CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 3, С. 47-55
УДК 517.9
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ (ПОЛНОТА, НЕТРИВИАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ НУЛЯ И ПОРОЖДАЮЩИЕ ИХ ЭЛЕМЕНТЫ)
Ю. Ф. Коробейник
В работе исследуется связь между наличием в отделимом линейном топологическом пространстве нетривиальных разложений нуля по определенным системам элементов и полнотой таких систем. Вводится также понятие элемента, порождающего нетривиальное разложение нуля по системе X, и устанавливаются достаточные условия, при выполнении которых какой-либо элемент х будет порождающим нетривиальное разложение нуля по некоторым системам элементов. В заключение приводится ряд нерешенных задач по тематике статьи.
Ключевые слова: полнота системы элементов в линейном топологическом пространстве, нетривиальные разложения нуля.
1. Пусть H — отделимое линейное топологическое пространство (ЛТП) над полем скаляров Ф, где Ф = C или Ф = R, и пусть П — бесконечное множество индексов из C, а Xq := (жд: А Е П) — некоторое семейство попарно различных элементов из H. Всюду далее предполагается, что множество span Xq (линейная оболочка Xq) плотно в H, т. е. span Xq = H и что любая конечная совокупность попарно различных элементов из Xq линейно независима в H. Из известного критерия полноты Банаха (см., например, [1]) следует что оператор i: Vр Е H' ^ р(жд) отображает взаимно однозначно пространство H' всех линейных непрерывных на H функционалов на некоторое векторное пространство Kg функций, определенных и однозначных на П. Будем далее предполагать, что Kg С A(loc)(fi), где A(loc)(fi) — пространство всех однозначных и локально аналитических на множестве П функций. (Напомним, что функция f локально анали-тична на множестве П, если она аналитична в некоторой достаточно малой окрестности |z — а| < г(а) каждой точки а из П.)
Наконец, всюду далее предполагается, что множество Kg инвариантно относительно деления на линейную функцию в следующем смысле: если в Е П, y Е Kg и Д—) Е
А(Юс)(П), то Д-в Е Kg.
Отсюда, применяя метод полной математической индукции (по p), легко установить, что если множество Kg инвариантно относительно деления на линейную функцию, v Е Kg и y — нуль v из П кратности p ^ 1, то (Д-Д)? Е Kg. При этом мы говорим, что 7 — нуль функции v кратности p, если (д—^ Е А(Ьс)(П), но Е А(Ьс)(П).
2. Считая, что все предположения п. 1 выполнены, возьмем какую-либо последовательность попарно различных индексов {Ап}, положим X := (ждки укажем простое достаточное условие полноты системы X в ЛТП H.
© 2010 Коробейник Ю. Ф.
Приведем вначале один результат, неоднократно встречавшийся в литературе (правда, как правило, в более частных ситуациях).
Теорема 1. Пусть система X неполна в Н и пусть последовательность линейных агрегатов
m.
gn(А) = afc,nXAk, m„ Т n = 1,2,..., k=1
стремится к нулю по топологии H. Тогда для любого номера so ^ 1 предел limn^r as0,n существует и равен нулю.
< Согласно известному критерию Банаха полноты в H' найдется отличный от нулевого функционал ^>o такой, что ^о(хл) = 0 для любого А Е П. Пусть go(A) := и пусть AS0 — нуль g0 кратности q ^ 0. Тогда, если gO^0,9 (А) := (л—л^'з, то gO^0'9 Е K^,
причем gO^0'9 (AS0) = d0 = 0 и g0"s0'q (Am) = 0 для всех m ^ 1, m = s0. Пусть теперь ¥>i := ). Тогда
0 = <£i(0) = <£>i( lim gn) = lim ^i(g„) = lim a^n¿0-
Так как d0 = 0, то limn^r as0,n = 0. >
Следствие 1. Пусть последовательность {gn (А) }Г=1 линейных агрегатов элементов из X стремится к нулю в H и пусть существует si ^ 1 такой, что limn^r |as1 ,n| > 0. Тогда система X полна в H.
