СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КОЛЬЦА С СИНГУЛЯРНЫМИ ГРАНИЦАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 9. №8. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/93

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.928 https://doi.org/10.33619/2414-2948/93/01

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КОЛЬЦА С СИНГУЛЯРНЫМИ ГРАНИЦАМИ

©Эркебаев У. З., ORCID: 0009-0000-5893-4699, канд. физ.-мат. наук, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, [email protected]

A SINGULARLY PERTURBED DIRICHLET PROBLEM FOR A RING WITH SINGULAR BOUNDARIES

©Erkebaev U., ORCID: 0009-0000-5893-4699, Ph.D., Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected]

Аннотация. Обобщенным методом пограничных функций и методом малого параметра построены равномерные асимптотические разложения по малому параметру решений бисингулярных задач Дирихле для кольца с любой степенью точности. Исследованные задачи имеют две особенности: уравнения с малым параметром при старших производных и внешние решения одновременно имеют нарастающие особенности на границах области, т. е. предельные уравнения имеют особенности одновременно на обеих границах кольца. Формальные асимптотические разложения обоснованы принципом максимума и методом дифференциальных неравенств. Полученные асимптотические ряды представляют собой ряд Пюизо. Главный член асимптотических разложений решений имеет отрицательную дробную степень по малому параметру.

Abstract. Uniform asymptotic expansions of small-parameter solutions of bisingular Dirichlet problems for a ring with any degree of accuracy are constructed by a generalized method of boundary functions and a small-parameter method. The investigated problems have two features: equations with a small parameter in the first derivatives and external solutions simultaneously have increasing features on the boundaries of the domain, i. e. limit equations have singularities at the same time on both boundaries of the ring. Formal asymptotic expansions are based on the maxima principle and the method of differential inequalities. The resulting asymptotic series are represented by the Puiseux series. The main term of the asymptotic expansions of the solutions has a negative fractional power with respect to the small parameter.

Ключевые слова: асимптотическое разложение, задача Дирихле, функции Эйри, модифицированные функции Бесселя, погранфункция.

Keywords: asymptotic expansion, Dirichlet problem, Airy functions, modified Bessel functions, boundary functions.

Исследуем задачу Дирихле [1-7] г^р^^У^рХр^^р^г^р^гХ (р^еД u(1,9,s)=0, u(2,9,s)=0,

(1) (2)

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №8. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/93

где / (1,ф,0#0, / (2,ф,0#0.

Подобные задачи исследованы в работах [1-7]. Здесь исследуется особый случай. Решение задачи (1), (2) будем искать в виде

м(р,ф,е)=г(р,ф,е)+ж(т,ф,^)+0(л,ф,^), (3)

где У(р,ф,е) = 1%=огкУк(р,ф) , Ш(т,ф,у) = Ък=-1Ик™ь(*>Ф) , д(Л,ф,у) = Ф), т=(2-р)/^, л=(р-1)/^, е=д3. Из граничных условий (2) имеем

(4)

Подставляя соотношение (3) в уравнение (1), получим

8АК(р,ф,8)-(2-р)(р-1)К(р,ф,8)=/(р,ф,8)-Л(р,ф,8), (р,ф)еД (5)

Г(0,ф,д)= -К(2,ф,|Д 0(0,ф,д)= -К(1,ф,|Л

fd2W у dW

+ ■

V2

d2W

\ дт2 2 — ту дт (2 — ту)2 2дф2 = Ux(2 — ту,<р,у3),(т,ф) Е DT

fd2Q у dQ

\дЛ

+

+ ■

V2

d2Q

2 1 + цудц (1 + цу)2дф2

-T(1 — Ty)W ) =

v(i — Vß)Q) =

(6)

(7)

где Ж=Ж(т,ф,^), 0=0(л,Ф,д).

Из соотношения (5) определим функции у^(р,ф), здесь ^к(р,ф) выбраны так, чтобы выполнялись условия: vt е C, limwk-1(T,ф) = 0, lim цк-1(^,ф) = 0, &eN0.

