MURAKKAB SHAKLLI, HAJMLI JISMLARNING ELASTOPLASTIK DEFORMATSIYASINING MATEMATIK MODELLARINI QURISH Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

MURAKKAB SHAKLLI, HAJMLI JISMLARNING ELASTOPLASTIK DEFORMATSIYASINING MATEMATIK MODELLARINI QURISH

Rasulmuxamedov Maxamadaziz Maxamadaminovich,

fizika-matematika fanlar nomzodi, dotsent Toshkent davlat transport universiteti, prof.rasulmukhamedov@gmail .com

Shukurova Shohsanam Bahriddin qizi,

Toshkent davlat transport universiteti tayanch doktoranti, [email protected]

Mirzaeva Zamira Maxamadazizovna,

Toshkent davlat transport universiteti katta

o'qituvchisi, zmirzaeva83@mail .ru

Annotatsiya: Murakkab shaklli hajmli jismlarning elastoplastik deformatsiyasining matematik modellarini qurishni uch o'lchovli dekart koordinatlar tizimida ko'rib chiqilgan. Qurilgan tenglamalar tizimlarini statik va dinamik masalalarda chekli ayirma, chekli elementlar yoki Vlasov-Kantorovich uslullari yordamida algebraik yoki oddiy differensial tenglamalar tizimiga olib kelish ko'rib chiqiladi. Izoparametrik papallepiped shaklidagi 8 tugunli chekli elementlarga asoslangan sxemalarning variantlari ko'rib chiqiladi.

II Kalit so'zlar: chekli ayirma, chekli element, Vlasov-Kantorovich usuli, algebraik tenglamalar tizimi

Kirish. Chekli elementlarning nisbiy holatining olingan sonli yechimlar sifatiga ta'siri amalda kam o'rganilgan, garchi bunday ta'sirning o'zi ma'lum. Hisoblash elementlarini muvaffaqiyatli tartibga solish tufayli raqamli sxemalarning yaqinlashishi va yaqinlashishini yaxshilash mumkin. [1] [2] ishlarda variatsion tenglamalarni (jumladan, chekli element usullari sxemalarini) yaqinlashtirishga asoslangan uch o'lchovli ochiq ish sxemalarini qurish va ulardan foydalanish tamoyillari ko'rsatilgan. Bunday sxemalarning asosi chekli elementlarning ochiq to'rlari bo'lib, uni an'anaviy izoparametrik papallepiped shaklidagi bir qismini olib tashlash orqali olish mumkin. Bunday holda, hisoblash katakchalari soni uch yoki undan ko'p marta kamayishi mumkin. Bu, o'z navbatida, jismning kuchlanish-deformatsiya holatini hisoblashda ma'lumotlarning takrorlanishini olib tashlash orqali muammolarni hal qilish uchun zarur bo'lgan vaqtni sezilarli darajada qisqartirish imkonini

beradi. Bu, yuqorida qayd etilganlar bilan bir qatorda, tenglamalar tizimini yaratish vaqtini qisqartiradi. Masalani qo'yilishi.

Hozirgi vaqtda tenglamalarni taqribiy yechishda keng qo'llanilayotgan eng universal va samarali usullardan biri chekli ayirma usuli va Vlasov-Kantorovich variatsion metodidir.

Bu holda har bir element uchun Ostragradskiy-Gamilton variatsion tenglamasini quyidagicha yozish

mumkin:

h _ S J(J(p[R]dv){g}3 - (J[B][D][B]dV){g}5 - (J[B]'[D]m[B]dV){g}3 + J[N]'{P}dS}dt = 0

f, v V V S5

(11)

yoki belgilashni kiritish orqali [ AU ]э = ( J [ B][ D][B]dV )

V 5

[ AP ]5 = ( J [ B][ D]rn[ B]dV )

V 5

{F }5 = J [ N ]{P}dS

S 5

59

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

bunda

[AU]e - elastik element bikrlik matritsasi;

[AP]e - bikrlik matritsasiga plastik element qo'shimcha;

{F}e - tugun kuchlar vektori.

