CC BY
10УДК 532.516.526.75:536.2
ЕЖ Л А ПИЦКИЙ, ГЖ ЛЕПЁХИН, В.А. ОСОКИН, Г.А ПОПОВИЧ, Г.В. РЯБЧУК
ТЕПЛООБМЕН К ПЛЕНКЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, ТЕКУЩЕЙ ПО ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ПЛОСКОГО ДИСКА, ЗА ТЕПЛОВЫМ ВХОДОВЫМ УЧАСТКОМ
(Волгоградский государственный технический университет)
1
Рассмотрен процесс теплообмена к пленке вязкой жидкости, текущей по поверхности вращающегося плоского диска, за входовьш тепловым участком, т.е. за точкой «прорастания» теплового пограничного слоя до поверхности пленки жидкости. Уравнение конвективного теплопереноса решалось методом Фурье, Определены поля температур в пленке жидкости и коэффициент теплоотдачи от поверхности диска к пленке жидкости. Полученная зависимость для определения числа Нуссельта была проверена экспериментально. Результаты экспериментальных исследований показали хорошую корреляцию теоретических и опытных данных.
Процесс теплообмена будем рассматривать в цилиндрической системе координат, жестко связанной с диском (РисЛ). В работе [1] была определена зависимость высоты теплового пограничного слоя от радиуса и найдена координата г* точки прорастания теплового пограничного слоя до поверхности пленки. При рассмотрении процесса
теплообмена в области г > г будем полагать , что теплопроводностью вдоль пленки жидкости можно пренебречь, поскольку она много меньше теплопроводности поперек пленки. Распределение радиальной и осевой компонент скорости по высоте пленки определяются зависимостями
Vr
ш rh
/
ж
V
ч
V = у z
2 w2h^
z 1
h ~ 2
/
' 7\2
(О
/
V
1 z'
\
z
2 h 6h
(2)
j
Толщина пленки жидкости определяется зависимостью
ч L
qv
h« =
-> 2 2 2 710) Г J
(3)
где q - объемный расход жидкости, \г7сек; v - коэффициент кинематической вязкости, м2/сек.
Рис, 1, Схема процесса теплообмена. Fig. I Scheme of process of heat exchange
С учетом принятых допущений уравнение
конвективного теплопереноса запишется в виде
(4)
ST 5Т V — + V — = а
Т дг 1 дъ дг2 Уравнение (4) должно решаться при следующих граничных условиях
_ ¿к ..
При г = г Т = Т8Х
г = О Т = Тст (4а)
ат „
z =h
dz
т.е. пренебрегаем теплообменом пленки жидкости с окружающей средой.
Для того чтобы использовать метод Фурье при решении уравнения (4) и получить зависимость для определения температуры в элементарных функциях усредним радиальную скорость по толщине пленки жидкости» а осевую - по толщине пленки жидкости и радиусу в пределах от г до радиуса диска II.
I Ь I г^гИ^
= (5)
h
о
— *
V = * г
R {' j h
R
h
*Vn о
JV2 * dz
3 \
/
V
■dr
I со (hj -h
12
v
(6)
Решение уравнения (4) будем искать в виде
т=е(т
где
вх
EX
Тст) + Тст , (7)
- температура поверхности
пленки на радиусе г
0 - безразмерная температура. В свою очередь, безразмерную температуру будем искать в виде
е = а(г).р(¥) (8)
где
л ч V
I V j
Подставляя (7) в уравнение (4) и учитывая зависимость (8)5 получим
а' 1 n J h Л
--Per —
a j V г /
где
1 В' +—ÜPehR
Р 12 Э
#2
О
(9)
Ре
юг
- число Пекле для ради-
а
ального переноса тепла;
Ре
ffih
R
число Пекле для осевого пе>
а
реноса тепла;
hRo - hR
'со
- безразмерная толщина
пленки на конце диска.
Поскольку левая часть уравнения (9) зависит только от г, а правая от г, следовательно, они равны константе. Обозначив константу (е~), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
1 J h л2
а' +—Per —
3 \r* J
(3" + —Pe*hR 1-
1 W
е а ~0
(Ю)
г
h
\3
V
h
R J
'В, + е2В = 0(П)
а = Cje
-РеТ2 9
f h ^
*
\r J
Решение уравнения (10) методом разделения переменных имеет вид
.2
(12)
где С)- константа интегрирования, подлежащая определению.
