CC BY
50
matical sciences// Factorization, Singular Operators and Related Problems. Proceedings of the Conference in Honour of Professor Georgii Litvinchuk. Eds.: Samko, Stefan; Lebre, Anarino and Santos, Antonio. Kluwer, Dordrecht-Boston-London, 2003. P. 151-173.
10. Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions// Proc. Edinburgh Math. Soc., 1967. Vol. 15. №3. P. 169-198.
11. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function// Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. Vol. 11. №2. P. 135-143.
12. Килбас А.А., Репин О.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии// Минск: Труды Института Математики БАН, 2004. T. 12. №2. C. 75-81.
13. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Изд-во Саратовск. ун-та (Самарск. филиал), 1992. 162 с.
14. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегродифференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. Всесоюзной конф. Владивосток. 1990. С. 91.
15. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применение // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 7. Самара: СамГТУ, 1999. С. 27-37.
16. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 26. Самара: СамГТУ, 2004. С. 5-11.
17. Vasilache S. Asupra unei ecuatii integrale de tip Abel cu doua variabile // Comun. Acad. R.P. Romane, 1953. Vol. 3. №3-4. P. 109-113.
18. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: ОГИЗ, 1947. 584 с.
19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968. 496 с.
20. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. погобие для вузов. М.: Наука, 1988. 816 с.
Поступила 15.12.2004 г.
УДК 517.956
Е.Н. Огородников, Е.Ю. Арланова
НЕКОТОРЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ ЗАДАЧИ КОШИ-ГУРСА И СУЩЕСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ БИЦАДЗЕ-ЛЫКОВА В СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧЯХ
На примере уравнения влагопереноса и системы подобных уравнений в условиях отсутствия единственности решения задачи Коши-Гурса рассмотрены простейшие нелокальные аналоги этой задачи и некоторые существенно нелокальные краевые задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского и Бицадзе-Нахушева. Обоснована их корректность.
Введение. Уравнение
У2ихх - иуу + аих = 0, (!)
описывающее при а > 0 процесс переноса потока влаги в капиллярно-пористых средах выведено в 1965 г. А. В. Лыковым методами термодинамики необратимых процессов и с тех пор известно как уравнение влагопереноса [1]. Ранее в 1959 г. в монографии А. В. Бицадзе [2] это
уравнение приводилось в качестве примера, для которого при |а| < 1 корректна по Адамару за-
дача Коши
Нш и(х,0) = т(х), Нш иу (х,у) = у(х), х е (0,1) (2)
у®+0 у®+0
с начальными данными на линии у = 0 параболического вырождения, хотя и нарушено известное условие Геллерстедта [3]. Регулярное в области 0 = |(х,у):0 < х - У2- < х + У< 1^|
решение задачи (2) для уравнения (1) находится методом Римана и при |а| < 1 имеет вид [2 ,4]:
, у 2
X+J
2 ( ,,2 Лb 1 ( ,,2 Л
y
x +----s
2
ds +
X---
2
у2 Т7 у2 )-ь
— X + ---5
2 2 0
У V J
(3)
где
а а
= (1 - а)/4, Ь = (1 + а)/ 4, Б(а,0) — бета-функция [5], а заданные функции
г(х) е С2 (0,1) п ь((0,1), ха-1, (1 - х)ь-1), у(х) е С2 (0,1) п ь((0,1), х-ь, (1 - х)-а).
В монографии А. М. Нахушева [6] уравнение (1) приведено в качестве математической модели одномерного потока и = и(х, t) биомассы микробной популяции и названо уравнением Би-цадзе-Лыкова при любых значениях параметра а е К. Там же, а ранее в работах [7-10], это уравнение при а = ±1 приводилось как пример уравнения, для которого задача Коши-Гурса (вторая задача Дарбу) с данными на одной из характеристик, ограничивающих область О, некорректна в смысле отсутствия единственности решения, и, следовательно, характеристики неравноправны как носители данных Дарбу.
Известно [6], что одним из инструментов устранения неравноправия характеристик является замена классических краевых условий нелокальными краевыми условиями, в которых значения искомого решения в точках, лежащих на граничных характеристиках области О, связаны с данными на линии вырождения. При этом, решение самой краевой задачи находится в форме решения задачи Коши, а ее корректность по Адамару является непосредственным следствием корректности последней.
Структура решения задачи Коши для вырождающихся уравнений гиперболического типа, к числу которых относится уравнение влагопереноса, такова, что в нелокальных условиях естественным образом возникают (используются) операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля [11] или их различные аналоги и обобщения.
Вопросам методики постановки корректных краевых задач для линейных вырождающихся гиперболических, гиперболо-параболических и смешанного типа уравнений посвящено огромное количество работ. В частности, в связи с уравнением Бицадзе-Лыкова, помимо указанных выше, отметим монографию А. М. Нахушева [12] и работы Ф. Б. Нахушевой [13-15], С. К. Кумыковой [16-19], А. Т. Джунисова [20], О. А. Репина (см. библ. список в монографии
[21], а также работы [22-24] последующих лет) и весьма содержательные монографии В. А. Нахушевой [25] и Л. И. Сербиной [26], в которых исследованы качественно новые математические модели процессов переноса в сплошных средах с памятью; в пористых средах, обладающих фрактальной структурой; основные нелокальные дифференциальные уравнения этих моделей, описывающие, в частности, движение грунтовых вод, почвенной влаги и т.п.
Некоторые простые нелокальные аналоги задачи Коши—Гурса. Рассмотрим уравнение (1) при а = 1. Решение задачи Коши (2) в области О для этого случая имеет вид
'(х, У ) =
(
х +
У
2 Л
+ -
1
(4)
2
х +
У
Справедливо утверждение. Если
заданные
(
2
функции
-1
т(х) и у(х)
таковы, что
г(х)еС[0,1]пС2(0,1), а у(х)еС2(0,1)пЬ (0,1),х 2,(1 -х) 2
Л
то единственное решение
и(х у) е С (о)п С2 (о) задачи с начальными данными (2) имеет вид (4). Такое решение
называется классическим. Если же функции г(х), 1/(х)е С[0,1] п С2 (0,1), то формула (4)
является решением задачи Коши
и(х,0) = г(х); (5)
иу(х У)=^(х), (6)
где х е [0,1], для уравнения (1) при а = 1 в классе функций
и(х, у) е с(о) п С1 (О и (0,1)) п С2 (о) . (7)
х,Л) и е.(х)=(!±-х
Пусть е 0 (х ) =
,71-
аффиксы точек пересечения
2
2
2
2
характеристик уравнения (1), выходящих из произвольной точки x є [0,1] , с характеристиками
2 2 У У
X = x-----= 0 и h = x +---= 1 соответственно.
