NAVIER-STOKES TENGLAMASINI KLASSSIK HAMDA KLASSIK BO‘LMAGAN YECHIMLARINI VA UNING O`ZIGA XOSLIGI Текст научной статьи по специальности «Биологические науки»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

NAVIER-STOKES TENGLAMASINI KLASSSIK HAMDA KLASSIK BO'LMAGAN YECHIMLARINI VA UNING OZIGA XOSLIGI

Maniyozov Oybek Azatboyevich,

TATU Farg'ona filiali assistenti maniyozovo@gmail .com

Annotatsiya: XX asrda Navier-Stokes 1930-yillarda Lerayning dastlabki tadqiqotlaridan so'ng, matematiklarning e'tibori tenglamalarga ortib bordi, unda bu tenglamalarning yechimlari yagona bo'lishi mumkinligi va bu turbulentlik bilan bog'liq bolishi mumkinligi taklif qilindi. Lerayning ishi XX asr funksional tahlilining sezilarli rivojlanishiga turtki bo'ldi va ko'pincha Navier-Stokes tenglamalar zamonaviy XX asr matematik tahlilining ikkita asosiy ajdodlaridan biri bo'lib, ikkinchisi Shrodingerning kvant mexanikasi tenglamasidir.

|| Kalit so'zlar: Navie-Stokes tenglamasi, operator, Green funksiya, Direxli chegara.

Kirish. Navier-Stokes tenglamalari suyuqliklar va gazlar kabi suyuq muhitlarning harakati va oqimini ifodalovchi asosiy matematik modellar hisoblanadi. Ular mexanikaning asosiy qonunlari, ya'ni massa saqlanishi (kontinuitet tenglamasi), impuls saqlanishi (Ikkinchi Nyuton qonuni) va energiya saqlanishiga asoslanadi.

Navier-Stokes tenglamalarining umumiy ko'rinishi quyidagicha:

Kontinuitet tenglamasi (massa saqlanishi):

dP + V(pu) = 0

dt

Bu yerda:

( p ): zichlik, ( u ): tezlik vektori, ( t ): vaqt.

Impuls saqlanishi (Navier-Stokes tenglamasi): ßu

p(— + (u -V) ■ u ) = -Vp + juS/2u + f dt

Bu yerda:

(p): bosim, ( д ): dinamik qovushqoqlik, ( f ): tashqi kuchlar vektori.

Energiyaning saqlanishi (ixtiyoriy). Bu tenglama ichki energiya va issiqlik o'tkazuvchanlikni o'z ichiga oladi, lekin barcha holatlarda qo'llanilmaydi.

Klassik yechimlar.

Klassik yechim Navier-Stokes tenglamalari

uchun:

- Uzluksiz va differensial bo'lishi kerak.

- To'liq suyuqlik harakatini ifodalashi lozim.

Oddiy misollar:

1. Quvurlarda laminar oqim (Poiseuille oqimi):

To'g'ri quvurdagi doimiy, qovushqoqlik ta'siridagi laminar oqim. Bu holat analitik yechimga ega va tezlik profili parabolik bo'ladi.

2. Yassi plastinka ustida chegaraviy qatlam:

Oqimning silliq plastinka ustida shakllanishi

chegaraviy qatlam teoriyasida ko'rib chiqiladi.

Klassik bo'lmagan yechimlar.

Klassik bo'lmagan yechimlar Navier-Stokes tenglamalari uchun quyidagi sabablar tufayli yuzaga keladi:

1. Tenglamalarning noaniqligi yoki cheksizlik:

Ba'zi holatlarda yechim uzluksiz emas,

singularlik yoki portlash nuqtalari mavjud. Masalan, turbulent oqimlarda bunday hodisalar kuzatiladi.

2. Numerik yondashuvlar:

Analitik yechim olish qiyin bo'lgan holatlarda Navier-Stokes tenglamalari sonli usullar (masalan, sonli differensiallash yoki cheklangan elementlar usuli) yordamida yechiladi.

