CC BY
36
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 26-34 = Математика
УДК 517.5
Некоторые классы целых функций экспоненциального типа в пространствах
Ьр (М^) со степенным весом
В. И. Иванов, Лю Юнпин, О. И. Смирнов
Аннотация. В теории Данкля при определении классов целых функций экспоненциального типа многих переменных помимо принадлежности пространствам Ьр(Мл) с весом Данкля дополнительно закладывается их ограниченность на М^. Является ли это требование необходимым? Известно, что в безвесовом пространстве Ьр(Мл) оно не нужно. В работе доказывается, что из принадлежности целой функции экспоненциального типа пространству Ьр(Мл) со степенным весом вытекает ее ограниченность на М^. Вес Данкля является частным случаем рассматриваемых весов. При доказательстве используются многомерные обобщения известных неравенств Боаса и Планшереля-Полиа для целых функций экспоненциального типа одной переменной.
Ключевые слова: евклидово пространство М^, целая функция экспоненциального типа, степенной вес, пространство Ьр с весом, неравенство Планшереля-Полиа, неравенство Боаса.
Введение
Пусть d € М, М2(С2) — ^-мерное действительное (комплексное) евклидово пространство со скалярным произведением (х,у) = £х^
((х, у) = £ 2=1 х; Уз), а1,..., ат € М2 \ {0}, къ...,кт > 0,
т
3 х)\кз
у(х) = \(а3, х)\ 3=1
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00045) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
— степенной вес, Lp,v (Rd) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на Rd функций f, для которых
||p,v = ^Jd If(x)|pv(x)dX) < то, 0 <p< то, , = vrai sup |f (x)|, p = то.
В случае единичного веса будем использовать обозначения Ьр соответственно.
В пространствах Ьр^а (Мр) в качестве аппарата приближения обычно применяются различные классы целых функций экспоненциального типа, поэтому изучение их свойств является важной задачей.
Пусть V = (^1,..., Vj > 0, Ер'^ — класс целых функций /(г) на Ср экспоненциального типа V, для которых для любого е > 0
|/(г)| < еев(и1+£)1г11+'" +("<*+е)М, г € Ср, — класс целых функций /(г) на Ср, для которых
|f (z)| < cf evi1 Im zi|+-" +Vd| Im Zdl, z € C
а
а сужения на Мр принадлежат (Мр). В случае единичного веса будем использовать обозначение Ер'и. Функции из класса ограничены на Мр.
Для всех 0 < p < то
Edv С Ed>v П Lp,v (Rd).
В случае единичного веса известно, что при 0 < р < то
Ер'и = Ер'у П Ьр(Мр). (1)
Доказательство этого равенства при 1 ^ р < то можно найти в [1]. Оно известно как неравенство Никольского разных метрик. Оно легко доказывается с помощью неравенства Бернштейна при 1 ^ р < то [1]. При 0 < р < 1 неравенство Никольского разных метрик также вытекает из неравенства Бернштейна при 0 < р < 1 [2].
Мы доказываем, что равенство (1) справедливо и в весовом случае.
Теорема 1. При 0 < р < то справедливо равенство
Ер" = Ер^ П Ьр,у (Мр).
Основная трудность состоит в том, что вес г (ж) обращается в нуль. Для того, чтобы справиться с нею, для норм целых функций даются двусторонние оценки через суммы их значений по некоторым последовательностям точек Мр, на которых вес не обращается в нуль. Эти оценки имеют и самостоятельный интерес.
Они обобщают на многомерный случай известную нижнюю оценку Планшереля-Полиа [3]
2 г ж
£|f(вп)|р < -eps4 |f(x)|pdx, 0 <p< œ, nez п
где ßn — возрастающая действительная последовательность, вп+1 — ßn ^ 25, а f (x) — целая функция экспоненциального типа т, и верхнюю оценку Боаса
[4]
L ' roo
/ |f (x)|pdx < c( 5,L,T,p)J2 lf (ßn) lp, (2)
Jnez
где дополнительно — П n | ^ L, а f (x) имеет тип < т. В случае веса
v(x) = П |xj|kj ,kj > 0 j=i
теорема 1 установлена в [5].
