НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

УДК 539.3

Напряженно-деформированное состояние сферической оболочки

на основе уточненной теории

Фирсанов В.В.*, Фам В.Т.**

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

e-mail: [email protected] e-mail: pvthien88@gmail. com

Статья поступила 21.03.2019

Аннотация

Предлагается вариант уточненной теории расчета напряженно-деформированного состояния изотропных сферических оболочек. Математическая модель построена на основе трехмерных уравнений теории упругости. Задача сведения трехмерных уравнений к двумерным осуществляется путем представления искомых перемещений полиномами по нормальной координате на две степени выше по отношению к классической теории. С помощью вариационного принципа Лагранжа получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях с переменными коэффициентами. Решение указанной системы проводится методами конечных разностей и матричной прогонки. В результате получены перемещения в узлах сетки, для аппроксимации которых используются сплайны. Деформации оболочки находится с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения определяются из соотношений закона

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

Гука и поперечные напряжения получаются непосредственным интегрированием

уравнений равновесия трехмерной теории упругости.

В качестве примера рассматривается полусферическая оболочка жестко защемленная по нижнему контуру основания. Проведено сравнение результатов расчета, полученных в данной работе и по классической теории.

Ключевые слова: сферическая оболочка; вариант уточненной теории, вариационный принцип Лагранжа, напряженно-деформированное состояние «погранслой», метод конечных разностей; метод матричной прогонки, поперечные нормальные напряжения.

Введение

Сферические оболочки в качестве элементов конструкций часто применяются в объектах машиностроения, в том числе, авиационной и ракетной-космической острасли. С помощью гипотез Кирхгофа - Лява построена классическая теория сферической оболочки, результаты которой приведены в [1-7]. Однако, при расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов конструкций в зонах крепления, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок, а также выполненных из неоднородных материалов, классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой. Для описания объемного НДС, в настоящее время применяется ряд подходов при построении уточненных теорий пластин и оболочек.

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

Один из подходов построения математически обоснованной теории состоит в

применении метода прямого асимптотического разложения компонентов НДС в

ряды по малому параметру - относительной толщине трехмерного тела и

последующем интегрировании уравнений трехмерной теории упругости [2]. С

помощью вариационного метода Власова - Канторовича соответствующие

результаты расчетов пластин и оболочек по уточненной теории [12,13] позволили

установить, что вблизи жестко защемленного края поперечные нормальные

напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, оказываются одного

порядка с максимальными напряжениями основного внутреннего НДС,

определяемыми по классической теории.

В работе [20] предложена теория пластин и оболочек третьего порядка Reddy

J.N. при исследовании слоистых композитных пластин и оболочек. Перемещения

оболочки аппроксимируются в виде

U = щ + уфа+г20а + уъва, и2 = Vo +уфр+у20р+уъ6р,

U3 = wo-

где фа,ва,Ла,фр,Ор,Лр представляют собой искомые функции. Следовательно, в

соответствии с этой работе поперечные нормальные деформации принимаются равными нулю.

Другой подход к построению уточненной теории предлагается в [8]. При этом искомые перемещения раскладываются в полиномиальные ряды по нормальной координате и формулируются условия согласованности перемещений, которые

связывают между собой количество слагаемых в этих разложениях по

3

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

тангенциальным и поперечному направлениям. На основе энергетически

согласованного подхода в работах [14-17] построена уточненная теория расчета

НДС на случай произвольных ортотропных оболочек, а также подкрепленных

цилиндрических оболочек.

Следует отметить также работы [18,19], в которых рассматриваются другие методы уточненного расчета изотропной пластин и полосы из композиционного материала.

В данной работе в рамках подхода, представленного в [8, 14-17] исследуется НДС сферической оболочки жестко защемпленной по нижнему контуру основания под действием осесиметричной нагрузки. Искомые перемещения разлагаются по нормальной к срединой плоскости пластины координате в полиномы на две степени выше, чем в классической теории типа Кирхгофа-Лява. Применение вариационного принципа Лагранжа к уточненному значению функционала полной энергии оболочки позволяет сформулировать уточненную краевую задачу.