Это следствие и дает обещанное ранее простое достаточное условие полноты системы X в H.
Сформулируем еще два очевидных следствия теоремы 1, в которых H, П, Xq и X — те же, что и выше.
Следствие 2. Пусть имеется ряд ^X=i 6kХлк, хотя бы один из коэффициентов которого 6m0 отличен от нуля, а некоторая подпоследовательность {Sn^}Jr=i, Snj. = £m=i Хлк, j = 1, 2,..., его частных сумм сходится к нулю по топологии H. Тогда система X полна в H.
Следствие 3. Пусть существует сходящийся в H ряд ^r=i 6kХлк, хотя бы один коэффициент которого отличен от нуля и сумма которого равна нулю. Тогда система X полна в H.
В соответствии с одним определением из [2, 3], последний результат можно перефразировать так.
Следствие 3'. Если в H имеется нетривиальное разложение нуля (НРН) по системе X, то она полна в H.
Напомним [2, 3], что последовательность X = )r=i допускает нетривиальное разложение нуля по системе X в H, если справедливо равенство 0 = ^r=i ck, в котором ряд справа сходится в H, для любого k ^ 1 имеем Е Ф и существует k0 ^ 1 такой, что
Далее, если H — полное отделимое локально выпуклое пространство (ПОЛВП) над тем же полем Ф, то говорят [2, 3], что в H имеется абсолютное нетривиальное разложение нуля (АНРН) по системе X, если справедливо хотя бы одно равенство вида 0 = r=i dfcXfc, в котором ряд справа абсолютно сходится в H, причем для любого k ^ 1 dfc Е Ф и существует номер ki ^ 1 такой, что dk1 = 0.
В связи с последним результатом представляет определенный интерес выяснение по возможности общих условий, при выполнении которых в Н существует НРН по X. Приведем вначале один, возможно, самый простой, результат в этом направлении.
Теорема 2. Пусть X = {хлк — некоторая последовательность собственных элементов линейного непрерывного (из ЛТП Н в Н) оператора Т: Тх\п = Апхлп, п = 1, 2,... Пусть, далее, а £ П, а = Ап для всех п ^ 1 и ха — ненулевой собственный элемент оператора Т: Тха = аха. Пусть, наконец, справедливо равенство
те
ха = ^2 акхлк, (1)
к=1
причем ряд справа сходится по топологии Н. Тогда в Н имеется НРН по системе X.
< Действительно, из соотношения (1) следует прежде всего, что существует то ^ 1: ато = 0. Далее, действуя на обе части равенства (1) оператором Т, а затем вычитая из полученного равенства соотношение (1), предварительно умноженное на а, приходим к НРН по X в Н:
0 = ^ ак (Ак - а)хХк; ато (Ато - а) = 0. >
к=1
Замечание. Если выполнены все предположения теоремы 2 и, кроме того, ряд справа в (1) сходится абсолютно в Н, то точно так же показываем, что в этом случае в Н имеется АНРН по системе X.
3. Опишем теперь некоторые свойства неполных систем. Пусть по-прежнему Н — отделимое ЛТП, х\ £ Н для любого А £ П,
Xn = {хл: А £ П}, ярап Xп = Н;
Ак £ П Vх ^ 1 и X = {хЛк: к = 1, 2,... }.
Вышеупомянутый критерий полноты Банаха можно высказать в такой эквивалентной форме: система X неполна в Н тогда и только тогда, когда в Кц найдется отличная от тождественного нуля функция V, для которой множество Л := {Ак: к = 1, 2,... } является аннулятором,, т. е. v(Аk) = 0 для всех к ^ 1. (Как обычно, условимся говорить, что подмножество В множества П является аннулятором какой-либо функции т(х) из КЦ, если В С т-1(0).)
