О линейных системах уравнений в операторах обобщенной свертки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2004, Том 6, Выпуск 2

УДК 517.9

О ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ В ОПЕРАТОРАХ ОБОБЩЕННОЙ СВЕРТКИ1

Ю. Ф. Коробейник

В статье с помощью абсолютно представляющих систем из ненулевых элементов {жл}лев полного локально выпуклого пространства Н строится общее решение в пространстве (// х // ),„ линейной системы

ш

(М(У)Х, = Х^-ЛМуО = 9}, 9} е я, з = 1, 2,... ,т;

г=1

где М,^ — линейные операторы в Н такие, что = для любого А 6 В, 1 ^ у' ^ т,

Г = (У1,...,Угп) е(Н X Н)т, т) 1.

Указываются также условия, при которых оператор М(У) имеет линейный непрерывный правый обратный В (Н X Н)т.

1. Общие результаты

1.1. Пусть Н — полное отделимое локально выпуклое пространство (ЛВП) над полем скаляров Ф (Ф = С или Ф = Ж) с набором преднорм Р = {р}, определяющим топологию в Н\ В — некоторое множество индексов и Х(В) = {х\ : A G В} — некоторая совокупность ненулевых элементов х\ из Н такая, что spanX плотно в Н.

Рассмотрим, как в [1, 2], семейство Q непрерывных линейных операторов из Н в Н со следующими свойствами:

1) Q — коммутативная алгебра;

2) (VA G В){Ш G Q) 1{х\) = а(\)х\, где а(А) — скалярная функция, которая называется символом (или характеристической функцией) оператора I (обозначение: а = s(l));

3) оператор 1\ с «единичным» символом s{l\) = 1 принадлежит Q.

Как легко проверить, 1\{у) = у для любого ¡/ € Я, и оператор Iq G Q является нуль-оператором в Н (т. е. Iq (у) = 0 для всех у G Н) тогда и только тогда, когда ао(А) :=

s(k) = 0.

Операторы из Q названы в [1, 2] операторами обобщенной свертки. Если Aq := {s(l) : l G Q}, то между Aq и Q существует естественный алгебраический изоморфизм. При этом Aq — коммутативная алгебра с единицей.

1.2. Пусть m ^ 2 и Mi j G Q при í,j = 1,2,... ,т. Натуральное число т зафиксировано до конца статьи. Рассмотрим в Н систему

т

3 = 1,2,... ,т, (1)

г=1

© 2004 Коробейник Ю. Ф.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 02-01-00372.

в которой ¿г^ е Ф, £ Н, = «(Му). Предположим, что в Х(В) имеется последовательность элементов X = со следующими свойствами:

1) X — абсолютно представляющая система (АПС) в Н (согласно [3] это означает,

оо

что любой элемент х из Н можно представить в виде х = ^ "у3х\3, гДе € Ф и ряд

в=1

сходится абсолютно в Н)\

оо

2) X] ^Хх3 — абсолютно сходящийся в Н нуль-ряд (т. е. ряд с суммой, равной нулю) в=1

тогда и только тогда, когда £ Л, где Л — некоторое подпространство пространства

последовательностей А2 (X, Н):

А2(Х,Н) := = : £ Щр(хХз) < ос (р € Р)}.

1.3. Постараемся найти общее решение системы (1) в (Н х Н)т -.= Н х • • • х с

го

помощью АПС X. Пусть У = (у\,... ,ут) — решение системы (1) из (Н х Н)т. Для любого 3 ^ т имеем

оо оо

9з = , Уз >

в=1 5=1

где {з^}^.! € А2(Х,Н), {yj,s}fLl ^ А2(Х,Н) при j = 1,...,ш. Отсюда при тех же j выполняется

го оо оо

XI <Ь,з 2 Уь*аьз(хз)х\3 - 2 9з,еХ\„ = о

пли

оо /го \

^хХз I 2(/,.,«,,,(Л.,)//,.., - д^г 1 = 0. (2)

в=1 \г=1 /

Но тогда при 5 = 1,2,,,, и j = 1,2,... ,т, верно

го

X] )!/,.« - 9з,а = /1^,8; ^ = € л. (3)

г=1

оо

Пусть — любая последовательность из А2(Х,Н). Тогда ряд ^ (1,3х\8 схо-

в=1

дится абсолютно в Н. В силу непрерывности операторов Му (1 1,3 ш) в Н ряд

оо

¿3щ^(Х3)х\д сходится абсолютно в Н, откуда {с13щ^(\3)}'^1 € А2(Х,Н), 1 ^ 1,3 ^ т.

