой кривизны, которая находится под воздействием внешних нагрузок. Проведем сечения в направлении осей х1 и х2, нормально к срединной поверхности оболочки (рисунок 1).

Для площадки размером 4а = ^аиа22 запишем условие равенства нулю главного вектора всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу пологой оболочки в ее срединной поверхности [1].

- +- + л/й<? = о (1)

ах1 дх2 к '

где ■ е1 - ковариантный вектор внутренних усилий с компонента-

ми = 1,2;/ = 1,2,3);

ех, е2, е3 - п - векторы основного тона локального базиса системы координат х\х2; (ё3 =[ёие2]/4а);

с{ - вектор внешней нагрузки, [,] - знак векторного произведения векторов Векторы усилий являются составляющими для заданной срединной поверхности контравариантного тензора с векторными компонентами

Й2 =ЛГ21е1+^22е2+Й2е3 (2)

Принимая, что х1 и х2 всегда ортогональны, то есть ег • е-, = 0 или иначе \е} | • |е21 cos а - 0, получим

N1 =Nue2 +6Je3

N2=N22e2+Q% (3)

Или в индексной форме

Na=Naaea+Q% (4)

Выражения для усилий имеют вид

Eh

Eh -v

■[m"ansn+wnane22 te'V^-wVeJ

Eh

1-V

Ljua. , ] CO

;-2 Vй a 22 a

1-v

N -—-rrla

1-Й1

22 22 _ , ,./тПЛ22 _

a ^22 Л

Из полученных выражений (5) видно, что физико-механические свойства и геометрические характеристики оболочки (Е, н, К) можно задавать дискретно. Это позволяет весьма произвольно задавать неоднородность материала, менять толщину оболочки.

Выражения для перерезывающих сил ¡2° определяются из условий равенства нулю главного момента внутренних усилий и моментов, действующих на элемент оболочки

дл[аМ'

(6)

+

е.М'Ш =0.

Вектор внутренних мо$$$тов определяется по формуле

М

СагМр"Г

(7)

где Сау - дискриминантный тензор поверхности (Сп=С22=0, Ср = у[а ,

С2\ = -4а>)

Векторы внутренних моментов будем выражать через их ковариантные компоненты

М1 =4а(мпе2 -Мпех) М2 =^{м21е2 -М22е2)

(8)

Подставляя (8) в (6) и умножая результат на полученные векторы е2 и ё1 основного локального базиса получим соответственно выражения для & и О2. При этом необходимо учесть, что контравариантные компоненты тензора внутренних моментов между узлами можно усреднить через их значения в основных узлах сетки с помощью закона преобразования компонент тензора

(м'«),чо>5 = \{а\>Г -а%Т + «Г5 'МТ) (?)

и принять во внимание свойства векторно-скалярного произведения трех векторов

1-е.

Таег - Г

(10)

аЗ

Контравариантные компоненты тензоров изгибающих и крутящих моментов выразим через ковариантные компоненты изгибных деформаций//^

Ми ^о{апапцп+т11а22ц 22}

Ы22 = в(а22а22ц22+шпа22^п},

Мп^Мп а22/ип\

(И)

Здесь В - цилиндрическая жесткость.

Компоненты тангенциальных деформаций срединной поверхности определим через вектор перемещений

й ~ и5е5 - ще1 + и2е2 + иъе3 (12)

по формуле

-I

8<хр ~ 2

г ъй „ ди л

+

(13)

В пологих оболочках тангенциальными деформациями еп можно пренебречь ввиду их малости, и тогда можно записать

8

ди 1 / 42

= (14)

аа

дх 2

Изгибные деформации срединной поверхности в векторной форме будут иметь

„ дйы

(15)

здесь ¿з - вектор углов поворота окрестности точки срединной поверхности определяется из выражения

11

£2 = Сароаёр = -т=-це2 (16)

л!а ^а

С учетом этого можно получить дискретные зависимости для компонент тензора изгибных деформаций /ли, ¡л21, ¡лп.