Теорема 3. Пусть Н, Xп и X — те же, что и в начале п. 3, и пусть еще Кц инвариантно относительно деления на линейную функцию, а система X неполна в Н. Тогда в Н' имеется биортогональная с X система функционалов {^т}^=1.
< По критерию Банаха Л является аннулятором некоторой отличной от тождественного нуля функции т из КЦ. Если Рк — кратность нуля Ак функции т, то функция дк(А) := (Л— ЛЛ)рк принадлежит Кц. Пусть <^к := £-1(9к), к = 1, 2,... Ясно, что для любого к ^ 1 <^к (хлт) = Ьк,т, где Ьк,т = 0 при к = т и Ьк,к = т(рк)(Ак) = 0. Таким образом,
}те
— биортогональная с X система функционалов из Н'. >
п=1
Следующий простой результат дополняет теорему 3.
Теорема 4. Пусть отделимое ЛТП Н, П, X и Кц — те же, что и в начале п. 1, и, кроме того, Кц инвариантно относительно умножения на многочлен. Пусть, далее, для некоторого п0 ^ 1 в Кц найдется функция vn0 такая, что vn0 (Ат) = 0 при т = п0,
но уП0 (А„0) = 0. Тогда в КН существует отличная от тождественного нуля функция т с аннулятором Л.
< Для доказательства этой теоремы достаточно положить т(А) = ьП0 (А)(А — АП0). >
Следствие. В предположениях теоремы 4 в Н' имеется биортогональная с X система функционалов (и, соответственно, система X неполна в Н).
В связи с теоремой 4 заметим, что если в Н' существует биортогональная с системой X последовательность функционалов }^=1, то не найдется ни одной последовательности агрегатов {йга(А)}^1 указанного в теореме 1 вида, для которой бы выполнялись предположения ее следствия 1. Таким образом, следствие 1 к подобной ситуации неприменимо. В частности, так будет, когда X — базис Шаудера в Н, т. е. когда любой элемент у из Н можно представить единственным образом в виде сходящегося в Н ряда У = к= 1 УкХлк, где для любого к ^ 1 ук = ^ (у) и (рк £ Н'. Из этого определения следует, что ^к(хлт) = 6к,ш, где 6к,ш — символ Кронекера: 5к,т = 0, если к = т, и 5к,к = 1 для всех к, т ^ 1.
Хотя следствия 1-3 теоремы 1 дают лишь достаточные условия полноты (для системы X, не обладающей биортогональной с ней системой функционалов из Н'), тем не менее они (особенно следствие 3') позволили получить результаты об усиленной полноте (возможности представления любого элемента из Н в виде сходящегося в Н ряда по системе X) в довольно общих ситуациях (см. по этому поводу, например, работы [2, 3]).
4. Переходя к более конкретным ситуациям, ограничимся в данной работе, пожалуй, наиболее важным случаем, когда Хл = еЛх.
В качестве Н возьмем вначале пространство Фреше ) всех функций, аналитических в некоторой содержащей начало координат выпуклой (не обязательно ограниченной) области ^ с опорной функцией #(—> 0, со стандартной проективной топологией равномерной сходимости на каждом компакте из ^. Заметим, что условие 0 £ ^ принято для простоты изложения, и от него легко избавиться с помощью линейной замены независимой переменной г. Положим П = С. Как хорошо известно (см., например, [4, 5]), оператор ^ £ ) ^ ^(еЛг) отображает взаимно однозначно ) на пространство К$) = [1,5(^0) всех целых функций, у которых или порядок < 1, или порядок равен единице, но индикатор при этом порядке строго меньше д(^>), ^ £ [0, 2п). Пространство К$) = )), как нетрудно проверить, инвариантно относительно деления на линей-
ную функцию и умножения на любой многочлен. Если в качестве Л взять любое множество попарно различных комплексных чисел Ап, п = 1, 2,... ,ав качестве Т — оператор дифференцирования, очевидно, непрерывный из ) в ), то к данной ситуации применимы все утверждения, установленные в пп. 2-3. Предоставив их формулировку для данного конкретного случая читателю, ограничимся лишь двумя замечаниями.
