CC BY
38
Выбрав обобщенно-однородную функцию Ляпунова в виде V = y^- + , несложно пока-
зать [8] асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (13). Тогда по теореме 1 нулевое решение разностной системы
í xk+1 = xk + yk,
1 yk+1 = yk - xk - xpyk ,
соответствующей (13), будет асимптотически устойчивым.
Рассмотрим возмущенное уравнение Льенара:
x + (xp + xs f (t)) x + xm = 0,
где s — положительное рациональное число с нечетным знаменателем, а функция f (t) определена и непрерывна при t > 0 .
При переходе к соответствующей разностной системе согласно замечанию 4 можно взять h = 1. Получим
[ xk+1 = xk + Ук,
1 (14)
1 Ук+1 = Ук- xm - xpyk- 4 ykf (к )■
Если функция f (t) ограничена при t > 0 , то по теореме 3 для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (14) достаточно выполнения неравенства s> p .
Предположим далее, что f (t) = sin t. Тогда к уравнениям (14) можно применить теорему 4.
Получим следующее условие асимптотической устойчивости: s > Р .
Пусть теперь f (t) = sin-v/í. В работе [7] доказано, что в данном случае соответствующая последовательность (8) удовлетворяет предельному соотношению (10) для любого Ре (1/2,1]. Тогда по теореме 5 нулевое решение системы (14) будет асимптотически устойчивым при
s> 3Р.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001.
2. Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. — М.: Наука, 1967.
3. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.
4. Wisdom J., HolmanM. Symplectic Maps for the N-Body Problem // Astron. J., 1991. — P. 1520-1538.
5. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем // Изв. вузов. Математика, 2005. — С. 1-10.
6. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — Л.: Судпромгиз, 1959.
7. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость разностных систем. — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.
8. БарбашинЕ. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970.
Поступила 7.07.2006г.
УДК 517.956
А. А. Андреев, Е. Н. Огородников
К ПОСТАНОВКЕ И ОБОСНОВАНИЮ КОРРЕКТНОСТИ НАЧАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛОКАЛЬНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Рассмотрено модельное гиперболическое в полуплоскости у > 0 переменных X и у дифференциальное уравнение, объединяющее широкий класс уравнений, тип или порядок которых вырождается на линии у = 0 и содержащее младшие производные с инволютивно преобразованными аргументами. Показано влияние вырождения порядка и присутствия в уравнении определенных младших производных с инволюциями на корректность задачи Коши. Обоснована корректность одного аналога задачи Коши в специальном случае.
Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. В соответствии с определением, приведенным А. М. Нахушевым в его монографии [1], к числу нелокальных дифферен-
циальных уравнений относятся: нагруженные уравнения, уравнения, содержащие дробные производные искомых функций, уравнения с отклоняющимися, в частности с запаздывающими аргументами: иными словами, такие уравнения, в которые неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при разных значениях аргументов. В целом такие уравнения можно отнести к классу функционально-дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, в том числе
такие, в которых наряду с искомой функцией и (7) присутствует и (а(/)), где а2(/) ° а(а(/)) = = / — так называемый сдвиг Карлемана [2] или инволютивное отклонение, по-видимому, являются наиболее изученными. Теория дифференциальных уравнений с частными производными, содержащих инволютивно преобразованные аргументы, имеет недавнюю историю. Более подробную историю вопроса, а также библиографию можно найти в работах [3-7].
Под инволютивным преобразованием (отклонением, сдвигом) точек плоскости действительных переменных х , у понимается гомеоморфизм области Ос* 2 на себя, ставящий в соответствие любой точке Р(х, у) еО точку Q (а(х, у);Р(х, у) )еО, причем а(а(х, у);Р(х, у)) = х, Р(а(х,у);Р(х,у)) = у . Отметим, что класс инволютивных преобразований, отображающих
ограниченную область О на себя, весьма узок. В качестве конкретного примера далее используем преобразование а = 1 - х, Р = у .
