CC BY
11УДК 532.529.5'526.74 Д.С. Блинов, В.А. Гордон, Д.В. Грабельников, И.А. Никулин, Г.В. Рябчук
ДВУХСЛОЙНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПО ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНИЧЕСКОЙ НАСАДКИ
(Волгоградский государственный технический университет) E-mail: [email protected]
Рассмотрено течение несмешивающихся, «степенных» жидкостей по внутренней поверхности вращающейся конической насадки. Уравнения совместного течения двух жидкостей, записанные в приближении пограничного слоя, решались методом Слезкина. Среднеинтегральные по толщине пленки жидкости суммы инерционных членов в проекции на меридиональную и тангенциальную оси находились из третьего уравнения движения и из дополнительной зависимости, полученной после интегрирования упрощенного уравнения движения в проекции на тангенциальную ось, записанного в системе координат, жестко связанной с конусом. В результате аналитического решения уравнений совместного течения двух жидкостей найдено распределение меридиональной и тангенциальной компонент скорости двух жидкостей по высоте слоя.
Схема течения несмешивающихся, «степенных» жидкостей по внутренней поверхности вращающейся конической насадки показана на рисунке.
Рис. Двухслойное течение несмешивающихся неньютоновских жидкостей по внутренней поверхности конической насадки
Fig. Two-layer flowing of immiscible non-Newtonian fluids over inner surface of a rotating conical nozzle
H=h!+h2
Первая пленка 1 область по z Вторая пленка 2 область по z ^ 0^h2 z* = z-hi
0-hi z-h^H
3V„
av1f,
svi
dz
1 cP _ ^ 0 I 3Vi: p1 dz pi & | dz
3V,
if
Sz
Pi &
V
z
z
V
z
,ni-i
ni-i
V
(i)
(2)
v^ctge
dl
v„
1 oP,
Pi dz
¿Viz Vizctg9 dz
= 0
(3)
(4)
1 dz 1
Аналогичные уравнения для второй плен-
ки:
V21^Vl+V2 gV2l % , = 5V21
3l z dz l p2 dz p2 dz &
V2lV^ k^ 3V.
V2l + V
2l 3l 2z dz
2Ф
l p2 3z 3z
3V2l dz
V
z
V
z
V22(pctg9_ i ЭР, 1 p2 5z
av21 , v21 , av2z v2zctge
+ —^ + dl 1 dz
l
= 0
(i*)
-1 (2*)
(3*)
(4*)
Граничные условия, при которых должна решаться система уравнений:
Для первой пленки жидкости
при z=0
Vn = 0 Vim =<»lsin
icp
U , An,-1 5Уц n 1 5V21 npnz=hi мА/ —— = k2A/ ——
dz dz
II Z. £
dz dz
Pi
2(z=hj)
V^=Vi(p
Для второй пленки жидкости при z=0 У21 = Уп
ЭУ21 5У
При 7г=Ь\ =
dz dz
Решаем уравнения для второй пленки методом Слезкина
2ф
= 0 Р2=Р0
2
2
2
2
2
2
2
2
V
2
V
V
2
2
2
VilVi
V
V
I h2
l2 O
\ h2
V-
84-,
2r
h
2 0
a-
■ V
2z
дЪ V dz
1 p2 &
dz = -A9 (5)
v _2ф aV2.p V2rV29
v2r - + v2z 1 ,
or dz 1
dz = -B2 (6)
В этом случае уравнения движения для второй пленки преобразуются к виду:
_ _П2-Г
(ЭУ21 V Гду2т ')2
д_ dz
dz
8V.
21
dz
dz
dz
SV
2ф
dz
n2-l
'9v21r fsv.
dz
2ф
5z
A2P2 k,
B2P2
(7)
(8)
Интегрируя уравнения (7) и (8) по z, полу-
чим
SV
21
3z
5V
21
dz
Sz
av-
2ф
3z
n2-l
n2-l
5V21 cZ
' 21 5z
При z =h2
V21
dz
-A^z*+C1 (9)
B2p2z%C2(10)
k-
5V„ 9V:
Л2 ^v, л2
av.