Мы будем писать A <С B, если A ^ cB и постоянная c > 0 зависит только от несущественных параметров. Запись v' = (vi,..., v' ) < v = (vi,...,vd) будет означать, что vi < v1,..., v' < vd.
1. Оценки целых функций экспоненциального типа
Пусть n = (n1,...,nd) € Zd, последовательность ßn : Zd ^ Rd. В дальнейшем будем рассматривать последовательности вида
ßn = (ei(ni), в2(П1,П2), . . . , ßd(ni, . . .,nd )), (3)
где последовательности в?(n1,...,nj-) — возрастающие по последнему аргументу n?. Будем говорить, что для последовательности ßn выполнено условие A[5], 5 > 0, если для всех j = 1,..., d и n € Zd
ßj (n1,..., nj-1, nj + 1) — ßj (n1,..., nj-1, nj ) ^ 5,
(условие отделимости); выполнено условие B [a, L], а = (ai,..., ad), а? > 0, L > 0, если для всех j = 1,..., d и n € Zd
^j(ni,...,nj) — < L. aj
(условие близости к решетке).
Лемма 1. Если 0 < p < œ, f € Ed'v П Lp(Rd), y € Rd, то
llf(■ + iy)llp < evi|yi|+''' +Vd|yd|||f||p. (4)
Неравенство (4) при d = 1 имеется в [6]. При d > 1 оно может быть получено последовательным применением одномерного неравенства. Для
всех й и 1 ^ р < то (4) доказано в [1]. При 0 < р < 1 оно может быть получено как в [1] при помощи неравенства Бернштейна в [2].
Теорема 2. Если 0 < р < то, / € Ер^ П £р(Мр), в" = (в?,..., в?), М |вп - вт| > 0, то
£|/(вп)|р «/ |/(х)|рйх. (5)
Доказательство. Рассмотрим случай й = 2. Случай произвольного й аналогичен.
Функция |/(г)|р является плюрисубгармонической, поэтому для любого х = (Х1,Х2) € М2 [7]
с2ж г2п
|/(Х1,Х2)|Р ^ / I |/(Х1 + р^1 ,Х2 + Р2вгб2 |Р
/0 Jo
(2п)2
где р1, р2 > 0. Рассуждая как в [1, с. 141], для 5 > 0, £ + ¿п = (£1 + ¿Пъ £2 + ¿П2) получим
1 /-й /-й /-Х1+Й />Ж2+й
|/(Х1,Х2)|Р < 7-да / йП1йПЧ |/(£ + ¿п)|р й£1й£2. (6)
(п52)2 У-й.7-й 7x1-й Л2-г
Из условия отделимости последовательности вп для некоторого 5 > 0 прямоугольники [в? — 5, в? + 5] х [в? — 5, в? + 5] не пересекаются, поэтому согласно (5), лемме 1
Е |/(вга)|р < ^2)2 ] ] йП1 йП21 ^ I ^ |/(£ + ¿п)|р¿«2 <
1 гй гй г<х> г
^Г^Ш ер(^П1|+^М) йп1 йп2 / |/(£)|р«2 «/ |/(х)|рйх.
(п52)2.7-^-й J-<*J-<* -7К2
Теорема доказана.
Теорема 3. Если для последовательности (в""} (3) выполнены условия / € £р(Мр) и выполняется оценка
А [5], В [V, £], функция / € Ер^', V1 < V , £ ^ |/ (вга)|р < то, 0 <р < то, то
/ |/(х)|рйх «£|/(вга)|р. (7)
Доказательство. Вначале покажем, что для в = 0,1,..., й — 1, всех п1,..., П € й и любых х5+1 ,..., Хр € М
|/(в1(п1),...,в^(п1,...,п5),х5+1,...,хр)|р « £ |/(вга)|р. (8)
га^ еж
Применим индукцию по й ^ в + 1. Если й = в + 1 и в8+1(«1,..., «8+1 — 1) < < х«+1 < в«+1(п1, • • •, «8+0, то из условия В [V, Ь]
|в«+1(П1, • • • ,«8 + 1) — Ж5+1 | < |в«+1 («1, • • • ,«8 + 1) — & + 1(«1, • • • ,«8+1 — 1)| « 1.