Прежде всего, следствие 2 теоремы 1 при Н = ), П = С, Хл = еЛх было установлено ранее в работе [2] (см. теорему 1 этой статьи). Далее, теорему 2 в данном конкретном случае можно несколько усилить, правда, при некоторых дополнительных предположениях. Именно, справедлива
Теорема 5. Пусть — произвольная область в С и Н1 — отделимое ЛТП функций, содержащееся в ) и, в свою очередь, содержащее все функции вида Р, где в £ С, а Р(г) — произвольный многочлен. Предположим еще, что операции дифференцирования, а также умножения на любую экспоненту е7^, 7 £ С, непрерывны из Н1 в Н1. Пусть, наконец, выполняется одно из следующих двух условий, в которых Ак £ С, Ак = Ат при к = т, Л = {Ак: к ^ 1} и ЕА := (ехр Ак:
а) найдутся число а из С|Л и отличный от тождественного нуля многочлен Ро(г)
степени по ^ 0 такие, что всюду в У Р(г)еа2: = ^£=1 ЬкеЛк2:, причем ряд справа сходится по топологии Н1;
б) существуют номер к1 ^ 1 и многочлен Рр (г) степени щ ^ 1 такие, что для любого г £ У Р1 (г)еЛк1 * = ^£=1 ^еЛк*, причем и здесь ряд справа сходится в Н1.
Тогда в Н1 имеется НРН по системе Ел.
< Пусть сначала выполнено предположение а). Тогда для любого г £ У
те
Ро(г) = Х; Ьк е(Лк-а)*. (1)
к=1
Учитывая, что ряд справа в равенстве (1) сходится в Н1, и дифференцируя это равенство по + 1 раз, получим:
0 = Р0"°+1)(г) = ^ Ьк(Лк - а)П0+1е(Лк-а)г к=1
те
= е-а^ Ьк (Лк - а)"0+1еЛкг, г £ У.
к=1
Отсюда 0 = те=1 Ьк (Лк — а)""0+1еЛкг для тех же г. Далее, из соотношения (1) следует, что существует ко ^ 1 такое, что Ьк0 = 0. Но тогда Ьк0 (Лк0 — а)"0+1 =0 и 0 = ^Ь„(Л„ — а)П0+1еЛп^ — НРН в Н1 по системе Ел.
Если же выполняется условие б), то из равенства
те /
Р (г) — йк1 = ^ 4е(Лк-Лк1, г £ У, (2)
к=1
те /
правая часть которого сходится в Н1 , а символ означает суммирование по всем
к=1
номерам к ^ 1, отличным от &1, находим
те /
0 = (Р1(г) — 41 )(п1+1) = £ 4(Лк — Лк1 )"1+1е(Лк-Лк1*,
к=1
и мы вновь приходим к НРН в Н1 по системе Ел: 0 = ^£=1'4(Лк — Лк1 )П1+1еЛкг, г £ У (из (2) следует, что существует к2 ^ 1 такое, что к2 = к1 и 42 =0). >
В теоремах 1-4 в качестве Н, а также в теореме 5 в качестве Н1, можно взять, например, такие пространства целых функций, с соответствующей проективной или индуктивной топологиями:
I) пространства Фреше (более того, М*-пространства в терминологии Себаштьяна-и-Силвы [6, 7]): 1) А(С); 2) [р, то] — пространство всех целых функций порядка не выше, чем р, где р ^ 1; 3) [р, 0] — пространство всех целых функций роста не выше, чем порядка р и нулевого типа (1 < р < то), и т. д.;
II) *-пространства в терминологии Себаштьяна-и-Силвы [6, 7]: 1) [р, то) — пространство всех целых функций, у которых или порядок меньше р, или порядок равен р, а тип нормален (конечен) (р ^ 1); 2) Ете — всех целых функций конечного порядка (т. е. Рте = У [р, ТО]) и т. д.