3. Turbulent oqimlar:

Turbulent oqimlar Navier-Stokes tenglamalarining eng murakkab shakllaridan biri bo'lib, ko'pincha statistik yondashuv va model yordami bilan tahlil qilinadi (masalan, RANS yoki LES modellaridan foydalaniladi).

38

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

4. Chegara shartlari va simmetriya buzilishi: Ba'zi murakkab geometrik va chegaraviy shartlarda yechimlar noaniq bo'lishi mumkin. Qiyinchilik va ochiq masalalar Navier-Stokes tenglamalari uchun 3D holatda umumiy va silliq yechim mavjudligi yoki mavjud emasligi matematik nuqtai nazardan hali ham ochiq masala hisoblanadi (Navier-Stokes muammosi, Clay Institute Millenium Prize problemi).

Bu masala nazariy fizika va matematikada muhim o'rin tutadi, chunki bu tenglamalar tabiatning ko'p jihatlarini tushunishda asosiy rol o'ynaydi.

Yopishqoq, siqilmaydigan suyuqlik oqimining tenglamalarini XIX- asr boshlari va o'rtalarida taklif qilgan fransuz olimi (Klod Lui Mari Anri Navier) va ingliz olimi (Jorj Gabriel Stokes) sharafiga Navier-Stokes tenglamalari deb nomlanadi.

p(— + (u ■ V) ■ u) = -Vp + juV2u + f dt (1)

Au = 0

(2)

bu yerda p - suyuqlikning zichligi (ma'lum konstanta sifatida qabul qilinadi);

u=( U1,U2,U3)AT tezlik vektori , p suyuqlik bosimi; ц qovishqoqlik, va f tana kuchi. d/dt Eyler mos yozuvlar tizimi nuqtai nazaridan suyuqlikning Lagranj yoki umumiy tezlanishini ifodalovchi muhim hosila; V - gradient operatori; Д - Laplas, va V* ajralish operatori. Ushbu tenglamalarning birinchisi (u uch komponentli vektor tenglamasi) faqat Nyutonning suyuqliklarda qo'llaniladigan ikkinchi harakat qonuni - chap tomoni massa (hajm birligiga) tezlanishga, o'ng tomoni esa unga ta'sir qiluvchi kuchlarning yig'indisiga ten suyuqlik elementi. Tenglama (2) doimiy zichlikdagi oqim kontekstida oddiygina massa saqlanishidir.

Navier-Stokes tenglamalari bo'yicha qilingan tadqiqotlar keng qamrovli va turli sohalarni o'z ichiga oladi. Ushbu tadqiqotlar asosan matematik nazariya, fizik modellashtirish, numerik yechimlar va amaliy dasturlash yo'nalishlarida rivojlangan. Quyida ushbu sohada olib borilgan asosiy tadqiqot yo'nalishlari va ularga oid muhim ishlar bayon qilinadi: Adabiyotlar tahlili va metodlar.

Tenglamalarning rivojlanishi va dastlabki tadqiqotlar

Tarixiy tadqiqotlar:

C.L. Navier (1822) va G.G. Stokes (1845):

Tenglamalarning asoslari ilk bor Navier va Stokes tomonidan rivojlantirildi. Ular suyuqliklarning mikroskopik (molekulyar) xususiyatlarini o'rganib, klassik qovushqoqlik modelini taklif qilishdi. Oylardagi turg'un va laminar oqimlar (Poiseuille va Couette oqimlari): XIX asrda yassi va quvurli oqimlarda analitik yechimlar taklif qilindi.

Matematik nazariya va mavjudlik masalalari

Mavjudlik va silliqlik tadqiqotlari:

Leray (1934): Navier-Stokes tenglamalari uchun zaif yechimlar kontseptsiyasini kiritdi va ularning mavjudligini ko'rsatdi. Bu turbulent oqimlarni tahlil qilish uchun muhim qadam bo'ldi.