Пусть g¿(р,ф)=/t(р,ф)_Аv¿_l(р,ф), ке^ъ ^(р,ф)=0, тогда ук е С когда

Ок(р,ф) =Е-1дк+^дк, где д1 = дк(ь,ф),д£ = дк(а,ф).

Теперь перейдем к определению №(т,ф,у) = ^,'к=-1Ук'^к(т,ф) , Q(л,ф,V■) =

%<=_1ykqk(q, ф). Соотношения (6) и (7) запишем в виде (далее wk=wk(i^), qk=qk(^^))

^ ..kid2wn-i ..dwk-i , ..2d2wk-i

к=0

дт2

— у-

дт дф2

— т(с — уT)Wk-1 ) =

(8)

+< b +<

= + ^ (Ак,о(Ф) + ^Акл(ф)) у3к, (т, ф) Е а

к=0 ' к=1

+<

Z

к=0

d2qk-i, dqkd2qk-i

drj2

+ у

дц

+ у2

дф2

— Л(с — №Л)Як_1) =

(9)

= ^и3к Ы + ^ (вк,а(Ф) + тВкл(Ф))у3к, (V,Ф) е йг,,

к=0 ' к=1

Здесь в соотношениях (8) и (9) мы ввели еще вспомогательные асимптотические ряды

1++^1ек(Ак10(ф)+Акл(ф)(Ь-р)) , 1++^1ек(вк10(ф) + Вкл(ф)(р-а)) , где

А^, В^еС^я],7=0,1.

Эти вспомогательные асимптотические ряды должны овладеть таким свойством, что сумма их тождественно должно равняться к нулю, т. е.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №8. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/93

П^гк(Ак10(ф)+Акл(ф)(Ь-р)) + П^гк(вк10(ф)+вкл(ф)(р- 0°)

(АК0(ф) + ЬАК1(ф) + ВК0(ф) - аВкл(ф) = 0, \-Акл(ф) +Вкл(ф) = 0.

Асимптотические ряды с таким свойством не влияют на внешнее регулярное решение. Эти вспомогательные асимптотические ряды введены для того, чтобы с помощью них получить соотношения 1 im w^^t^) = 0, lim цк-1(^,ф) = 0, £eN0.

Из соотношения (8), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях д, получим рекуррентную систему уравнений

lw-1 = - ctw-I = 9о, (^,9)eDT, (11)

Lwo=—^-t2w-1-\gb ,(т,Ф)еА, (12)

Lw1=-"?---^-T2w0,(x,9)eDx, (13)

Lw-зк-г = ^ - - т^3к-2 + gbk + Ак,о(ф), (т,ф)еА, (14)

Lw-зк = д-^Т- Ц3^ - ^гъ-х -~cgbk+ Акл(ф)т, (т,ф)еА, (15)

lw3к+1 = д-^- ^ - ^Зк, (т,Ф)еА, (16)

Из первого соотношения (4) следует, что решения уравнений (11)-(16) должны удовлетворять условиям, соответственно:

^3£-1(0,Ф)=0, wзk(0,ф)=-Vk(b,ф), ^зШ(0,ф)=0. (17) Дополнительно потребуем выполнения условий

^¿-1(т,ф)^0 при т^+го, £eN0. (18) Аналогичные задачи получаются из соотношения (8):

Lq-г = д-^~Т- СПЧ-1 = g%, (Л,ф)^л, (19)

~L4o = -d-t-V2q-i-Rcgao ,(Л,ф)^, (20)

Lq^-^-^-ri^oA^D (21)

Lq^-i = -дя3;г-- r2qзк-2 + ga + Вк,о(ф), (л,ф)^, (22)

LqЗк = -д-т;г-Ц^2- tfqu-i -\ga + вкл(ф)г, (л,ф)^, (23)

1п - дЧзк -2q3k~i r,2n /„ т\сГ) (24)

= —с----р--r qзk,(Л,ф)eDл, v у

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №8. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/93

Из второго соотношения (4) следует, что решения уравнений (19)-(24) должны удовлетворять следующим условиям, соответственно:

<&-1(0,ф)=0, ^(0,ф)=-^(а,ф), q3k+1(0^)=0, keN0.

