О почти аппроксимируемости конечными р-группами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)

УДК 512.543

О ПОЧТИ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОНЕЧНЫМИ

^-ГРУППАМИ

Д. Н. Азаров (г. Иваново)

Аннотация

Пусть О — группа конечного общего ранга. Доказано, что если группа С финитно аппроксимируема (почти аппроксимируема конечными р-группами), то финитно аппроксимируемыми (почти аппроксимируемыми рО

О

обладающей свойством финитной аппроксимируемости (почти аппрокси-

р

зано, что если свободное произведение Р двух полициклических групп с объединенными подгруппами конечных индексов является финитно апР

рр

1 Введение

Пусть К — некоторый класс групп. Группа О называется аппроксимируемой группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента х из О существует гомоморфизм группы О на группу из класса К, при котором образ элемента х отличен от единицы, Если Т обозначает класс всех конечных групп, то понятие Т-аппрокеимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также свойство Тр-аппроксимируемости, где р — простое число, Тр — класс всех конечных ргрупп, Здесь будет рассмотрено свойство почти Тр-аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и Тр-аппрокеимируемоетыо, Группа О называется почти Тр-аппроксимируемой, если она содержит Тр-аппрокси-мируемую подгруппу конечного индекса.

Как показал А. Л. Шмелькин (1968 г.), примером почти Тр-аппроксимируе-

р

лическая группа (см., напр., [1], с. 200). Заметим, что среди полициклических групп только конечно порожденные нильпотентные группы без кручения Тр-

р

Тр

р

рр

но порожденных групп, поскольку любая счетная финитно аппроксимируемая группа вложима в конечно порожденную финитно аппроксимируемую группу

[4].

В 1963 году Д, М. Смирнов [5] и Г, Баумелаг [6] доказали финитную аппроксимируемость группы автоморфизмов конечно порожденной финитно аппроксимируемой группы, В 1968 году А, И, Мальцевым [7] была установлена финитная аппроксимируемость расщепляемого расширения конечно порожденной финитно аппроксимируемой группы с помощью финитно аппроксимируемой группы.

Простые примеры показывают, что условие конечной порожденное™ группы существенно как в теореме Мальцева, так и в теореме Смирнова - Баумелага, Ослабляя это условие до требования конечности общего ранга группы, автор настоящей работы в [8] получил следующие два результата.

Теорема 1. Группа автоморфизмов финитно аппроксимируемой группы конечного общего ранга является финитно аппроксимируемой группой.

Теорема 2. Расщепляемое расширение финитно аппроксимируемой группы конечного общего ранга с помощью финитно аппроксимируемой группы является, финитно аппроксимируемой группой.

Напомним, что группа О имеет конечный общий ранг г, если г является наименьшим числом с тем свойством, что всякое конечное множество элемен-О г О

Это понятие введено А, И, Мальцевым в [9]. Очевидно, что любая конечно порожденная группа имеет конечный общий ранг, С другой стороны существуют группы конечного общего ранга, которые не имеют конечной системы порождающих и при этом являются финитно аппроксимируемыми. Примеры таких групп можно найти уже среди локально циклических групп.

Хорошо известно, что теоремы 1 и 2 не могут быть непосредственно расТр

Тр

р

Тр

Тр

Тр

Тр

Теорема 3. Пусть О — расщепляемое расширение группы Н конечного общего ранга с помощью группы К. Если группы Н и К почт и Тр-аппроксимиру-О Тр

В [10, теорема 1.5] доказано, что группа автоморфизмов конечно порож-

Тр О Тр

Тр

О Тр

мы получаем следующий результат,

Тр

Тр

Тр

р

ждение.

Следствие 1. Группа автоморфизмов конечно порожденной почти свобод-Тр р

Очевидпо, что если группа Тр-аппрокеимируема и Т^-аппроксимируема для двух различных простых чисел р и д, то она является группой без кручения. Поэтому из следствия 1 вытекает следующее утверждение.

Следствие 2. Группа автоморфизмов конечно порожденной почти свободной группы почти вся без кручения.

Так как голоморф произвольной группы Г является расщепляемым расширением группы Г с помощью группы авто морфизмов группы Г, то объединяя между собой теоремы 1-4, мы получаем следующий результат.

