О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВАХ $L_p(\mathbb{R}^d)$ СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 70-80

= Математика =

УДК 517.5

О некоторых классах целых функций экспоненциального типа в пространствах Ьр(Ш^ со степенным весом *

В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов

Аннотация. Для целых функций многих переменных экспоненциального типа даны двусторонние оценки норм в пространствах Ьр,\(Ма), 1 < р < ж, X = (Х1,..., Х4), X > —1/2 со

степенным весом ух(х) = П \х^\2Х^ + 1 через суммы их значений по некоторым последовательностям точек в М4, доказаны многомерные весовые аналоги неравенств Бернштейна и Никольского

Ключевые слова: евклидово пространство М4, целая функция экспоненциального типа, степенной вес, пространство Ьр с весом, неравенство Планшереля-Полиа, неравенство Боаса, неравенство Бернштейна, неравенство Никольского.

Пусть д £ М, М^(С^) — д-мерное действительное (комплексное)

евклидово пространство со скалярным произведением (х,у) = ^ ^=1 ХгУг ((х,у) = ^2<^=1 хзу^), и-выпуклое центрально-симметричное комплексное тело в М^, функционал Минковского которого определяет в норму \ ■ \и, X = (Х1,...,Х^), Х3 ^ —1/2, У\(х) = П^=1 \хз\2Л^+1 — степенной вес, йц,л(х) = У\(х)йх, 1 ^ р ^ ж, Ьр,\(Ма) — пространство комплексных измеримых по Лебегу на функций / с конечной нормой

У ||Р)л = ^^\у (х)№л(х)^ , 1 < р< ж,

II/Щл = II/ ||~ = уга18ир\/ (х)\, р = ж.

Щ.Л

В случае единичного веса (X = (—1/2,..., —1/2)) пространство и норму будем обозначать Ьр(Ма) и ||/||р соответственно.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 12-01-91158-ГФЕН).

В пространствах Ьр,л(М1) в качестве аппарата приближения обычно применяются различные классы целых функций экспоненциального типа, поэтому изучение их свойств является важной задачей.

Пусть V = (и1,... ,и1), из > 0, Е1,и — класс целых функций /(г) на С1 экспоненциального типа V, для которых для любого е > 0 справедлива оценка

\/(г)\ < с£е{"1+е)1*11+- ■ ■ +^+е)1^\ г £ С1,

т > 0, Е1,ти — класс целых функций /(г) на С1 экспоненциального типа ти, для которых для любого е > 0

\/(г)\ < сЕе(т+е)1х1и, г £ С1,

Ер л — класс целых функций / (г) на С1, для которых

\/(г) < ^е^1т г1|+-" +^1т ^, г £ С1,

а сужение на М1 принадлежит Ьр,л(М1), Ер,1^ — класс целых функций /(г) на С1, для которых

\/(г)\ < сгет 11тх1и, г £ С1, 1т г = (1т ¿1,..., 1т г1),

а сужение на М1 принадлежит Ьр,л(М1). В случае единичного веса будем использовать обозначения Ер’1', Е<1’ти.

Понятно, что при 1 ^ р ^ ж

Ерл С Е1’» П Ьр^М1), Е%ли С Ерти П ЬрлМ).

В случае единичного веса

е1’У с Е1’у П Ьр(М1), Ерти = Е1’ти П Ьр(М1). (1)

Доказательство первого равенства можно найти в [1], доказательство второго равенства при р = 2 — в [2] (при р = 2 оно устанавливается аналогично).

Наша цель — доказать равенства, аналогичные (1), в весовом случае. Согласно (1) для этого достаточно доказать вложение

Е1,У П Ьр,л(М1 ) С Ьр(М1), Е1,ти П Ьрл(М1) С Ьр(М1).

Второе вложение будет вытекать из первого, так как при некоторых с1, с1 > 0

и ит = (т,...,т) 1 2

Е1’Саит с Е 1’ти С Е1’с^т.