Дополнительно потребуем выполнения условий при keN0.

(25)

(26)

При п=1 следует существование, единственность и бесконечно дифференцируемость решений уравнений (11)-(16) и (19)-(24) удовлетворяющих соответственно условиям (17) и (25) в классе функций, растущих не быстрее какой-либо степени т и л соответственно.

Теперь перейдем к доказательству существования функций Л^, В^еС[0,2л:] 7=0,1 при которых решения уравнений (14)-(19) и (22)-(27) удовлетворяющих соответственно условиям (17) и (25) принадлежать классу функций убывающих степенным ростом по т и л, соответственно.

Существуют такие функции Л^, В^еС[0,2л:]7=0,1, keN удовлетворяющие равенствам (10) и при этом справедливы соотношения:

^зк+5(т,ф) = s=0,1,2, ¿=-1,0,1,..., т^+да,

Чзк+5(л,Ф) = 17=i

T3J-S

g3k+s,3j-s(cP) _

r3j-

-, s=0,1,2, ¿=-1,0,1,...,

(27)

(28)

где wkJ, qkjеС^[0,2л].

Как отметили выше, смысл равенств (10) состоит в том, что при таких функциях, которые являются решениями (10) не могут влиять на регулярное внешнее решение К(р,ф,в), так как VkeN: Лад(ф)+Л^(ф)(6-р)+В^0(ф)+Ви(фХр-а)=0.

Применяя лемму 2 при п=1 к уравнениям (11 )-(13) и (19)-(21), получаем

(ф)

w1M)=ZJ=0

'1,3 J+2

(Ф)

T3J+2

Ч-г(Л,ф) = Чо(л,ф) = и=0 л3+3

где WkJ, qk,J еС^[0,2л].

Допустим, что VkeN справедливы соотношения (27), (28). Тогда, при k=s+1, имеем

= - ^ - т^35+1 + дъ3+1 + А5+10(ф),

т2мзз+2 - 7дЬ5+1 + А3+1лф)т,

q0,3j+3(cP^ /■ v1® q1,3 j+2(ф) . .

—- Чl(.Л, ф) = 1J=0 33j+2 ,

Lw

3s+3

дт дф2

dw3s+2 d2W3s+i

дт

L w

L43S+2 = -L43s+3

д ф2

_ d^3s±3 дт

dq3s±i d2q3s

3s+4 —

-rb

cl

d2^F-T2W3s+3,

д ф2

д r д ф2

dq3s±2 d2q3s±

- П 43S+1 + 9s+l + В5+1,0(Ф),

д r L43S+4

дф2 1 - rl243s+2 - rgs+l + Bs+Ы(ф)r],

dq3s±3

д r

д q3s±2 2 -дф--Г 43s+3.

Отсюда имеем

W3s+i,2(<P)-esa+i(<P)-As+i,o(<P) , v^ ' W3s+2 = ---+ Lj=l

3s±2,3 J ±1 T3J+1 ,

W3s+3 = I7f=0

"3s±3,3 j+3 T3j±3

если А.5+1,о(ф)^3.5+1,2(ф)-сА,,+и(ф), а также

W3s+4 = lf=0

v3s±4,3 j+2 T3 j±2 ,

т^+го.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №8. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/93

Аналогично,

РЖ 43S+2,3j+1

43S+2 = en + Li=X V3J+1 ,

_ Y"» 43s+3,3j+3

Ч3З+3 = Ъ';=о * 3+3 , если В,+1,0(ф)=^з,+1,2(ф)_сВ,+1,1(ф), при этом

В результате получаем систему уравнений с двумя неизвестными ^,+10(ф), В,+10(ф):

^з,+1,2(ф)_с Аа+1,1(ф)+6Аа+1,1(ф)+^за+1,2(ф)_сВа+1,1(ф)_аВа+1,1(ф)=0,

_А,+1,1 (ф)+В,+1,1(ф)=0.