Следствие 3. Пусть Г — произвольная, группа конечного общего ранга. Голом,орф группы Г является, финитно аппроксимируемой (почти Тр-аппроксимируемой) группой тогда, и только тогда, когда, группа Г финитно аппрок-Тр

Рассмотрим теперь свободные произведения групп с объединенной подгруппой, Пусть А и В — произвольные группы, Ни К — изоморфные подгруппы групп А и В соответственно, : Н ^ К — изоморфизм подгруппы Н на

подгруппу К, Далее через Р будем обозначать свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма Очевидным необходимым условием финитной аппроксимируемости группы Р является финитная аппроксимируемость групп А и В, Поэтому далее будем

АВ

Р

НК

НК

АВ

Р

Тр

аппроксимируемость группы Р, предполагая дополнительно, что группы А и В являются полицикличеекими. Используя теорему 3, мы получаем следующий результат.

Теорема 5. Пусть группы А и Б являются полициклическими. И пусть подгруппы Н и К имеют конечные индексы в группах А и Б соответственно. Тогда следующие 'три условия равносильны между собой.

1. Групп а Р финитно аппроксимируема.

2. Групп а, Р почт и Тр-аппроксимируема для каждого прос того числа р.

3. В подгруппах Н и К существуют подгруппы и и V конечных индексов инвариантные в группах А и Б соответственно и такие, что = V,

Далее будут приведены доказательства теорем 3,4, 5, Для полноты изложения мы воспроизведем также и доказательства ранее опубликованных теорем

1 и 2.

2 Доказательство теорем

Следующее утверждение является обобщением классической теоремы М. Холла, утверждающей, что конечно порожденная группа может содержать только конечное число подгрупп данного конечного индекса.

Предложение 1. Группа конечного общего ранга может содержать только конечное число подгрупп данного конечного индекса.

Доказательство. Пусть А — произвольная группа, в — целое положительное число. Через п(А, з) будем обозначать число всех подгрупп группы А индекса в а через N (А, з) — число всех подгрупп группы А, индекс которых не превосходит 8,

Нг Тогда число п(Н, 8) конечно и

п(Н,в) ^ (8 !)г

(см, напр, [13, с, 250]), Поэтому

N(Н,в) ^ /(г,в), (1)

где /(г, 8) = ^2 (& !)г. к=1

Пусть О — группа конечного общего ранга г. Покажем, что число п(О, ^) конечно и не превосходит /(г, э). Допустим противное. Тогда в О существуют попарно различные подгруппы О1, О2, ,,,, От индекс.а 5, где т > /(г, з). Так как все О г имеют в гру ппе О один и тот же конечный индекс 8, то для любых различных г, ] € {1,..., т} подгруп па Ог те содержит ея в О, и поэтому можно зафиксировать элемент

а, € Ог \ О,-. (2)

Поскольку общий ранг группы О равен г, то в О существует подгруппа Н с не более чем г образующими, содержащая все а, Тогда для Н выполняется неравенство (1). С другой стороны, из (2) следует, что подгруппы Н1; Н2, ..., Нт, высекаемые в Н подгруппами О1; О2, ,,., От, попарно различны и, кроме того, для любого г € {1,..., т}

[Н : Нг] ^ [О : Ог] = 8.

Поэтому N(Н, 8) ^ т > /(г, з), что противоречит неравенству (1). Поэтому число п(О, 8) конечно и те превосходит /(г, ^).

О

симируема (Тр-аппроксимируема), то для каждого неединичного элемента а группы О существует характеристическая подгруппа N группы О конечного ра

Доказательство. Так как О финитно аппроксимируема (Тр-аппроксими-руема) и а = 1, то в О существует нормальная подгруппа Н конечного индекса (конечного р-индекса), те содержащая элемент а. Пусть N — пересечение всех

О [О : Н]

ложению 1 число таких подгрупп конечно. Поэтому N — подгруппа конечного индекса (конечного риндекса) группы О. Очевидно, что N — характеристическая подгруппа ий / N.

О

О

также финитно аппроксимируема.

Пусть р € Аи ! О и р = 1. Тогд а а-1 • ар = 1 для некоторого эле мента а ОО подгруппа N конечного индекса, не содержащая элемент а-1 • ар, Характеристичность подгруппы N позволяет рассмотреть гомоморфизм индуцирования р : Аи !О ^ Аи! О/^ сопоставляющий каждому автоморфизму ф группы О автоморфизм ф группы С/М, действующий по правилу (хМ)ф = хфМ. Так как а~1 ■ ар ^ N, то а X ф снрМ, т.е. а X ф [аЩТр. Поэтому р ф 1. Таким образом, р — гомоморфизм группы Аи!; О в конечную группу Ап! О/N. переводящий р в неединичный элемент р, Поэтому группа Аи! О финитно аппроксимируема. Теорема 1 доказана.