Z{f у

bu yerda э i -tugunda tutashuvchi

barcha elementlarning kuch komponentalari yig'indisi. Ko'rinib turibdiki, yig'indiga faqat i -tugunni o'z ichiga olgan elementlar hissa qo'shadi. Endi barcha tenglamalar yig'indisini birlashtirib, umumiy tizimni quyidagi shaklda yozishimiz mumkin:

([AU]-[AP]){G}={F}, (2)

(1)-(2) masalani yechish uchun birinchi navbatda Vlasov-Kantorovich usulini qo'llaymiz, ushbu ko'rinishdagi ko'chishlarni ifodalaydi.

Ui = Ui 0( XP ^ Xp ') + Z Uj ( X3 , ' )fij ( X, x2 )

j=1

(3)

Bu yerda

{ut0(x1,x2,x3, t) — oldindan berilgan funksiyalar utj(x3,t) — qidirilayotgan funksiya fij(x1,x2) — chiziqli — bog'liq bolmagan funksiyalar ketma — ketligi

chegara shartlarini qoniqtirish (1). Oddiy diferensial va algebraik tenglamalar tizimiga keltirish.

Kuchlanish va deformatsiyalar, deformatsiyalar va ko'chishlar o'rtasidagi munosabatlardan foydalanib, berilgan jismning holati tenglamalarini quyidagicha

ifodalash mumkin:

3 д 3

PU> = Z^ ("jHVj) + Z H (a jaj-aj^jj ) + Pfl (i = 1,2,3)

j=1 dxj j=1

i# j

(4)

Sp va Su sirtdagi chegaraviy shartlarga mos ravishda

(0"j. )^ujl = 0

(i,j=1,2,3) (5)

va boshlangich shartlar bilan

u,. I = ( , U,. I = wf

i t — t ' i 7 i t—t ' i u =¿0 "='0

(6)

(i=1,2,3)

Ko'chish (3) ko'rinishini (4) ga va natijani

¿T = -J [pZ ^ U ]dV

7=1 dt

3 3

¿I = J[ZZ^jtej ]dV

v i=1 j

3 3

¿A = JZ P^dV + JZ q.Su.dS

(7)

(8) (9)

(p -material zichligi)

(7) - (9) ga qo'yamiz, so'ngra kuchlanishlar, deformatsiyalar va ko'chishlar komponentlari, koordinata funksiyalari orqali ifodalanadi. Ostrogradskiy-Gamilton tamoyili (1) va

'-П +

¿J (T - П + A)dt = 0

ni hisobga olgan holda x1,x2 o'zgaruvchilari ustida integrallashni amalga oshirib, olamiz

X3,c x3 =x3,c

J'2{ J"[RYtt^F + (AYx + BY + Q1) + (DYx3 + EY + Q2)5Y]dx3 - = 0

X3,° X3 =X3,0

(10)

bunda

Aj = {SklAklv}, Rj = {SklRkhj}, Bj = {Bklj}, Dj = {Dj Ej = {Ещ},

uu Qk ,1,i

у = Y}, Qk = Ш, Y =■ U2,i -, Qki = ■ Qk ,2,i

U3,i Qk ,3,1

> (k,l = 1,2,3; i, j = 1, N0)

Bl,2,i, j , B2,1,i, j , D\,2,i, j , D 2,1,i, j —

nol

va

matritsalar.

X3 o'zgaruvchisi uchun to'rtburchaklar [2] formulasidan foydalanib, Yk+0.5 =0.5(Yk+1 +Yk ) faraz qilib, variatsion tenglamani (10) ko'rinishga keltiramiz.

(Yk+1 + Yk (Yk+1 - Yk )- (Yk+1 + Yk )

j'2 z{-rk+0.5^+ [a

h

+ Bk

2

ГЛ Л Я (Yk+1 Yk) . г П (Yk+1 Yk) . 77 (Yk+1 + Yk)

Q1,k+0.5 \d-;- + [Dk+0.5 -:- + E k+0.5 ■

Q 2,k+0.5

h2 (Y+1 + Yk )}dt + J2 Qd'M =x3c = 0

(11)

bu yerda M - X3 o'zgaruvchi yo'nalishidagi oraliqlar soni,

h - oraliq qadamining uzunligi.

60

k+0.5

+

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

5Y

k koyeffitsiyentlarini nolga tenglashtirib, biz oddiy differensial tenglamalar tizimini olamiz (dinamik masalalarda)

- RY - BkYk-i + CkYk - DkYk+i = gk(t) (12)

boshlangich ma'lumotlar bilan

"Y " " 0 Г

, Ф -

Y - A 0

Yk (to) Yk (to) = ¥o (k = 0,M).