2ф Sz
dz
av9
Sz
2
cZ
21
dz
П2-1 2
n9 -1
5V-
2
2 z
2 dz
A2P2 ] k2
B^2
= 0:
2
( * ^ v h
v
2
( * \ 1-*
(11)
(12)
Из уравнений (11)и(12) имеем
5V21
dz _ 3V2(p " B2
SV9
Sz
2_. dz _ " 5V21 "A dz
(13)
2
В этом случае уравнения (11) и (12) преобразуются к виду:
3z
A2P2 k,
2 (
1-*
1 +
'V2
VA2
n^ -1
(14)
sv.
2ф
n2
dz
П2-1
B2
f *\ 1-* v h
2
(15)
Интегрируя уравнения (14) и (15) и используя второе граничное условие при z =0:
У21=Уц, V2ф=Vlф, получим
V21 _ V11(^h1) +
v2ip - V^(^h1) "
A
Р2 П2
n^1
2|— I h2n2
A2+B2 2n2
n^1
1-
1--
(16)
П2+1
2 в I P2 ln2h^27
Ai +в2 Ь
П2+1
V h2
П2 (17)
Обозначим
D =
vn2+l
B-
V
vk2j
n2
n2+l
h "2 h2
\\+ъ22 |п7
Толщина пленки жидкости ^ найдется из условия постоянства объемного расхода жидкости
q2 =27i1sin0 JV21dz
(18)
Подставляя в (18) значение меридиональной скорости из (16), получим
1
q2 =2
Л
A-
Vn2+ly
р2
п2
П2+1
я1 sin 9-4 2j h 2"2
Давление Р определим из уравнения (3 ) Р2
(19)
Р = + (20)
Константа интегрирования С3 определяется из граничного условия
При z*=h2 Р=Р0 (21)
Подставляя в уравнение (20) значение тангенциальной скорости из (17) и учитывая граничное условие (21), после интегрирования для z =0 получим
ч2 ""'^"г1
Р-Р0 =^ctge(ah2D2 -bV1(ph2D-V¿h2 (22)
где а =
2п2 +4П9 +2
2
Сп2 + 1^п2 +2
b =
2*2 +1]
€n2 +i
2
k
2
2
2
n
2
n2 1
2
h
2
2
2
z
k
2
n
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
h
k
h
2
2
2
2
Поскольку толщина пленки жидкости h2 много меньше линейного размера насадки 1, то разность давлений в пленке верхней жидкости и над ней с достаточной степенью точности можно представить в виде
Р-Р0 =
р2ю212 sin2' 2
(23)
Подставляя разность давлений из (23) в уравнение (22) и решая его относительно D, получим:
D = V
2a
1<р
_b
2a
V
1
co2l3 sin3 9 V
-+ —
2cos6h2a a
(24)
кг 5_
P2 &
^V2(P V2
dz
1 +
• + 2co sin 0 V2i =0
= 0 (25)
Проинтегрируем уравнение (25) в пределах от о до h2
2
fav2(pr
dz
Jf=o
1 +
^cosine^ (26) k2 ni
Подставляя в (26) значение градиента тангенциальной скорости в степени п2 из (15), найдем
В2 =
2ю sin ( яШ
q2
(27)
2
По аналогии с верхней пленкой уравнения движения нижней пленки можно представить в виде:
dz
5У1Ф dz
dz
av„
dz
2 fa\V2
dz
dz
2
nj-1
AiPi
z + C4 (28)
BiPi ki
z + C5 (29)
Константы интегрирования С4 и С5 находятся из граничных условий При :
3V„
Sz
5V„
Sz
5V„
Sz
3V,„
Sz
"i-i
avn
Sz
- = k-
II;-1
ду1ф
Sz
5V,
Sz
5V,
Sz
sv„
Sz
SV„
Sz
2 sv21(30)
21 dz
2 ду2ф (31)
dz
V,, =
n^1
^Ц Aih1ni <+a
n^OUi
Ai2+B?jni
n^1
1
n^1
z \ | n1
^ + 1 J^k
Обозначим
Di =
Af+Bf
-Ц-1
1 + a J^hj
1 + a)[h1
n^1 1 n1
(32)
(33)
nj+1
1
'Pl^
k,
ni B^"1 <-
a
ti2+B2
2ni > 1
(34)
В параметр D входят две неизвестные величины А2 и В2. Для нахождения второго условия запишем уравнение (2 ) во вращающейся вместе с диском конической системе координат без учета инерционных членов.