2 2 Рассмотрим условия
u[® 0 (x)]=^(x), (8)
m[©i (x )]= j(x), (9)
где x e [0,l]. В работах [6-10] показано, что решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) при a = 1 с данными (6) и (8) существует и единственно, в то время как решение задачи с данными
(6) и (9) определяется с точностью до произвольной функции T(x)E ф,1]п C 2 (0,1) при
выполнении некоторого дополнительного соотношения, связывающего заданную функцию v(x) и производную j(x).
В этой ситуации рассмотрим задачу с начальным условием (6) и простейшим нелокальным условием [13]
A1 (x)u [© 1 (x)] = B1 (x)u (x,0) + c1 (x), (10)
где A1 (x), B1 (x), с1 (x) - известные функции.
Используя формулу решения задачи Коши (4), вычислим
[о.(x)]=г(і)+2 | v2)£ = т(і)+2 Dx-;(і - x)- 2 v(x)
(11)
где Dja f - интегро-дифференциальный оператор Римана-Лиувилля, определяемый следующим равенством [6]
Da f =
ax J
sign(x - a) I f (t)dt ,a > G;
r(a a (x -1)
sign(x - a)d I D^n+a dx
(12)
f,a < 0,n = [-a] +1,
Т(х) - гамма-функция Эйлера [5], \а] - целая часть числа а , х е (а,Ь).
Подставляя выражение (11) в равенство (10) и обозначая неизвестную функцию и(х,0) = т(х), получим
- с; (x)
т(х)=Б^х) { А(х) т(1)+1 ^ (1 - х)- 2 ^
где т(1) = с1 (1)\А1 (1) - Б1 (1)]-1. Очевидно, при выполнении условий А1 (х), Б1 (х), с (х) е С [0,1] п С2 (0,1), Бх (х)* 0 для х е [0,1] и А1 (1) * Б1 (1) функция т(х) будет
принадлежать классу функций С [0,1]п С 2 (0,1) • что обеспечивает существование
единственного решения уравнения (1) при а = 1 в форме равенства (4) в классе функций (7).
Нетрудно убедиться, что задача с аналогичными (10) нелокальным условием на другой характеристике
А0 (х)и[е 0 (х)] = Б0 (х)и(х,0) + с0 (х) (13)
при выполнении условия А0 (х) - Б0 (х) * 0 для х е [0,1] не нарушает ее корректности. Действительно, вычисляя значение
и[(Э 0 (х)] = г(х) +11 ^-^ = т{х) + Лх)
2 0 V х -1 2
(14)
и подставляя полученное выражение в условие (13), для неизвестной функции и(х,0) = г(х) получим равенство:
Ф) = [А0 (х)- Б0 (х) 1
Можно высказать следующее утверждение. Задачи с нелокальным условием вида
С0 (xAo (x)D0x2v(x)
u
A(x)u[e i (x)] = B(x)u(x,0) + c(x), i = 0,1 (1З)
и начальным условием (б), которые можно назвать нелокальными вариантами задачи Коши-Гурса, будут поставленні корректно, если A(x), B(x), с(x)є С[G,l]nС2 (0,l), A(x)-B(x)^0,
B(x)^ 0 для всех x є [о,'].
Покажем теперь, что задачи с условиями (б) и (1З) будут корректны и для уравнения (1) при a < 1.
Рассмотрим, например, условие (10) и вычислим значение u[o, (x)] по формуле решения задачи Коши (З):
“[°i ^)(; - s )a-i(s - x)b-ids+2Г(і - - ь) -[v(s)(i - s)-b(s - x)-ads=
л/р(і - x)
- Г(а) D-b (l - x )1 r(x) + 2Г(2 - b) ^ (l - x ^ v(x). (1б)
Условие (10) относительно функции (l - x)a 1 u(x,o) = j(x) приводит к интегральному урав-
нению
(1 -х)1-аБ!(х}р(х)х)А!(х<р(х)=.[(х),
Г(а)
вообще говоря, третьего рода с правой частью / (х) = 2г(Г .) А1 (х (1 - х ) у(х) - С (х).
Исследование и решение подобных уравнений представляет самостоятельную проблему [27,28] и мы в этой работе ее касаться не будем, отсылая читателей так же к работам Л. Г. Михайлова
[29] и В. Б. Короткова [30,31]. Однако конкретизируя вид функциональных коэффициентов в
условии (10), например, Б1 (х)=(1 - х)а-1, а с(х), А1 (х) е С[0,1]пС (0,1) - произвольные
функции, получим уравнение Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в требуемом для Ф(х) = и(х,0) классе функций.
Вид выражения (16) подсказывает вариант нелокального условия, при котором для функции г(х) = и(х,0) получается простое функциональное уравнение.
Рассмотрим задачу с нелокальным условием типа Бицадзе-Самарского
Бл (1 - х)-2и[е1 (х)] = Б1 (х)(х,0) + с1 (х). (17)
Пусть для определенности Б1 (х )=(1 - х)а 1Ь1 (х). Подставляя выражение (16) в условие (17), получим
Га(1 - х )а-1 ф )+2г(1^ ь) (1 - х)- 2 Бх/1-а) (1 - х )-ь ^(х)=(1 - х )а-1 ь1 (х )(х)+с1 (х).
Воспользуемся известным тождеством [32]
^ (1 - х)а-р Д/р(х) = (1 - х)-Ь Я£-Ь (1 - х)а р(х), (18)
справедливым для а е (0,1], Л> 0, а - Ь > -1, причем при а < Ь - для функций р(х)е Ь(0,1), и вычислим композицию операторов
0.1 (1 - х)-2 Бх/1-а) (1 - х)-Ь Лх) = (1 - х)а-1 Бх12 ^(х) .
Тогда, для функции т(х) получаем уравнение
b;(x )-
г(а)
(x) = 2Г(2 - b) Dx'2 v(x) - (l - x^ с' (x) ’
из которого она однозначно определяется при условии, что Ь1 (х) * —для х е [0,1]. Очевид-
г(а)
но, если функциональные коэффициенты Ь1 (х) и с1 (х)е С[0,1]пС: '(0.1), то функция г(х)
будет принадлежать этому же классу.
Осталось показать, что нелокальное условие (17) приемлемо и в особом случае уравнения
(1) при а = 1 .
Действительно, тогда р = 2, а = 0. Используя выражение (11) в условии
1 1
(1 - х) 2 и[е1 (х)] = (1 - х) 1Ь1 (х)и(х,0) + с1 (х), получим выражение для т(х) = и(х,0) в виде
г(х ) = ЬГ) Ь1(х)
1
1 Вх12^(х)-(1 - х)с1 (х)
Требования Ь1 (х)* 0, Ь1 (х), с (х)е С[0,1] п С2 ( 0,1) гарантируют принадлежность функции т(х) тому же классу.