Ladyzhenskaya (1960): Tenglamalarning nazariy xossalarini tahlil qildi va zaif yechimlarni takomillashtirish usullarini taklif etdi.

Fefferman (2000): 3D Navier-Stokes tenglamalari uchun global silliq yechimning mavjudligi yoki yo'qligi muammosini aniqlab, uni Millenium Prize muammolaridan biri sifatida ko'rsatdi.

Cheklangan holatlarda yechimlar:

2D holatlarda Navier-Stokes tenglamalari uchun global va silliq yechimlar mavjudligi isbotlangan. 3D holatda esa yuqori turbulentlik va singularliklar yechimlar mavjudligini matematik nuqtai nazardan murakkablashtiradi.

Ochiq masalalar va hozirgi tadqiqotlar yo'nalishi

Fundamental masalalar:

3D Navier-Stokes tenglamalari uchun global yechim mavjudligi.

Turbulent oqimlarni to'liq matematik modellashtirish.

Zamonaviy yo'nalishlar:

Sun'iy intellekt va mashinaviy o'rganish: Oqimlarni simulyatsiya qilish uchun sun'iy neyron tarmoqlar va algoritmlar qo'llanilmoqda.

39

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Quantum Computing: Navier-Stokes tenglamalarini yechishda kvant kompyuterlardan foydalanish imkoniyatlari o'rganilmoqda.

Navier-Stokes tenglamalarining matematik

tahlili

Shunisi qiziqki, Navier tenglamalari (1) 1822 yilda qo'shni molekulalarning tortishish va itarish ta'sirini o'z ichiga olgan juda fundamental jismoniy asosda, lekin oxir-oqibat yopishqoqlik sifatida qabul qilingan koeffitsientda fizikani aniqlamadi. Darhaqiqat, molekulyar o'zaro ta'sirlarning ta'siri qandaydir tarzda yopishqoqlikka ekvivalent sifatida ko'rib chiqilishi mumkin, lekin doimiy gipoteza ekanligini unutmaslik kerak. Boltsman tenglamasidan aslida (xususan, Navier-Stokes tenglamalari) kamroq fundamental tenglamalar kontekstida suyuqlik oqimining tahlilini oqilona qilish uchun talab qilinadi. 1845 yilda Stokes tomonidan ishlab chiqarilgan narsa yopishqoqlikka birinchi bo'lib aniqlik kiritdi.

XX asrda Navier-Stokes 1930-yillarda Lerayning [2, 3] dastlabki tadqiqotlaridan so'ng, matematiklarning e'tibori tenglamalarga ortib bordi, unda bu tenglamalarning yechimlari yagona bo'lishi mumkinligi va bu turbulentlik bilan bog'liq bo'lishi mumkinligi taklif qilindi. Lerayning ishi XX asr funksional tahlilining sezilarli rivojlanishiga turtki bo'ldi va ko'pincha Navier-Stokes tenglamalar zamonaviy XX asr matematik tahlilining ikkita asosiy ajdodlaridan biri bo'lib, ikkinchisi Shrodingerning kvant mexanikasi tenglamasidir. Lerayning ishidan keyin Ladijenskaya [4] (birinchi marta ingliz tilida 1963 yilda nashr etilgan) ning asosiy hissasi bo'lib, u Navier-Stokes tenglamalarini tahlil qilish uchun asosiy yo'nalish va natijalarni taqdim etdi. 1970-yillarning boshidan boshlab suyuqlik harakati tenglamalarini, ya'ni dinamik tizimlar sifatida ancha boshqacha va zamonaviy ko'rinishga olib kelgan ko'plab ishlar paydo bo'la boshladi. Ulardan eng mashhuri, ehtimol Ruelle va Takens [5] bo'lib, unda Navier-Stokes tenglamalari suyuqlikning turbulent harakatini tasvirlashga qodir, bunday harakat tasodifiy emas, aksincha tartibsiz va dinamik tizim oqimining antiqa jalb qiluvchisi (Navier-Stokes tenglamalar) bilan bog'liq.

