CC BY
0Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 9. №9. 2023
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/94
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES
УДК 517.928 https://doi.org/10.33619/2414-2948/94/01
НЕЛИНЕЙНАЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ
С ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ
©Эркебаев У. З., ORCID: 0009-0000-5893-4699, канд. физ.-мат. наук, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, [email protected] ©Сулайманов З. М., Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, [email protected]
NONLINEAR SINGULARLY PERTURBED CAUCHY PROBLEM WITH INNER LAYER
©Erkebaev U., ORCID: 0009-0000-5893-4699, Ph.D., Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected] ©Sulaimanov Z., Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected]
Аннотация. В статье построена асимптотика решения задачи Коши для нелинейного автономного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, который является простой математической моделью с внутренним слоем. Для всех теоретических вычислений приведены доказательные вычисления в системе Maple.
Abstract. In the article, the asymptotics of the solution of the Cauchy problem for a nonlinear autonomous ordinary differential equation of the first order, which is a simple mathematical model with an inner layer, is constructed. For all theoretical calculations, evidence-based calculations in the Maple system are given.
Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение, внешнее решение, асимптотическое решение, асимптотическое разложение, задача Коши, метод дифференциальных неравенств Чаплыгина, система Maple.
Keywords: nonlinear differential equation, external solution, asymptotic solution, asymptotic expansion, Cauchy problem, Chaplygin's method of differential inequalities, Maple system.
Рассмотрим задачу Коши
у'(г)=у(г)(1-у(г)),ге(0, (1)
у(0) = г, (2)
где 0<в — малый параметр [1-9].
Правую часть уравнения (1) обозначим через F(y), т. е. F(y)=y(1-y). Уравнение (1) имеет две точки равновесия (стационарные точки):
у(1-у)=0 ^ у1=0 или у2=1.
Определим тип этих точек равновесия:
F'(y)=(y-y2)'=1-2y
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 9. №9. 2023
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/94
F '(у1)=1-0=1>0; F '(у2)=1-2=-1<0.
Отсюда следует, что точка у1=0 - неустойчивое положение точки покоя, так как F '(у1) >0; а точка у2=1 — устойчивое положение точки покоя, так как F '(у2)<0.
Построим график функций F(y). В двух точках покоя производная искомой функций равна нулю.
Еслиye(-ro;0)u(1;+ro), тоy'(t)<0; а еслиye(0;1), тоy'(t)>0. В системе Maple построим точное решение задачи Коши, а также ее график. Для этого в системе Maple по следующему маршруту откроем окно ODE Analyzer Assistant: Maple/Tools/Assistants/ODE Analyzer...
Вводим уравнение: diff(y(t),t)=y(t)*(1-y(t)); вводим начальное условие: у(0)=8. В результате получим точное решение: y(t) =
e-z+e-e-ze
Вводя конкретные значения для малого параметра построим график выше полученного точного решения:
График точного решения при 8=0,001
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru
Т. 9. №9. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/94
В графике можно заметить скачок, т. е. резкое изменение решения задачи Коши [1-9]. Для определения точки скачка решения запишем точное решение в виде:
У(<) = 7—;
e-t+E-e-tE 1+E(et-1)'
Если 0 < — 1) = ц <1 или 0 < t < 1п( 1 + £ х), то для решения задачи Коши (1)-(2) получим следующее разложение:
y(t) =fk = -4 + q2-q3+... +(-ч)п+...)
Точнее
y(t) =
1+E(et-l)
= ге1(1 -£(е1-1) + £ (ez - I)2-... +(-£)п(ez - 1)п+...)
А если Iп( 1 + £ 1) < t, то решениеy(t) можно записать в виде:
У(<) = 7—;
e-t+E-e-tE 1+£et-£ 1+1—r
£ez
1п( 1 + £-1) <t^1 + £-1<et^1 + £<£ et
Отсюда следует следующее неравенство:
i-£ „ 1+е ^ i-£ „ « i-t<^<1^i-t<1.
eeL eeL eeL
Окончательно, при п( 1 + -1) < имеем:
y(t) =
1
=1
1 - 1 -
Таким образом нами доказана следующая теорема. Теорема. Решение задачи Коши (1)-(2) в точке Ь =1п(1 +1) имеет скачок и для этого решения справедливо асимптотическое разложение:
( , = (У1^),0< г <1п(1 + £-1), 1у2^),1п(1 + £-1) <г,
где
y1(t) = £el(1 -e(et-1) + £2(el - 1)2-... +(-£)n(et - 1)п+...),
2 1 -_£\п
1 - 1 -У2(С) = 1- — +1--Г
Е
1
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru
Т. 9. №9. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/94
На основе теории обыкновенных дифференциальных уравнений решение задачи Коши (1)-(2) непрерывна при 0<t. Поэтому решение y(t) непрерывно изменяется на всем
рассматриваемом промежутке, в точке резкого изменения (скачка) t=Zn(l+1) значение
1+е
решения равна у = ——.