в=1

Таким образом, если — множество мультипликаторов пространства А2(Х,Н),

то при любых фиксированных г,^ ^ т имеет место включение • := £

Как мы убедились, если У = (ух,,,, ,ут) — решение системы (1) из (Н х Н)т, то выполняются соотношения (3).

1.4. Пусть, обратно, — решение бесконечной системы (3) из . 1 ^(А*. Н) при г = 1,2,... ,ш. Тогда выполняются соотношения (2) (при 3 = 1,2,... ,ш), а, следовательно, и (1).

Для исследования системы (3) зафиксируем произвольное 5 ^ 1 и рассмотрим систему т уравнений с т неизвестными {уг^У^х-

го

- ду.3 = Н^е, 3 = 1,2 ,...,т. (4)

Введем определитель ш(Х) := |с£/уа/у(А)|™-=1 порядка т. Очевидно, что ш(Х) € Ад. Пусть Шj ¡¡(X) — алгебраическое дополнение элемента (А). Предположим, что числа

А5 таковы, что

ф 0 (5 = 1,2,...). (5)

Тогда по формулам Крамера можно записать решение системы (4) (при любом фиксированном

ТО ^ ^

Ук,з = I , А: = 1,2,...,т. (6)

Будем предполагать, что числа {А5}^!=1 удовлетворяют еще такому условию: Г оо (А ) 1 00

1 \ Г ^ при любых фиксированных к ^ тп.

Заметим, что если множество М(^4г) является кольцом (алгеброй), то в силу того, что {ау (А^}^-! £ М(А2) при 1,3 = 1, 2,..., ш, условие 3) гарантируется вкючением

Подведем итог полученным результатам.

Теорема 1. Пусть Н, X (/>')■ С} и Ад — те же, что в 1.1. Пусть, далее, последовательность X = удовлетворяет условиям 1) и 2), а числа Х3 — условиям (5) и (7). Пусть, наконец, функция ш(А) отлична от тождественного нуля. Тогда общий вид решения системы (1) с произвольной правой частью {д^^х из (Н х Н)т дается формулами

оо

Ук = Ук,з%\81 в которых коэффициенты определяются формулой (6), где, в свою в=1

очередь, {hjJS}'^L1 {] = 1, 2,..., ш) — произвольные последовательности из Л.

Систему (1) будем в дальнейшем называть неособой, если функция ш(А) из Ад отлична от тождественного нуля.

Замечание. Пусть Ту — оператор из С) такой, что «(Ту) = шу(А), где 1 ^ г,] ^ т. Пусть, далее, Т € <Э и э(Т) = ш(Х). Рассмотрим любое решение У = {у\,..., ут) системы (1) из (Н х Н)т (при условии, что правая часть системы принадлежит (Н х Н)т). По теореме 1 при к = 1, 2,..., т верно

/ ^ I \ \ I \

ш хъ -Ук + Ук-

со( Ав) 1 ш( Ав)

5=1 4^ = 1 ^ ^ / в=1 .7 = 1 V 81

Отсюда имеем

ОО ТО

Ту, //(.Л^(./,(АЛ).гх =

в=1 .7 = 1

оо

Но ^ — некоторое нетривиальное разложение нуля в Я по системе X, и

в=1

X ( X] I Ь],зШ],к{Х3)хх3 = 0.

.7 = 1 \ 5= 1 / ] = 1 в = 1

Таким образом, 0 = = Тулк для любого к ^ т.