Shunisi qiziqki, Navier-Stokes tenglamalarning bu ko'rinishi ma'lum ma'noda Lorenzning 1963 yildagi raqamli ishida va 1960-yillarning oxiri va 70-yillarning boshlarida Orszag va Pattersonning turbulentlikni to'g'ridan-to'g'ri raqamli simulyatsiyasi (DNS) bo'yicha dastlabki urinishlarida nazarda tutilgan edi. So'nggi yillarda u Ladyzenskaya [8, 9], Temam [10] - [12], Konstantin va Foyas [13] va boshqa ko'plab narsalardan boshlangan Navier-Stokes tenglamalari bo'yicha ko'plab ishlar uchun kontekstni taqdim etdi. So'nggi paytlarda Navier-Stokes tenglamalari bo'yicha bir qator yangi monografiyalar nashr etildi. Bularga Doering va Gibbonning [14] ishi va Foias va boshqalarning eng dolzarb jildlari kiradi. [15]

Natijalar:

Klassik yechimlar. Kuchli yechimlarni yaxshiroq tushunish uchun qisman differentsial tenglamalar va ularning (klassik) yechimlariga oid ba'zi umumiy ma'lum faktlarni eslash foydali bo'lishi mumkin. P(*) umumiy qisman differensial operatorni belgilaymiz, ularning umumiy misollari issiqlik, to'lqin va Laplas operatorlaridir; P bularning har biri uchun mavhum belgi bo'lishi mumkin, balki Navier-Stokes operatori kabi umumiy operatorlar uchun ham. Dastlabki ishlov berishni aniqroq qilish uchun P ni issiqlik operatori sifatida qabul qilamiz:

ô ô2

(3)

bu yerda k > 0 - issiqlik tarqalishi, bu erda doimiy deb hisoblanadi.

Agar biz endi fazoviy domenni, boshlang'ich va chegara ma'lumotlarini, aniqlasak biz ushbu operator bilan bog'langan yaxshi qo'yilgan muammoni yaratishimiz mumkin. Masalan, fazoviy soha Q = R1 bo'lsa , keyin chegara shartlari yo'q berilishi kerak va to'liq issiqlik tenglamasi masalasini quyidagicha ifodalash mumkin

du , d u

-= k-:

dt dx

— = ,x G Q = (-œ;œ)

(4)

u(x, 0) = u0 (x), x g Q

(5)

40

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 I Son: 4 I 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

uo( x )

ga dastlabki ma'lumotlar

Bu yerda berilgan.

Bu muammoning klassik yechimi tenglamani

qanoatlantiradi. (4) Vt> 0 va uo(x) at t = 0 • VxEQ. bilan mos keladi. Buning to'g'ri bo'lishi uchun (bunday yechim mavjud bo'lsa) vaqtga nisbatan uEC1 va uEC2 bo'lishi kerak. fazoviy koordinataga nisbatan; ya'ni, C1(0, œ) x C2(Q )) Yuqorida ta'kidlaganimizdek, Navier-Stokes tenglamalarning zamonaviy ko'rinishi, dinamik tizim bo'lib, bu nuqtai nazarni issiqlik tenglamasining yaxshi tushunilgan kontekstida joriy etish maqsadga muvofiqdir. Qattiq bo'lmagan dinamik tizim vaqt o'tishi bilan evolyutsiyaga uchragan har qanday narsadir va tenglamalar aniq. (4), (5) ushbu tavsifga mos keladi. Vaqtinchalik xatti-harakatlarga urg'u berilganligi sababli, dinamik tizimlarni mavhum shaklda ifodalash odatiy holdir.[16]

du cv ч d = F (u ),

u (o) = u0

(6)

F (fazoviy) qisman differentsial operator bo'lishi mumkin bo'lsa ham, u ham fazoviy koordinataga bog'liq.