0<р<те
Для всех этих пространств полагаем У = П = С.
5. Пусть теперь F — произвольный компакт в C, а {Gn},= i — последовательность
I <х
Jn}n=
областей в C такая, что для любого n ^ 1 Gn D Gn+i D F = ,= i Gm.
В качестве «базового» пространства H теперь возьмем LN*-пространство H(F) всех аналитических ростков на F, с топологией индуктивного предела: H(F) = indn A(Gn). Очевидно, что H(F) инвариантно относительно умножения на любой многочлен, причем операции дифференцирования и умножения на многочлен непрерывны из H(F) в H(F).
В случае когда F — выпуклый компакт в C, содержащий начало координат, с опорной функцией f (—^ 0, оператор I такой, что для любого ^ £ H'(F) ^ ^>(eAz), как известно (см., например, [4, 5]), отображает взаимно однозначно H'(F) на пространство K^(f) = [1,f (^)j всех целых функций, у которых или порядок меньше единицы, или порядок равен единице, а индикатор при этом порядке не превосходит f (^>), ^ £ [0,2п). При этом пространство [1, f (^)j (при f ^ 0) инвариантно относительно деления на линейную функцию и умножения на произвольный многочлен. Поэтому при ^ С C, x\ = eAz, А G C, H = H(F) справедливы теоремы 1-4. Имеет место и аналог теоремы 5, в котором произвольную область G следует заменить любым компактом F в C, а в качестве Hi взять любое отделимое ЛТП, такое что S • Ее С Hi С H(F) (здесь S • Ее — множество всех функций вида P(z)eAz, где А G C, а P(z) — произвольный многочлен) и операции дифференцирования и умножения на любую экспоненту непрерывны из Hi в Hi .
Возвращаясь к описанию неполных систем, дадим такое определение. Пусть для любого n ^ 1 ^>n(z) G A(C). Назовем систему $(^>n)^=i универсально неполной в C, если эта система неполна в любом пространстве A(G), где G — произвольная область в C. Установим критерий того, что система экспонент Ед := |eAfcz } £=i, А& G C, k = 1, 2,..., является универсально и неполной в C. Приведем вначале простой результат, прямо вытекающий из критерия Банаха полноты, уже неоднократно использовавшегося выше. Пусть 0 < r ^ то, Kr := {z: |z| < r }. Тогда сильное сопряженное к A(Kr) пространство (A(Kr))в топологически изоморфно LN*-пространству [1,r) всех целых функций, у которых или порядок меньше 1, или порядок равен 1, а тип меньше r (см., например, [5, 7]). Система Ед, где Л := {А&: k = 1, 2,... }, неполна в A(Kr) тогда и только тогда, когда в классе [1, r) найдется отличная от тождественного нуля функция (далее подобную функцию будем ради краткости называть ненулевой) h(z) такая, что h(An) = 0, для любого n ^ 1. При этом функция h в каждой точке An может иметь нуль произвольной кратности, а также может иметь и другие нули, кроме {An},=i. Если },=i — множество всех нулей функции h, причем каждый нуль повторяется в этой последовательности столько раз, какова его кратность, то согласно [8] lim^, | ^ er и подавно lim^, k/1Afe| ^ er. Отсюда следует такой результат:
Теорема 6. Пусть имеется последовательность {rn},=i такая, что rn | 0 и Ед неполна в A(Krn), n = 1, 2,... Тогда
k
lim — =0. (3)
| Afc |
Заметим, что если выполнено условие (3), то, как известно (см., например, [9]) функция go(A) := Пп=1 (1 — z2/An) принадлежит классу [1, 0], и справедливо
Следствие. Если выполнены предположения теоремы 6, то в классе [1, 0] существует ненулевая функция g(A) такая, что g(An) = 0 для любого n ^ 1.