Рассмотрим уравнение
Ь (и (х, у))+ М (и (1 - х), у) = 0 (1)
с операторами Ь ° у2т + а(х,у)Э- + Ь(х,у)^- + с(х,у) при т > 0 и М ° а1 (х,у)Э- +
Эх Эу Эх Эу Эх
+Ь1 (х, у )эу + с1 (х, у) в характеристической области
1;т+1 ут+1 |
О = -|(х, у):0 <---------------< х < 1---------------, у > 0 I. (2)
— ' 1 т +1 I
Так как Эхи(1 -x,у)=-1°х(1 -хy), Эуи( -ху)=Эу( -x,у) где под Эи(1 -x,у) и
Эи (л \ Эи(х, у) Эи(х, у)
^—(1 - х, у) понимаются соответствующие частные производные —и —^-^, вычисленные
Эу Эх Эу
в точке Q(1 -х;у), то оператор М(и(1 -х,у)) = |^а1 (х,у) Эх + Ь1 (х,у)Эу + с1 (х,у) и(1 -х,у) =
= -а1 (х,у)-Эх(1 -х,у) + Ь1 (х,у)Эу(1 -х,у) + с1 (х,у)и(1 -х,у), а уравнение (1) можно записать в виде
2т Э2и Э2и , ч Эи , , ч Эи , ч
у ТТ + а (х, у )^ + Ь (х, у)—+ с (х, у )и -
Эи Эи
- а1 (х, у ) —(1 - х, у) + Ь1 (х, у) —(1 - х, у) + с1 (х, у )и (1 - х, у ) = 0. (3)
Эх Эу
Рассмотрим уравнение (3) в точке Q(1 -х,у). Замечая, что (1 -х,у) = -'Э-2и(1 -х,у),
Эх Эх
Э-2 (1 - х, у ) = Э°т и (1 - х, у), получим
и (1 - х, у )-
-а1 (1 - х, у ) + Ь1 (1 - х, у ) + с (1 - х, у )и = 0. (4)
Эх Эу
Обозначая V(х,у) = и(1 - х,у) в (3) и (4), для вектор-функции и(х,у) = (и;V)Т получим систему дифференциальных уравнений
2т Э2и Э2и , \Эи , ч Эи , ч
у ТТ -ТТ + А (x, у)^~ + в (x, у)^- + с (х у)и = 0 (5)
Эх2 Эу2 Эх Эу
с матричными коэффициентами
А =
-а (1 - х, у) -а (1 - х, у)
Л /
B =
с (х у ) q (х у)
сі (1 - х, у) с (1 - х, у)
Ь (х у) Ь1 (x, у)
Ь (1 - х, у) Ь (1 - х, у)
\ х Ч х \ х
Известно [8], что если компоненты матриц А(х,у), В(х,у) и С(х,у)удовлетворяют условиям теоремы Проттера [9], то для системы уравнений (5) существует единственное регулярное решение и(х,у)е С(о)п С2(О) задачи Коши с данными на линии параболического вырождения
“ ' ' (6)
lim U(х,у) = т(х), хє [0,1];
у®+0
Г Эи -( , lim — = у(х),
у®+0 Эу
х є
(ОД).
(7)
При дополнительном требовании симметричности этих матричных коэффициентов решение задачи Коши может быть найдено методом Римана [10]. Далее, выделяя первую компоненту
вектор-функции и(х,у) и учитывая, что т(х) = (т(х);т(1 - х))Т, у(х) = ((х);У(1 - х))Т , можно найти решение задачи Коши для исходного уравнения (1) в ее классической постановке:
и(х,0) = т(х), хе [0,1]; (8)
к™ Эи ( х, у )
lim
хє
(0,1).
(9)
у®+0 Эу
Также хорошо известно [10], что входящее в теорему Проттера условие Геллерстедта [11]
lim у1-тА (х, у) = 0 не является необходимым для корректности задачи Коши. В качестве
у®+0
примеров обычно приводятся уравнения L(u) = 0 с оператором Бицадзе-Лыкова [1] L °
2 э^ э^ Э
° у —2 2 + а или с оператором типа Бицадзе-Лыкова [8]:
Эх2 Эу2 Эх
L ° у2т -Э________________— + аут-1 —
т у Эх2 Эу2 у Эх'
(10)
Покажем, что для уравнения с оператором (10), возмущенного значениями одноименной младшей производной, вычисленной в точке Q(1 — х; у), задача Коши (8), (9) остается корректной.
В области О, определенной в (2), рассмотрим уравнение
Lm (и) + еут 1 — и(1 -х,у) = 0, а,еє • . Эх
(11)
Так как Э^и (1 - х, у ) = -|х (1 - х, у), то уравнение (11) можно записать следующим обра-
Эх
зом:
2т Э2и Э2и
Эх2 Эу2 Эх Эх
у2т и_и -и_и + аут-1 Эи-еут-1 Эи(1 -х,у) = 0.