(9)
Применяя неравенство Бернштейна для производной целой функции экспоненциального типа и неравенство разных метрик Никольского (см. [1] при 1 < р < то и [2] при 0 < р < 1), согласно (9) получим
|/(в1(«1), в8(«1, ..., «8),Х8+1)|Р < 2Р ||/(вП)|Р + + |/(в1(«1), в8(«1, ..., «8),Х8 + 1) — /(в")|Р} «
«^(в") Г + / (в1(«1),...,в8 («1,...,«8),Х8+1) Р }
«
« {|/(Г Ж + ||/(в1(«1), в8 («1, «8), Х8+1)У^} «
«{|/(вП)|Р + |/(вl(«l),■■■,вs(«1,■■■,«s),xs+l)|pdxs+l} . (10)
Так как по условию +1€й |/(вп)|Р < то, то, применяя неравенство Боаса (3), получим
/оо
|/(в1(«1),...,в8(«1,...,«8),Х8+1 )|РйХ8 + 1 « £ |/(в")|Р .
Отсюда и из (10) вытекает (8) при й = в + 1.
Пусть й > в + 1. По индуктивному предположению для любых действительных х8+1,..., х^
|/(в1(«1),.. .,в8(«1,... ,«8),Х8+1,... ,х^-1,х^)|Р «
« Е |/(в1(«1),...,в^-1(«1,...,«^-1),х^ )|Р.
пу ей 8+1
Применяя к каждому слагаемому последней суммы рассуждения, проведенные при й = в + 1, получим (8).
Итак, для любых х8+1,..., х^ согласно (8)
£ |/(в1(«1),...,в8(«1,...,«8),х8+1 ,...,х^)|Р « Е |/(в")|Р < ТО. (11)
п ей пей^
1<^<8
Применяя последовательно неравенства (3), (11), получим (7). Теорема доказана.
2. Доказательство теоремы 1
Вначале приведем некоторые вспомогательные утверждения.
Пусть х € М+,
Гх°, \хЬ,
(а Ь) I х~, 0 < х < 1,
х ^ хь, х ^ 1
— кусочно-степенная функция. В [8] установлено следующее утверждение.
Лемма 2. Если 7 ^ -1/2, то существует четная целая функция (г) экспоненциального типа 2, для которой равномерно по х € М+
^(х) X х(2Ь+1/21+2>2^+1).
Лемма 3. Если т € М, j = 1,..., т, Ь = (ЬЦ,..., Ь^), |Ь^| ^ 1 или Ц = 0, то существует последовательность зга € Ъ вида (3), для которой для всех j = 1,..., т и г = 1,..., ^
|«г(П1, . . . ,Пг) - Пг| ^ т, (12)
|(Ь^, | ^ 1/2. (13)
Доказательство. Пусть
вп = (51(П1),52(ГС1,ГС2), . . . , «¿(«1, . . .,«<*))
— искомая последовательность. Она будет получена из Ър удалением некоторых точек.
Будем пользоваться следующим простым наблюдением. Если из Ъ выбросить т чисел, то оставшуюся часть можно занумеровать так, что полученная последовательность будет возрастающей и для нее будет выполнено неравенство (12).
Пусть П1 = и : Ь1 = 0, Ь2 = ... = Ь^ = 0}. Если П1 = 0, то полагаем «1(п1) = п1. Если = 0, то «1 (п1) — возрастающая последовательность, полученная из Ъ удалением 0. В обоих случаях выполнено (12) и для j € выполнено (13): |(Ь^,«п)| = ^(щ) ^ 1.
Пусть ^2 = : Ь2 = 0, Ь3 = ... = Ь^ = 0}, щ € Ъ. Если ^ = 0, то полагаем «2(п1, п2) = п2. Пусть 02 = 0. Если j € П2, Ь^^) + Ь^ = 0, то х^- = + е/, ^1 ^ 1/2. Если з2 = , то |б1«1(п1) + 1 = |Ь2(«2 — ^ — е?)| ^ ^ 1/2. Пусть «2(^1,^2) — возрастающая последовательность, полученная из Ъ выбрасыванием чисел ^, j € П2. Для нее выполнено (12) и для j € П2 выполнено (13):
|(Ь^,«п)| = |Ь1«1(П1) + ь2«2(п1 ,«2)| ^ 1/2.