Уравнение (И) будем решать методом Эйлера. Характеристическое уравнение принимает вид
(13)
х2 +Ьх + Е2
где
12 R°
/
лз
vhR J
Решая квадратное уравнение (13), получим 1
х
Ь± Л-Ь2 -е2 2 V 4
4)
Проведенный анализ показал, что
— Ь2 « е2 * поэтому характеристическое уравне-4
ние имеет пару комплексных корней х -—
В этом случае решение уравнения (1 i) принимает вид
—z
р - е 2 (С2 cosez + С3 sin £z) (J 5)
Константу интегрирования найдем из
трансформированных граничных условий
при z = 0 р = 0 (16)
при (17)
Условие (16) приводит к зависимости С2 — 0. Условие (17) приводит к соотношению
cos(sh0)-0. Эта зависимость будет использована
для определения собственного числа £, Введем обозначение sk - h0 = цк, откуда сдерет
—, где \хк - (2к -1)—, т.е. ек имеет ho 2
бесконечное число значений
В этом случае решение уравнения (8) при нимает вид:
^ ( I х2 h х
е-ZCexp -A^-fz
..................I L ^ ;
i { 4 1 J
2
где A= —Per
9
/
sin
z
Vh0
¡xk
\
J
(18)
/ I. \
h
*
Vr J
Константу интегрирования С определим из граничного условия
при г = г* и z = h г*0 0 = 1
С =
GO
Г
2 йк
\
А- *
т h .
Or
b, n ,
2 0г
л
(19)
sin(pk)
/
Подставляя значение константы интегрирования из (19) в (18), получим окончательную зависимость для определения безразмерной температуры
со
ехр -А
Mfc ь
/
sin
\
г
Vho
J
ехр
f 2 u
-A.^h
(
20)
v
r h2 9 Or'
HQ **
sin(nk)
/
Коэффициент теплоотдачи определится из зависимости
ЗТ
а (Тсг Гвх | X
8z
(21)
(z=0)
Подставляя в (21) Т из (7) и учитывая соотношение (20), получим зависимость для определения числа Нусселъта
з ^
V у/ * Цк
V ехр а
N11 - = У
ь т
а
/
ч
hoy
ехр
/ 2 i 44 -A.ütA..
ч
h 2
sin(pk)
У
(22)
Зависимость (22) позволяет определить ло-
кальный коэффициент теплоотдачи от вращающегося плоского диска к пленке вязкой жидкости при различных параметрах работы центробежной насадки. Дтя получения зависимости инженерного вида определим необходимое число членов ряда из соотношения
к
^-'— < 5% (23)
К
I
1
Проведенный численный анализ показал, что условие (23) в широком диапазоне параметров работы насадки выполняется при четырех членах ряда. Это позволяет рекомендовать для инженерных расчетов центробежных теплообменных аппаратов следующую зависимость для определения числа Нуссельта
Nu
к-4 к=1
ехр
/
-А
\
h
з о;
ехр
г
\
h
D
7 Or
\
/
(24)
sm
M
Для подтверждения корректности принятой математической модели и сделанных допущений были проведены экспериментальные исследования по определению коэффициента теплоотдачи от вращающегося плоского диска к пленке вязкой жидкости, текущей по ее поверхности,
Локальный коэффициент теплоотдачи экспериментально определялся по следующей зависимости
_ Чтп
а
яок
t — t I ■ -у I V.J
ст]
где Цтп - локальный тепловой поток на заданном радиусе;
- температу ра наружной поверхности диска на том же радиусе;
- средняя температура пленки жидкости на радиусе, где измеряется тепловой поток.
Локальный тепловой поток определяется из зависимости
q
Xd(t
ет1
t
ci
A
етяне
где А^ - коэффициент теплопроводности материала диска (алюминия);
- температура внутренней поверхности
диска;
^ст лис - толщина стенки диска. Полый алюминиевый плоский диск радиусом 0.25м обогревался насыщенным паром из лабораторного парогенератора. В качестве модельных вязких сред использовались водные растворы глицерина. Температура внутренней и наружной поверхности диска замерялась четырьмя термопарами, зачеканенньши на двух фиксированных радиусах. Концы термопар через ступицу диска и полый вал выводились на токосъемник. Средняя температура пленки жидкости определялась электротермо-контактным щупом в 3-х точках- Все параметры установки контролировались контрольно-измерительным прибором. Замеры температур проводились 5 раз в течение десятиминутной непрерывной работы установки в стационарном режиме.
На рис«2 показано сравнение теоретических и экспериментальных исследований по определению локального числа Нуссельта. Как видно из рисунка, корреляция теоретических и опытных данных хорошая.
2
Рис.2. Сравнение теоретической зависимости с опытными данными (Рг=500; 1 при г = 0Л м„ 2 при г = 0.2 м
ф Fig,2 Similar theoretical dependence and empirical data
Таким образом, проведенные исследования теплообмена к пленке вязкой жидкости, текущей по поверхности вращающегося плоского диска, позволили получить теоретически обоснованную и экспериментально проверенную зависимость для определения локального числа Нуссельта. Она может быть использована для расчета центробежных теплообменных аппаратов,
ЛИТЕРАТУРА.
L Булатова НЖ и др. Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2005. Т. 48. Вып. №12. С. 115.