(12)
Рассматривая дополнительно уравнение (12) в точке Q (1 - х; у) и обозначая V (х, у ) =
= и(1 - х,у), для вектор-функции и(х,у) = (и;V)Т получим систему дифференциальных уравнений
у2тихх -иуу + ут~1Аих = 0 (13)
л а е 4 -е -а
Ш+1 Ш+1
т+1, h= х + система уравнений (13) при-
с постоянной матрицей А =
В характеристических координатах Х= х -водится к системе уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) специального вида
(л-Х)и^ +рщ- оич = 0, (14)
с матрицами Р =1 (Е + А), G = 1 (Е - А), где Е — единичная матрица второго порядка.
Матрица Римана для системы уравнений (14) имеет следующий вид [12]:
п-Х
Л-Хо
Л-Хс По-Х
Е (О, Р; Е; і)
где Е (О,Р;Е; і) — гипергеометрическая функция с матричными параметрами [13] и аргумен-
(X X )(л л) О
том і = (—х0)( 0 „) и і — степенная функция с матричным параметром, определяются на
(Л-Х0 Л По-Х)
спектре матриц О и Р известным образом [13, 14].
Обозначая спектры матриц А, О и Р символами Л(А) = {аьа2}, Л(О) = {11,12},
Л(Р) = {т1,Ц2} и учитывая равенство О + Р = 1Е для собственных значений ак, Хк и Цк, получим следующие соотношения: 1к = 4(1 -а^), Мк = 1(1 + а^), причем 1к +тк = ^, к = 1,2.
Используя определение функции на спектре матрицы, в работе [15] выписан явный вид матрицы Римана, а, именно, если 1 , то
я ( П; ^ По ) =
если 11 = 12 = 1, то
п-Х Е << - Ґ и П-Хо
П-Хо 1 1 ьо [%^
' Е ( і ) О -11Е Е ( Мі;1;1 )+т—1—
ґ К. Л1:
П-Хо По-Х
е (12, М2;1; і)
П-Х
П-Хо
П-Хо
По-Х
{ЕЕ (, м;1; 2) +
+ (О-1Е)
1п
П-Хо По-Х
Е (, м;1; г) + е* (, м+;1; г) - Е* (+, ц; 1; г)
где К (а+,Ь;у;7) и К (а,Р+;у;7) — неоднородные (ассоциированные, по другой терминологии) гипергеометрические функции Гаусса [16].
Учитывая вид матрицы А и полагая для определенности а > 0, получим следующие реализации ее спектра:
1) а12 = ±л/а2 -е2 е Я, если а > |е| (а2 -е2 Ф1);
2) а1 = а2 = 0 , если а = е (матрица А — нильпотентна);
7 2 2 II
_ е - а г е С , если а > е .
Случаи а1 = 1, а2 = — 1 (тогда 1 = 0, 12 = 1/2) и а1 = -1, а2 = 1 следует выделить особо. В этих случаях вид матрицы Римана существенно упрощается:
Я ( л; Хо, Ло) = 20 + (Е - 20
\ По-Х ^П-Хо
Применяя метод Римана, в работе [15] для системы уравнений ЭПД (14) найдены решения Задачи Коши (6), (7) при некоторых ограничениях на спектр матрицы А. Используя результаты работы [15], нетрудно выписать решения задачи с условиями (6) и (7) и для системы уравнений (13). Так, например, если Л(А) с (-1,1), решение системы уравнений (11) в матричной форме имеет вид
1 _ 1 _ и(х,у) = В-1 (О,Р)|(1 - і)О-ЕіР-Ех(5) + Н_1 (Р,5)у|(1 - і)-Р і~О)сН,
где 5 = х - ^ (1 - 2/), матрицы В(0, Р) = Г(0)Г(Р)Г-1 (О + Р), Н (Р, 0) = В (Е - Р, Е - О) [13], а В (р, д) и Г( 7) — бета- и гамма-функции соответственно [17].
В частности, при а1 Фа2 в развернутой записи имеем
" 1 _ 1 _ к1 [(1 -/) 1 -1 х(5+ Н1у[(1 -/) тГ1у(5)С/
а1 — а2
и(хУ)=
А -а2 Е
A -a1E
a2 -a1
k2J(l-1) 2 1 tm 11(5)dt + h2yJ(l-1) m1 1 v(s)dt
где к, = в-1 (1,, т), н = н-1 (т,, 1, ) = в-1 (1 -т ,1 -1,), , = 1,2.
Используя явный вид идемпотентов А-а1Е и А-а2Е, легко записать первую компоненту
а2—а! а!—а2
вектора и (х, у) и найти тем самым решение задачи Коши (8), (9) для уравнения (11).