Уравнения теории сферической оболочки

Рассматривается сферическая оболочка постоянной толщины 2h из изотропного материала, отнесенная к ортогональной системе координат в, ф, % (рис. 1).

Рис.1. Сферическая оболочка. Здесь в представляет собой угол между осью оболочки и нормалью к поверхности оболочки, ф - угол, определяющий положение точки на соответствующем параллельном круге, а ось % направлена по внешней нормали к срединной поверхности радиуса К

Принимается, что на лицевых % = ±к и торцевых поверхностях оболочки

заданы следующие граничные условия:

О3(±к) = д;ъ, I = 1,2,3,

(1)

где д±3 обозначают нагрузки, действующие на верхней и нижней поверхностиях оболочки.

Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения и, и2

и имеют асимптотические представления вида:

и (9, р, 4) = и- (9, р) + щ (в, р)4 + ^ (9, р) 4 + иъ (в, р) 4, и2 (9, р, 4) = V- (9, р) + у (9, р)4 + (9, р) 4 + Уз (9, р) £,

(2)

из (9, р, 4) = ^ (9, р) + ^ (9, р)4 + w2(вр)4,

где индексы 1, 2, 3 соответствуют осям 9, р, и 4- Для варианта классической теории типа Кирхгофа - Лява в формулах (2) отбрасываются по два последних слагаемых.

Подставляя разложения (2) в геометрические уравнения трехмерной теории упругости, получим выражения для компонентов деформаций оболочки:

е11 = г

ди0 ~дв

+ wn

ди

г—- + ш» дв 0

+г

2г2 ди- + 2г2^ - 2г^ - 2™ +ди2 + w.,

ди ~~дв ~ ди

w1

4 +

V дв

ди

дв

1 дв

4 2!

г

6г3 ди- + 6г3ж - 6г2 ^-¿л» ~ди2 ■ * — -диз

V

дв

"о

дв

ди ди ^ 4^

6г V, + Зг—2 + 3г^0 3

1

дв

дв

3!

^22 г

w0 + и0 ctgв +

1 дУ-

Бтв др

-г

гw0 + гщ ctgв + г

1

Бтв др

- и ctgв

1 а^

Бтв др

4+г

2г2ъ0 + 2г 2и0 ctg в + 2г2

1 ду Бтв др

-2 г ^ - 2гщ ctg в — 2г

1

Бтв др

+ ^ + и ctgв +

1 ^

Бтв др

42 2!

+

+г

—I

6г3 ^ - 6г Зи0 ctgв - 6г3

1 ду-

Бтв др

+ 6г2 ^ + 6г 2щ ctgв +

2 1 дУ1 +6г 1

Бтв др

езз = ^ + ^24,

- зг^- зги2 ctg в - зг—

1 дУ

Бтв др

2 + щ ctgв + —

1 ду

Бтв др

4_ з!

е12 = г

дв

1 ди,

\

Бтв дф

г

ду „ 1 ди

+ —1 - у +--1

дв Бтв дф

+ г

У V

с

дв

+ гу0 сХ%в- г—

% + г

ду

2г2 —0 - 2г V + 2г2 дв 0

1 ди0 Бтв дф

1 ди0 Бтв дф

■ +

ду 1 ди ду 1 ди

-2г —1 + 2гу ctg в - 2г--- + —2 - у2 ^ в +--2

дв Бтв дф дв Бтв дф

л%2

+

+г

з ду0 3 3 1 ди

-6г —0 + 6г\ ctgв - 6г -

дв Бтв дф

0 + 6 г2 ^ - 6г 2у ctgв +

дв

+6г

2 1 ди1 о. 1 ди2 , дУ3 1 ди3

Бтв дф дв

- 3г —2 + 3гу в- 3г

бш в дф дв

+ —3 - у +

е13 =-гио + г■

д^о дв

+ и +

г щ - г

2 дж0 дж1 л

дв

щ + г

дв

■ + и

% +

бш в дф

Л%3

3!