О

РО помощью финитно аппроксимируемой группы Г. Покажем, что группа Р финитно аппроксимируема.

Р

для каждого ее неединичного элемента а указать нормальную подгруппу N группы Р, не содержащую элемент а и такую, что группа Р/^ финитно аппроксимируема. Если а / О, то в качестве N можно взять О (так как Р/О = Г

— финитно аппроксимируемая группа). Если же а € О, то по предложению 2 в группе О существует характеристическая подгруппа N конечного индекса, не содержащая элемент а. Так как N характеристична в О и О нормальна в Р, то N нормальна в Р. Поэтому нам остается доказать финитную аппроксимируемость группы Р/^ Эта группа является расщепляемым расширением конечной группы О/^ с помощью группы ^N/N5 изоморфной Г, и финитная аппроксимируемость группы Р/^ вытекает из приведенной выше теоремы Мальцева, Теорема 2 доказана,

Ар А'Ар, где А' — коммутант группы А, Ар — степенная подгруппа, Если А — конечная р-группа, то подгруппа А'АР, очевидно, совпадает с пересечением всех

А

Если А — конечная р-группа, то группа Г всех автоморфизмов группы А, действующих тождественно по модулю подгруппы А'АР, является р-группой. Этот результат Ф, Холла хорошо известен (см,, напр,, [14, с, 562]), Мы обобщаем результат Ф, Холла следующим образом,

Ар О, Ф ^ Аиt О и подгруппа А Ф-допустима. Если все автоморфизмы, из Ф действуют тождественно по модулю подгруппы А'АР, то Ф — р-группа.

Доказательство. Пусть а : Ф ^ А^ А — гомоморфизм, сопоставляющий каждому автоморфизму р из Ф его ограничение на А. Так как Ф/Кега = Фа,

Фа а

р

Г

мов группы А, действующих тождественно по модулю А'АР, является р-группой.

Так как все автоморфизмы из Ф действуют тождественно по модулю А'АР, то Фа С Г Отсюда и из того, что Г — р-группа, следует, что Фа — р-группа.

Пусть теперь р € Кега. Так как Кега С Ф, то р действует тождественно по модулю А'АР и, в частности, по модулю А. Поэтому если х € О, то хр = ха, где а € А. Так как р € Ке г а, то р тождественно на А и поэтому ар = а. Отсюда и из того, что хр = ха следует, что хрп = хап для любого натурального п. Беря здесь в качестве п порядок рк группы А будем иметь: ап = 1, хрп = х. Поэтому р р а р

Доказательство, (теорема 4) Пусть О — почт и ^р-аппроксимируемая

группа конечного общего ранга. Покажем, что группа А^ О также по чти Тр-аппроксимируема.

Пусть Н — ^-аппроксимируемая подгруппа конечного индекса группы О, По предложению 1 число всех подгрупп группы О индекса [О : Н] конечно,

АО того, очевидно, что А — характеристическая ^-аппроксимируемая подгруппа О

ОА

ОА

обладает и ее фактор-группа А/А'АР. Отсюда и из того, что А/А'АР — абелева группа периода р, следует, что А/А'АР — конечная группа. Таким образом А'АР

А

АО А АР

О

А АР О

моморфизм индуцирования а : Аиt О ^ Аиt О/А'АР, сопоставляющий каждому автоморфизму р группы С автоморфизм р группы С/А/Ар, действующий по правилу {хА1 Ар)р = хрА'Ар. Ядро Г гомоморфизма а состоит из всех авто-О А АР

А АР О О/А АР

ГО зательетва почти ^-аппроксимируемости группы Aut О нам остается доказать ^Р-аппроксимируемость группы Г.