В случае а1 = 1, а2 = -1 решение системы уравнений (13) имеет вид
U(xУ)=
E + A
x +
У
m+1
m +1
У m +
І i
v(s) dt
MT
E - A
x -
У
m+1
m +1
У
m +
1 i
v(s )dt
где s = x -
(1 - 2t), a =
m+1 v ' m+1
Выделяя первую компоненту вектора U (x, y), находим
u (x, y) = 11 (1 + a )t
, ,m+1
x +
У
m +1
+ (1 - a )t
,m+1
x -
У
m +1
+ e
/
t
L V
,m+1
1 - x--
m +1
-t
,m+1
1 - x + J
m +1
+2 Д(+а)у(^ )+єу(1 - ^ +2/[і1 - а м* )-єу(1 - 5) -
0 І1 1) 0 1 і
Достаточные условия корректности задачи Коши для уравнения (11) приведены в теореме.
ТЕОРЕМА 1. Если заданные функции т(х),у(х)є С[0,1]пС2(0,1), а2-е2 < 1, то задача
(8), (9) для уравнения (11) в классе функций и (х, у )є С (о)п С1 (Пи(0,1))п С2 (^) корректна по Адамару [10].
Рассмотренный выше пример нелокального вырождающегося гиперболического уравнения является частным случаем модельного уравнения (1) с дифференциальными операторами
Ь = уЬт - Ь , где Ьт определен в формуле (10), и М = еут ^ _ при Ь = о = 0. В общем
случае класс таких уравнений описывается равенством
dt
yLm - b V
Эу
m Э Э
eym------------о—
Эx Эу
((1 -x,у) = 0, b,e,оє • .
(15)
Хорошо известно, что вырождение порядка вносит новый аспект в теорию уравнений и систем уравнений смешанного типа, в частности, в вопрос корректной постановки задачи Коши [18]. Именно, задача с начальным условием (9) на линии вырождения может оказаться не разрешимой, в то время как задача с условием lim к(у)uy (x,y) = v(x) при специальном вы-
у®+0
боре зависимости к = к (у) становится корректной.
В работе авторов этой статьи [19] уравнение (15) было рассмотрено в случае о = 0 . Относительно вектор-функции U (x,у) = (u;v)T , где, как и раньше, v(x,у) = и (1 - х, у), уравнение
Э2и d2u m du , du d
У 2m+1^_2 - у^_2 + aym— - b — + e—u (1 - x, у) = 0
Эx2 Эу2 ' 3x Эу Эx ,У}
(16)
(17)
редуцировалось к системе дифференциальных уравнений
у2т+1ихх -уиуу + утАих -виу = 0
с той же матрицей А, что и в уравнении (13), и матрицей В = ЬЕ, Е — единичная матрица.
Система уравнений (17) в общем случае объединяет довольно широкий класс модельных гиперболических при у > 0 систем уравнений с кратными характеристиками, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа у = 0 и которая в характеристических координатах редуцируется к системе уравнений ЭПД. Указанная система уравнений (17) была предметом исследований авторов этой статьи в целом ряде публикаций в основном в связи с проблемой корректности задачи Коши-Гурса и нелокальными краевыми задачами. Библиографию этих работ можно найти в статье [20].
В отмеченной выше статье [19] для уравнения (16) обоснована корректность задачи Коши с начальным условием
11т уЬиу (х,у) = у(х), хе (0,1) (18)
у®+0
вместо (9).
Следующий пример показывает, каким образом вырождение порядка и наличие младшей производной, вычисленной в инволютивной точке, отражается на постановке задачи Коши. Рассмотрим уравнение (15) при а = е = 0. Получим уравнение
2т+1 Э 2и д2и Эи Э ч
у ^Г2-у^Т - Ь^~ + ^и (1 - х,у) = 0. (19)
Эх Эу Эу Эу
Так как Э-и (1 - х, у ) = Эи (1 - х, у), его можно записать следующим образом:
Эу ^ ’ ' Эу
2т+1 Э2и Э2и , Эи Эи ч
у \г-утг - + °Э-(1 - х, у ) = 0. (20)
Эх2 Эу2 Эу Эу
Рассматривая дополнительно уравнение (20) в точке Q (1 - х; у) и обозначая, как обычно,
V(х,у) = и (1 - х,у), для вектор-функции и(х,у) = (и;у)Т получим систему дифференциальных уравнений
у2т-1ихх - уиуу - виу = 0 (21)
' Ь -оЛ
с матрицей в =
-о
Уравнение (19) и систему уравнений (21) будем изучать в характеристической области
О (2). В характеристических координатах Х= х - —+1 ут+1 ” ' 1 ’,т+1
система уравне-
ний (21)приводится к ЭПД-системе частного вида:
(л-Х)и Хл- О (ил- и х) = о
с матрицей О = 2(т1+1) (В + тЕ), спектр которой Л (О) ={іг-: 1г = ^тТ), Рг є Л(В)}.