Аналогичное (17) условие, связывающее значения и[е0 (х)] искомой функции и(х,у) на
другой характеристике с ее значениями на линии вырождения
1 1
В02хх 2 4е0 (х)] = Б0 (х)и(х,0) + С0 (х), (19)
приводит к дифференциальному уравнению дробного порядка [33,34] относительно функции т(х) = и(х,0):
1 1
В02хх 2Нх) - Б0 (х)(х) = /(х), (20)
лр 1 -1 -1 1
где / (х) = С0(х)—— В02хх 2В0х2к(х). Его решение в классе 10х(Ь1) — функций, представимых дробным интегралом порядка ^, будет единственным. В самом деле, в этом случае суще-
1 _1_
ствует такая функция р(х) е Ь1 (0,1), что х 2 т(х) = В0х2 р и уравнение (20), в силу тождества
1 1
В02хВ0 х2р = р(х), (21)
справедливого для р(х)е Ь(0,1), редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
1
р(х )-7хВ0 х2р(х )= / (х ).
Однако это и означает, что решение краевой задачи с условиями (6) и (19) единственным не будет, если фх) ищется в классе функций С [0,1] п С2 (ОЛ).
1 1
Действительно, пусть х 2г(х)е С1 [0,1], где С. [0,1] — введенный в работе [35] класс
2
функций р(х), представимых в виде Р(х) = х р0(х), где Р0(х)е с[0,1], а В0“ре С(0,1],
(0,1). В этом случае справедливо тождество [32]
( 1 )
а е ч
1
1 1 -2 х 2
В0х2 В02хР = Р(х)- . ,
Ч 2
(22)
V /х®+0
вообще говоря, верное для любых функций р(х)е Ь(0,1), если В0р принадлежит классу АС[0,1] абсолютно непрерывных функций [11].
1
Применяя оператор В0х2 к левой и правой частям равенства (20) и используя тождество
(22), после несложных вычислений получим интегральное уравнение второго рода:
1 1
г(х) - х2 Б0 (хфх) = К0) +4хВ0х2 /(х) ,
решение которого определяется с точностью до произвольной константы т(0).
В связи с возникающей здесь проблемой единственности сделаем следующее замечание. Если вместо условия (19) с дробной производной использовать аналогичное условие в интегральной форме
Ао (хМ0 0 (х)] = °о2 Во (х )и (х,о) + Со (х),
(23)
то при А0 (х) = х 2 для определения неизвестной функции и(х,0) = г(х) сразу получим интегральное уравнение второго рода
фх) -4хБ0 2 Б0 (х )(х) = 4х которое однозначно разрешимо в требуемых классах функций. С другой стороны, нелокальное
С о(Х )—— Иоо хУ(Х )
условие (19) является следствием условия (23) при А0 (х) = х 2 . Обратное же - не верно.
Некоторые существенно нелокальные краевые задачи для уравнения (1) при а = 1.
Рассмотрим здесь задачи с двумя нелокальными условиями типа Бицадзе—Самарского А0 (х)и[е0 (х)] = Б0 (х)и(х,0) + С0 (х) Нш и у (х,у) + с0 (х);
у—+ (24)
А1 (х)и[е1 (х)] = Б1 (х)и(х,0) + С1 (х) Нш и у (х, у) + с1 (х),
у——+0
где А. (х), Б. (х), С. (х) могут быть функциями от х, некоторыми операторами, определенными на множестве функций из класса гладкости искомого решения, а с. (х) -
известные функции, . = 0,1.
Нетрудно показать существование единственного решения краевой задачи (24) для уравнения (1) в некоторых специальных случаях.
Задача 1. Найти регулярное в области О решение задачи (24) для уравнения (1) при а = 1,
А0 (х)= Б0 (х).
Подставляя найденные в (11) и (14) значения в равенства (24) и обозначая и(х,0)= г(х), Нш и у (х, у) = у(х), получим систему уравнений:
у—+0 у
С о (х у(х) —2Р Ао (х Ро Х2 у(х) = -Со (х);
В1т(х ) = А1 (х)
т(і)+2 д-1 (1 - х)-2^(х)
- С1 (х )і/(х ) - с1 (х).
(25)
Выделим те случаи, когда решения этой системы уравнений могут быть найдены в замкнутой форме.
Сразу заметим, что если Ао (х)^ о для х є [о,1], то первое уравнение системы (19) может оказаться интегральным уравнением третьего рода:
р -1
а(х)у(х) —Р Ио 2 у(х ) = / (х ), (26)
где а{х)= Со (х)1 Ао (х) , / (х) = - Со (х)/ Ао (х) .
Если Со (х)^ о для х є [о,1], то вместо (26) получим интегральное уравнение второго рода:
Р 1
/х)---------— ^(х)Иох2 /х) = /(х) >
(27)
/ \ А0 (х) / ч с0 (х)
где Я(х) = —^т, /(х)=----------^т. Нетрудно найти его решение методом Пикара [36] в требуе-
С 0(х) С 0(х )
мых классах функций.
После того как функция у(х) определена, фх) немедленно находится из второго уравнения системы (25) при условиях А1 (1) * Б1 (1), а Б1 (х) * 0 для х«
r(x )=I A'(x)
+ і D-1»-x)- ^
- С,(x )i/(x)- c,(x H.
(28)
Справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть A0 (x) = B0 (x), A0 (x), C0 (x), A1(x), B1(x), C1(x), c0 (x) ,
c1 (x)e C[0,1]n C2 (0,1), причем B1 (x) Ф 0, x e [0,1] и A1 (1) ф B1 (1). Тогда единственное
решение u(x, y) в классе функций (7) задачи с условиями (24) существует и определяется формулой (4) решения задачи Коши, где v(x) - решение интегрального уравнения (27), а r(x) -определена в формуле (28).
Заметим, что в одном частном случае, когда A0 (x)= 1C0 (x), уравнение является
интегральным уравнением Абеля второго рода [11],
p _1
v(x)- -2- x y(x)=f (x). (29)
Его решение может быть выписано в терминах функции типа Миттаг—Леффлера [37, 38]
¥ к
^.MbgGa+b) ,(ab>0) •
для которой в работе принято обозначение eba (z), согласованное с обозначением функций
a,k
(z ) = Z
к =0
Г(к + b)r(d - k)
типа Райта [З9]. Отметим, что решение интегрального
уравнения с дробным интегралом Ио “ при а = 2 было известно еще Лиувиллю [4о] и выражалось в элементарных функциях. В общем случае при а є (о,1] резольвента подобного интегрального уравнения порождает интегральный оператор, который можно рассматривать как одно из обобщений оператора дробного интегрирования Римана-Лиувилля [41]
Ea-
7 f = |(x -1)a 1 ea A(x -1)J f (t)dt, x > a ,
(ЗО)
где 1,а,а - вообще говоря, могут быть комплексными параметрами: Кеа,Кест > 0.
Действительн0, Еаха0а/=в-а/.