оо

Пусть, обратно, при ] ^ т ряд ^ ^ 8х\д — произвольное нетривиальное разложение

в=1

нуля (НРН) в Я по системе X и пусть

оо т

S=1 j = l ^

Тогда Ту\ = Y11Li - С другой стороны, при к ^ ш будет

0 = X( ) = = Ту1

3 = 1 \в=1 / .7=1 «=1

Следовательно, любое решение системы (1) из (НхН)т имеет вид У = = У1+У2,

где У2 = {у^Ук^г — частное решение системы (1), записываемое с помощью АПС X, а = {Ук}ь=1 — решение из (Н х Н)т однородной «приведенной» системы = О, к = 1,2,,,,, вида

ЕЕ

5=1 3 = 1

х\3

оо

в котором ^ 8х\д — общий вид НРН в Я по системе X при 3 ^ т.

5=1

2. Примеры

оо . . оо . .

2.1. Пусть Му(у) := ^ а^у^(г), где = ^ Будем далее считать, что

/г=0 ' к=О

£ [1,0] и что О — содержащая начало координат ограниченная выпуклая область с опорной функцией д(—ф) > 0. Пусть, далее, Ь{А) — (1, д)-интерполирующая функция [4], т. е. целая функция экспоненциального типа с индикаторной диаграммой д(ф) и простыми нулями {Аи}^!=1 такими, что

lim f-Lin|L'(Än)|-5(axgÄn)>) = 0.

ra-i-oo \|An| J

Положим H = H(G) — пространство Фреше всех функций, аналитических в области G. с топологией равномерной сходимости на компактах G; В = С, Х(В) = {еЛг : А G С}. В качестве Q возьмем множество всех линейных дифференциальных операторов бесконеч-

оо

ного порядка с постоянными коэффициентами Y1 (z) таких, что lim {\bk\k\)l!k = 0

к=о

(иначе говоря [5, 6], Q — множество всех линейных непрерывных в H(G) операторов, перестановочных с оператором дифференцирования). В качестве X возьмем последовательность {е^"2}^^ где As — нули (1,д)-интерполирующей функции L(А). В данном случае

А2(Х, Н) = < d = {ds}'^L1 : lim ( ——rln|dn| + g(arg A„) I ^ 0

l ra-i-oo \ |A„| J

а множество Л состоит из всех последовательностей вида {</p(As)/L'(As)}^S:1, (р € [1,0] (см., например, [4]). Как известно [4, 7] нули As функции L(А) можно выбрать так, чтобы выполнялось условие (5) и

(Ve > 0)(3d > 0) \ш(Х8)\>

где ш(Л) = \d>k,jCik,j(ty\™j—i — отличная от тождественного нуля функция из класса [1,0]; кроме того, cüj k(\) G [1,0] при j, к = 1, 2,,,,, rri. Заметим также, что

M(A2) = \b = {bs}Zг : Mi^^o}. I |А„| J

Так как lim jy-jln^^j sC е при любом е > 0, то условие (7) также выполнено. Из

теоремы 1 следует, что если {gk(z)}t= i — произвольные функции из H(G), функция ш(А) отлична от тождественного нуля, {AS}^L1 — нули (1,д)-интерполирующей функции

оо

L(А) с указанными выше свойствами и g,(z) = д, se^sZ, к = 1, 2,,,,, тп, — какие-либо

s = 1

разложения функций g,{z) в абсолютно сходящиеся в H(G) ряды по АПС X = {е^"2}^^ то общее решение системы

тп оо

^dij^d^yfHz) =gj{z), j = l,2,...,m, (8)

i=1 k=о

из (H(G) x H(G))m дается формулами

= + fc = l,2,...,m. (9)

ИХ Ä 9j,s^j,k{Xs) В этих формулах g, s = > -f——.

j=l w(Ae)

Таким образом, общее решение системы (8) из Hm(G) зависит от m произвольных функций {9Pfe(As) : к = 1,2,,,, , ш; s = 1,2,,,, }. Учитывая, что — АПС в Н,

можно придать общему решению системы (8) несколько иной вид, используя замечание в конце § 1. Именно, общее решение Y = {yk}kLi записывается в виде Y = Y\ + Y2, где Yj G (Н х H)rn, Yi — общее решение из (Н х Н)гп «приведенной» системы

Ту\ = 0, fc = l,2,...,m, (10)

имеющее определенную (описанную в конце § 1 структуру), а Y2 — частное решение системы (8), эффективно определяемое с помощью АПС X. Именно, если при j = 1,2,... ,ш

оо

gj(z) = Yl gj,seXsZ, т0 = Wi}T= 1> гДе Для любого к ^ 1 будет

s=l

оо тп ( \ \

s=1j=1 ^

Таким образом, «степень произвола» общего решения системы (8) в (Н х Н)гп не превосходит «степени произвола» общего решения из (Н х Н)гп однородной «приведенной» системы.

