СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ СО СКАЧКОМ В РЕШЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 9. №7. 2023

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/92

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.928 https://doi.org/10.33619/2414-2948/92/01

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ СО СКАЧКОМ В РЕШЕНИЯХ

©Азимов Б. А., ORCID: 0000-0001-5849-8583, канд. физ.-мат. наук, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, [email protected]

SINGULARLY PERTURBED EQUATION WITH A JUMP IN SOLUTIONS

©Azimov B., ORCID: 0000-0001-5849-8583, Ph.D., Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected]

Аннотация. Методом параметризации построена асимптотика решения модельного одномерного сингулярно возмущенного уравнения Лайтхилла. Особенность задачи заключается в том, что в точке x=0 существует особая точка. Доказано, что в этой особой точке решение сингулярно возмущенной задачи Лайтхилла резко меняет свое значение, т. е. происходит явление скачка. Вычислено значение этого скачка.

Abstract. The asymptotics of the solution of the model one-dimensional singularly perturbed Lighthill equation is constructed by the parametrization method. A feature of the problem is that there is a singular point at the point x=0. It is proved that at this singular point the solution of the singularly perturbed Lighthill problem changes its value sharply, i.e., jump occurs. The value of this jump is calculated.

Ключевые слова: принцип индукции, метод мажорант, особая точка, асимптотика, скачок.

Keywords: principle of induction, majorant method, singular point, asymptotics, jump.

Для построения и решения задач использовали работы ряда авторов [1-9]. Рассмотрим следующую задачу:

(х + eu) ^ + q(x)u(x) = г(х), (1)

и( 1) = и0, (2)

где 0 < £ « 1 - малый параметр, х Е [0,1], и0 — известная постоянная, q(x),r(x) Е Cœ[0,1] .

Требуется методом параметризации исследовать скачок решения в начальной точке х = 0. В уравнении (1) введем параметр ( Е ^0[(£), 1], где ^0(£)- пока неизвестно, и ^0(0) < 0. Если выполняется следующее неравенство

х(0 + еи(0 Ф 0, (3)

то уравнение (1) эквивалентно следующей системе уравнений

= Г(Х(^)) - ч(х(ОЫО, "(1) = и0 (41)

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https ://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №7. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/92

du

^ = x( 0 + eu( 0,

x(1) = 1

(4.2)

Исследуем решение системы уравнений (4.1) и (4.2). Решение будем искать в виде рядов:

<0 = Щ(0 + ещ(0 + е2Щ(0 + -

Х = { + ЕХ1(0+£2Х2(0 + - (52)

(5.1)

Здесь (] = 0,1,2,3,...), хк(()(к = 1,2,3,...) пока неизвестные функции и

и0(1) = и0, ик(1) = 0, хк(1) = 0, (к=1,2,3...).

Подставляя (5.1), (5.2), соответственно, в (4.1) и (4.2) получаем:

к=1

+

К ^ ^ (О^ = Г(Х) + ^ rj (О (sXi + s2X2 + ■■■ ) +

[U0(O + £Ui + ■■■],

}=1

7

4(0 + ^ 4} (О&Х! + е2Х2 + - ) 1=1

1 го

Отсюда, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, то имеем

К + Ik=ie§m = К + 17=14 (Oej + eZf=iUj(OeJ.

1 dkr($) 1 dJq($)

(6.0)

- du0 с

du1

$^ = -q(Ouo(o + r(o, u0(i) = u°,

Lui(0 + q(0ui(0 = ri(0xi(0 + qi(0xi(0uo(0.

u1(1) = 0.

Mxi(0 ■=^^-Х1(о = и0(О,

dS

Xi(1) = 0

LU2(0 = ЧХ2 + W2 + qiX2U0(O + Uiqi(Oxi =

= Г1Х2 + qiT2U0 + fi(xi,Ui), U2(1) = 0 MX2=U2(0,*2(1) =0,.........................