Таким образом, из уравнения (29) для неизвестной функции у(х) в терминах оператора
(30) получим представление
1 1
у(х )= / (х)+ 1Е 0 % / (х ),
где 1 =^-Р 1 .
12
Как было отмечено выше, наличие дробных производных и (или) интегралов в нелокальных условиях позволяет привести пример краевой задачи, решение которой сводится к решению системы функциональных уравнений.
Задача 2. Для уравнения (1) при а = 1 в области О найти регулярное решение задачи
' 1 1
В02хи[е0 (х)] = В0хи(х,0) + С0 (х) )Ш иу у) + С0 (х)
у—+0 (31)
л/1 - х — и[е1 (х)] = Б1 (х)и(х,0) + С1 (х) Нш и у (х, у) + с1 (х)
йх у—+0
Подставляя найденные в (11) и (14) значения в равенства (31) и обозначая и(х,0) = г(х), Нш и (х,у)= п(х), после несложных преобразований получим выражение для т(х) и у(х):
у—+0 у
0 (х) .
,(x ) =
(З2)
\p
2
- С о (x)
a
З0
г(х )=в^ В1 (х )
\1Р
2
(33)
\ІП
2
2 Со (х)- С (х)
- С о (х)
ё 2
Справедливо утверждение.
Теорема 2. Пусть В1 (х), С1 (х), со(х), с1 (х)є С[од]пС2(о,1), причем Со(х)^
В1 (х~)ф о, Х є [о,1]. Тогда решение задачи с условиями (31) в классе функций (7) может быть найдено в виде (4) решения задачи Коши, где т(х) и у(х) определяются равенствами (32) и (33).
В последние годы в нелокальных краевых условиях интенсивно используются различные модификации и обобщения интегро-дифференциального оператора Римана-Лиувилля, именно, - операторы Эрдейи-Кобера, операторы Сайго и др. Отметим здесь работы М. Сайго, А. А. Килбаса, О. А. Репина [42-44] и их учеников [24, 25, 45-48]. В работах [49, 5о] в нелокальных условиях для систем вырождающихся гиперболических уравнений используются обобщения вышеперечисленных операторов на матричный порядок.
Рассмотрим следующий вариант задачи 2, содержащий в нелокальном условии оператор ЕТа?.
ах;Я
Задача 3. Для уравнения (1) при а = 1 в области О найти регулярное решение задачи
Е0х;Л и[ о (х)] = Во (ХМХ,°)- ИШ„ иу (Х У)+ Со (х)
у®+о
(34)
2лІ1 - х — и[©1 (х)] = В1 (х)и(х,о) - Ііт иу (х, у) + с1 (х)
—х у®+о
Приведем некоторые свойства оператора Е—ОГ [51].
Теорема 3. Пусть /(х)є Ь(а,Ь) а,> о, Я є С. Тогда
Е^ТЕ^Г / = Е-р\аЕа /. (35)
ах;Я ах;Я ^ ах;Я ах;Я J V /
Доказательство. С учетом определения (3о) запишем левую часть равенства (35):
Х Ї
Е-аГ Е-Ц’Г / = | (х — ї)а 1 еа[я(х — ї)° ]' ( — 5 )Г 1 е° [я(х — ї)° ]/( ~)—5—ї. Меняя порядок инте-
а а
грирования и выполняя замену переменных ї = 5 + (х — 5)2 во внутреннем интеграле, получим
| /(х - ї)а—1 ( - я)-1 е° [я(х - ї)° Є Я( - 5)° — =
а я
= |(х - 5)а+Г—1 /()—5-1 (1 - 2)а-1 2Г-1еа я(х - 5)° (1 - 2)° ЄГ [я(х - 5)° 2° ]—2 . (36)
ао
Для правой части равенства (35)
Е-ьягЕ-аяг/=} (х - ї)-1 еь [ - їу ]] ( - 5)а—1 еа [ - *) ] (——=
а а
= } /()—4 (х - ї)Г—1 ( - 5)а1 еГ [я(х - ї) ° ]еа [і - 5) ° ]—ї
а э
после замены переменных ї = Х — (х — 5)2 получаем выражение, совпадающее с (36).
Замечание. Теорема 3, по существу, констатирует коммутативность интегральных операторов (3о). Выражение, возникающее во внутреннем интеграле (35), можно упростить, пользуясь представлением функции Миттаг-Леффлера в виде ряда.
| 2а-1еа Я(х - 5’)°’ 2 ° ]( - 2)Г-1 еГ [я(х - 5)° (1 - 2)° ]—2 =
да да лт+П ( _ о)°(п+т) 1
= УУ Я 1Х - 7---------------, [ 2И°+а-1 (1 - 2)т°+Г-1 —2 =
и=о т=о г(а + п°)г( + т°))
= уу Яи+т (х - 5)°(и+т)Б(и°+а,т° + Г) = уу Яи+т (х - 5)°(п+т) ^
п=о т=о Г(а + п°)г( + т°) П=о т=о г(а + Ь + (п + т)°)’
где использована возможность интегрирования под знаком суммы, определение бета-функции В(р, д) и ее свойства. Очевидно, выражению (37) можно придать следующий вид:
Як (х - 5 )к° кЯк (х - 5)к° = ^ к[я(х - 5)°]
І^о Т=п г( + Г + к°) ^ г( + Г + к°) г(° + а + Г)
Теорема 4. Пусть /(х) є Ь(а, Ь), а, Р,у,° > о, Я є С. Тогда
(е-адЕ)е/ = Е~а°(Е~Ь°Е/
V ах;Я ах;Я / ах;Я У ах;Я \ ох;Я ах;Я Д/ •
Утверждение теоремы очевидно. Выкладки опускаем ввиду громоздкого вида композиции трех операторов.
Как обычно, тождественный оператор на множестве функций /(х)є Ь(а, Ь) будем обозначать I .
Задача построения оператора, обратного к Е—а°, сводится к необходимости обращения интегрального уравнения Вольтерра первого рода Е—Г77 / = р(х ).
Лемма. Пусть /(х) є Ь(а, Ь); а > о, Я є С. Тогда справедливо тождество
Е—аа/=(і - яи—а)-1 и—а/. (38)
Доказательство. Решение интегрального уравнения Абеля второго рода р(х) - АР—Г<р = /(х) имеет вид р(х) = /(х)+ АЕ—ГЯ /. Подставляя это решение в исходное интегральное уравнение, получим тождество
ЯЕ-аа/ = ЯБ-а а/ ( х) + ЯЕ-а:а/1,
ах;Я ^ ах \ / ох;я я I ?
откуда (і - ЯБ-а )е—Г'/ = Бха/, Е—''/ = (і - ЯР-а )-1 Р—Г / (х)
Существование оператора (і — ЯР—) гарантировано разрешимостью уравнения
Вольтерра второго рода с ядром Абеля [37], что и доказывает лемму.