Bu yechimning biroz boshqacha, ammo ekvivalent ko'rinishiga va u a'zosi bo'lgan funksiya bo'shliqlari bilan bog'liq mos yozuvlarga olib keladi. Ya'ni, biz tenglama haqida o'ylashimiz mumkin. (6) kabi mavhum ravishda o'ng tomonga mos keladigan funktsiyalar maydonidan xaritalashni ta'minlash, ya'ni C2(fi) hozirgi holatda, chap tomondagilarga C!(0, ro), va buni quyidagicha belgilaymiz

u(t) e C1(0,C2(Q)) (7)

Ushbu belgi davomiy qismda keng qo'llaniladi, shuning uchun u nimani anglatishini tushunishga arziydi. So'z bilan aytganda, u (t) musbat real chiziqda vaqt bo'yicha bir marta uzluksiz differensiallanuvchi funktsiyadir va (fazoviy) Q sohasida ikki marta doimiy differentsiallanuvchi funktsiyalardan xaritalash sifatida olinadi. Klassik yechimlar kontekstida osongina namoyish etiladigan so'nggi terminologiya qismi bu yechim operatori. PDE elementar nazariyasidan eslasak (4) aniq yechimga ega[17]

u( x; t ) =

1

44nkt -V(x, t) e (-да; да) x (o, да)

да

J uo(g)e

-( x-g)2 4kt dg

(8)

ko'rinib turibdiki, bu chiziqli transformatsiya bo'lib, uo boshlang'ich ma'lumotlarini har qanday belgilangan keyin PDE ning yechimiga va Q muammo sohasining barcha fazoviy joylariga moslashtiradi. Bunday xaritalash yechim operatori deyiladi.

u (t ) = S (t )uo (9)

(9) xozirgi paytda juda keng qo'llaniladi. Bu t vaqtini tanlashga, uni yechim operatorining yadrosiga

- ( x-g)2

e

4 kt

ga almashtirish va barcha kerakli fazoviy joylar x uchun integralni baholashga mos keladi. (9) tenglamadagi kabi x belgisini bostirish ma'lum darajada yuqorida tavsiflangan dinamik tizim nuqtai nazari bilan bog'liq bo'lishi mumkin. Biz ta'kidlaymizki, (8) ni chiqarish elementardir, lekin bu muhimdir, chunki uning shakli muammoni hal qilishning muntazamligini (ya'ni, silliqligini) aniq tahlil qilish va xususan hal etishning haqiqatan ham yetarli darajada silliq ekanligini aniqlash imkonini beradi. Bu esa yuqorida ko'rsatilgan ma'noda yechimni klassikligini ifodalaydi.

Klassik bo'lmagan yechimlar Zaif yechim tushunchasi qisman differensial tenglamalarning zamonaviy nazariyasida eng muhimlaridan biri hisoblanadi - asosan, nazariya bu g'oyasiz mavjud bo'lolmaydi. Bu birinchi marta Leray tomonidan Navier-Stokes tenglamalari bo'yicha tadqiqotlarida kiritilgan, ammo biz uni bu yerda birinchi navbatda umumiy mavhum (oddiyroq) ko'rinishda taqdim etamiz va keyinroq uni Navier-Stokes tenglamalar uchun qo'llaymiz.