2.2. Пусть теперь Му(у) = pij(D)y, где Dy := у' и Pi j(А) — многочлен степени ry ^ 0. Будем считать, по-прежнему, что 0 G G и G — ограниченная выпуклая область с опорной функцией д(—ф). В данном случае ш(А) = |pj,j(A)|™=1 — многочлен степени Pm ^ 0. Будем предполагать, что многочлен ш(А) отличен от тождественного нуля (т. е.

система неособая). Используя ту же АПС X, что и в примере 1, получим, что представление общего решения системы

Тг

= ¿ = 1>2>--->т> (и)

г=1 к=О

из (Н(О) х Н(С))т дается формулами (9). Это решение зависит формально от т произвольных функций из [1,0], точнее, от т функций вида

^ L'(\s)

8 = 1

но также записать общее решение из Нт(С) системы (11) в виде У = {ук}™^ = + У2{Ук}Гк=11 гДе — фиксированное частное решение системы вида

оо т

s=l j=1 ^ s'

ali — одно из решений однородной приведенной системы T(D)y| = 0, к = 1, 2,..., т, где Т — многочлен степени рт. Отсюда следует, что общее решение из Hm(G) системы (11) зависит не более чем от рт произвольных постоянных. В частности, если рт = 0 и о;(А) = D ф 0, то решение системы (11) из Hm(G) единственно и записывается в виде

оо т i \ \

s=1 j = 1

Если же рт ^ 1, то из сказанного выше следует, что общее решение системы (11) из Hm(G) зависит не более чем от рт произвольных постоянных. Более детальный анализ показывает, что общее решение системы (11) из Hm(G) зависит точно от рт произвольных постоянных. Такая же ситуация имеет место и в случае любого пространства Н, удовлетворяющего предположениям §1 (при х\ := еЛг).

Эти результаты полезно сравнить с содержанием §3 гл. X монографии [8]. Именно, там (при некоторых дополнительных предположениях и другим — стандартным — методом) показано, что общее решение системы (11) в пространстве всех функций, непрерывно дифференцируемых т,i раз в области их определения, зависит (линейно) от рт произвольных постоянных (здесь rrii = max{rj;j : 1 ^ i,j ^ m}). Следует отметить, что метод монографии [8] сильно усложняется в случае, когда многочлен ш имеет кратные корни. В то же время метод данной работы не зависит по существу от кратности корней ш(Х).

оо . .

2.3. Пусть, как в первом примере, Му(у) = Y1 ^У^- В качестве пространства Н

к=0

возьмем пространство £р(^а,а) Бёрлинга — Жевре при 0<р<1, 0<а< +оо:

£р(-а,а) = if G С°°(^а,а) : (Vn > 1) \\f\\n := sup sup < ^

I 0 \xfeon J3/P

где 0 < ап f a, 0 < on f о G (0,+оо]. Ясно, что £р(—а,а) — пространство Фреше. Ряд

оо . .

S а\fy^kHx) сходится абсолютно в £р(^а,а) тогда и только тогда, когда для любых к=0

п ^ 1 и у G £р(^а,а) выполнено

£>?111Л = 1>У|™р -"Р

к=0 к=о 3

ос . .

Нетрудно проверить, что ряд ^ сходится абсолютно в £р(—а,а), если имеет

к=о

место условие (при := \а'к\)

№. > т >») р/р и; -• <»< (12)

Заметим, что при любом фиксированном к ^ 0 верно

= ((ЩЩ= , = С (.¡.у'Л= Л*Л <1

и поэтому для любых п^1иш>п будет

¡(к+ ])*+• (апу\"' ,

Следовательно, если выполнено условие (12), т. е.