( ) = T"ix2 + qiXmuQ + fm(x1,x2, •••, xm-1,u1,u2, ■-,um+1),

Um(1) = 0. MXm = Um-1(0, xm(1) = 0,

(6.1)

(7.1)

(6.2)

(7.2)

(6.m) (7.m)

Функция /т(х1,х2,... ,хт-1,и0,и1,... ,ит-1) - (6.0) — решение, зависящее только от функций, состоящих из собственных аргументов

и0(() = u0exp{-fS q(s)s-1ds + Р(0 fS P-1(s)s-1r(s)ds},

(8)

Здесь

7

7

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №7. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/92

Р (%) = ехр

= s q°exp

— j q(s)s 1ds

= rqQ(0, Q(s) = exp{-tfq-^ds}.

{—j:

4(s) — qo)

ds =

Мы считаем

Тогда (8)

qo = q(0) > 0.

Uo(0~rqQ(0) = Г40, К ^ 0. (a, = Q(0))

Другими словами

a0 = a(0)

% ^ 0 при u0 ^ от. ■ 0

u0 + I s

:o

,-1+q0

Q-1(s)r(s)ds

Теперь из (7.1)

Xl($) = f js-2u0(s)ds ju0s-qo-2ds ~ — ^ 0,

Другими словами

xi(0~—Pirq°, ^0

Теперь из (6.1).

Lu1(0~A1^-2qo-a, Здесь мы пишем A1 = const, то из (11).

( =

u0

1 + 40

ui(0'

j sq0-1dsD1~%-2q0B1, B1 = const

Теперь найдем асимптотику x2(()- из (7.2).

X2(0 =UiS-2u1(s)ds~$tfB1S-2q°-2ds~(2r2q0,

Теперь из (6.2)

Из этого

Lu2(0~A2r3q°, К ^ 0.

u2(O~rq0Ks2q0-1dsB1~B2$-

Далее по полной математической индукции

■Чо

^0.

(9)

(10)

(11)

хк(0~-РкГкЧо,ик(0~в1гкч°, К ^ 0.

Значить, асимптотика решения системы уравнений (4.1) и (4.2.) примет вид:

и(0~ГЧао + В1ГЧо£ + В2(ГЯо£) + ■■■ + Вк(ГЯо£) + ■] (12)

+ + - + Рп(Сче)п + -]

Из (12) этот ряд является асимптотическим рядом. Если

ЕЧ°+У,1] (13)

Если (0 < у < 1).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №7. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/92

Теперь

40 = ?-т;^-С4£ + о(е2) 1+ q

+ qo

Если мы найдем, какое значение % соответствует х = 0 из уравнения

1

Тогда из (12.1)

а0

-Чо

и(0)~(£--0—)Чо + 1

1 + q1

(14)

(15)

(16)

Следовательно, (16) есть скачок решения в точке х=0. Таким образом, мы получили формальное доказательство следующего уравнения. Теперь проверим, когда уравнения (1) и (4) эквивалентны.

+ Чо 1 + 40

Это выражение будет нулен, если

( + еи(0) = $- £т^СЧ0 + еа0ГЧ0 + 0(е2) =$ + гГЧоа0-^+ 0(a2), a ^ 0

1 + q 1 + q

£Ч°а°)1+1о, а0 > 0 оно мнимое.

Таким образом х(%) + £и(%) Ф 0 если а0 > 0 , то есть системы (1) и (4) эквивалентны при а0 > 0.

Теорема. Если

а- = 2(0)

и0 + J s-1+40Q(s)r(s)ds

>0

То решение задачи (1) существует на отрезке [0,1] и в точке х = 0 будет скачок (16). Полное доказательство теоремы доказывается методом мажорант. Случай*, когда 4(0) = 0, г(0) = г0 < 0. В этом случае:

и0 (х)~г01пх Будем считать, что

г0 = г(0) < 0 Тогда из уравнений предыдущего случая*

(17)

(18)

Xi(° = К J

s 2u0(s)ds I s 2r0lnSds

и = InS dv = S-2ds

V = -S-1| =

~$r0lnS(-s-1)H + $ fS InS • S-1ds ~ - r0ln%, 0 т.е.

Х1(0~-ГоЩ

Теперь определим щ({). Из предыдущего пункта (6.1).

щ(0~Р(0 jSp-1(s) ln2(s)r02s-1ds~B1ln3(ds, 0

Bi = qi(0)r0 > 0

Отсюда

B1 = const > 0

(19)

(20)

i

g) ® I

к^МЗм Тип лицензии CC: Attribution 4.0 International (CC BY 4.0)

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 9. №7. 2023 https://doi.org/10.33619/2414-2948/92

Теперь определим х2( ().