(13)

Ikkinchi tartibli (12) differensial tenglamalar tizimini quyidagi ko'rinishga keltiramiz [3]

Z - Ф2 + b (14)

Boshlangich shartlari bilan

Z - Z 0

lt=to 0 (15)

Bunda

Z =

Tenglamalarni yechish uslublari

So'nggi o'n yillarda ichida CHEU murakkab konfiguratsiya jismlarini hisoblashning eng keng tarqalgan usullaridan biriga aylandi. Bu amaliy jihatdan har qanday murakkablikdagi muammolarni ushbu usul bilan modellashtirish mumkinligi bilan izohlanadi, ya'ni. jismlarning ixtiyoriy chegaraviy shartlari va konfiguratsiyasi natijasida juda yuqori tartibli tenglamalarni yechish tizimlari yoki bu yuqori tartibli algebraik tenglamalar tizimini yechish bilan bog'liq bo'lib, uni kompyuter texnologiyalari imkoniyatlarini rivojlantirish bilan hal qilish mumkin .

Asl muammoning (4) variatsion formulasini quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

t2 3 Я 2 u 3 3 3 3

s\(-J[p£—r U]dV-\[YZ°,Ss,]dV + JS PSu.dV + JS q.^.dS )dt = 0

. » 1-1 "t v '-1 j# v i-1 I i-1

(16)

Chekli elementlar usulida ma'sul bosqichida berilgan jismni chekli elementlarga diskretlashtirish (bo'lish) va jismning tugun nuqtalarida kerakli ko'chishlarni taxmin qilish uchun ishlatiladigan shakllar funksiyasini qurishdir. Odatda, berilgan jism bloklarga bo'linadi, keyin esa ular chekli elementlarga

bo'linadi. Aynan jismni bloklarga bo'lishda o'rganilayotgan jismning barcha xususiyatlarini hisobga olish kerak, masalan, bloklarning chegaralari geometriyasi, material xususiyatlari yoki qo'llaniladigan yuklar o'zgargan joyda o'tishi kerak. Bloklarni birlashtirishga hajmlar, sirtlar, chiziqlar va nuqtalarning oddiy iyerarxiyasini o'rnatish orqali erishiladi. Natijada, uch o'lchovli jism o'zaro bog'langan hajmli elementlar tizimi sifatida ifodalanadi, ularning chegara sirtlari chegara chiziqlari bo'ylab kesishadi va chiziqlar, o'z navbatida, nuqtalarda (tugunlarda) kesishadi [4].

Tuzilishi tugunlardagi o'zgarishlarga bog'liq bo'lishi mumkin. Shuning uchun, matritsalarini lenta tuzilishini olish uchun jismning chekli elementlar modelining tugunlarini raqamlash uchun ma'lum qoidalarga rioya qilish kerak. Agar matritsa lentasi sonini kengligini kamaytirish kerak bo'lsa, siz frontal usuldan foydalanishingiz mumkin [5].

Chekli elementla usulini qo'llash amaliyotini ko'rib chiqilgan va tahlil qilish ko'rsatilgan, unda ko'plab muammolar murakkab sohalarda hal qilinadi, shuning uchun to'rtburchaklar yoki qiya prizmalar bo'lgan olti burchakli chekli elementlardan foydalanish eng qulaydir.

Ko'chish vektori komponentalarini ba'zi bir E chekli element uchun quyidagicha ko'rsatish mumkin:

U }-

- [NIN2,.....,INn]{g}

(17)

bunda

Ni - shakl funksiyasi; n - elementdagi tugunlar soni; I - 3*3 o'lchovli birlik matritsa;

{g} - |u1,15U2,1, u3,1, U1,2 ,U2,2 , U3,2 ,...........u1

- chekli element tugun ko'chish vektori.

