Некоторые аппроксимационные свойства полициклических групп и расщепляемых расширений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 3-10

УДК 512.543

НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП И РАСЩЕПЛЯЕМЫХ РАСШИРЕНИЙ1

Д. Н. Азаров

Доказано, что для каждого конечного множества п простых чисел существует полициклическая

группа, которая аппроксимируема конечными р-группами для тех и только тех простых чисел р,

которые принадлежат множеству п.

Ключевые слова: полициклическая группа, расщепляемое расширение.

1. Введение

Напомним, что группа О называется финитно аппроксимируемой, если для каждого неединичного элемента а £ О существует гомоморфизм ^группы О на некоторую конечную группу, переводящий элемент а в неединичный элемент.

Одним из обобщений этого понятия является свойство аппроксимируемости произвольным фиксированным классом групп. Пусть К — некоторый класс групп. Группа О называется аппроксимируемой группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируе-

аО

группы О на некоторую группу из класса К, при котором образ элемента а отличен от 1.

Если ^ обозначает класс всех конечных групп, то понятие ^-аппроксимируемости совпадает с понятием финитной аппроксимируемости. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также более тонкое свойство ^-аппроксимируемости, где р — простое число, — класс всех конечных р-групп.

В своем историческом обзоре [1] Б. Чандлер и В. Магнус свидетельствуют, что понятие финитно аппроксимируемой группы введено А. И. Мальцевым в 1940 г. в его статье «О представлении бесконечных групп матрицами» [2]. Заметим, что в этой работе термин «аппроксимируемость» еще не использовался. Этот термин был введен А. И. Мальцевым в 1949 г. в его работе [3], посвященной нильпотентным группам и алгебрам. На английском языке соответствующий термин был введен Ф. Холлом в 1955 г.

В упомянутой выше работе [2] А. И. Мальцев установил финитную аппроксимируемость произвольной конечно порожденной линейной группы. Отсюда следует, что все свободные группы и все полициклические группы финитно аппроксимируемы. Финитная аппроксимируемость полициклических групп независимо от результата Мальцева была установлена К. Гиршем [4].

© 2015 Азаров Д. Н.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки в рамках выполнения НИР по государственному заданию.

Напомним, что группа называется полициклической (сверхразрешимой), если она обладает субнормальным (нормальным) рядом с циклическими факторами. Полициклические группы являются исторически первым содержательным примером финитно аппроксимируемых групп. Вопрос об их аппроксимируемости не исследован, но в работе А. Л. Шмелькина [5] устанавливается следующее свойство полициклических групп, являющееся промежуточным между .-аппроксимируемостью и .»-аппроксимируемостью.

Любая полициклическая группа почти .р-аппроксимируема для каждого простого числа р.

Напомним, что группа О называется почти .»-аппроксимируемой, если она содержит .»-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.

Вопрос об .»-аппроксимируемости полициклических групп полностью исследован только для некоторых классов полициклических групп, например, для класса конечно порожденных нильпотентных групп и для более широкого класса сверхразрешимых групп. Еще в работе К. Грюнберга [6] была доказана следующая теорема.

Любая конечно порожденная нилыютентная группа без кручения .»-анироксими-

р

Для произвольной конечно порожденной нильпотентной группы соответствующий критерий формулируется следующим образом (см., например, [7]).

Конечно порожденная нилыютентная группа .р-аппроксимируема тогда и только

р

р

р

Вопрос об .»-аппроксимируемости сверхразрешимых групп сводится к аналогичному вопросу для конечно порожденных нильпотентных групп следующим образом.

Если сверхразрешимая группа .»-аппроксимируема для нечетного простого числа р, то она нилыютентна. Сверхразрешимая группа .2-аппроксимируема тогда и только тогда, когда все ее элементы конечного порядка являются 2-элементамн. В частности, любая сверхразрешимая группа без кручения .2-аппроксимируема.

Этот результат был получен автором настоящей статьи совместно с Д. И. Молдаванским в работе [8].

По-видимому, единственным результатом общего характера об .»-аппроксимируемости произвольной полициклической группы на протяжении многих лет продолжает оставаться следующая знаменитая теорема К. Сексенбаева [9].

Если полициклическая группа .»-аппроксимируема для каждого простого числа р из некоторого бесконечного множества простых чисел, то она является нильпотентной группой без кручения.

Для произвольной группы О через пс будем обозначать множество всех простых чисел р, для которых группа О является .»-аппроксимируемой. Из сформулированных выше результатов Сексенбаева и Грюнберга непосредственно вытекает следующее утверждение.