^(0 = % ¡Is-2 u1(s)ds~ — (1ln3%, (2 = —(1<0 Если u2( {) — функция

u2(0~P(0 jln4(s) s-1ds~B2ln5(,

(21)

IS u;>~B2i

B2 = const

По принципу индукции

xm(0~(mln2m+^, ^0. (m>1) um(0~(mln2m+H, ^0. VmEN

Так что

u(0~ln ^[r0 + B^ln3^ + (eln3f)2B2 + ■■■ + (eln3OmBm + - ] х(ОЧ — ЧгЩ + - + (m(eln3Om + -

(22)

(23)

x(%) = 0^$ + (xln3^q2 = 0 ^ In £ B1 > 0

В интервале [^_0 (s),1] ряд (23) сходится. Теперь

x(0 + eu(0~f + ъЩ ±0,fE [f0, 1] Поэтому (1) и (2) эквивалентны в точке х = 0

u(%0)~r0ln%0

и будет скачком.

Список литературы:

1. Kapila A. K. Asymptotic treatment of chemically reacting systems. 1983.

2. Алымкулов К. Метод униформизации и обоснование метода Лайтхилла // Известия АН Киргизской ССР. 1981. №1. С. 35-38.

3. Alymkulov K., Tursunov T. D. Perturbed differential equations with singular points // Recent Studies in Perturbation Theory; Uzunov, DI, Ed.; InTech: Zagreb, Croatia. 2017. P. 1-42. http://dx.doi.org/10.5772/67856

4. Алымкулов К., Кожобеков К. Г. Асимптотика решения задачи химической реакции со стационарной достижимостью // Вестник Жалал-Абадского государственного университета. 2019. №3. С. 128-133.

5. Ильин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009.

248 с.

6. Коул Д. Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. 276 с.

7. Carrier G. F. Boundary layer problems in applied mathematics // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1954. V. 7. №1. P. 11-17. https://doi.org/10.1002/cpa.3160070103

8. Kevorkian J., Cole J. D. Perturbation methods in applied mathematics. Springer Science & Business Media, 2013. V. 34. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4213-8

9. Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 247 с.

References:

1. Kapila, A. K. (1983). Asymptotic treatment of chemically reacting systems.

® I

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 9. №7. 2023

https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/92

2. Alymkulov, K. (1981). Metod uniformizatsii i obosnovanie metoda Laitkhilla. Izvestiya AN Kirgizskoi SSR, (1), 35-38. (in Russian).

3. Alymkulov, K., & Tursunov, T. D. (2017). Perturbed differential equations with singular points. Recent Studies in Perturbation Theory; Uzunov, DI, Ed.; InTech: Zagreb, Croatia, 1-42. http://dx.doi.org/10.5772/67856

4. Alymkulov, K., & Kozhobekov, K. G. (2019). Asimptotika resheniya zadachi khimicheskoi reaktsii so statsionarnoi dostizhimost'yu. Vestnik Zhalal-Abadskogo gosudarstvennogo universiteta, (3), 128-133. (in Russian).

5. Il'in, A. M., & Danilin, A. R. (2009). Asimptoticheskie metody v analize. Moscow. (in Russian).

6. Koul, D. D. (1972). Metody vozmushchenii v prikladnoi matematike. Moscow. (in Russian).

7. Carrier, G. F. (1954). Boundary layer problems in applied mathematics. Communications on Pure and Applied Mathematics, 7(1), 11-17. https://doi.org/10.1002/cpa.3160070103

8. Kevorkian, J., & Cole, J. D. (2013). Perturbation methods in applied mathematics (Vol. 34). Springer Science & Business Media. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4213-8

9. Brein, N. G. (1961). Asimptoticheskie metody v analize. Moscow. (in Russian).

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 04.06.2023 г. 12.06.2023 г.

Ссылка для цитирования:

Азимов Б. А. Сингулярно возмущенное уравнение со скачком в решениях // Бюллетень науки и практики. 2023. Т. 9. №7. С. 12-17. https://doi.org/10.33619/2414-2948/92/01

Cite as (APA):

Azimov, B. (2023). Singularly Perturbed Equation With a Jump in Solutions. Bulletin of Science and Practice, 9(7), 12-17. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/92/01

® I