+

дж

джх

дж

-2г и0 + 2г —0 + 2г щ - 2г —1 - ги2 + г—2 + и3 )— +

дв

дв

дв

2!

+г

.3 л- 3 дж0 2 ¿2 дм, дж2 .%3

6г и - 6г —0 - 6г и + 6г —1 + 3ги - 3г—2 - и )—

0 дв дв дв 3!

е23 = -гУ0 + г

1 дмо бш в дф

+ у +

2 2 1 д^о

г у - г 0

бш в дф

+

+г

2гЧ + 2г"ж. + 2гV - 2г2 1 дж

о

бш в дф

1

бш в дф

гу + г

гу2 + г

1 джх

бш в дф 1 дж

+ у.

%+

бш в дф

%2

2 + у) % + 3 2!

, 3 ^ 3 1 дж 2 ^2 1 дж1 6г у - 6г--0 - 6г у + 6г 1

о

бш в дф

1

3

+ 3гу, - 3г--2 - у) %,

бш в дф бш в дф 3!

где г = — - главная кривизна срединной поверхности оболочки.

К

Выражения для напряжений определяются из физических уравнений. Подставляя эти выражения в уравнения теории произвольных оболочек [14] и используя вариационный принцип Лагранжа, после преобразований получим следующую систему дифференциальных уравнений теории сферических оболочек в

перемещениях:

I

т=0

ки + к^т — + к/и?^-+кг- , 0 1 ев 11 ев2 22

V

2 е™

е2

е

2

+1К1

п=0

3 г

I

т=0

ев е

ев2 22 ер х

п = К/91'39+ - К/91"39", / = 1,2,3,4

2

к+1

к=0

3 е е2 л кг2к—+Щ-^-ер евер

V

к

У

е2

ер евер

+ 1

к=0

е

е2

к/'2* + к/1к— + к/ц^ + к/

е

2 Л

IV -у- у к=0 V

+1^ ^ = к/9239+3 - к/9-3, / = 5,6,7,8

ев 11 ев2

22 ер2

2к +

(3)

п=0

ер

3

е

л

т=0

е;.

2

/

II к" + Щт— и 2 IкСк ^ 2 I

11 0 1 ев/т I1? 2 ер 1

к%п + № — + к

е2

V

0 1 ев 11

ев2

2 к/

е

2

22 2 22 ер 2

к/9+339з+3 - к/9339", / = 9,10,11

Здесь к/ представляют собой переменные коэффициенты, зависящие от геометрических параметров, упругих постоянных материала оболочки и угла в; а

, 2к, - коэффициенты разложений искомых перемещений в выражениях (2).

п

к

п

п

Расчет сферической оболочки под действием осесимметричной радиальной

нагрузки

Одним из наиболее распространенных случаев в расчетной практике сферических оболочек является осесимметричное радиальное нагружение. В этом случае все компонеты НДС оболочки не зависят от угла р и перемещения в

окружном направлении 2 ., ] = 0,3 обращаются в нуль. Тогда система

дифференциальных уравнений в перемещениях (3) принимает вид:

ъ ( р, Я2 Л

кст + ки—+кс

Е

т=0

10

V

1 дв

дв2

и. + Е кСх" ^ = 0, 1 = 1,2,3,4

п=0

дв

г

Е Гк/0'т + к^^-Х + Е к.0

т= 0 V дв) п=0 V

= к/33 4з+з - кг133 , 1 = 9,10,11

21 д д кс + кс—+кс-

2

1 дв

11

дв2

w,„

(4)

Граничные условия на жестко защемпленном краю оболочки представляются в форме

ит = 0,(т = 0,3); ж = 0,(п = 0,2) при в = +в0 (5)

Система уравнений (4) решается конечно-разностным методом [9]. Производные 1-ого и 2-ого порядков аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности:

с1в 2s ' dв2 я2 '

Из системы (4) с учетом граничных условий (5) получим следующую конечно-разностную систему:

Е

т=0

2

+Е

п= 0 V

3 /

Е3

т=0 V

2 Г

+Е

п= 0 V

кг™ ксл !