(Уп > 1)(3т >п) У , |Ь*[.. =-.1Рпш< оо,

оо . .

то ряд и^У^Ня) сходится абсолютно в £р(^а,а) и его сумма Му(у) есть линейный к=0

непрерывный оператор в £р(—а,а):

(Уп > 1)(3т > < оо)(Уу € £р(-а,а)) \\М^у\\

ть ^ 11У11то■

Рассмотрим целую функцию

°° (

к=1

где oik := —^. Как показано в [91, L G 10, где sm4f

Ip := G ff(C),L ф 0 : (Vn G N)(3C„ G (0,+oo))(Vz G C)

ln|L(z)| < (1 + 1/n) (|Imz| + + C„}.

Положим

Ip ■= if e Я(С) : (3n G N) ll/IU := sup----< oo

[ zee exp ((1 - (|Imz| + \z\p))

и обозначим символом M(Ip) класс всех непрерывных мультипликаторов пространства 1р (с соответствующей индуктивной топологией). Пусть Л := {Xk}kLi — совокупность всех нулей L(z) (все они — простые) и £(А) = {ехр(А^ж) : к = 1,2,...}. Согласно теореме

3.5.1 из [9] совокупность всех абсолютно сходящихся в £р(^а,а) НРН по системе £(А) определяется равенством

к»™

в котором М G М(1р) и функция М(А) отлична от тождественного нуля. При этом £(А) — АПС в £р(—а,а). Отсюда следует, что общее решение неособой системы

т оо

^dij^a^y^ix) =gj(x), j = l,2,...,m, (13)

г=1 fe=0

из (£р(—а,а) х £р(—а,а))т дается (при выполнении условия (12)) формулами

»W = Е + * = 1,2,... ,Ш,

оо

где М^(А) G М(//Э)\{0}, a gk,seXsX ~ какое-либо разложение функции gj(x) из £р(^а, а)

s=О

в абсолютно сходящийся в £р(—а,а) ряд по системе £(Л). Заметим, что в данном случае, как нетрудно проверить,

М(1р) = {/ G Н(С) : (Ve > 0)(3C£ G (0,+oo))(Vz G С)

|/(z)| < С£ exp(e(|Imz| + |z|"))}.

Эту же функцию L(z) можно использовать и для построения общего решения неособой системы (1) и в случае, когда Му(у) = pi ¿(D), где p%j(x) — многочлены степени гу, и функция ш(А) = \dijPij(x)\™j=i отлична от тождественного нуля. Так как результаты для этого случая вполне аналогичны изложенным в 1.2, то мы не будем останавливаться здесь на этом.

3. О линейном правом обратном для матричного оператора L

В настоящем параграфе нас будет интересовать вопрос о существовании решения системы (1), которое зависит линейно и непрерывно от правой части. Иначе говоря, если

т

М((Н х Н)т) — множество всех линейных операторов L вида (Ly)j = di jMi j(yi),

i=1

j = 1,2,...,m, где Mjj G Q, то требуется найти условия, при которых оператор L имеет линейный правый обратный (ЛПО) В (LBY = Y для любого Y G (Н х Н)т), а также линейный непрерывный правый обратный (ЛНПО) из класса LC((H х Н)т) всех линейных операторов, непрерывно действующих из (Н х Н)т в (Н х Н)т. Этот вопрос исследовался в работе [2]. Приведем один результат из [2], который понадобится нам ниже. Пусть А(Х) — матрица А))™-=1 с определителем ш(Х) и Ljк — оператор из

1Т1 _

Q с символом s(Ljk) = uij,k(А). Как в [2], оператор L : (LY)j = Y1 ^зкУк^ j = 15 2,..., т,

к=1

назовем союзным с L оператором. В [2] установлены соотношения Vr = {yk} f=1 G (Я х Н)т LLY = LLY = CY,

в которых {СУ)у = lшyj, ,7 = 1,2,... ,ш, и — оператор из С} такой, что з(1ш) = ш(Х). В § 2 работы [2] доказана