Обозначим символом Ao LN*-пространство всех аналитических в точке z = 0 ростков, с обычной индуктивной топологией: Ao := indr^o A(Kr). Теми же рассуждениями получаем такой аналог следствия теоремы 6.
Теорема 7. Пусть система Ел неполна в Ao. Тогда в классе [1, 0] имеется ненулевая функция g(A), для которой g(An) = 0 для любого n ^ 1.
Теоремы 6 и 7 допускают обращение в усиленной форме.
Теорема 8. Пусть в классе [1,0] найдется ненулевая функция gi(A) такая, что gi (An) = 0, n = 1, 2,... Тогда Ел — универсально неполная система в С.
< Пусть gi(A) = 22gkAk, где 0 ^ По < то и g„0 = 0. Так как gi е [1,0], то оператор Liy := 22fe=n0 5ky(k)(z), как известно [10, 11], действует непрерывно из A(G) в A(G), какова бы ни была область G в C. При этом, если span Ел — линейная оболочка системы Ел, то (Li v)(z) = 0 для всех v е span Ел и z е C.
Рассуждая от противного, допустим, что система Ел полна в пространстве A(Go), где Go — некоторая область в C. Если (Ел)% — замыкание Ел по топологии (Фреше) A(Go), то в силу непрерывности оператора Li в A (Go) (Liw)(z) = 0 для любых z е Go, w е (Ел)%. Но по предположению (Ел)% = A (Go). Следовательно, (L,y)(z) = 0 для любых z е Go, y е A (Go). В то же время, функция yo(z) = zn0 принадлежит A(Go) и Li(zn0) = gn0(no)! = 0. Полученным противоречием и завершается доказательство. >
Следствие. Для того, чтобы система Ел была универсально неполной в C, необходимо и достаточно, чтобы в классе [1, 0] нашлась ненулевая функция h(A), для которой h(A„) =0, n = 1, 2,...
6. В связи с теоремами 2 и 5 естественно дать такие определения. Элемент x из ЛТП H назовем порождающим НРН по системе X = (xkэлементов из H, если из того, что x можно представить как сумму сходящегося в H ряда по X: x = 22fc=i ckXk, следует, что в H имеется НРН по системе X. Аналогично определяется элемент из ПОЛВП H, порождающий АНРН по X в H. Например, согласно теореме 2 и замечанию к ней, любой ненулевой собственный элемент оператора T, не принадлежащий некоторой фиксированной последовательности собственных элементов X = (xkпорождает НРН по X в H, если H — ЛТП, и АНРН по X в H, если H — ПОЛВП. Точно так же по теореме 5 порождают НРН и АНРН по системе экспонент Ел в пространстве A(G) функции P(z)eaz, где a е С\л, а P(z) — любой отличный от тождественного нуля многочлен степени ^ 0, а также Pi(z)eAfc0z, где ko ^ 1, и Pi(z) — произвольный многочлен степени ni ^ 1.
Как хорошо известно, любая конечная система экспонент с попарно различными показателями линейно независима в A(G), где G — произвольная область в С. В то же время из теоремы 5 следует, что никакая бесконечная система экспонент с попарно различными показателями не может быть базисом в A(G) или же абсолютным базисом в A(G), если G — выпуклая область в С. Этот результат, установленный автором с помощью оператора Ty = y', был приведен в его лекции, прочитанной на Зимней Саратовской Школе по теории функций и приближений в 1983 г. [12].
7. Понятия НРН и АНРН тесно связаны с представляющими системами (ПС) в ЛТПН и, соответственно, с абсолютно представляющими системами (АПС) в ПОЛВП H. Напомним (см., например, [2, 3]), что последовательность X = (xk
из ЛТП H над полем скаляров Ф называется ПС в H, если любой элемент x из H представим (не обязательно единственным образом) в виде сходящегося в H ряда вида x = 22i ckxk, в котором для любого k ^ 1 Ck е Ф. Аналогично (см. там же) дается определение АПС в ПОЛВП H над полем скаляров Ф, где Ф = С или Ф = R, с той лишь разницей, что для любого x из H требуется абсолютная сходимость в H ряда 22 fc=i Ck xk, сумма которого равна x.