Основная трудность состоит в том, что вес Ул(х) обращается в нуль. Для того чтобы справиться с нею для норм целых функций будут даны двусторонние оценки через суммы их значений по некоторым последовательностям точек М1, на которых вес не обращается в нуль. Эти оценки будут обобщать на

многомерный и весовой случай известную нижнюю оценку Планшереля-Полиа [3]

2 го

Е1/(вп)\р < -6ер6т \/ (х)\рйх, 1 < р< ж, (2)

ивЪ П -О

где вп — возрастающая действительная последовательность, вп+\ — вп ^ 25, а / (х) — целая функция экспоненциального типа т, и верхнюю оценку Боаса

[4]

/ОО

\/(х)\рйх < е(5,Ь,т,р)^2\/(вп)\р, (3)

О пвЪ

где дополнительно |вп — тп\ ^ Ь, а /(х) имеет тип < т.

Мы также обобщим на весовой случай известные неравенства Бернштейна и Никольского (см. [1]) для целых функций многих переменных. Для функций одной переменной это сделано первыми двумя авторами в [5].

Через с(5,...) будем обозначать положительные постоянные, зависящие от указанных параметров и, вообще-говоря, различные в разных местах. Будем писать V' = (и[,... ,и'а) < V = (и\,..., ^), если и'1 < ... ,и'а < Vd.

1. Обобщение неравенства Планшереля-Полиа

Пусть для последовательности вп = (вп,..., в), п = (п1,..., па) е е из Ма одномерные последовательности в^3, п3 е ^ возрастают. Для последовательности вп выполнено условие А[5], 5 = (51,...,5а), 53 > 0 (условие отделимости), если для всех ] и п в™3 — в™3 ^ 25з; выполнено

условие В[5] (условие отделимости от гиперплоскостей хз = 0), если для всех ] и П3 \вп \ ^ 5з; выполнено условие С [а,Ь], а = (а1,... ,аа), аз > 0,

Ь = (Ь1,... ,Ьа), Ь 3 > 0, если для всех ] и П3 вI3 — аПпз ^ Ь3 (условие

близости к решетке | п1,..., П2Па) }

пеЪл

Лемма 1. Если для последовательности {вп} С Ма выполнено условие А[5], то для любой / е Еа,и [) ЬР(Ма), 1 ^ р < ж справедливо неравенство

Е \/(вп)\Р <(А У еФ,6) [а\/(х)\Р(1х. (4)

пегл \П /

Доказательство. Воспользуемся индукцией по й. При й = 1 (4) совпадает с (2). По теореме Фубини / е ЬР(Ма-1) для почти всех ха е М и по индуктивному предположению для почти всех ха

/о г о /п5\ а-1

... ] \/(х1,...,ха-1,ха)\Рйх1...йха-1 е-р(^&1+■■■ +^-А-^

■ Е \/(>в;'."-,вТ--1.ха)\Р-

пг,... ,п*—'£^

Интегрируя это неравенство по ха и применяя (2), получим

[ \/(х)\рйх >( — \ е-р^15г+- ■ ■ +^-г6—) •

т* \ 2 /

го /— 5\а

Е \/ОТ',№--',ха)\рйха » — е-^^ \/(П\

2

п',...,пЛ-'& 4 7 пеъ*

Лемма 1 доказана.

Теорема 1. Если для последовательности {вп} С Ма выполнены условия А[5], В[5], то для любой / е Е(1,и Р| Ьр,\(Ма), 1 ^ р < ж справедливо неравенство

Е у^(вп)\/(вп)\р < с(5^,\,р,й) I \/(х)\рй^х(х). (5)

Доказательство. Пусть а ^ —1/2, п = [а + 1/2]+1, а = [а + 1/2] — а. Тогда п е N 1/2 < а ^ 1/2, 2а + 1 = п — (2а + 1). Рассмотрим функцию

аа(г) = г2п]а(г + г)]а(г — г), г е С.

Она определена в [6], где доказано, что аа(г) — четная целая функция экспоненциального типа 2, для которой для х,у е М справедливы оценки

1) аа(х) > 0, \х\ > 0, аа(0) = 0;

2) иа(х) ^ с(а)\х\2а+1, х е М;

3) аа(х) ^ с(а, 5)\х\2а+1, \х\ ^ 5. (6)

а

а(

7а{

Пусть аз = (2X3 + 1 — р)/2р, / е Еа,и[] Ьр,х

а

д(г) = /(г)Ц Раз(гз) = /(z)ax(z), з=1

е = (1,..., 1). Тогда д е ЕЛ’и+2е и д е Ьр(Ма):

I \д(х)\рйх =1 \/(х)\р ^ арз (хз)йх <

3

з=1

а

с(р,Х,й) \/(х)\рП \хз\2Хз+1йх < ж

тЛ “л

з=1

поэтому применяя лемму 1, получим

Е \/(вп)\Ра\(вп) < с(5, V,р, й) [ \/(х)\рарх(х)йх.