Продолжая аналогично, построим искомую последовательность.
Лемма доказана.
Учитывая однородность условий В[а, Ь\ из леммы 3 выводим
утверждение.
Лемма 4. Если а = (а1,...,а^)7 а. > 0, а1,...,«™ € М* \ {0}, то существует последовательность
вП = (в1(«1),в2(«1,«2),...,в^(«1,...,«^)) =
= / Пв1 («1) Пв2 («1, «2) Пв^(«1,...,«^ Л
V а1 ' а2 '"'' аа ) '
для которой при некоторых 6, Ь > 0 выполнены условия А[6], В[а, Ь], |(а7, вп)| ^ 6 для з = 1,..., т, « € ЪЛ .
Доказательство теоремы 1. Пусть 0 < р < то,
т
Ф) = П |(а', х)|кУ,
.7 = 1
/ € Е^ П ЬР^ (М*), а > V, вП — последовательность из леммы 4.
Пользуясь леммой 2, для 3 = 1, ...,т, построим целые функции экспоненциального типа
т . =1
для которых выполнены свойства:
/ ^ ^ \
и. € , = (|а||,..., |а*|), и € Е^, ^ = £ |а||,..., Е 7 ,
. =1 . =1
иР(х) « -и(х), х € М*, иР(х) » 1 при |(а7,х)| ^ 6,3 = 1,...,т. (14) Применяя теоремы 2, 3, свойства (14), получим
11/(х)|Рйх« е |/(вп)|Р« Е |и(вп)/(вп)|Р«
« [ |/(х)и(х)|Рйх « [ |/(х)|Р-и(х)йх.
Таким образом,
Е^ П Ьр^ (М*) С Ьр(М*).
Так как функции из Е^ П ЬР(М*) по неравенству разных метрик Никольского ограничены на М*, то справедливо включение
Е^ П Ьр'^ (М*) С Е^.
Теорема доказана.
Список литературы
1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.
2. Rahman Q. I., Schmeisser G. Lp inequalities for entire functions of exponential type // Transactions of the Amer. Math. Soc. 1990. V. 320. № 1. P. 91-103.
3. Plancherel M., Polya G. Fonctions entieres et integrales de Fourier multiples // Comment. Math. Helv. 1937. V.9. P.224-248; 1938. V.10. P.110-163.
4. Boas R.P. Integrability along a line for a class of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V.73. P.191-197.
5. Иванов В.И., Лю Юнпин, Смирнов О.И. О некоторых классах целых функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С.70-80.
6. Boas R.P. Entire functions. New York: Academic Press Inc., 1954. 276 p.
7. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. 432 c.
8. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Veprintsev R.A. Optimal Argument in the Sharp Jackson's Inequality in the Space L2 with the Hyperbolic Weight // Mathematical Notes. 2014. V. 96. № 6. P. 904-913.
Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Лю Юнпин ([email protected]), доктор наук, профессор, факультет математических наук, Пекинский нормальный университет, Пекин, Китай.
Смирнов Олег Игоревич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Some classes of entire functions of exponential type in Lp(Rd)-spaces with power weight
V.I. Ivanov, Liu Yongping, O.I. Smirnov
Abstract. In the Dunkl theory for classes of entire functions of exponential type of several variables simultaneously required the belonging to the spaces Lp(Rd) with Dunkl weight and the boundedness on Rd. Whether the second requirement necessary? It is known that in the space Lp(Rd) without weight do not need it. It is proved that from the belonging of entire function to the space Lp(Rd) with power weight implies that it is bounded on Rd. Dunkl weight is a special of our weights. The proof uses the multidimensional generalizations of
known Boas and Plancherel-Polya inequalities for entire functions of exponential type in one variable.
Keywords: Euclidean Rd-space, entire function of exponential type, power weight, Lp-space with weight, Plancherel-Polya inequality, Boas inequality.
Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.
Liu Yongping ([email protected]), doctor of sciences, professor, School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing, China.
Smirnov Oleg ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.
Поступила 03.11.2014