В работе [21] для системы дифференциальных уравнений (21) найдены решения задачи Коши в области О с условием (6) и условием
1іт уви (х, у) = у(х) = ((х);У2(х)) , хє (0,1)
у®+0
(22)
вместо условия (7) при различных предположениях относительно спектра Л(В) матрицы В .
( 1 ^
В случае, когда Л (О) с 0,— , а, следовательно, Л(В) с (-т,1), это решение может быть
V 2 у
записано в виде
и (х, у ) = к (О)[(/-/2)-Е ф ) + уЕ-вк (Е - О )(Е - В )-1 [(/-/ 2)~Оу(5 )с0,
где к(О) = В-1 (О,О)°Г(2О) Г-2 (О) [13], 5 = х +--ут+1 (2/-1).
т +1
При любых действительных значениях коэффициентов Ь и о (оф0) матрица В является матрицей простой структуры. Её собственные значения Р1 = Ь + о и Р2 = Ь - о действительны и различны. Для этого случая в работе [21] решение задачи Коши (6), (22) получено в явном виде:
к1 [(/ - /2) х(5 )С/ + К—-[(/ - /2) 1 у(5 )С/
0 1-Ь10
и (x, у ) =
В -Р2 Е
Р1 Р2
В -Р1Е
Р2 Р1
к2/(і - і2 ) 1 + ^2 Т" р 1 (і - і2 ) І2
1 -Ро Л
-Р2
(23)
где к[ = к(1г) = В (1,1), к = к(1 ) = к(1 -1г), і = 1,2.
Рассмотрим подробнее условие (22). Используя определение функциональной матрицы
я = B-b2E Й1 + в-ЬЕ yb2
П lj.ll V *I<JL/ IJ1 -f— I 1Л ■ I TI Kl /1 Г» П Г»| ГI Г» H l rimj Vlliuiun lim - Kl
ß2 -ß1
y“ = R "ß УН1 + ß "R yb2 в случае ß1 Ф ß2 [14] и явный вид идемпотентов b-_Je и в ß1E , легко
ß1 ß2 ß2 R1 ^ L J R1 -ß2
показать, что условие (22) равносильно двум инволютивно взаимосвязанным условиям, а, именно, если v1 (x)=v(x) — заданная функция, то v2 (x) = v(1 -x). Таким образом, в силу условия (22) одновременно существуют пределы
1 lim {yb+s^[u(x,y)-u(1 -x,y)] + yb-s^[u(x,y) + u(1 -x,y)]j = v(x),
2 y®+0 [ dy dy J
1 lim {yb+sA[-u(x,y) + u(1 -x,y)] + yb-s^[u(x,y) + u(1 -x,y)]l = v(1 -i),
2 y®+0 [ dy J dyL JJ
а значит, будут существовать их сумма и разность. Обозначая v(x)-v(1 -x) = m1 (x), v(x) +v(1 -x) = m2 (x), получим
lim yb+°-[u(x,y)-u(1 -x,y)] = m1 (x),
y®+0 dy
lim yb-o_d[u(x,y)+u(1 -x,y)]=m2 (x). y®+0 dy
du
(24)
Вновь учитывая, что dyu (1 - x, y ) = du (1 - x, y ) = uy (1 - x, y), условия (24) можно перезапи-
dy
сать и так:
lim yb+s[uy (x,y)- uy ( - x,y)]=im (x)
y®+0
lim yb s[uy (x, y ) + uy (1 - x, y )] = m2 (x), y®+0 L J
(25)
х е (0,1). Заметим, что условия (25) в таком виде являются нелокальными, ибо они содержат значения производных по у от искомой функции, вычисленные в разных, инволютивно связанных, точках сингулярной части границы характеристической области О.