Согласно свойству В [¿] и (6)

Е ^(вп)\/(вп)\р < с(5,и,р,ё) е а1 (вп)\/(вп)\р <

пеЪл пеЪл

^ с(5,\,р,й)с(5,и,р,й) / \/(х)\%р(х)йх ^

^ е(5,и,\,р,ф[ \/(х)\ри\(х)(1х.

Теорема 1 доказана.

2. Обобщение неравенства Боаса

Лемма 2. Если для последовательности {вп} С выполнены условия А[£], С[у,Ь], функция / Є Е(1,и', V < V, ^пЄ2й \/(вп)\р < ж, 1 ^ р < ж, то / Є Ьр(и.а) и выполняется оценка

/ \/(х)\рйх ^ с(5^,Ь,р,й) Е \/(вп)\р. (7)

^ п^

Доказательство. Вначале покажем, что для в = 0,1,... ,й — 1, любых вп' , ... , вп и любых х3+1,... ,ха е М

\/ (вп' ,...,вп, хв+1 ,...,ха)\р < с(5, V, Ь,р, й) Е \/ (вп)\р. (8)

пз £.Ъ

5+1 <з

Применим индукцию по й ^ в + 1. Если й = в + 1 и Рп++1 Л < х5+1 < ,

вп = (вп1, . . . , вП+1 ), то из условия С[V, Ь]

\в:+х1 - xs+l\ < ^ < ^+і + и

Vs+1

Применяя неравенства Гельдера и Бернштейна [1], получим

\/(вп1 ,Xs+l)\p < 2Р {\/(в п)\р+

+\ті х.3+і) - / (вп1 ,---,вп, вт+х) п«

<1і\ \ <

П

< 2р\ \/(вп)\р + ( Ґ3+1 I \ '1x8+1

■п8+1 \ Р'

ОО

< 2р\ \/(вп)\р+\в:++і1 - xs\p-l

’ — ОО

%(вп1 ,...,вп8 ,ь)

р

дЬ

< 2р{\/(вп)\р + ^+1 + ^П+хУ 1 Vр+1¡°° \/(вп1 ,...,вп8^+і)\^+і} .

3+1 °° (9)

Так как по условию ^2пе+1б/\/(вп' ,-.,впа ,вп++' )\р < ж, то применяя неравенство Боаса (3), получим

/О

\/ (вп1 ,...,Ъп/ ,х3+1)\р йх3+1 <

о

<с(5,ь3+1^3+1,р) е \/(вп1 ,...,вп,вп+1 )\р.

п3+'£/

Отсюда и из (9) вытекает (8) при й = в + 1.

Пусть й > в + 1. По индуктивному предположению для любых действительных х3+]_,... ,ха

\/(вп1 ,...,вп ,...,ха-1,ха)\р < с(5, V, Ь,р, й) Е / (вп',...,%-! ,ха)\р.

в+1^з^а—1

Применяя к каждому слагаемому последней суммы рассуждения, проведенные при й = в + 1, получим (8).

Итак, для любых х3+]_,...,ха согласно (8)

Е \/(вп' ,...,вп ,х5+1,...,хл)\р < с(5, V, Ь,р, й) Е \/(вп)\р < ж. (10)

пз 6/ п6/*

1^з^5

Теперь нетрудно закончить доказательство леммы. Применяя последовательно неравенства (3), (10), получим

[ \/(х1,.. .,ха)\рйх1 ^ с(5, V, Ь,р, й) Е \/(вТ,х2,.. .,ха)\р,

п'6/

Ц \/(х1,х2,... ,ха)\рйх1йх2 ^ с(5,и,Ь,р,й) ^ \/(вп',вп2,хз,... ,ха)\р,

и и Г77

п1, п26/

[ \/(х)\рйх ^ с(5, V, Ь,р, й) Е \/(вп)\р.

Лемма 2 доказана.

Теорема 2. Если для последовательности {вп} С Ма выполнены условия А[5], В[5], С[и,Ь], функция / е Еа,г/', V' < V, ^п6/* У\(вп)\/(вп)\р < < ж, 1 ^ р < ж, то / е Ьр,х(Ма) и выполняется оценка

[ \/(х)\рй^х(х) ^ Е »х(вп)\/(вп)\р. (11)

¿/А

Доказательство. Для простоты докажем (11) для случая й = 2. Для й > 2 доказательство аналогично.