Kuchsiz yechim atamasi asosidagi asosiy g'oya bu yechimni tenglamaga almashtirish uchun zarur bo'lgan differentsiatsiyalarga imkon beradigan darajada muntazam bo'lmagan differensial tenglamaning yechimidir[18]. Ushbu silliqlikning yetishmasligi fi domenining faqat kichik-kichik to'plamlarida paydo bo'lishi mumkin yoki u deyarli barcha fi uchun mavjud bo'lishi mumkin. Har holda

41

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

yechim sohasining klassik ma'noda differensial tenglamani qanoatlantirish uchun yetarlicha vaqt ajrata olmaydigan qismlari bo'ladi. Biz Puasson tenglamasini birlik kvadrat Q ning ichki qismidagi Dirixle shartlari bilan ko'rib chiqamiz Q chegarasida, 3Q bilan belgilangan:

Au = f (x, y) g (0,1) X (0,1) = Q (10)

u(x,У) = g(x, У),(x У) GdQ (и) buni osongina tekshirishimiz mumkin

13 2 3

f (x,y) = —л sinnxsin — ny,V(x,y) gQ

4 2 (12)

Keying

funksiya

3

u( x, y) = - sin nx sin — л y

y = 0, y = 1

(13)

dan tashqari, bu erda

ya'ni

g = sin лх , ö amal qiladi.

Lekin bunday chegaraviy shartni belgilash

uchun sabab yo'q. Darhaqiqat, biz keyinchalik Navier-

Stokes tenglamalar uchun muammo bilan ishlaymiz.

y=1 dan tashqari barcha 3Q bo'yicha g=0 bo'lgan, bu

yerda g=1

1.1-rasm. Puasson tenglamasi uchun ikkita chegaraviy shart topshiriqlarini solishtirish

Bu ikki xil chegara ma'lumotlari y=1 da Cœ bo'lishi mumkinligini ta'kidlash uchun ko'rsatilgan (chegara shartlarining bir to'plamiga ega klassik) yechim boshqa chegara ma'lumotlar to'plamidan foydalanilganda chegara yaqinida kamroq muntazam yechimga aylanadi[19]. Buning ma'nosi shundan iboratki, bu bilan Puasson tenglamasi uchun ikkita chegaraviy shart topshiriqlarini solishtirish. Tenglamada bir jinsli bo'lmagan f funktsiya. (10) (12)

shaklida berilgan bo'lsa, Q ning ichki qismidagi yechim (13) da berilgan bo'lishi kerak. Ammo bu yechim yuqorida ko'rib chiqilgan ikkinchi chegara shartlariga to'g'ri kelmaydi[20]. Q ning yuqori chegarasidagi g=1 chegara qiymati va g=1 chegara qiymati bilan hosil bo'lgan ichki yechim o'rtasidagi bu nomuvofiqlik mos kelmaslik shaklidir, lekin yuqorida aytib o'tilganidek buning oldini olish uchun (10, 11) muammoning f va g o'rtasida bog'liqlik mavjudligini kutish uchun hech qanday sabab yo'q. Umuman olganda, bu ikki funksiya butunlay mustaqil ravishda belgilanadi, shuning uchun yuzaga kelishi mumkin b o 'lgan silli q bo'lmagan yechimlar ehtimolini topish uchun etarlicha umumiy bo'lgan nazariyaga ega bo'lish kerak.

(9) muammoning yechimlari silliq bo'lishi shart emasligini tan olishning qo'shimcha usuli mavjud

u(x y) = A-lf (x y) = J q f (£r)G(x y I £r)d£dr (14)

Bu yerda G(|) - (bir hil) Direxli chegara shartlariga ega bo'lgan ikki o'lchovli Laplas uchun Grin funktsiyasi (masalan, Grin funksiyalarini qurish uchun Stakgold va f - asl o'ng qo'l (11) tenglamada yon funksiya f (10) tenglamaning bir jinsli bo'lmagan chegara ma'lumotlarini differensial bir jinsliligiga aylantirilishini hisobga olish uchun o'zgartirildi)

Avval ushbu tenglamaga e'tibor bering. (14) yechim operatorining ikkinchi misolini taqdim etadi, endi faqat bir xillik va chegara ma'lumotlariga ta'sir qiladi. Ammo terminologiya ilgari muhokama qilingan vaqtga bog'liq muammolar kontekstida kengroq qo'llaniladi. Shu munosabat bilan biz tenglamadagi yechim operatorining yadrosini ham qayd etamiz. (8) ko'pincha vaqtga bog'liq bo'lgan xatti-harakatlar bilan bog'liqligini ta'kidlash uchun sabab Green funktsiyasi deb ataladi.