Теорема 5. Пусть и(х) є АСп [а,Ь] [11]. Тогда обратный оператор
(е—ОГ)-1 и(х)= (да - ЯІ)и(х) (39)
Доказательство. Записывая уравнение Е—Г.’Г / = и(х) с помощью формулы (38) и обращая
от^торы получим /(х) = 0° (і - Ю--)и , откуда /(х) ={раах -11 )и(х)
Формальная проверка показывает, что оператор (е—Г.’Я ) / является левым обратным к оператору Е—ГГ / на функциях / (х )є Ь(а, Ь).
Действительно, с учетом формул (38) и (39) (Е—аа ) 1 Е—аГ = (РГг - Яі)(і - ЯР-“) х х р-а( = Ра (і - ЯР~“ )(і - ЯР~а )-1 р-а( = Ра Р а / = / ( х) .
ах ^ ах \ ах 1\ ах 1 ах ^ ах ах ^ ^ \ '
С другой стороны, (е—Я )е—‘’ЯГ ) / = /(х) лишь для функций, представимых
левосторонним дробным интегралом порядка а от суммируемой функции. Действительно,
если /(х) є С (1р ), то РаХ Р!/ = У (Х) и тогда
(і - АР- )-1 Р—Г Рх - ЯЯ)/(х) = (і - ЯР—' )-1 (Р-а РОх/ - ЯР„“ /) =
= ( і - ^Р^ах )-1 (і - ^Р'ах ) / (Х ) = / (Х).
Отметим еще некоторые композиционные тождества оператора Е-Я7 с дробными
интегралами и производными Римана-Лиувилля [52].
1. Пусть /(х)е Ь(а,Ь); а, /3,&> 0,1 е С . Тогда
в-аЕ-Р,- / = ЕТа / = ЕЛа+ь)а /. (40)
ах ах ;1 ^ ах ;1 ах ^ ах ;1 ^ ^ '
2. В условиях пункта 1 при у > 0
Б аЕ~Б у / = Еа/. (41)
ах ах ;1 ах ^ ах ;1 ^ ^ '
3. БОЕ—/ = ~Е"СО./ выполняется для любых /(х) е Ь(а,Ь) ; а,а > 0,1е С .
а а; йх а’
Вернемся к задаче 3.
Из второго уравнения системы (34) сразу определяется функция
фх)=- (42)
В1(х)
оператора Е' , для функции /х) получим следующее интегральное уравнение:
подставляя которую в первое уравнение этой системы и используя некоторые свойства
Т’-а,°
^ ах, Я
КХ) +^у ЕоХАГ КХ) = /(Х) ,
П \ Л-аа С (х) Во (х) / ч / ч где /(х) = ЕоХ я --^-\ С1(Х) + Со (х) — известная функция.
В1 (Х) В1 (Х)
Его решение при Я = ~2р имеет вид [38]:
к(х) = /(х) - 'Ц- Роа/(х) . (43)
Теорема 6. Пусть Я = ~Р, функции Во (х) , В1(х), со (х) , с1 (х)є С[од]п С2 (о,1), причем
В1 (х) Ф о, х є [о,і]. Тогда единственное решение задачи с условиями (34) в классе функций (7) существует в форме решения задачи Коши (4), где ^(х) и у(х) определяются равенствами (42) и (43).
Существенно нелокальные краевые задачи для одной системы уравнений
влагопереноса в специальном случае. Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений:
2 д 2 и, д 2 и, ди 2
У 2-2--------2- + — = о,
д 2 ду 2 д
2 2 (44)
2 д и2 д и2 ди1 о
У дх2 дУ2 дх ’
где и(х, у)= (и1, и 2 У — вектор искомых функций, в области О, ограниченной отрезком [о,1]
у2
линии ее параболического вырождения у = о и характеристиками X = х - = о и
у 2
Г) = Х +---= 1.
2
Систему уравнений (44) можно записать в векторной форме:
- и уу
у2 ихх - и уу + Аих = о, (45)
( о 1 ^
где матрица А = и является простейшим примером инволютивной матрицы [53].
V1 о0
Известно [54, 55], что для системы уравнений (45) с произвольной матрицей А , спектр которой л(А)е[-1Д], корректна по Адамару задача Коши:
и(х ,0) = т(х); (46)
и у(х, у) = v(х), (47)
и ее решение может быть найдено методом Римана [56, 57] в классе функций и(х, у) е с(о) п С1 (О и (0,1)) п С2(о), если вектор-функции т(х), v(х)е С[0,1]п С2 (0,1). В нашем случае оно имеет вид
п
и(х у) =
Е + А
2
(
2
V
Е)
2 "у2 I у2
Х-^ Л !х +-------------5
Е - А 2
2
х~ л - Х + у-
(48)
Известно также, что если матрица А инволютивна, то задачи Коши-Гурса (вторые задачи Дарбу) для системы уравнений (45) поставлены некорректно в смысле отсутствия единственности решения, какая бы из двух характеристик, ограничивающих область О , ни была носителем данных Дарбу.
Первый пример такой системы, названной системой дифференциальных уравнений Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей А специального вида, приведен в работе [58]. Далее в работе [59] для системы уравнений (45) с такой же матрицей А, а затем в [60, 61] и других работах этих же авторов (см. библ. список в [61], а также в [52]) для системы уравнений с дифференциальным оператором более общего вида у 2 т и хх - и уу + тАут 1и х и произвольной
инволютивной матрицей второго порядка рассматривались различные нелокальные аналоги задачи Коши-Гурса.
Рассмотрим в качестве примера простейший нелокальный аналог задачи Коши-Гурса для системы уравнений (44) с условием типа Бицадзе-Самарского:
А,(х)и[е, (х)] = В, (х)и(х,0)+ с,-(х), г = 0,1, (49)
где А, (х), В, (х) — известные функциональные [2 х 2]-матрицы; с, (х) — заданные вектор-функции, а точки е г (х) (г = 0,1) определены выше.
Пусть требуется найти регулярное в области О решение системы уравнений (44), удовлетворяющее начальному условию (47) и условию (49) при , = 0 .
Вычисляя значение функции и(х,у) в точке е0(х)=| х;4х I по формуле (48) и обозначая
вектор и(х,о)= т(х), из условия (49) получаем уравнение
А(х )(Е + А)
г(х )
1
+ ^~ Ро*У(Х)
+ 2 а(х )(Е - А)
(о)^^ Ро1Х /(х)
2
= Во (х)т(х) + С о (х),
из которого вначале определяем вектор
т(0)=[А0 (0)-В0 (0)]-1 с(0), а затем и неизвестную в решении задачи Коши (48) вектор-функцию
Г р
1
т(х) = [Ао (х)(Е + А) - 2Во (х)]—1 Ї 2со (х)----------------------— Ао (х)(Е + А)Ро2 V(х) -
- А0 (х)(Е - А)^т(0) + 1 ^ х 2 Чх)
В предположении существования обратных матриц для А0 (0) - В0 (0) и А(х)(Е + А) - 2В(х) для всех хе [0,1] вектор т(х) будет принадлежать классу функций С[0,1]п С2 (0,1), если А0(х), В0(х), с0(х) и у(х)е С[0,1]п С2 (0,1), а единственное решение (48) краевой задачи и(х, у) — классу функций (7).