Пусть 7 € Г и 7 = 1. Тогд а х-1 • х7 = 1 для некоторого эле мента х группы ОГ

пы А'АР, то х-1 • х7 € А'АР и, в частности, х-1 • х7 € А. Отсюда и из того, что А — ^-аппроксимируемая группа конечного общего ранга, по предложению 2 заключаем, что существует характеристическая подгруппа N конечного риндекса группы А такая, что х-1 • х7 / N. Учитывая еще, что А — характеристическая подгруппа конечного индекса группы О, заключаем, что N —

О

Характеристичность подгруппы N группы О позволяет рассмотреть гомоморфизм индуцирования р группы Аи!; О в конечную группу Аи!О/^ сопоставляющий каждому автоморфизму ф группы С автоморфизм ф группы С/М, действующий по правилу (дМ)ф = дфМ. Поскольку х 1 ■ х'у ф М, то 7 ф 1, т. е. р отображает автоморфизм 7 из Г в неединичный элемент группы Гр, причем группа Гр конечна как подгруппа конечной группы Аи!О/^ Поэтому для завершения доказательства ^-аппроксимируемости группы Г нам остается только проверить, что подгруппа Ф = Гр группы Аи! О/^ является ргруппой.

Так как А — нормальная подгруппа группы О и N — подгруппа конечного риндекса группы А, то А/^ — конечная нормальная р-подгруппа группы О/^ Поскольку А характеристична в О и автоморфизмы группы О/^ принадлежа-ФО A/N Ф-допустима в О/^. Так как автоморфизмы из Ф индуцируются автоморГ А АР

из Ф действуют тождественно по модулю подгруппы A/AРN/N = (А/^)/(A/N)Р.

Таким образом, А/^ ^ нормальная р-подгруппа группы О/^

Ф ^ Аи !О/^ A/N Ф-допустим а в О/.^ и все автоморфиз мы из Ф действуют тождественно по модулю подгруппы (А/^)/(A/N)Р. Поэтому в силу предложе-

Фр

ОА мощью группы В. И пусть 9 — сопровождающий гомоморфизм, т. е. гомоморфизм группы В в группу Аи! А, сопоставляющий каждому элементу х из В автоморфизм х группы А, действующий по правилу ах = х~1ах для, каждо-а А А В9 р

группа В ТР-аппроксимируема, то группа О также ТР-аппроксимируема.

Н = 9

в В и централизует подгруппу А. Поэтому Н инвариантна в О, Так как В/Н = В9 — р-группа, то Н имеет в В конечный р-индекс. Отсюда и из того, что [О : В] = |А| — степень чиела р, следует, что Н — подгруппа конечного риндекса группы О. Так как Н — подгруппа ^-аппроксимируемой группы В, то Н ^-аппроксимируема.

Таким образом, группа О содержит нормальную ^-аппроксимируемую подгруппу Н конечного р-индекса.. Отсюда, следует ^-аппроксимируемость группы О

Предложение 5. Пусть Р — расщепляемое расширение ТР-аппроксимируемой группы А конечного общего ранга с помощью ТР-аппроксимируемой группы С. Тогда, группа Р почт и ТР-аппроксимируема.

Доказательство. Пусть ш : С ^ Аи!А/А'АР — гомоморфизм, сопоставляющий каждому элементу с из С автоморфизм с группы А/А'АР, действующий по правилу

(аА'АР) с = с-1асА'АР,

где а € А. Обозначим через В ядро гомоморфизма ш, Тогда для каждого элемента а из А и для каждого элемента 6 из В

6-1а6а-1 € А'АР. (3)

А А/А АР

С/В

А/А АР В С

О = АВ Р

для доказательства почти ^-аппроксимируемости группы Р нам достаточно доказать ^-аппроксимируемость группы О.

ОА щью группы В, причем В ^-аппроксимируема как подгруппа ^р-аппроксими-руемой группы С. Доказательство ^-аппроксимируемости группы О будет сохО

нормальную подгруппу N группы О, не содержащую х и такую, что группа О/^ ^Р-аппроксимируема. Если х / А, то в качестве N можно взять А, поскольку

О/А = В — ^-аппроксимируемая группа. Пусть теперь х € А. По предложению 2 существует характеристическая подгруппа N конечного р-индекса группы А, не содержащая х. Поскольку N характеристична в А и А нормальна в О, то N нормальна в О. Для завершения доказательства ^-аппроксимируемости группы С нам остается только доказать .Тр-аппроксимируемость группы С = С/И. _ ' ' _

Группа С является расщепляемым расширением конечной р-группы А = А/М с помощью группы В = В N/ N,; причем В = В — .Тр-аппроксимируемая группа. Из (3) следует, что для любых элементов а X и Ь.Х из А и В соответственно

(ЬМ)-1атМ(аМ)~1 е А'АРМ/М = А^.