п з 6/

Пусть / е Е2У ,Еп',п2бЯ Мвп1 ,вп2)\/(вп1 ,вп2)\р < ж, е = (1,1), е1 =

= (1, 0), е2 = (0,1), функции а\(вг1, вг2), аа1 (вг{), аа2(вг2) из теоремы 1 и в > 0 выбрано так, чтобы + 2в < v1, ^ + 2в <v2.

Используя свойства функций а\, аа1, иа2, получим

// \/(х1,х2)\рух(х1,х2)йх1йх2 ^ с(р,5,Х,в)< / \/(х1 ,х2)\рйх1йх2+

Лж2 и\х'\^^ \х2\^й

+ / / \/(х1,х2)а\(вх1,вх2)\рйх1йх2+

¿\х'\^6 ^ \х2\^&

+ / / \/(х1,х2)&а2 (вх2)\рйх1йх2 +

J\x1\^S J\х2\^&

+ \

J\xi\^&J \х2\^й

\f (xl,x2)aai(sxl)\pdxldx21 ^ c(p, 5, A) | JJ \f (xl,x2)\pdxldx2+

+ // \f (xl,x2)a\(sxl,sx2)\pdxl dx2 + \f (xl,x2)aai (sxl)\pdxldx2+

JJ R2 JJ R2

+ \f (xl,x2 )Oa2 (sx2)\p dxldx2

R2

Так как fax e E2V+2se, faai e E2v'+2sei, faa2 e E2>v'+2se2, то, применяя

лемму 2, условие B[5]

// \f(xl,x2)\pv\(xl,x2)dxldx2 ^

R2

< с(5, V, V', X, Ь,р) Е (1 + <(ввп1 ,ввп2) + < 1 (ввп1) + <2(ввп2))\/(вп1 ,вп2)\р <

п' ,п2 6/

< с^^^'^^^р) е (ввп1 ,ввп2)\/(вп1 ,вп2)\р <

п' ,п2 6/

< с2(5^У,Х,Ь,р) Е Vх(вп1 ,вп2)\/(вп1 ,вп2)\р.

п' ,п2 6/

Теорема 2 доказана.

Пусть Н = (Ъ,1,.. .,На), Нз > 0, вп = (вп 1,.. .,вп),

пз =( Нз пз, пз = 1,2,...,

з \Нз (пз — ^ пз = 0, —1^..

Для последовательности вп выполнено условие A [l h]:

выполнено условие В [х Ь] :

выполнено условие С

п п\ ь ь,1 ’■■■’ НЛ I ,и

з з з\ ^ 'з-

Из лемм 1, 2, теорем 1, 2 вытекают следующие утверждения.

Теорема 3. Если й е М, 1 ^ р < ж, V = V,..., vd), vз > 0, Н = (Н1,

..., На), vз < п/Нз, / е Еа,и, то

сЛ(Н,р,й, V) Е \ /(вп)\р« 1\/(х)\рйх«ык.р^^) е \ /(вп)р

п6ЪЛ п6ЪЛ

Теорема 4. Если й е М, 1 ^ р < ж, X = (Х1,..., Ха), Хз ^ —1/2, V =

•а), vз

= , vd), Vj > 0, Ь = (Ьх,..., Ьа), Vj < п/Ьз, / Є Еа,и, то

еі(Н,Л,р,Л^) Е ^х(вП) \/(вП)\р < / \/(х)\рЛ^х(х) <

< Є2(Ь,Х,р,ГІ^) Е ^х(вП)\/в)\р.

пеъл

Если / Є Еа,и Р| Ьр,\(Ша), то в условиях теорем 3, 4

Е \ /(вп) \р < е(ь,\,р,сі) е ^(вп) \ /(вп) \р

пеъл неъЛ

и с

/ \/(х)\рЛю < е(Ь,р,^^Е \/(вп)\р <

< е(Ь,\,р,Л^) Е ъ\(вП)\/(вП)\р < еі(Н,\,р,(1^) I \/(х)\р(1^х(х).

^ ]кЛ

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Если Л Є N Л = (Лі,..., Ла), Хз ^ -1/2, V = ^і,..., vd), Vj >

> 0, 1 ^ р < ж, т > 0, то

ЕЛр,х = Еа’и П ЬрХ№*) - Еьр1;Тхи = Еа,ти р| Ьр,х(Ма).