П2~1
Толщина пленки жидкости ^ найдется из условия постоянства объемного расхода жидкости
Ь2
д! =2тг18ше (35)
0
Подставляя в (35) значение меридиональной скорости из (32), получим
1
(
qj =2
Vni +1.
^ . Al %\ sin 9
Pi
Vki J
ni
(+ a^ nj+i
J.2 + в?
(36)
Давление Р1 определим из уравнения (3)
р^^е^сЬ + Сб (37)
Константа интегрирования С6 определяется из граничного условия
При z*=hl Р1=Р2. (38)
Подставляя в уравнение (37) значение тангенциальной скорости из (33) и учитывая граничное условие (38), после интегрирования для z получим
Р! = Р2 ^с^е^а^О2 -ЬюЬтбЦО! -(в1яп0)2Ь1 (39)
где а =
2п,2 + 4п, + 2
b =
2«1+l]
Поскольку толщина пленки жидкости h1 много меньше линейного размера насадки 1, то давление в пленке нижней жидкости и над ней с достаточной степенью точности можно представить в виде
Pjco2!2 sin2 9
Подставляя давление из (40) в уравнение (39) и решая его относительно D, получим:
Pi =
(40)
d1 = — cisine + —cisíne
2a
2a
m2l3sin3e <)lsi^3 (41)
2cos8h2a
В параметр D входят две неизвестные величины А1 и В1. Для нахождения второго условия запишем уравнение (2) во вращающейся вместе с
р1 U B1h1 1 <+а
n
V^ = col sin 9
n
П1
2
2
2
2
2
n
1
k
1
2
2
2
111 —1
2
2
2
2
k
2
n-, -1
a
2
2
2
2
k
k
2
диском конической системе координат без учета инерционных членов.
kj д Pi 3z
fôvltpr
dz
1 +
Л2
nj-1
+ 2cosin9V,i = 0 (42)
Проинтегрируем уравнение (42) в пределах от 0 до hj
m-l
'ЭУ1Ф Г1
az
)(*=о
1
vBi ;
= 2^(osin0^ (43) ^ тс1
Я1
r^V"2
dz
BiPi ki
n^i
1+
Ai
vBi
* Л
i--
(44)
получим:
Bi =
2ю sin (
7tlh,
qi
(45)
Подставляя в (43) значение градиента тангенциальной скорости в степени п1:
Таким образом, в результате аналитического решения уравнений совместного течения двух несмешивающихся неньютоновских жидкостей найдено распределение меридиональной и тангенциальной компонент скорости двух жидкостей по высоте слоя.
h
h
2
2
2
i
i
2
УДК 661.7.091
Т.В. Тарарыкина, С.В. Рожков, Б.Я. Солон, В.Е. Майзлиш, Г.П. Шапошников
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ТЕХНОЛОГИЯ ПОЛУЧЕНИЯ
4- [(4' -УНДЕЦИЛОКСИБЕНЗ ОИЛ)ОКСИ] ФТАЛОДИНИТРИЛА
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
E-mail: [email protected]
Предложена математическая модель процесса ацилирования 4-гидрокси-фталодинитрила, на основе которой подобраны оптимальные условия его проведения и разработана принципиальная технологическая схема получения 4[(4'-ундецилокси-бензоил)окси]фталодинитрила.
Среди многочисленных замещенных фта-лоцианинов определенный интерес представляют ацилоксифталоцианины, которые могут быть использованы как жидкокристаллические материалы, жирорастворимые красители и в других областях науки и техники [1-5].
O
II
O—C-
-C—O
II
O
.O—C-II
O
-C—O
II
O
Практическое использование этих соединений зависит от доступности исходных соединений, а это делает важными и актуальными вопросы, связанные с разработкой технологии их получения и выявления оптимальных технологических параметров.
Ранее нами разработаны научные основы синтеза 4-ацилоксифталодинитрилов, путем О-ацилирования 4-гидроксифталодинитрила хлоран-гидридами замещенных бензойных кислот в среде пиридина [2, 3]. Использование пиридина имеет ряд преимуществ перед щелочными растворами, так как он одновременно выступает в роли растворителя, катализатора реакции, а также исключает гидролиз образующихся сложноэфирных группировок [6, 7]. Необходимость использования в качестве ацилирующих агентов хлорангидридов замещенных карбоновых кислот связана со сле-
R
R