+
2
+
+
2
Аналогично решается задача с условием (49) (і = 1), связывающим значения вектор-функции и(х, у) на другой характеристике с ее значениями и(х,о) на линии вырождения.
В указанной выше работе [61] был рассмотрен другой нелокальный вариант задачи Коши-Гурса с условием Бицадзе-Нахушева
А(х)и[© о (х)] + В(х)и[©1 (х)] = Н (х)и(х,о) + с(х) , (5о)
где по-прежнему А(х) , В(х), Н (х) - известные функциональные [2 х 2]-матрицы;
с(х) = (с1 (х), с2 (х))т - заданная вектор-функция, х є [о,1]. Приведена теорема об условиях однозначной разрешимости этой задачи в требуемых классах функций в терминах обратимости некоторых числовых и функциональных матриц.
Отметим, что частным случаем задачи с условием (5о) является вариант задачи Коши-Гурса, в которой на каждой характеристике задается лишь одна определенная компонента искомого вектора и(х, у).
Задача (Коши-Гурса). Найти регулярное в О решение системы уравнений (44) с начальными данными (47) и условиями
и1[© о (Х)]= Р(х), и2 [©1 (х)]=Их) , Х є[о,1]. (51)
Решение этой задачи для системы уравнений (44) в работе [6о] не приводилось, а
окончательные выражения для компонент вектора т(х) опубликованы в неполном и искаженном виде. Поэтому приведем здесь решение задачи полностью.
Вычислим по формуле (48) значения вектор-функции
и[ о (х)] = 1 (Е + А)
г(х)+^- Ро 2 v(x)
+ 2(Е - А)
г(о)+1 Ро-Хх 2 v(x)
и[©1 (х)]=1 (Е + А)
г(1)+2 Р— (і- х )_ 2 v(x)
1
+ 2 (Е - А)
(52)
(53)
и с учетом вида матриц Е + А =
11
ЧІ І0
Е - А =
1 -1
-1 1
Л
выделим первую компоненту вектора
и[© о (х)] и вторую - вектора и[©1 (х)]. Используя условие (51),для определения неизвестных функций т1 (х) и т2 (х) получим систему уравнений
Г1 (х) + Т2 (х) = 2^(х) - Т1 (о) + Т2 (о)--— РоХ2 (^1 (х) + У2 (х)) - 2 Ро-ХХ 2 (У (х) - У2 (х^
(54)
- т1 (х) + Т2 (х) = 2¥(х) - т1 (1) - Т2 (1) + -р Бх12 (1 (х) - / (х)) - 2 Бх1 (1 - х)- 2 (1 (х) + / (х^
однозначная разрешимость которой гарантируется существованием обратной матрицы
1 1^-1
1 1 I . Однако правые части системы уравнений (54) содержат пока неизвестные
постоянные т1 (1) и т2 (0), в то время как по непрерывности в силу условий (51)
и1 [е0 (0)] = т1 (0) = М(0) , а и2 [е1 (1)] = Т2 (1) = У(1) .
По формулам (52) и (53) вычислим дополнительно значения и[е 0 (1)] и и[е1 (0)]. Тогда для определения величин т1 (1) и т2 (0) получим систему линейных уравнений
11 1 -1 Т (1) + Т2 (0) = 2Ф() - М(0) - ¥() - 2 Б0-11 (1 - х)- 2 (1 (х) + П2 (х)) - 2 Б0-11 х 2 (1 (х) - П2 (х));
11 1 -1
Т (1) + Т2 (0) = 2У(0) - У(1) + М(0) - 2 Б0-11 (1 - х)-2 (1 (х) + П2 (х)) + 2 Б0-11 х 2 (1 (х) - П2 (х))
однозначная разрешимость которой также очевидна, и
т1(1)=м(1)+у(0) - ¥()-1Б0-11 (1 - х)- 2 (п(х)+/(х));
1 -1
Т2 (0) = ¥(0) + М(0) - М(1) + 2 Б0-11 х 2 ( (х) - П2 (х)).
Окончательно из системы уравнений (54) после несложных вычислений получим
Т1 (х) = р(х) - у(х) + у(о) - 4 Ро--1 УУ+У + 1 РХ—1 /!-=У^ - Рох^ ( + У2 ) _
4 - х 4 ^Х 4
_Р- РХ12 (1 У2), (55)
Г2 (х) = р(х) - р() + У(х) + 1 Ро_Х У1у+-У/ + 1 РХ—1 /!-=У^ - РоХ2 (/ + У2 ) +
4 дД - х 4 ^Х 4
— -1
+ — Рх12 (1 У2). (56)
Полученный результат отражает теорема.
Теорема 7. Пусть вектор-функции /х), р(х), у(х)є С[о,1]п С2(о,1). Тогда единственное в области О решение системы уравнений (44) в классе функций (7) с начальными данными (47) и условиями на характеристиках (51) определяется по формуле решения задачи Коши (48),
в которой компоненты вектора т(х) = (т1;т2 )т , в свою очередь, заданы формулами (55) и (56).
Развивая идею постанови нелокальных условий как средства устранения неединственности решения задач Коши-Гурса, в работе [61] для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с произвольной инволютивной матрицей был приведен контрпример по-компонентного аналога задачи Коши-Гурса с условиями
и1 [© о (х)] = а2и2 (х,о)+ С1 (х), (57)
и 2 [©1 (х)] = а1и1 (х,о) + с2 (х), где а1, а2 є Я - заданные числовые параметры; с1 (х) и с2 (х) - известные функции, х є [о,1]. Было показано, что при а1 = а2 = 1 решение задачи с условиями (47) и (57) определяется с точностью до произвольных констант, т.е. неединственно. Однако эта задача не была до конца исследована. В частности, оставался открытым вопрос, при каких значениях параметров а1 и а2, кроме а1 = а2 = 1, наблюдается эффект неединственности, а в каком случае задача с условиями (57) корректна.
Дадим здесь ответ на эти вопросы.