3. Обобщение неравенств Бернштейна и Никольского

Пусть а = (ааі,..., аа), аз Є Z+, \а\ = аі + ... + аа, V = ^і,..., Vd), Vj >

> ° ^ = П0=і ^ , Оа/(х) = , 1 < р < ж, т> 0, Є =(1-...- 1).

е Ер'и

Хорошо известно [1] неравенство Бернштейна для целых функций / е

лр, р:

\\Оа/||р < Vа/||р.

Если / е Ера’ти, то в силу вложения Ер,ти С Ер,хите при некоторой си > 0 (си = тах{\х \и : \ х1 \ + ... + \хр\ ^ 1})

\\Оа/Ир < сат^У/Ир.

Для целых функций / е Ер,, а > 0, ц > —1/2 в [5] доказан следующий аналог неравенства Бернштейна:

И/(п)Ир, « (сМГО'И/, п е N.

Применяя его последовательно к функции / е Ер,Х по каждой переменной, придем к утверждению.

Теорема 6. Если / е ЕрА, а е Ъ+р, то

ИБа/Ир>х < с(Х,а^а\\/Ир>х.

Если / е Ер1)’^и, то

\\Па\\р,х < с(Х,а,и)т\а\\\/||р,А.

С.М. Никольскому [1] принадлежит следующее неравенство разных метрик для целых функций / е Ер’1':

/ а \ 1/р—1/ч

И/II? < 2(1 Щ V3^ И/\\p, 1 ^ р<Ц ^ ж.

Для целых функций / е Ер’ги оно примет следующий вид:

В [5] для целых функций / е Ер, доказан следующий аналог неравенства Никольского:

И/И?,, < с(^)а2(,+1)(1/р—1/ч)И/\\р,„ 1 < р<д < ж.

При д = ж его можно записать так:

/О

\ / (х) \р \ х \ 2,+1йх.

о

Применяя его к функции / е ЕрА последовательно по каждой переменной, получим

р

\ / (х1,...,хр) \р < (с(Х))р П vfАз+1 / \ / (х)\рУх(х)йх

=з V

ч

или

Отсюда для q > p

1/p-i/q

Итак, справедливо следующее утверждение.

Теорема 7. Если f є E^A, 1 ^ p < q ^ ж, то

1/p-i/q

Если f Є E^U

, то

\\f ||q,A < c(\)(cur)2(Xl+■■ +^+d)Wp-l/q)\\f ||P)A.

Список литературы

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969. 480 с.

2. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 331 с.

3. Plancherel M, Polya G. Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples // Comment. Math. Helv. 1937. V.9. P.224-248; 1938. V.10. P.110-163.

4. Boas R.P. Integrability along a line for a class of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V.73. P.191-197.

5. Ли Йонг Пинг, Су Чун Мей, Иванов В.И. Некоторые задачи теории приближений в пространствах Lp на прямой со степенным весом // Матем. заметки. 2011. Т.90, №3. С.362-383

6. Горбачев Д.В. Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения: дис. .. .д-ра, физ.-мат. наук. Тула. 2006. 200 c.

Иванов Валерий Иванович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

Лю Юнпин ([email protected]), доктор наук, профессор, факультет математических наук, Пекинский нормальный университет, Пекин, Китай.

Смирнов Олег Игоревич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Some inequalities for entire functions of exponential type in Lp(Rd)-spaces with power weight

V. I. Ivanov, Yongping Liu, O.I. Smirnov

Abstract. Two-sided estimates of norms in Lp,\(Rd)-spaces, 1 ^ p < to,

d

X = (Ai,..., Xd), Xj ^ -1/2 with power weight v\(x) = H I %jI 2Xj+1 for multivariate entire functions of exponential type by means of their value sums on some sequences of points in Rd are given. Multivariate weighted analogs of Bernstein and Nikolskiy inequalities are proved.

Keywords: Euclidean Rd-space, entire function of exponential type, power weight, Lp-space with weight, Plancherel-Polya inequality, Boas inequality, Bernstein inequality, Nikolkskiy inequality.

Ivanov Valeriy ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Liu Yongping ([email protected]), doctor of sciences, professor, School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing, China.

Smirnov Oleg ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer sciences, Tula State University.

Поступила 23.04-2011