Углы поворота нормали срединной поверхности оболочки выражаются через перемещение по формуле

ди _

Примем, что вектор внешней нагрузки С] меняется во времени по определенному закону. Тогда согласно принципа Даламбера надо учитывать силы инерции при движении оболочки. В этом случае нагрузка в векторном виде будет

Здесь первый член представляет собой внешнюю нагрузку, меняющуюся во времени весьма произвольно; второй член определяет инерционную силу. В выражении (18) р - плотность материала, jj - вектор перемещений. Для случая гармонических свободных колебаний оболочки решение (1) можно записать в виде

0(х1, х2, /) = 0(х], х2 )sin {cot + <р) (19)

Здесь 0(хх ,х2) - амплитуда синусоидальных колебаний, т - частота собственных колебаний. Подставляя (19) в (1) и сокращая на sin ((Ot + cp) получим уравнение собственных колебаний оболочки

d4aNl d-JaN2 , , - Л

-—+ —-T- + 0-&U-O (20)

дх дх

Для вынужденных колебаний решение ищем в виде

U(x[ ,x2j)~ 0{х\ х2)sin Qt (21)

где 0 - частота возмущающей силы

С учетом (21) можно записать

d4aN] d4aN2 pQ2h Гг

дх1 дх2 g

(22)

Для гармонических вынужденных колебаний q задается в виде

/ч _ . . Рд2и

-^г (23)

Во всех остальных случаях может меняться во времени по определенному для каждого случая закону.

Для дискретизации полученных уравнений применим новую численную схему - метод криволинейных сеток [1] основанную на идее корректной аппроксимации ковариантной производной вектор-функции в криволинейных системах координат.

В качестве координатной системы удобно использовать координаты, соответствующие номерам узлов разностной сетки в направлении х1, х? с постоян-ным интервалом при любой сетке. Величины и ^[ап опРе~

деляют расстояние между узлами в направлениях х2 и х2.

Тогда векторное уравнение

-:— + = 0 (24)

ах2

можно преобразовать к разностному виду учитывая, что Н1 = № е. (1 = 1,2; j -1,2,3)- векторы внутренних усилий (рисунок 1)

+ М% + е3)Ц. - + + +

Выполним усреднение геометрических характеристик ^¡а и нагрузки в узлах. Проектируя конечно-разностное выражение векторного уравнения равновесия элемента оболочки с центром в узле (1, Т) на векторы взаимного локального базиса в узле получим систему трех скалярных уравнений равновесия при а =1,2,3.

(у й ио.5; />0,5 + 4а ¡„О,$;). 2

фв /-0.5! /+0,5 + А/^ Ы),5 2

),5 + "Тя «-0,5 2

),5 + 0,5; ) (,г 2У а> 2 { Й1 (26)

Г*'

,$¡/+0,5 + £ + ^ +

Здесь £^¿5.^0,5 я сръолцоя&А = коэффициенты преобразова-

ния векторных компонент при переходе из локального базиса точки г ± 0,5; ] ± 0,5 в локальный базис точки г,

Аналогично получаем дискретные выражения для компонент тензоров деформаций.

Полученные соотношения для тензоров деформаций и усилий необходимо дополнить граничными условиями. В методе криволинейных сеток формирование уравнений производится путем последовательной подстановки в уравнение равновесия векторных компонент напряжений и смещений. Граничные условия

в этом случае удовлетворяются последовательным исключением их нулевых компонент. Отпадает необходимость введения дополнительных законтурных точек, как это делается в методе конечных разностей. Рассмотрим контурный элемент оболочки размером сЬс1 ¿(х2. Разделим его на ячейки относительно текущего узла у (рисунок 2). На каждую ячейку контурного элемента действует определенная часть внутренних усилий и внешней нагрузки.

По граням элемента действуют силы

N1 JV/±0,5;/±0,5

N2 * i ±0,5;/±0,5 = -{^v-)i±D15.J±Q>5 (27)

Если какая-либо ячейка отсутствует, соответственно исключаются и силы, а в уравнениях равновесия и движения компоненты усилий вводятся с соответствующими коэффициентами. Каждой ячейке соответствуют определенные разностные выражения, объединяя которые мы получаем разрешающее соотношение в рассматриваемом узле. Уравнения по контуру области для самых различных граничных условий формируются достаточно просто и наглядно. Например, свободный край по оси х1 при j-const имеет вид, приведенный на рисунке 3,а.