Повторяя, по существу, решение предыдущей задачи и подставляя компоненты и1 [© о (х)] и и2 [©1 (х)] векторов (52) и (54) в условия (57), для определения неизвестных функций г1 (х) и т2 (х) получаем такую систему функциональных уравнений:
' 1 _ — —1
Г1 (х) + ( _ 2а2 К (х) = 2С (х) _ - Ро_Х У1 г^2--— РоХ2 (1 + У2 ) _ Г1 (о) + Г2 (о)
^ Р 2
1 I- _ 1
_ (1 + 2а1 )Г1 (х) + Т2 (х) = 2сг (х)_ 2 РХ—1 Уіг+/У + -2- РХ12 ( _ у2 ) _ Г1 () _ Г2 (1)
2 д/1 - х 2
(58)
Необходимым условием ее однозначной разрешимости является требование Д = 2(1 + а1 - а2 - 2а1а2 )ф 0. Однако это условие еще не является достаточным: в задаче остаются неопределенными т1 (0) , Т1 (1) , Т2 (0) и Т2 (1) .
Вычисляя значения и1[е0 (0)], и1 [е0 (1)], и2 [е1 (0)] и и2 [е1 (1)] по формулам (52) и (53) и используя условия (57) для определения перечисленных выше констант, получили систему
линейных уравнений с главным определителем Замечаем, что
Ао = 2а12а2 - а12а2 + а1а'22 - 3а1а2 + а1 - а2 +1.
Д0 =(2а1а2 -а1 + а2 - 1)(а1 а2 -1) = 1 Д(1 -а1 а2), (59)
где Д - главный определитель системы функциональных уравнений (58).
Нетрудно указать многообразие значений параметров а1 и а2 и изобразить его на параметрической плоскости, в каждой точке которого происходит нарушение единственности решения краевой задачи с условиями (57).
Таким образом, условие Д0 =(2а1а2 - а1 + а2 - 1)(а1 а2 -1) = 0, равносильное двум
1 а1 + 1
условиям а2 = — или а2 =------------, является достаточным условием некорректности задачи с
а1 2а1 +1
условиями (57).
Теорема 8. Пусть функции V(х), с1 (х), с2(х)е С[0,1]п С2(0,1). Тогда единственное в области О решение системы уравнений (44) в классе функций (7) с начальными данными (47) и нелокальными условиями (57) при Д0 =(2а1а2 - а1 + а2 - 1)(а1а2 -1)^ 0 определяется по
формуле решения задачи Коши (48), в которой константы вектора т(х) = (ф; т2) находятся из
системы функциональных уравнений (58).
В заключение работы приведем пример существенно нелокальной краевой задачи для
системы уравнений (44) с условиями типа Бицадзе-Самарского:
А(х)и[е0 (х)] = Н0 (х)и(х,0) + К0 (х) Нш и(х,у) + с0 (х);
у®+0 (60)
В(х(х)] = Н1 (х)и(х,0) + К1 (х) Нш и(х,у) + с1 (х)
у®+0
Нетрудно показать, что при условии обратимости матриц А(х)(Е + А) - 2Н0 (х) и В(х)(Е - А)- 2Н1 (х) для всех х е [0,1] из системы уравнений легко исключить неизвестный в решении задачи Коши (48) вектор т(х) и, тем самым, система уравнений (44) редуцируется относительно V (х) к системе интегральных уравнений типа обобщенных уравнений Абеля, решение которой представляется весьма затруднительным.
Приведем наиболее простой пример краевой задачи с условиями вида (60), однозначную разрешимость которой можно показать в замкнутой форме.
Задача. Найти решение и(х, у) системы уравнений (44) в классе функций (7) с условиями (60), где
А(х) = А0 (х)(Е + А) + 2 В0 (х)(Е - а)х —;
—х (61)
В(х) = 2А1 (х)(Е + А)1 - х — + В1 (х)(Е - А),
йх
а матрицы Н 0 = Н1 = К0 = Е и К1 = -Е.
Пусть в равенствах (61) А0 (х)= В0(х) = А1 (х) = В1 (х)= Е. Тогда для вектора V(х) получим интегральное уравнение второго рода
- 2^х) + (( + А)—Р Б^х2 Чх) - ( - А))р Бх12 V(х) = /(х) , (62)
где / (х) = А(с0 (х) + С1 (х)).
Используя далее известные свойства инволютивных и идемпотентных матриц [61] из уравнения (62) нетрудно получить два интегральных уравнения Вольтерра второго рода:
<(х) - рг °0>х п1(х)=1/1(х);
2 1 2 (63)
^ (х) + рТ Бх12 (х)= - 1 Л (х)
где через М (х) обозначены (как и в работе [61]) линейные комбинации компонент вектора д>,
а именно, ср{ =ф1 + ср2, сре2 = (Р1 - М2.
Определяя из системы интегральн^1х уравнений (63) линейные комбинации компонент вектора V (х), находим функции /1 (х) и /2 (х), и тем самым вектор V (х ) = (/1;/2) определен. Наконец для вектора т (х) из тех же условий (60) получаем выражение
Т (х) = А ( (х) - С1 (х)) - (Е + A^^*Гв0х2 V (х) - (Е - A))pD*12 V (х) . (64)
Очевидно, если с0 (х), с1 (х)е С[0,1] п С2 (0,1) то V(х) и т(х) будут принадлежать тому
же классу функций. Можно сформулировать утверждение.
Теорема 9. Пусть выполнены все условия относительно вида матриц в (бО), сформулированные при постановке задачи. Пусть с0 (x), с2 (x-є С[G,l]nС2 (0,1). Тогда единственное решение системы уравнений (44) в классе функций (У) существует в форме решения задачи Коши (48), где векторы v(x), т(x) определяются в (бЗ) и (б4)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов с исследованием тепло и массообмена // Инж.-физ. журн. 19б5. Т.9. №3. С.28У-З04.
2. БицадзеА.В. Уравнения смешанного тина // Итоги науки 2. М:Изд-во АН СССР, 1959. 134 с.
3. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arkiv Mat., Astr. och Fysik, №29.
В 25 А. 19ЗУ. Р. 1-23.
4. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 4BB с.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3 т. Т. 1. Гипергеометрическая функция. Функция
Лежандра. М.: Наука, 19УЗ. 29б с.
6. НахушевAM. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк 1995. 301 с.
У. НахушевА.М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений // ДАН СССР. 19У0. Т. 195. №4. С. 776-779.
B. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 19У1.
Т. У. №1. С. 49-5б.
9. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 19У1. Т. У. №1. С. ^B^Bl. lG. Нахушев А.М. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 19BG. Т. 1б. №9. С. 1б43-1б49.
11. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложе-
ния. Минск: Наука и техника, 198У. 6BB с.
12. Нахушев А.М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного тинов уравнений второго порядка. Эльбрус. Нальчик, 1992. 155 с.
13. Нахушева Ф.Б. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающихся гиперболических уравнений // Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения: Тез. докл. Всесоюзн. научн. конф-ции., Куйбышев, 198У. С. 10б.
14. Нахушева Ф. Б. Задача со смещением для уравнения параболо-гиперболического типа // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. восьмой межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 199B. С. B2-B3.