Теорема 2 [2; теорема 4]. Если оператор 1Ш имеет ЛПО в Ь(Н) (или ЛНПО в ЬС(Н)), то операторы С, Ь и Ь имеют ЛПО в Ь((Н х Н)т) (соответственно, ЛНПО в ЬС((Н х Н)гп))•

Этот результат можно обратить. С этой целью введем при любом к ^ ш следующие операторы: Щ — оператор «проектирования» (Я х Н)гп на Я:

У¥ е(Ях Я)го П*У = (У)* = у*;

Лк _ оператор «подъема» из Я в (Я х Н)т:

\/у(ЕН Кку = ¥{к) е (Я х Я)го,

где

(У(Л)Ь' - I У, 3 = к.

Операторы Щ и линейны и непрерывны, причем 1шИкВВ,ку = у для любых у £ Я и к ^ т. Таким образом, оператор 7). := П^ЯД^ является ЛПО для 1Ш в Я, если В — ЛПО для £ в (Я х Н)т и ЛНПО для 1Ш в Я, если В — ЛНПО для С в (Я х Н)т. Таким образом, справедлива

Теорема 3. Пусть оператор С имеет ЛПО (или ЛНПО) В в (Я х Н)т. Тогда при любом к ^ т оператор '/). := ПиВЯ, является ЛПО (сооответственно, ЛНПО) для 1Ш в Я.

Сопоставляя этот результат с теоремами 1, 2, 4 из [2], получаем

Следствие 1. Равносильны следующие утверждения:

1) оператор 1Ш имеет ЛПО в Я;

2) оператор С имеет ЛПО в (Я х Я)то;

3) операторы Ь и Ь имеют ЛПО в (Я х Н)т.

При этом, если ЛПО к С или к 1Ш или линейные правые обратные к Ь и Ь можно определить конструктивно, то это же самое справедливо и для остальных из них.

Следствие 2. Равносильны следующие утверждения:

1) существует ЛНПО

для 1Ш в Я,'

2) существует ЛНПО для С в (Я х Н)т;

3) имеется ЛНПО для Ь и Ь в (Я х Н)т.

При этом для эффективного определения ЛНПО из 1)-3) справедливо все сказанное в следствии 1.

Следствие 3 (уточнение теоремы 2). Пусть оператор 1Ш имеет ЛПО (или ЛНПО, или эффективно определяемый ЛНПО) в Я. Тогда для матричных операторов Ь и Ь существуют ЛПО (соответственно, ЛНПО или эффективно определяемые ЛНПО) в (Я х Н)т-

Следует заметить, что вопрос о существовании ЛНПО для различных операторов обобщенной свертки исследовался многими авторами (см., например, диссертацию [10] и библиографию к ней). Используя полученные ими результаты и следствие 3, можно указать достаточные условия существования правого обратного у матричного оператора Ь. В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть G — ограниченная выпуклая область в С; <p(z) — функция, аналитическая в единичном круге ID и отображающая его конформно на G. В работе [11] доказано, что если

sup \<p'(z)\ < оо, (14)

гею

оо

то любой линейный дифференциальный оператор вида Lay = akU^kHz): ГДе ak ^ С

к=О

оо

и lim к\ак\1!к = О, \ак\ > 0, имеет ЛНПО (ранее Мартино и Ю. Ф. Коробейник

к^ оо к = 0

оо

показали, что любой оператор La, у которого a(z) := akzk G [1,0]\{0}, сюръектпвен в

к=О

H(G)). Отсюда следует, что если функция ui(z) = Иуау (z)|™.=1, где ay(z) G [1,0]\{0}, отлична от тождественного нуля, то при выполнении условия (14) матричные операторы L и L имеют ЛНПО в H(G).