Для полициклической группы О множество пс либо конечно, либо совпадает с множеством всех простых чисел.

В связи с этим утверждением здесь будет доказана следующая

Теорема 1. Для произвольного конечного множества п простых чисел существует полициклическая группа О такая, что пс = п.

При исследовании полициклических групп особое значение имеет конструкция расщепляемого расширения. Напомним, что группа Р называется расщепляемым расширением группы О с помощью группы Т, если О — нормальная подгруппа группы Р, Т — подгруппа группы Р, Р = ОТ и О П Т = 1. Хорошо известно и легко проверяется, что любое расширение с помощью бесконечной циклической группы расщепляемо. Поэтому,

О

1 = Оо < О1 < ... < Оп = О (1)

с циклическими факторами, то для каждого к = 1, 2,..., п группа Ок является либо конечным расширением группы Ок-и либо расщепляемым расширением группы Ок-1 с помощью бесконечной циклической группы. Поэтому сформулированные выше результаты Гирша и Шмелькина о полициклических группах могут быть легко доказаны п

Расщепляемое расширение конечно порожденной Ж-аппроксимируемой (почти Жр-аппроксимируемой) группы с помощью Ж -аппроксимируемом (почти Жр-аппроксимируемой) группы само является Ж-аппроксимируемой (почти Жр-аппроксимируемой) группой.

В части, касающейся Ж-аппроксимируемости это утверждение доказано А. И. Мальцевым в работе [10]. Вторая половина этой теоремы доказана автором настоящей статьи в работе [11].

Простые примеры показывают, что расщепляемое расширение конечно порожденной Жр-аппроксимируемой группы с помощью Жр-аппроксимируемой группы не обязано быть Жр-аппроксимируемой группой. Для такого расщепляемого расширения здесь будет доказано следующее достаточное условие Жр-аппроксимируемости.

Теорема 2. Пусть Р — расщепляемое расширение конечно порожденной .^-аппроксимируемой группы О с помощью Жр-аппроксимпруемой группы Т. Если подгруппа Т

РР является Жр-апироксимируемоп.

Так как в нильпотентной группе все подгруппы субнормальны, а в конечно порожденной нильпотентной группе без кручения существует нормальный ряд с бесконечными

О

без кручения существует нормальный ряд вида (1) такой, что для каждого к = 1, 2,..., п группа Ок является расщепляемым расширением группы Ок-1 с помощью бесконечной циклической субнормальной подгруппы. Поэтому результат Грюнберга о Жр-аппрок-симируемости конечно порожденной нильпотентной группы без кручения может быть легко доказан с помощью теоремы 2 индукцией по длине ряда (1).

Поиск необходимого и достаточного условия ^^р-аипроксимируемости расщепляемых расширений, по-видимому, является трудной задачей. Об этом свидетельствует тот факт, что соответствующие критерии, полученные для самых простых частных случаев, формулируются и доказываются нетривиально.

Так, например, в работе [12] получен критерий Жр-аппроксимируемости расщепляемого расширения свободной абелевой группы конечного ранга с помощью бесконечной

О

свободная абелева группа конечного ранга, р — автоморфизм группы О. И пусть Р — соответствующее автоморфизму р полупрямое произведение группы О и бесконечной циклической группы Т = (¿). Это означает, что группа Р представляет собой расщепляемое расширение группы О с помощью группы Т, и для каждого элемента д £ О имеет

место равенство £ 1д1 = до. Обозначим через Н(х) характеристический многочлен автоморфизма р. В [12] доказано, что группа Р является .р-аппроксимируемои тогда и только тогда, когда число р делит /(1) для любого неприводимого делителя /(х) £ 2[х] многочлена Л(х). В случае, когда ранг свободной абелевой группы О равен 2, критерий .р-аппроксимируемости группы Р допускает следующую более простую формулировку.

Теорема 3. Пусть О — свободная абелева группа ранга 2, р автоморфизм груп-О Р р О

бесконечной циклической группы Т. И пусть А — матрица автоморфизма р в некотором базисе группы О, Е — единичная 2 х 2-матрица. Если ёе^А + Е) = 0, то группа Р является .р-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда число р делит det(A — Е). Если же ёе^А + Е) = 0, то группа Р является .р-аппроксимируемой тогда и только р = 2

Эта теорема может быть доказана с помощью сформулированного выше критерия .р-аппроксимируемости полупрямого произведения свободной абелевой группы конечного ранга и бесконечной циклической группы. Независимое доказательство теоремы 3 приведено в разделе 2.