15. Нахушева Ф.Б. Задача тина Бицадзе-Самарского для смешанного нараболо-гинерболического уравнения // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. десятой межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2000. С. 11б-119.
16. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: КБНЦ РАН, 2GG2. lG2 с.
П. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1981. Т. П. №1. С. B1-9G.
1B. Кумыкова С.К., Бечелова К.Х. Краевая задача со смещением для уравнения Лыкова // Дифференц. уравнения. (матем. физика): Тез. докл. участн. Куйбыш. областн. межвуз. научн. совещания-семинара. Куйбышев: Пед. инт, 19B4. С. б5-бб.
19. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса // Нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования сложных систем. Сборник научн. трудов. Нальчик: КБГУ, 198б. С. ПО-Пг.
20. Кумыкова С.К. Задача тина задачи Бицадзе-Самарского для смешанного гинерболо-нараболического уравнения // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. десятой межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2000. С. 91-94.
21. Джунисов А. Т. Единственность решения одной краевой задачи для уравнения гиперболического тина с сильным вырождением // Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам. Сб. научн. трудов. Нальчик: КБГУ, 19B9. С. 9б-10З.
22. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного тинов. Самара: Изд-во Саратов. ун-та, Самар. филиал, 1992. 1б2 с.
23. Репин О.А. О задаче с оператором М. Сайго на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Мат. моделирование и краевые задачи. Тр. шестой межвуз. конф. Часть 2. Самара: СамГТУ, 199б. С. 8б-8У.
24. Репин О.А., Лощилин А.Е. Аналог задачи Нахушева-Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. десятой межвуз. конф. Самара: СамГТУ, 2000. С. 14б-149.
25. Репин О.А., Ефимова С.В. Нелокальная задача для параболического уравнения с нехарактеристической линией изменения тина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2002. № 1б. С. 10-14.
26. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: КБНЦ РАН, 2002. 144 с.
2У. Нахушев А.М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференц. уравнения. 19У4. Т. 10, №1. С. 100-111.
2B. Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик: КБГУ, 19У2. 145 с.
29. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. Душанбе: Дониш, 19бб. 49 с.
30. Коротков В.Б. Об интегральных уравнениях первого и третьего рода // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 19У8. С. б1-б8.
31. Коротков В.Б. Об общих интегральных уравнениях третьего рода // Дифференц. уравнения. 19У9. Т. 15. №б. С. 1G97-1105.
32. Нахушев А.М. Дробное исчисление и их применение. М.: Физматлит, 2003, 2У2 с.
33. Джрбашян М.М., Нерсеян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Известия АН АрССР, 19б8. Т. 3. №1. С. 3-29.
34. Tazali A.Z.-A.M. Local existence theorems for ordinary differential equations of fractional order // Lect. Notes Math. 19B2. Vol. 9б4. P. б52-бб5.
35. Чадаев В.А. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка // Известия КБНЦ РАН. Нальчик: КБНЦ РАН, 2002. №1(8). С. 12З-12У.
36. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: ИИЛ, 19б0. 299 с.
ЗУ. HilleE., Tamarkin J.D. On the theory of linear integral equation // Ann. Math. 1930. Vol. 31. P. 4У9-528.
3B. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 19бб. бУ2 с.
39. Псху А.В. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгейской (Черкесской) Международной академии наук. 2GGG. Т. 5. № l. С. 45-5З.
40. ВасильеваА.Б., ТихоновН.А. Интегральные уравнения. М.: МГУ, 19B9. 15б с.
41. Огородников Е.Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений типа Бицадзе-Лыков с инволютивной матрицей// Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. десятой межвуз. конф-ции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2000. С. 119-12б.
42. Kilbas A.A., Repin O.A., SaigoM. Solution in closed form of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type // Kyugpook. Mathematical Journal. 199б. Vol. Зб. №2. P. 2б1-2УЗ.
43. Saigo M., Repin O.A., Kilbas A.A On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type // International Jornal of Mathemat. and Statistical. 199б. Vol. 5. №1. P. 104-11У.
44. Репин О.А. Смешанная задача для нагруженного уравнения Геллерстедта с оператором Сайго в краевом условии // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2000. № 9. С. 13-18.
45. Гайсина Л.Р. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2001. № 12. С. 24-29.
46. Ефимов А.В. Нелокальная задача для уравнения смешанного тина с дробной производной // Мат моделирование и краевые задачи: Тр. тринадцатой межвуз. конф. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2003. С. б0-бб.
4У. Гайсина Л.Р. Решение краевой задачи со смещением для обобщенного волнового уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 2б. С. 11-15.
4B. Ефимов А.В. О краевых задачах с операторами М.Сайго для уравнения смешанного тина с дробной производной // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 2б. С. 1б-20.
49. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Применение матричных интегродифференциальных операторов в постановке и решении нелокальных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2G0I. № 12. С. 45-53.
50. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Некоторые краевые задачи с условием тина Бицадзе-Самарского для системы уравнений с оператором Бицадзе-Лыкова// Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. девятой межвуз. конф-ции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 1999. С. 3-11.
51. Огородников Е.Н., Арланова ЕЮ. Об одном аналоге оператора дробного интегрирования, его свойствах и применении// Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. Всероссийской научной конф-ции. Часть З. Самара: СамГТУ. 2004. С.1У0-1У5.
52. Огородников Е.Н. Корректность задачи Коши-Гурса для системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений в некоторых специальных случаях и ее равносильность задачам с нелокальными краевыми условиями// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 2б. С. 2б-З8.
53. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 19бУ. 5бУ с.
54. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа // Дифференц. уравнения. Сб. трудов матем. Кафедр пединст-ов РСФСР. Вып. 1б. Рязань: РГПИ, 19BG. С. 3-5.
55. Андреев А.А., Сеницкий АЮ. О задаче Коши для системы вырождающихся уравнений тина Лыкова // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 19BB.
С. 105- 10У.
56. Андреев А. А. О методе Римана для одной системы уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1981. С. 1З-1б.
5У. Андреев А. А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического тина: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1981. 100 с.
5B. Андреев А.А., Огородников Е.Н. О корректности задач Дарбу и Коши-Гурса для одной вырождающейся гиперболической системы// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой межвуз. конф-ции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 199B. С. 3-У.
59. Огородников Е. Н. О корректности некоторых нелокальных краевых задач для системы уравнений Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. девятой межвуз. конф-ции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 1999. С. 9У-102.
60. Огородников Е.Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений тина Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей// Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. десятой межвуз. конф-ции. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2000. С. 119-12У.
61. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Некоторые локальные и нелокальные аналоги задачи Коши-Гурса для системы уравнений типа Бицадзе-Лыкова с инволютивной матрицей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2002. № 1б. С. 19-35.
Поступила 14.01.2005 г.