В этом случае

N2 = /V"1 = О- N2 - N} = О- V = V ~ О

Для случая свободного угла оболочки когда точка i,j является угловой на внешней кромке имеем (рисунок 3,6)

л/1 _ м2 = о- ДГ1 - д?2 - о

1-0,5;/-0,5 0,5;j—0,5 и> 1 v i-0,5;/+0,5 1У t-0,5;/+0,5 u>

ЛГ1 = N2 =0- V =V =V =0

JV г+0,5;/+0,5 f+0,5;/+0,5 u> M y2 y4 u

Аналогично записываются граничные условия для других случаев опирания оболочки.

Уравнения равновесия и движения оболочки вместе с граничными условиями образуют замкнутую систему уравнений теории оболочек.

На основе изложенного метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета оболочек и пластин на устойчивость и динамику при продольно-поперечном загружении исследуемого объекта. При разработке алгоритма расчета конструкций вводимые данные подразделялись на исходные данные для решаемой задачи и на данные о режиме счета и выдачи результатов. Это необходи-

МО для ускорения процесса ввода исходных данных, а также для выбора наиболее оптимального пути решения задач.

Рис. 1. Главные векторы усилий и моментов на срединной поверхности оболочки

Рисунок 2 -Векгоры усилий и объемных сил на кошуре оболочки

а) /зс#

Рисунок 3 - Варианты граш1чных условий

I V/ (снМ0~э

50.0 45.0! 40,0 35.0

30,0 г 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0

| 1

1

* 1 1

г г

----------^ У

I к к—......—*

} 1 :

и«-------

РоСкШ

0 5.0 10.0 15,Й 20,0

Рисунок 4 - График влияния сосредоточенной массы на наибольший прогиб

На начальном этапе решались тестовые задачи. Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях прямоугольных пластин с учетом произвольно расположенных сосредоточенных масс при различных граничных условиях. Для сравнения решена задача о вынужденных колебаниях шарнирно опертой квадратной пластины, точное решение которой приведено в работе [2]. Вибрационная нагрузка приложена в центре пластины. Решение получено в двойных тригонометрических рядах. На рисунке 4 точные значения прогибов V/ отмечены точками. Решение этой задачи методом криволинейных сеток показало, что, начиная с 6 конечноразностных делений, погрешность не превышает 3%. Далее исследовалось влияние массы Р0 на значение наибольшего прогиба \У. Масса менялась от 0 до 20 кН с шагом 5 кН. На рисунке 4 приведен график этой зависимости в виде кривой 1. Для сравнения эти же задачи решались автором методом конечных разностей на основе уравнений движения и совместности приведенных в работе [3]. Задачи решались при числе шагов сетки 5=6 и 8-8. Расхождение с точным решением составило 8%. Как видно из сравнения, метод криволинейных сеток дает более точные результаты.

В работе [4] исследуется сходимость метода криволинейных сеток в задачах устойчивости оболочек. На основе решенных задач авторы делают заключение, что метод криволинейных сеток может успешно применяться для расчета тонкостенных оболочек.

Таким образом, анализ решенных задач позволяет сделать вывод о том, что метод криволинейных сеток может быть успешно применен для исследования устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жадрасинов Н.Т. Нелинейная деформация составных оболочек. -Алма-ты: Тылым. 1998. - 174 с.

2. Киселева И.В. Колебания опертой по контуру прямоугольной ортотроп-ной пластинки с учетом сосредоточенной массы в месте приложения вибрационной нагрузки. М.:МАДИ, 1957,-вып. 21. -С 147-152

3. Ельмуратов С.К. Устойчивость и динамика неоднородных пластин и пологих оболочек переменной жесткости. //Вестник ПГУ, №1, серия "Физика и математика". - Павлодар, 2005. - С

4. Гоцуляк Е.А., Ермишев В.Н., Жадрасинов Н.Т. Сходимость метода криволинейных сеток в задачах теории оболочек. //Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: 1981,-вып. 39.-С.80-84.