Непосредственным следствием теоремы 3 является следующий результат.

Следствие. Пусть п — произвольное конечное множество простых чисел, и т —

пР О 2 Т

р О О

А = ( 0 1

V —1 т + 2

ТО пр = п.

Отсюда следует справедливость теоремы 1. Поэтому в доказательстве нуждаются только теоремы 2 и 3.

2. Доказательство теоремы 3

Пусть G — свободная абелева группа ранга 2, р — автоморфизм группы G, P — соответствующее автоморфизму р полупрямое произведение группы G и бесконечной циклической группы T = (t). Тогдa P — расщепляемое расширение группы G с помощью группы T, и для каждого элемента g G G имеет место равенство t-lgt = др. Обозначим через А матрицу автоморфизма р в некотором базисе группы G, а через E — единичную 2 х 2-матрицу. Докажем теорему 3, т. е. следующие два утверждения.

1. Если det(A + E) = 0, то группа P является Fp-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда число p делит d et ( А — E).

2. Если det(A + E) = 0, то группа P является ,^-аппроксимируемой тогда и только

p = 2

Пусть Yn(P) — n-й член нижнего центрального ряда группы P (где, напомним, 7i(P) = P и 7„+i(P) — взаимный коммутант Yn(P) и P).

Покажем, что для любого n ^ 2 подгруппа Yn(P) совпадает с подгруппой G(p—id)n-1, т. е. с образом группы G относительно ее эндоморфизма (р — id)n-1, где id — тожде-

G

G

ее коммутативность, которая позволяет использовать стандартные операции сложения и умножения в кольце эндоморфизмов группы G.

Пусть n ^ 2. Тогда, как легко видеть, Yn(P) ^ G и произвольный элемент из подгруппы Yn (P)(p — id) имеет вид

а(р — id) = í-1aía-1,

где а G Yn(P). Поэтому Yn(P)(p — id) С Yn+1(P). Верно и обратное включение. В самом деле, Yn+i(P) порождается элементами вида

t-katkа-1 (а G Yn(G), k G Z),

и эти элементы принадлежат Yn(P)(p — id), так как Для любого элемента а G Yn(P) и для любого целого положительного числа l

t-latlа-1 = а(р1 — id) = a(id + p + p2 +-----+ pl-1)(p — id) G Yn(P)(p — id);

tlat-la-1 = а(р-1 — id) = а(—p-1 )(pl — id)

= а(—p-1 )(id + p + p2 +-----+ pl-1 )(p — id) G Yn(P)(p — id).

Таким образом, Yn+1(P) = Yn(P)(p — id) при всex n ^ 2. Аналогично проверяется, что Y2(P) = G(p — id). Из последних двух обстоятельств следует, что для каждого n ^ 2

Yn(P ) = G(p —d )n-1. (2)

Хорошо известно, что если эндоморфизм ф свободной абелевой группы V конечного ранга инъективен, то индекс [V : V^j совпадает с модулем определителя матрицы эндоморфизма ф. Отсюда и го того, что матрица эндоморфизма (p — id)n-1 совпадает с матрицей (A — E)n-1, следует, что если число d = det(A — E) отлично от нуля, то

[G : G(p — id)n-1] = | det(A — E)|n-1 = |d|n-1,

и тогда в силу (2) для каждого n ^ 2

[G : Yn(P)] = |d|n-1. (3)

Обозначим через n(d) множество всех простых делите лей числа d, а через пр — множество всех простых чисел p, для которых группа P Fp-аппроксимируема. Эти обозначения позволяют переформулировать теорему 3 следующим образом.

1. Если det(A + E) = 0, то пр = n(d).

2. Если det(A + E) = 0, то пр = {2}.

Для доказательства первой части теоремы проверим сначала, что

det(A + E) = 0 Л d = 0 пр = n(d). (4)

В самом деле, пусть det(A + E) = 0 и d = 0. Так как det(A ± E) =0, то для любого неединичного элемента h G G имеем h(p ± id) = 1, т. е. t-1ht = h±\ Поэтому в G нет