Выписывая первую компоненту вектора и (х, у) в формуле (23), находим решение начальной задачи с условиями (8) и (25) для дифференциального уравнения (19) в следующем виде:
к(^)J
г 1(5 )-t(1 - ^)
1-ß11
(' -'2)
1-ij
dt+к (1 -^1 )1_г
m (5)
1 -ß1 J0 (t-t2)
dt
1
+ — 2
,1-ß2 1
m2 (5)
к (i2) dt+к (1 -i2 )2^l J-
1 2) J ' 1 ^ -ß2 J (t -12)
dt
(26)
где
1=2mm^, ßie(-m,1), к (ii )=-
i = 1,2; 5 = x + — ym+1
m+1 ^
(2t -1).
2(т+1) ’ у ' г) В(,I,) '
ТЕОРЕМА 2. Пусть х( х), т, (х )е С [0,1]п С2 (0,1), г = 1,2. Тогда регулярное в области О решение уравнения (13) в классе функций и (х, у )е С (о) п С1 (0и(0,1))п С 2 (О), удовлетворяющее начальным условиям (8) и (25) при Ь -о, Ь + ое (-т,1), имеет вид (26). Задача корректна по Адамару.
Анализируя приведенные примеры, можно сделать следующий вывод.
Корректность по Адамару начальных задач для вырождающихся гиперболических операторов, возмущенных младшими производными искомой функции с инволютивно преобразованными аргументами, находится в зависимости и является прямым следствием корректности задачи Коши для соответствующих систем дифференциальных уравнений, к которым редуцируются данные нелокальные дифференциальные уравнения.
Отметим, что при о® 0 решение (25) задачи с условиями (8) и (25) переходит в известное решение задачи Коши для вырождающегося уравнения (19) при о = 0 [10] с условиями (8) и (18).
1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
2. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications // Verhandl. des internat. Mathem. Kongr. — Vol. I. — Zurich, 1932. — P. 138-151.
3. Андреев А. А. О корректности начальных задач для некоторых уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом / В сб.: Уравнения неклассического типа. — Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1986. — С. 10-14.
4. Андреев А. А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановс-ким сдвигом / Дифференциальные уравнения и их приложения: Тр. II международ. семинара. — Самара: Сам. ун-т, 1998. — С. 5-18.
5. Андреев А. А., Огородников Е. Н. О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2000. — Вып. 9. — С. 32-36.
6. Андреев А. А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения, 2004. — Т. 40, № 5. — С. 1126-1128.
7. Андреев А. А., Саушкин И. Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2005. — Вып. 34. — С. 10-16.
8. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высш. шк., 1985. — 304 с.
9. Protter M. N. The Cauchy problem for a hyperbolic second order equation // Can. J. Math., 1954. — Vol. 6. — P. 542-553.
10. БицадзеА. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.
11. Gellerstedt S. Sur une equation lineare aux derivees partielles de type mixte // Arkiv. Mat., Asrt. och Fysik, 1937. — No. 29. B. 25A. — P. 1-23.
12. Андреев А. А. О некоторых приложениях ассоциированных гипергеометрических функций // Дифференц. уравнения (математическая физика): Материалы Куйб. обл. межвуз. науч. Совещания-семинара. — № 12. — Куйбышев, 1984. — С. 8-9.
13. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их приминение // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 1999. — Вып. 7. — С. 27-37.
14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
15. Андреев А. А., Сеницкий А. Ю. О задаче Коши для системы вырождающихся уравнений типа Лыкова // В сб.: Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. — Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1988. — С. 105-107.
16. Андреев А. А., Килбас А. А. О некоторых ассоциированных гипергеометрических функциях // Изв. вузов. Математика, 1984. — № 12. — С. 3-12.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 3 т. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1973. — 296 с.
18. Бицадзе А. В. К теории одного класса уравнений смешанного типа // В сб.: Некоторые проблемы математики и механики. — Л.: Наука, Л. отд., 1970. — С. 112-119.
19. Андреев А. А., Огородников Е. Н. О корректности задач Коши-Гурса для гиперболического уравнения с вырождением порядка и инволютивным отклонением в одном специальном случае // Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой: Тр. медждународ. конф. — Самара: СамГЭА, 2001. — С. 199-202.
20. Огородников Е. Н. Корректность задачи Коши-Гурса для системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений в некоторых специальных случаях и ее равносильность задачам с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: «Физ.-мат. науки», 2004. — Вып. 26. — С. 26-38.
21. Андреев А. А. Задача Коши для некоторых вырождающихся гиперболических систем второго и четвертого порядков // В сб.: Дифференц. и интеграл. уравнения. - Куйбышев: КГПИ, 1987. — С. 46-57.
Поступила 9.09.2006 г.