Связь между наличием АНРН по какой-либо системе X = {xk }^=1 в ПОЛВП H и свойством этой системы быть АПС в H, исследовалась вначале для случая, когда X — система экспонент, а H — пространство функций, аналитических в ограниченной выпуклой области G С C или же некоторое подпространство E(G) пространства A(G), состоящее из целых функций экспоненциального типа и определенного роста (см. по этому поводу, например, статьи [2, 3, 13], а также монографию [14, пп. 5.4.7-5.4.8, с. 302305], содержащие ссылки на ряд других работ). Не останавливаясь здесь более подробно на этом, отметим лишь, что, на наш взгляд, было бы весьма интересно установить аналогичные результаты о связи между АПС и АНРН по системе экспонент в пространстве A(G) в случае, когда G — неограниченная выпуклая область в C, а также в многомерной ситуации, т. е. для выпуклой области G в Cn, n ^ 2.
Остается пока открытым и довольно интересный, но, по-видимому, весьма трудный вопрос о характеризации элементов, порождающих НРН или АНРН по произвольной системе элементов в ЛТП (соответственно, ПОЛВП) H.
Литература
1. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства.—M.: Mир, 1967.—257 с.
2. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1980.—Т. 44, № 5.—С. 1066-1114.
3. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 1.—С. 73126.
4. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах.—M.: Наука, 1982.—240 с.
5. Хавин В. П. Пространства аналитических функций // Mат. анализ. Итоги науки. Сер. мат.—M.: ВИНИТИ, 1966.—С. 76-164.
6. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Mатематика. Сб. перев.—1957.—Т. 1, № 1.—С. 60-70.
7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—M.: Физматгиз, 1959.—684 с.
8. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—M.: Гостехиздат, 1956.—632 с.
9. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.—M.: Наука, 1976.—536 с.
10. Valiron G. Sur les solutions des equations differentielles lineaires d'ordre infini et a coefficients constant // Annal. Scient. de l'Éc. Norm. Sup. Ser. 3.—1929.—Vol. 49.—P. 25-53.
11. Polya G. Eine Verallegemeinerung des Fabryschen Löckensatzes // Nachr. Geselsch. Wissen. Göttin-gen.—1927.—P. 187-195.
12. Коробейник Ю. Ф. Некоторые вопросы теории представляющих систем // Теория функций и приближений. Тр. Саратов. зимн. школы. Ч. 1.—Саратов: Изд-во СГУ, 1983.—С. 3-16.
13. Brown L., Shields A., Zeller K. On absolutely convergent exponential sums // Trans. Amer. Math. Soc.—1960.—Vol. 96, № 1.—P. 162-183.
14. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: теория и приложения.—Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2009.—336 с.—(Итоги науки. ЮФО. Mат. моногр. Вып. 1).
Статья поступила 18 июня 2010 г.
Коробейник Юрий Федорович
Южный федеральный университет,
профессор каф. математического анализа
РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а;
Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,
главный научный сотрудник лаб. комплексного анализа
E-mail: [email protected]
SOME TOPICS OF THE THEORY OF LINEAR TOPOLOGICAL SPACES (COMPLETENESS, NON-TRIVIAL EXPANSIONS OF ZERO AND THEIR GENERATORS)
Korobeinik Yu. F.
The connection between the existence of non-trivial expansions of zero with respect to some system of elements in a separated linear topological space and the completeness of such systems is investigated. The notion of a generator of non-trivial expansions of zero with respect to the system X is introduced and some sufficient conditions under which the element x generates non-trivial expansions of zero with respect to certain systems of elements are found.
Key words: complete system of elements in topological vector space, nontrivial expansions of zero.