P

Покажем сначала, что n(d) С пр. Пусть p G n(d). Так как d = 0, то в силу (3) для каждого n ^ 2 групп a Gn = G/Yn(P) является конечной абелевой группой порядка

|й|п-1. Отсюда и из того, что р £ п(й), следует, что рп-1 делит порядок группы Оп. Поэтому, если Еп — ^компонента группы Оп, то |Рп| ^ рп-1. Пусть (п — произведение всех примарных компонент группы Оп, отличных от Ьп. Тогда Оп/(п — Ьп — конечная р-группа. Так как (п ^ Оп = О/^п (Р), то (п = Ьп/-уп (Р), где Ьп — подгруппа группы О, содержащая 7п(Р). Поскольку (п характеристична в Оп и Оп инвариантна в Рп = Р/7п(Р), то (п инвариантна в Рп. Отсюда следует, что Ьп инвариантна в Р. Так

как 7п(Р) содержится в Ьп, то фактор-группа Р/Ьп нильпотентна и, кроме того, она

р

О/Ьп — (О/1п(Р)) / (Ьп/7п(Р)) = Оп/( п — ^п

с помощью субнормальной бесконечной циклической подгруппы. Поэтому группа Р/Ьп .р-аппроксимируема в силу сформулированной выше теоремы 2. Так как 1О/Ьп | = |^п| ^ рп-\ то индексы подгрупп Ьп в группе О не ограничены. Поэтому подгруппа

Ь = П Ьп

п=2

ОО Ь

РО ских подгрупп инвариантных в Р. Поэтому Ь = 1, т. е. Р аппроксимируема факторгруппами Р/Ьп, которые, в свою очередь, .р-аппроксимируемы. Отсюда следует, что Р является .„-аппроксимируемой, т. е. р £ пр.

Покажем теперь, что пр С п(й). Предположим, что р £ пр, и покажем, что тогда р £ п(й). Допустим противное, т. е. допустим, что р взаимно просто с й. Пусть р —

Р р р

потентна, то гомоморфизм р проходит через естественный гомоморфизм Р ^ Р/^п(Р) для достаточно большого п. Отсюда и из того, что порядок группы О/^п(Р) в силу (3) совпадает с числом |й|п-1, взаимно простым с р, следует, что Ор = 1. Это противоречит тому, что р £ пр. Таким образом, пр С п(й), и утверждение (4) доказано.

Теперь для доказательства первой части теоремы нам остается проверить, что

сМ(А + Е) = 0 Л й = 0=^ пр = п(й). (5)

Пусть (М (А+Е) = 0 и й = 0. Покажем, что пр = п(й). Так как й = 0, то множество п(й) совпадает с множеством всех простых чисел. По сформулированной выше теореме Грюнберга конечно порожденная нильпотентная группа без кручения .р-аппроксимируема

р пр = п(й)

доказательству нильпотентности группы Р. Так как й = 0, то эндоморфизм р — ¡(1 не

р— О

ранга 2 следует, что О(р — ¡(1) — циклическая группа. Но в силу (4) О(р —(1) = 72 (Р). Поэтому 72 (Р) порождается некоторым элементом Н £ О. Так как 72 (Р) нормальна в Р, то г-1Ы = Н±\ Покажем, что 1-1М = Н. Допустим противное. Тогда 1-1Ы = Н-1

Н = 1 р +

поскольку (А + Е) = 0. Таким образом, 1-1М = Н. Поэтому 72(Р) — централь-

РР

доказано.

Докажем теперь вторую часть теоремы, т. е. следующее утверждение:

сМ (А + Е) = 0 пр = {2}. (6)

Пусть det (A + E) = 0. Покажем, что пр = {2}. Так как det (A + E) = 0 то в G существует неединичный элемент h такой, что t-1ht = h-1. Обозначим через x элемент группы G, являющийся корнем из h максимальной возможной степени. Так как извлечение корня G t-1ht = h-1, то

= x-1

лическая подгруппа X группы G, порожденная элементом x, инвариантна в G. В силу выбора элемента x подгруппа X изолирована в G. Таким образом, X - бесконечная

G

G/X — бесконечная циклическая группа причем, как отмечалось выше, X инвариантна в Р. Мы получаем, таким образом, в группе P нормальный ряд 1 ^ X ^ G ^ Pc циклическими факторами. Следовательно, группа Р сверхразрешима, причем она не является нильпотентной, поскольку t-1ht = h-1. Поэтому требуемое равенство nG = {2} вытекает из следующих двух уже сформулированных выше результатов Д. И. Молдаванского и Д. Н. Азарова: любая сверхразрешимая группа без кручения ^-аппроксимируема; если сверхразрешимая группа Fp-аппроксимируема для нечетного простого числа р, то она нильпотентна. Утверждение (6) доказано.

3. Доказательство теоремы 2

Пусть Р — расщепляемое расширение конечно порожденной Fp-аппроксимируемой группы G с помощью Fp-аппроксимируемой группы Т, субнормальной в Р. Покажем, что группа Р является Fp-аппроксимируемой.