Keltirilganlardan foydalanib, deformatsiyalar va kuchlanishlar vektorini quyidagicha ifodalaymiz

U2,n, U3,n

{^}5 - [B]{g}3

(18)

61

и

и

2

и

3

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

{а}' = [ D]{s}' + [ D]w{sy

Bu yerda [B] gradiyentlar matritsasi [B]=[Bi,B2,.....Bn],

[ B ] =

dNi Sx 0 0

0 SN; Sx2 0

0 0 SNi Sx3

SN, SNj 0

Sx

0 SN; SNi

Sx Sx2

SN 0 SNt

dx3 Sx

[D] =

[D] =

E(1 -ц) Eц Eц

(1 + ц)(1 - 2ц) (1 +ц)(1 - 2ц) (1 +ц)(1

Eц E(1 -ц) Eц

(1 +ц)(1 - 2ц) (1 +ц)(1 - 2ц) (1 +ц)(1

Eц Eц E(1 -

(1 +ц)(1 - 2ц) (1 +ц)(1 - 2ц) (1 +ц)(1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

4E 2E 2E

3(2(1 +ц)) 3(2(1 +ц)) 3(2(1 + ц))

2E 4E 2E

3(2(1 + ц)) 3(2(1 +ц)) 3(2(1 + ц))

2E 2E 4E

3(2(1 + ц)) 3(2(1 +ц)) 3(2(1 + ц))

0 0 0

0 0 0

0 0 0

E

2(1 + ц) 0

(20)

0 0 0

0

E

0

2(1 + ц) 0

E

2(1 + ц)

0 E

(2(1 + ц)) 0

0

0 E

"(2(1 + ц)) 0

E

(2(1 + ц»

Bu holda har bir element uchun Ostragradskiy-Gamilton variatsion tenglamasini (16) quyidagicha

yozish mumkin:

t2 _ S J(J(p[R]dv){g}' - (J[B]'[D][B]dV){g}' - (J[B^i[D]rn[B]dV){g}' + J[N]'{p}dS}di = 0

' v V V S'

(21)

yoki belgilashni kiritish orqali [ AU ]' = ( J [B][D][B]dV )

[ AP ]' = ( J [B]'[D]m[B]dV)

{F }' = J [ N ]{P}dS

bunda

[AU]e - elastik element bikrlik matritsasi;

[AP]e - bikrlik matritsasiga plastik element qo'shimcha;

{F}e - tugun kuchlar vektori.

IF }

bu yerda 3 i -tugunda tutashuvchi

barcha elementlarning kuch komponentalari yig'indisi. Ko'rinib turibdiki, yig'indiga faqat i -tugunni o'z ichiga olgan elementlar hissa qo'shadi. Endi barcha tenglamalar yig'indisini (21) birlashtirib, umumiy tizimni quyidagi shaklda yozishimiz mumkin:

([AU]-[AP]){G}={F}, (22)

Belgilangan sirt yuklari tashqi kuchlar vektori tomonidan avtomatik ravishda hisobga olinadi va ko'chishlar bundan mustasno [6].

Kutilayotgan natija

Shunday qilib, P aniqlab sirt

yuklari va berilgan ko'chishlarni aniqlash orqali, geometrik xususiyatlarga ega bo'lgan jismning elastik va elastoplastik holatiga oid turli masalalar yechiladi, ya'ni turli shakldagi bo'shliqlar, chuqurchalar yoki qo'shimchalar e'tiborga olib.

Xulosa. Ko'rib chiqilgan yondashuv elastiklik va plastiklik nazariyasining uch o'lchovli muammolarini hal qilishning raqamli usullarining samaradorligini sezilarli darajada oshirishga imkon beradi. Taklif etilayotgan sxemalarning samaradorligi test masalalarini yechish va an'anaviy chekli elementlar usuli sxemalariga asoslangan yechimlar bilan taqqoslash orqali ko'rsatiladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Буриев Т., Расульмухамедов М.М., Алгоритмическая система расчета трехмерных упругих тел., Ташкент: НПО «Кибернетика» АН РУз, 1994.

2. М. Сикулович, Метод конечных элементов., Москва: Стройиздат, 1993.

S

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

62

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2024-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2024 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2024 год

3. О. Зенкевич, Метод конечных элементов в технике, Москва: Мир, 1975.

4. А. Самарский, Введение в численные методы, Москва: Лань, 2009.

5. Морозов Е.М., Никишков Г.П., Метод конечных элементов в механике разрушения., Москва: Наука, 1980.

6. Абдусаттаров А., Расульмухамедов М.М., "К решению пространственных задачи теории упругости методом конечных разностей.," Вестник ТашИИТ, vol. 3, no. 4, pp. 23-27, 2012.

7. В. Власов, Избранные труды, Москва: Наука, 1964.

8. Н. Кильчевский, Курс теоретической механики: Учебное пособие., Москва: Наука, 1977.

63