Система имеет единственное решение:

Следовательно, при А,+и(ф)=В,+и(ф)=^5+1,2(ф:+35+1,2(ф), А,+1,0(ф)=_^з,+1,2(ф), В^Дф) =

_ ^3,+1,2(ф) для VkеN справедливы соотношения (27), (28), т.е. имеют место соотношения (18), (26). Лемма доказана.

Список литературы:

1. Tursunov D. A., Erkebaev U. Z. Asymptotic expansions of solutions to Dirichlet problem for elliptic équation with singularities // Ufa Math. J. 2016. V. 8. P. 97-107. http://dx.doi.org/10.13108/2016-8-1 -97

2. Турсунов Д. А., Эркебаев У З. Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для кольца с особенностью на границе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. №1 (39). С. 42.

3. Турсунов Д. А., Эркебаев У З. Асимптотика решения бисингулярно возмущенной задачи Дирихле в кольце с квадратичным ростом на границе // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2016. Т. 8. №2. С. 5261. https://doi .org/10.14529/mmph160207

4. Турсунов Д. А., Эркебаев У З. Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения с особенностями // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8. №1. С. 102-112.

5. Турсунов Д. А., Эркебаев У. З. Асимптотическое разложение решения задачи Дирихле для кольца с особенностью на границе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. №1 (39). С. 42-52.

6. Турсунов Д. А., Эркебаев У З. Обоснование формальных асимптотических разложений решения бисингулярно возмущенных задач // Вестник ОшГУ. 2015. №4 (4). С. 20.

7. Турсунов Д. А., Эркебаев У. З. Асимптотика решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного уравнения в кольце // Вестник Удмуртского университета. 2015. Т. 25. №4. С. 517-525.

References:

1. Tursunov, D. A., & Erkebaev, U. Z. (2016). Asymptotic expansions of solutions to Dirichlet problem for elliptic equation with singularities. Ufa Math. J., 8, 97-107. http://dx.doi.org/10.13108/2016-8-1-97

2. Tursunov, D. A. (2016). Erkebaev UZ Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya zadachi Dirikhle dlya kol'tsa s osobennost'yu na granitse. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, (1 (39)), 42. (in Russian).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №8. 2023

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/93

3. Tursunov, D. A., & Erkebaev, U. Z. (2016). Asimptotika resheniya bisingulyarno vozmushchennoi zadachi Dirikhle v kol'tse s kvadratichnym rostom na granitse. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Fizika, 8(2), 52-61. (in Russian). https://doi.org/10.14529/mmph160207

4. Tursunov, D. A., & Erkebaev, U. Z. (2016). Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya zadachi Dirikhle dlya ellipticheskogo uravneniya s osobennostyami. Ufimskii matematicheskii zhurnal, 8(1), 102-112. (in Russian).

5. Tursunov, D. A., & Erkebaev, U. Z. (2016). Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya zadachi Dirikhle dlya kol'tsa s osobennost'yu na granitse. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, (1 (39)), 42-52. (in Russian).

6. Tursunov, D. A., & Erkebaev, U. Z. (2015). Obosnovanie formal'nykh asimptoticheskikh razlozhenii resheniya bisingulyarno vozmushchennykh zadach. Vestnik OshGU, (4 (4)), 20. (in Russian).

7. Tursunov, D. A., & Erkebaev, U. Z. (2015). Asimptotika resheniya zadachi Dirikhle dlya bisingulyarno vozmushchennogo uravneniya v kol'tse. Vestnik Udmurtskogo universiteta, 25(4), 517-525. (in Russian).

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 12.0 7.2023 г. 24.0 7.2023 г.

Ссылка для цитирования:

Эркебаев У З. Сингулярно возмущенная задача Дирихле для кольца с сингулярными границами // Бюллетень науки и практики. 2023. Т. 9. №8. С. 10-15. https://doi.org/10.33619/2414-2948/93/01

Cite as (APA):

Erkebaev, U. (2023). A Singularly Perturbed Dirichlet Problem for a Ring With Singular

Boundaries. Bulletin of Science and Practice, 9(8), 10-15. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/93/01