(10,11) muammoning yechimining mavjudligi,

hatto f L dagi bo'lishdan silliqroq bo'lmasa ham, L2 (Q) nazarda tutadi. Bu hech qanday silliqlikni, hatto odatiy ma'noda davomiylikni ham kafolatlamaydi. Masalan, funksiya tomonidan aniqlanganligi osongina tekshiriladi

42

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Biz shuni ta'kidlaymizki, uGH2 Дu aniq yechimning mavjudligini nazarda tutadi, klassik yechim emas.

Navier-Stokes tenglamalarining klassik va klassik bo'lmagan yechimlari haqida umumiy xulosa

Navier-Stokes tenglamalari suyuqlik va gazlarning harakatini tavsiflovchi asosiy matematik modellar bo'lib, ularga nisbatan klassik va klassik bo'lmagan yechimlar nazariyasi shakllangan. Ushbu ikki yo'nalish tenglamalarni turli sharoitlarda yechish uchun zarur yondashuvlarni belgilaydi.

Klassik yechimlar: Tavsifi va xususiyatlari

Ta'rifi: Klassik yechimlar uzluksiz, differensial bo'luvchi va barcha kerakli shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlardir. Bu yechimlar, odatda, matematik jihatdan yaxshi aniqlangan va fizikaviy xulq-atvorni to'liq ifodalaydi.

Xususiyatlari:

Silliqlik: Yechim barcha nuqtalarda differensialga ega.

Analitik yechim: Oddiy geometrik holatlar va laminar oqimlar uchun analitik yechimlar mavjud (masalan, Poiseuille oqimi yoki Couette oqimi).

Qo'llanish sohalari: Past Reynolds soni va oddiy chegaraviy shartlarda ishlatiladi.

Cheklovlari:Yuqori turbulent oqimlar yoki murakkab geometriyalarda qo'llash qiyin. 3D holatda klassik yechimlarning global mavjudligi isbotlanmagan (Millenium Prize muammosi).

Klassik bo'lmagan yechimlar: Tavsifi va xususiyatlari

Ta'rifi: Klassik bo'lmagan yechimlar uzluksiz yoki differensial bo'lmasligi mumkin, lekin ular zaif yoki statistik ma'noda tenglamalarni qanoatlantiradi. Bu yondashuv turbulentlik kabi murakkab hodisalarni modellashtirish uchun qo'llaniladi.

Xususiyatlari:

Zaif yechimlar: Yechimlar integrallash yoki statistik yondashuv orqali aniqlanadi (masalan, Leray zaif yechimlari).

Turbulent oqimlar: Navier-Stokes tenglamalarining klassik bo'lmagan xususiyatlari turbulent oqimlar va energiya tarqalishini modellashtirishda asosiy rol o'ynaydi.

Sonli yondashuvlar: Murakkab geometrik va fizik holatlar uchun sonli usullar va statistik modellar ishlatiladi (RANS, LES va DNS kabi).

Afzalliklari: Murakkab va real dunyo sharoitlarini modellashtirish imkonini beradi. Yuqori Reynolds sonli oqimlar va turbulentlik holatlarini tadqiq etishga mos keladi.

Cheklovlari: Singularlik va noaniqliklar paydo bo'lishi mumkin. Fizik interpretatsiyasi ko'pincha qiyin bo'ladi, chunki ularning matematik jihatdan yaxshi aniqlanganligi kafolatlanmagan.