Gp

В этом случае индекс [Р : Т] конечен и является степенью числа р. Так как Т — субнор-

Р

Т = Ро < Р1 < ... < Рп = Р

такая, что для каждого k = 1, 2,... , n подгруппа Р&-1 нормальна в Очевидно, что Р/k/Р^-1 — конечная р-группа. Хорошо известно и легко проверяется (см., например, [6]), что любое расширение Fp-аппроксимируемой группы с помощью конечной р-группы само является Fp-аппроксимируемой группой. Поэтому, используя Fp-

Т n Р

Fp-аппроксимируемой.

Для доказательства теоремы в общем случае достаточно для каждого неединичного элемента f G Р указать нормальную подгруппу N группы Р, не содержащую элемент f и такую, что фактор-группа Р/N Fp-^проксимируема. Если f G G, то в качестве N можно взять подгруппу G, так как Р/G = Т — Fp-аппроксимируемая группа. Пусть теперь f G G. Так как группа G является Fp-аппроксимируемой, то в ней существует нормальная подгруппа R, не содержащая элемент f и такая, что G/R — конечная ргруппа. Пусть теперь V — множество всех групповых слов, тождественно равных 1 в группе G/R. И пусть V(G) — вербальная подгруппа группы G, соответствующая множеству V. Тогда имеет место включение V(G) С R. Кроме того, ввиду локальной конечности любого многообразия, порожденного конечной группой (см., например,

G/V(G)

ргруппой. Так как V (G) С R и f G R то f G V (G). Так как подгр уппа V (G) вербальна в G и G нормальна в Р, то V(G) нормальна в Р. При этом фактор-группа Р/V(G) представляет собой расщепляемое расширение конечной ргруппы G/V(G) с помощью Fp-аппроксимируемой группы ТV(G)/V(G) = Т, причем ТV(G)/V(G) субнормальна в

P/V(G). Поэтому в силу рассмотренного выше частного случая группа P/V(G) является .^аппроксимируемой. Таким образом, V(G) — нормальная подгруппа группы P, не содержащая элемент f и такая, что группа G/V(G) является .^аппроксимируемой. Поэтому в качестве искомой подгруппы N можно взять V(G). Теорема 2 доказана.

Литература

1. Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп.—М.: Мир, 1985.—249 с.

2. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Мат. сб.—1940.— Т. 8—С. 405-422.

3. Мальцев А. И. Обобщенно нилбпот6нтны6 алгебры и их присоединенные группы // Мат. сб.— 1949—Т. 25—С. 347-366.

4. Hirsh К. A. On infinite soluble groups // J. London Math. Soc.-1952.-Vol. 27.-P. 81-85.

5. Шмелькин A. JI. Полициклические группы // Сиб. мат. журн.—1968.—Т. 9.—С. 234-235.

6. Grueiiberg К. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc.—1957.— Vol. 3(7), № 25.—P. 29-62.

7. Азаров Д. H. Аппроксимируемость разрешимых групп конечного ранга некоторыми классами конечных групп // Изв. вузов. Математика.—2014.—№ 8.—С. 18-29.

8. Азаров Д. Н., Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость сверхразрешимых групп конечными р-группами // Научн. тр. Иван. гос. ун-та. Математика.—1999.—Вып. 2.—С. 8-9.

9. Сексепбаев К. К теории полициклических групп // Алгебра и логика.—1965.—Т. 4, вып. 3.—С. 7983.

10. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та.— 1958.-Т. 18.—С. 49-60.

11. Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными р-группами // Чебышевский сб.—2010.— Т. 11, вып. З.-С. 11-20.

12. Aschenbrenner M., Friedl S. Residual properties of graph manifold groups // Topology Appl.—2011.— Vol. 158 (10).—P. 1179-1191.

13. Каргаполов M. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1972.-239 с.

Статья поступила 29 июля 2014 г.

Азаров Дмитрий Николаевич Ивановский государственный университет, доцент кафедры алгебры и математической логики РОССИЯ, 153025, Иваново, ул. Ермака, 37 E-mail: azarovdnflmail. ru

SOME RESIDUAL PROPERTIES OF POLYCYCLIC GROUPS AND SPLIT EXTENSIONS

Azarov D. N.

It is proved that for every finite set n of primes there exists a polycyclic group which is a residually finite p-group if and only if the number p belongs to the set n.

Key words: polycyclic group, split extension.