Пример 2. Пусть I > 0, P(z) = Y, aaZa, где а = (ai,a2, ■ ■ .,«„), z = (zi,z2, ■ ■ .,zn),

n

z G C\ |a| = £ ak, a G Nq , E \aa\ > 0, aa G С. Пусть, далее, P(D)y := £ aaDay(z),

k=1 \а\<гЛ

ß\a\y

D°y = - 0n . Обозначим через Q множество всех многочленов Р (I = 0,1,2,,,,)

CZ^ . . . (sZn

описанного вида; Н = £(fi) = С°°(О), где О — открытое множество в Ж" и С°°(О) —

пространство Фреше всех бесконечно дифференцируемых в П функций с топологией,

определяемой счетным набором преднорм H/Hi/fe^ ;= sup sup |/^(ж)|; здесь

x&lu

= {x G О : |ж| < fc, p(x, öfi) > 1/fc} (fc = fco, fco + 1,...; fco ^ 1). Как и выше, m > 1, ш(Х) = Иуау(А)|™=1, где Ä = (Аь..., Ä„), ay (А) = s(Pid(D)),

n

x\ = exp(A, x) = exp ^2 Хкхк. В качестве Q берется множество всех линейных диффе-к=1

ренциальных операторов в частных производных конечного порядка от п переменных с комплексными постоянными коэффициентами. В работе [12] получены различные критерии того, что оператор P(D) из Q имеет ЛНПО в £(fi). Приведем здесь один из них. Следуя Л. Хёрмандеру [13], многочлен P(z) = aaZa называется гиперболическим

Hi?

относительно N G Ж"\{0}, если N — не характеристика (не характеристическое направление), т. е., если

J2 ааЯа /Ои (Зт0 G Ж) (VC G Ж")(Ут < т0) Р{ С + %тЯ) ф 0. Н=9

Согласно теореме 3.8 из [12] оператор P(D), характеристический многочлен которого P(z) отличен от тождественной постоянной, имеет ЛНПО в £(fi) тогда и только тогда, когда Р гиперболичен относительно любого нехарактеристического направления. Таким образом, если многочлен ш(А) = Иуау(А)|™=1 отличен от тождественной постоянной и гиперболичен относительно любого своего нехарактеристического направления, то матричные операторы L и L имеют ЛНПО в (£(fi))m.

Как показано в [12], критерии такого же характера наличия ЛНПО у линейных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами

справедливы и для других пространств H бесконечно дифференцируемых функций (например, для неквазианалитических пространств Жевре), что дает возможность указать, используя следствие 1 теоремы 3, достаточные условия наличия ЛНПО у матричных операторов в соответствующих пространствах. Мы не будем останавливаться здесь на этом.

Литература

1. Коробейник К). Ф. О правом обратном для оператора свертки // Укр. мат. журн.—1991.—Т. 43, №9—С. 1167-1176.

2. Коробейник К). Ф. Об обратном правом для матричных операторов обобщенной свертки // Изв. вузов. Математика.—1994,—№ 7 (386).—С. 37-40.

3. Коробейник К). Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 1.—С. 73-126.

4. Коробейник К). Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Серия матем.—1980.—Т. 44, №5.—С. 1066-1144.

5. Коробейник К). Ф. О некоторых характеристических свойствах дифференциальных операторов бесконечного порядка // Изв. АН СССР. Серия матем.—1966.—Т. 30, № 5.—С. 993-1016.

6. Братищев А. В., Коробейник К). Ф. Общий вид операторов, перестановочных с операцией дифференцирования // Мат. заметки.—1972.—Т. 12, вып. 2.—С. 187-195.

7. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1976.—536 с.

8. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 2.—М.: ИЛ, 1953.—346 с.

9. Тищенко Е. С. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Бёрлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—Ростов-на-Дону, 2002.

10. Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления и свертки: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук.—Ростов -Hfl- Дону, 2003.

11. Коробейник К). Ф., Мелихов С. Н. Линейный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34, №1.—С. 70-84.

12. Meise R., Taylor В. A., Vogt D. Characterization of the linear partial differential operators with constant coefficients that admit a continuous linear right inverse // Ann. Inst. Fourier (Grenoble).— 1990.—V. 40.—P. 619-655.

13. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.—М.: Мир, 1986.—455 с.

Статья поступила 14 января 2004 г-

Коробейник Юрий Федорович, д. ф.-м. н. г. Ростов, Ростовский государственный университет; E-mail: korOmath.rsu.ru