Klassik va klassik bo'lmagan yechimlarning solishtirishi

Xususiyatlar

Matematik aniqlik

Fizik qo'llash

Geometriya murakkabligi

Analitik imkoniyat

Cheklovlar

Klassik yechimlar

To'liq va differensial

Oddiy laminar oqimlar

Oddiy

geometrik

sharoitlar

Analitik

yechimlar

mavjud

3D holatda

global

mavjudlik

masalasi

ochiq

Klassik

bo'lmagan

yechimlar

Zaif yoki statistik

Turbulent oqimlar va murakkab hodisalar

Murakkab geometriya va chegaraviy shartlar Ko'pincha sonli usullar talab

qilinadi

Singularlik va statistik

interpretatsiyaga ehtiyoj

Xulosa

Klassik yechimlar laminar va oddiy oqimlarni tushunishda muhim bo'lib, fizik va matematik aniqlikni ta'minlaydi. Ammo ular murakkab sharoitlarni modellashtirishda cheklangan.

Klassik bo'lmagan yechimlar turbulentlik va real dunyo hodisalarini tahlil qilishda muhimdir, ammo matematik va fizik noaniqliklarni keltirib chiqaradi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR:

1. Lectures in Computational Fluid Dynamics of

Incompressible Flow: Mathematics,

43

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

Algorithms and Implementations, James M. McDonough University of Kentucky 2007.

2. P. J. Roache. Computational Fluid Dynamics. Hermosa Publishers, Albuquerque, NM, 1972.

3. J. Leray. Etude de diverses équations intégrals non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique. J. Math. Pures Appl. 12, 1-82, 1933.

4. J. Leray. Essai sur les mouvemnts d' un liquide visqueaux que limitent des parois. J. Math. Pures Appl. 13, 331-418, 1934.

5. O. Ladyzhenskaya. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, revised English edition (translated from the Russian by Richard A. Silverman). Gordon & Breach, New York, 1963.

6. D. Ruelle and F. Takens. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20, 167- 192, 1971.

7. E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 20, 130-141, 1963.

8. S. A. Orszag and G. S. Patterson. Numerical simulation of turbulence: statistical models and turbulence, Lecture Notes in Physics 12, 127147, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

9. O. Ladyzhenskaya. A dynamical system generated by the Navier-Stokes equations. J. Soviet Math. 3, 458-479, 1973.

10. O. Ladyzhenskaya. Attractors for Semigroups and Evolution Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

11. R. Temam. Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, North- Holland Pub. Co., Amsterdam, 1979. (new edition published by Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001)

12. R. Temam. Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, Soc. Indust. Appl. Math., Philadelphia, 1983. (2 2A"nd " edition published by SIAM, 1995)

13. R. Temam. Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, SpringerVerlag, New York, 1988.

14. P. Constantin and C. Foias. Navier-Stokes Equations, University of Chicago Press, Chicago, 1988.

15. C. R. Doering and J. D. Gibbon. Applied Analysis of the Navier-Stokes Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

16. C. Foias, O. Manley, R. Rosa and R. Temam. Navier-Stokes Equations and Turbulence, Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

17. Nasriddinov, O., Abdullayev, J., Jo'rayeva, D., Botirova, N., Maniyozov, O., & Isomiddinova, O. (2024, November). In biology, solving a problem coming to a differential equation in the maple program. In E3S Web of Conferences (Vol. 508, p. 04006). EDP Sciences

18. Маниёзов, О. А. (2023). Используйте алгоритм фурье для решения линейной задачи для нелинейного уравнения гиперболического типа. Новости образования: исследование в XXI веке, 2(14), 229-233.

19. Маниёзов, О. (2023, October). Применение преобразования фурье при решении краевой задачи для нелинейного уравнения гиперболического типа. In Conference on Digital Innovation:" Modern Problems and Solutions".

20. Saidov, M., & Maniyozov, O. (2023, November). Oddiy diffеrеnsial tеnglama uchun bir umumlashgan chеgaraviy masala haqida. In Conference on Digital Innovation:" Modern Problems and Solutions".

44