CC BY
12Е.А. Беднарская, Д.С. Блинов, В.А. Гордон, Г.В. Рябчук, И.А. Никулин, А.С. Чудин
НАТЕКАНИЕ СТРУИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА
(Волгоградский государственный технический университет) e-mail: [email protected]
В работе рассмотрено натекание струи неньютоновской, «степенной» жидкости на поверхность вращающегося плоского диска. Уравнения движения, записанные в цилиндрической системе координат в приближении пограничного слоя, были решены методом интеграции соотношений. Интеграл от конвективных членов уравнения движения в проекции на ось r позволил получить дифференциальное уравнение для определения высоты пространственного пограничного слоя. Используя условия равенства расходов жидкости, поступающей на диск со струёй, и отбрасываемой в радиальном направлении в сечении, где пространственный пограничный слой «прорастает» до поверхности плёнки, был определён радиус усечённой части конической насадки, обеспечивающий её работу без «захлёбывания» при любом расходе.
Натекание струи неньютоновской жидкости будем рассматривать в цилиндрической системе координат (рисунок). Проведенное с помощью оптических методов определение внешней формы падающей струи показало, что она по своим характеристикам очень близка к потенциальной. Вводя потенциал скорости П, для первой зоны из уравнения неразрывности получим:
1JL
r dr
8П_
dr
+ ■
d2 п
dz2
= 0
(1)
Граничные условия:
dn
z = H;
0;
dz
dn
dr
= Un; z = h*
= 0;
dn = V* dz z
dn
r = r,
стр :
dn
= 0 (2)
Для определения формы струи воспользуемся уравнением неразрывности, записанным в интегральной форме:
[ dn rdr = q
о
dr
(3)
где q - объемный расход жидкости.
Система уравнений (1) - (3) решалась в работе методом Треффтца. В качестве первого приближения бралась форма струи, определенная оптическим методом. Затем было вычислено распределение потенциалов и скоростей внутри струи, а из уравнения Бернулли - распределение давлений. Полученные результаты можно использовать для определения поля скоростей в зоне пространственного пограничного слоя (зона 2).
Уравнения движения и неразрывности в пограничном слое для «степенной» неньютонов-
ской жидкости в цилиндрической системе координат (рисунок) запишутся в виде:
V dVL+V V - VI=- I dP+L A.
r dr 'dz r p dr p dz
V Y +f V
dz ) \ dz
2 1 (4)
dz
dV— T/ dV— VV k d
dr
- + V
dz
r p dz
(^ >12 +r
^ dz ) ^ dz
V f
~dz
dP = 0
dz
LT {rV>)+ °T=о
r dr dz
(5)
(6)
(7)
Система уравнений (4) - (7) должна решаться при следующих граничных условиях: при z = 0 Vr = 0 Vv = or
z = ho Vr = U V— = 0
dV dV.
f
л л 0 (8)
С2 С2
Систему уравнений (4) - (7) будем решать методом Слезкина. Введем обозначение:
dV dV V —r- + V r
V
dr z dz
. 1 dP — +--
r p dr
dz = -А (9)
J
dV dV VV
V + V VrV —
r ~ ' z
dr
dz
r
dz = -В (10)
Из уравнения (4) - (5) с учетом (9) - (10)
найдем:
n-1
2
2
r
r
h
0
0
п-1
дУ
дг
дКп
дУг дг
+
д¥
дг V у
л2
п-1
дг
д¥г Vдz у
V
+
У
V дг у
л2
Лрг
Вр
+ с1(11)
+ с, (12)
с1 =
с,
к ВрИ
дК В
дг
дУ
\
1+В
А у
ет вид:
'дУ V
п-1
vдz у
Л\2
1 + -V Ву
У = и
1
^ -
п+1
V
п
у.
У = сог
п+1
1 - -
(19)
V п у
Таким образом, проведенный анализ позволил найти распределение радиальной и тангенциальной компонент скорости в пространственном пограничном слое при натекании струи неньютоновской жидкости на вращающийся плоский диск.
Константы интегрирования с1 и с2 найдем из граничного условия
. дУг дУ- .
при г = к -- =-- = 0 (13)
дг дг
С учетом зависимости (13) из (11) и (9) определим:
ЛрИ*
(14)
Разделив уравнение (9) на (12) и учитывая зависимость (14), найдем отношение градиентов скорости в виде:
дУ^
дг Л
(15)
Найденная зависимость (15) позволяет проинтегрировать систему уравнений до элементарных функций. На самом деле, учитывая зависимость (15) уравнения (11) можно представить в виде:
Рис. Натекание струи неньютоновской жидкости на вращающийся плоский диск.
Определяя, из уравнения неразрывности (7) скорость V и подставляя в уравнение (19) найденные значения скоростей из (18) и (19), получим дифференциальное уравнение для определения высоты пограничного слоя:
С /, .
Сг
± и-гт+и-Т гС Г(2и+-(2п+1(% 2+2;др - (20)
аг [ _ и прсо и дг
(п +1)"+' (2п + 1)(3и + 2)] к \ _
гп + 3п + 2^ с {ьи)
V п у Сг
ри2
Лр(И- - г) (16) к
vдг у V
Уравнение (2.21) с учетом (2.24) принима-
Интегрируя уравнение (20) при граничных условиях г = г0; к = к0 , получим:
^ _ (п + 1)п (2п + 1){3п + 2) к и
0 „п+1 „
п р
Вр(И- - г) (17) к
г
1 -
п
г
г
V 0 у
(21)
Интегрируя уравнения (16) и (17) и используя оставшиеся граничные условия (8) после несложных преобразований, получим:
V л
гп+1У
(г )
У
-Сг
(г) г
и п
1-
где
(18)
У(г) = еХРС |
сог
и
(2п + 1) г.-{2"+l)(3"+2) дР К ' и2 прсо2и2 дг
Сг
2
2
2
п
п-1
п
2
п"+3п+2
п
X
X
2
2
п
В уравнение (21) два неизвестных параметра г0 и к0 . Для замыкания системы воспользуемся уравнением неразрывности, записанным в интегральной форме для сечения г = г0
2п +1
г =
'о
Я
2(п + 1)лиИ-
Кк * г
0
г0 = гст
1 +
п
л
3п + 2
цк
\
ли 0 рсо
2-п
2п+1
(24)
Таким образом, размер усеченной части конического ротора должен определяться по зависимости:
(22)
Кок ^ гс)
1 + 1
И
3п + 2
qk
1
Л 2п+1
лП0 рсо
2-п
у
(25)
Здесь q - объемный расход неньютоновской жидкости, поступающей на диск.
Из системы уравнений (21) - (22) находится радиус г0, на котором пограничный слой смыкается с поверхностью пленки. Следовательно, радиус Я0 усеченной части конической насадки должен определяться из соотношения:
(23)
Анализ уравнений (21) и (22) с учетом результатов численных решений, полученных в работе Миясана, позволил получить упрощенную зависимость для определения радиуса "прорастания" пограничного слоя до поверхности пленки:
1
Таким образом, условия работы конической насадки без «захлёбывания» при любом расходе жидкости зависят не только от технологических параметров, но и от размера радиуса усечённой части конической насадки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. Л.: ГИТТЛ. 1955. 427 с.
2. Миясака Ё. Исследование течения вязкой струи, падающей перпендикулярно в центр вращающегося диска. Часть 1. Теоретический анализ. - «Нихон кикай гакай ромбун» 1974. Т. 40. № 331. с. 797-805.