Следствие. Справедливы предельные равенства:
/tmy1(t) = 0, Zimy2(t) = 1.
Список литературы:
1. Reiss E. L. A new asymptotic method for jump phenomena // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1980. V. 39. №3. P. 440-455. https://doi.org/10.1137/0139037
2. Kassoy D. R. A note on asymptotic methods for jump phenomena // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1982. V. 42. №4. P. 926-932. https://doi.org/10.1137/0142065
3. Алымкулов К., Кожобеков К. Г. Об асимптотике решения задачи Рейсса для явления прыжка // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. 2019. №2. С. 3-7. EDN SEIBKH.
4. Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. М.: Изд-во МГУ, 2007.
5. Турсунов Д. А., Кожобеков К. Г. Асимптотическое решение задачи Неймана с нерегулярной особой точкой // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». 2021. Т. 201. №0. С. 98-102. https://doi.org/10.36535/0233-6723-2021-201-98-102
6. Турсунов Д. А., Кожобеков К. Г. Асимптотика решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с дробной точкой поворота // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. 2017. Т. 21. С. 108-121. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.108
7. Кожобеков К. Г., Турсунов Д. А. Внешнее решение задачи Э. Л. Рейсса // Вестник Ошского государственного университета. 2020. № 1-1. С. 133-140. EDN: KFOESA.
8. Kozhobekov K. G., Erkebaev U. Z., Tursunov D. A. Asymptotics of the solution to the boundary-value problems when limited equation has singular point // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. V. 41. P. 96-101. https://doi.org/10.1134/S1995080220010138
9. Турсунов Д. А., Эркебаев У З., Сулайманов З. М., Абасова Г. З. Асимптотика решения сингулярной задачи с внутренним слоем // Вестник Ошского государственного университета. 2021. Т. 1. №1. С. 128-136. https://doi.org/10.52754/16947452_2021_1_1_128
References:
1. Reiss, E. L. (1980). A new asymptotic method for jump phenomena. SIAM Journal on Applied Mathematics, 39(3), 440-455. https://doi.org/10.1137/0139037
2. Kassoy, D. R. (1982). A note on asymptotic methods for jump phenomena. SIAM Journal on Applied Mathematics, 42(4), 926-932. https://doi.org/10.1137/0142065
3. Alymkulov, K., & Kozhobekov, K. G. (2019). Ob asimptotike resheniya zadachi Reissa dlya yavleniya pryzhka. Vestnik Zhalal-Abadskogo gosudarstvennogo universiteta, (2), 3-7. EDN SEIBKH. (in Russian).
4. Vasilieva, A. B., & Nefedov, N. N. (2007). Comparison theorems. Chaplygin's method of differential inequalities. Moscow. (in Russian).
5. Tursunov, D. A., & Kozhobekov, K. G. (2021). Asimptoticheskoe reshenie zadachi
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №9. 2023
https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/94
Neimana s neregulyarnoi osoboi tochkoi. Itogi nauki i tekhniki. Seriya "Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. Tematicheskie obzory", 201(0), 98-102. (in Russian). https://doi.org/10.36535/0233-6723-2021-201-98-102
6. Tursunov, D. A., & Kozhobekov, K. G. (2017). Asimptotika resheniya singulyarno vozmushchennykh differentsial'nykh uravnenii s drobnoi tochkoi povorota. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, 21, 108-121. (in Russian). https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.108
7. Kozhobekov, K. G., & Tursunov, D. A. (2020). Vneshnee reshenie zadachi E. L. Reissa. Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta, (1-1), 133-140. EDN: KFOESA. (in Russian).
8. Kozhobekov, K. G., Erkebaev, U. Z., & Tursunov, D. A. (2020). Asymptotics of the solution to the boundary-value problems when limited equation has singular point. Lobachevskii Journal of Mathematics, 41, 96-101. https://doi.org/10.1134/S1995080220010138
9. Tursunov, D. A., Erkebaev, U. Z., Sulaimanov, Z. M., & Abasova, G. Z. (2021). Asimptotika resheniya singulyarnoi zadachi s vnutrennim sloem. Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta, 1(1), 128-136. (in Russian). https://doi.org/10.52754/16947452_2021_1_1_128
Работа поступила Принята к публикации
в редакцию 16.08.2023 г. 24.08.2023 г.
Ссылка для цитирования:
Эркебаев У З., Сулайманов З. М. Нелинейная сингулярно возмущенная задача Коши с внутренним слоем // Бюллетень науки и практики. 2023. Т. 9. №9. С. 8-12. https://doi .org/10.33619/2414-2948/94/01
Cite as (APA):
Erkebaev, U., & Sulaimanov, Z. (2023). Nonlinear Singularly Perturbed Cauchy Problem With Inner Layer. Bulletin of Science and Practice, 9(9), 8-12. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/94/01