Поэтому, если 9 : В Аи! А — сопровождающий гомоморфизм, то автомор------------ -----------------------------------------------[ ^

В9 А А

р-группы А, Отсюда в силу отмеченного выше результата Ф, Холла В9 — кор

Таким образом, группа О является расщепляемым расширением конечной р-группы А с помощью .Тр-аппроксимируемой группы В и образ В9 подгруппы В относительно сопровождающего гомоморфизма 9 : В —>• Аи! А является р-группой. Поэтому в силу предложения 4 группа О ^-аппроксимируема,

О

группы Н конечного общего ранга с помощью группы К и группы Н и К почти ^Р-аппроксимируемы. Покажем, что группа О почти ^-аппроксимируема.

Обозначим через А и С ^-аппроксимируемые подгруппы конечных индек-НК

А Н О

Р = АС, очевидно, имеет конечный индекс в О, является расщепляемым расширением группы А с помощью группы С, причем А имеет конечный общий

Н

этому в силу предложения 5 группа Р почт и ^-аппроксимируема, и поскольку [О : Р ] < го, групп а О также по чти ^-аппроксимируема. Теорема 3 доказана,

АВ

Н и К — подгруппы конечных индексов групп А и В соответственно, р — изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К. И пусть Р — свободное произведение А В Н К

р, Покажем, что следующие три утверждения равносильны между собой,

Р

2, Группа Р почт и ^-аппроксимируема для каждого простого числа р,

3, В подгруппах Н и К существуют подгруппы и и V конечных индексов инвариантные в группах А и В соответственно и такие, что ир = V,

Равносильность условий 1 и 3 доказана в [12], импликация 2 ^ 1 очевидна. Поэтому нам остается доказать импликацию 3 ^ 2, Пусть выполняется условие

3, Будем считать группы А и В подгруппами группы Р. Тогда А П В = Н = К

а и = V — нормальная подгруппа группы Р. Фактор-группа Р/и является сво-

А/и В/и

Н/и, Хорошо известно [11], что свободное произведение двух конечных групп с объединенной подгруппой является почти свободной группой. Поэтому в группе

Р/и О/и О

ет конечный индекс в Р, то для доказательства почти ^-аппроксимируемости группы Р достаточно установить это свойство для О. Группа О является раеши-

и О и

как произвольная полицикличеекая группа почти ^-аппроксимируема, а все свободные группы ^-аппроксимируемы, то в силу теоремы 3 группа О почти ^-аппроксимируема. Теорема 5 доказана.

Автор благодарен Д. И. Молдаванскому за помощь при написании этой статьи.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972.

[2] Gruenberg К. W, Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7. P. 29-62.

[3] Секеенбаев К. К теории полициклических групп // Алгебра и логика. 1965. Т. 4. Вып. 3. С. 79-83.

[4] Wilson J. S. Embedding theorems for residually finite groups II Math. J. 1980. V. 174. № 2. P. 149-157.

[5] Смирнов Д. М. К теории финитно аппроксимируемых групп // Укр. мат. ж. 1963. Т. 15. С. 453-457.

[6] Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups // J.London Math. Soc. 1963. V. 38. P. 117-118.

[7] Мальцев A. II. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. зап. Ивангосйн-та, 1958. Т. 18. № 5. С. 49-60.

[8] Азаров Д. Н. О группах конечного общего ранга // ВестнИвангосун-та. 2004. Вып. 3. С. 100-104.

[9] Мальцев А. И. О группах конечного ранга // Мат. сб. 1948. Т. 22. № 2. С. 351-352.

О ПОЧТИ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОНЕЧНЫМИ р-ГРУРППАМИ 21

[10] Paris L, Residual p-properties of mapping class groups and surface groups // arXiv: math. GR/0703703vl. 23 Mar 2007.

[11] Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // TransAmerMathSoc. 1963. V. 21. № 5. P. 491-506.

[12] Азаров Д. H. О финитной аппроксимируемости свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами конечных индексов / / Вестн. Иван. гос. ун-та. 2007. Вып. 3. С. 55-59.

[13] Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука. 1967.

[14] Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука. 1966.

Ивановский государственный университет Поступило 17.11.09