11

2 5

иТ1 +

т

г -2 и л '

2 + к10

и]„ +

т

кс кс л л

25

и

7+1

т

у У

+

к1! 7 -1 к1! 7 +1

1 'Ж + -— Ж

п

2 5

2 5

п

0, 1 = 1,2,3,4

? ? ? ' ?

-кс и

и7-1 + кСит + ки7+1

т 0 т

2 5

'ксхп

2 5

2 5

г

+

(6)

У

Ж-1 +

2кС

2к<11 + кс 2 + к10

V

ж +

к/Ли кг л л

25

ж

7+1

у У

= к11331з+з - к11331з-з, 1 = 9,10,11, т= 1, " -1 и0 = и" = ж0 = ж" = 0, т = 0,3, п = 0,2,

т т п п

где s, (N+1) - соответственно шаг конечно-разностной схемы и число узлов.

3

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

Система (6) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений.

Она имеет семидиагональную матрицу и решается методом матричной прогонки

[10,11]. Представим систему (6) следующей системой векторно-матричных

уравнений:

АХ-1 +В1Х1+С1Х1+, = Г, 7 = 1,N -1

7 7-1 7 7 7 7+1 7

X = XN = 0

Здесь 0 - нулевая матрица;

X , Г, 7 = 1, N -1 - векторы искомых перемещений и векторы правых частей

соответственно

х7 = [ и]0, ^, и/, , "2, ^2," ]7,

Г = [0,0,0,0, к9933 93+3 - к99-3 93-3, к1093+3 93+3 - к109-3 93-3, к1 1933 93+3 - к1 1933 93-3

А ., В, С, 7 = 1, N -1 - матрицы коэффициентов размером 7х7, для которых справедливы представления

7

К!"0 К1"0 -К1°

КГ1 К 111

К1"1 -К1°

К1"2 К111

К1"2 -К1°

К1"3 К111

К1"3

£ 2 2£ ' 2£ £2 2£ 2£ £2 2£ , 2£ , £2 2£

К 2 0 К 211 К2"0 - -К2°0 К2"1 К2"1 -К2°' К2"! К 2"2 -К 2 °2 К 2 3 К 211 К 2"3

£ 2 2£ ' 2£ £2 2£ 2£ £2 2£ , 2£ , 2 £2 2£

К3 0 К 311 К3и - -кз°° кз"1 кз"1 -кз;1 кз"2 К 3"2 -К 3°2 К3 3 К 311 К 3"3

£ 2 2£ ' 2£ £2 2£ 2£ £2 2£ , 2£ , 2 £2 2£

К 4 0 К 411 К4"0 - -К4°0 К4"1 К4"1 -К4° К4^ К 4"2 -К 4 °2 К 4 3 К 411 К 4"3

£ 2 2£ ' 2£ £2 2£ 2£ £2 2£ , 2£ , 2 £2 2£

-К 9"0 К 9°; К 9°0 -К 9"1 К 901 К9° - -К 9"2 К 9° К 9°2 -К 9"3

2£ ' 2 £ 2£ 2£ £2 2£ 2£ ' £ 2 2£ , 2£

-К10"0 К10° К10°0 - кЮ"1 К1001 К10° - -КЮ" 2 КЮ"2 К10°2 - К10" 3

2£ , 2 £2 2£ 2£ £2 2£ 2£ , 2 £2 2£ , 2£

-КЦ"0 К11000 К11°0 -К11"1 К11°{ К11° - -КИ"2 К11°2 К11°2 - К113

2£ , 2 £2 2£ 2£ ' £2 2£ 2£ ' £ 2 2£ ' 2£

В =

2К1"о -2К1Щ -2К1"2 -2К1Щ

+ №, 0, -2К11 + К1"1, 0, + К1"2, 0, -К1 + К13

2 ' 2 ' 2 ' 2 £ £ £ £

-2К2"0 л -2К2Г; л -2К2"2 л -2К2"

3

+ к 2"0 0 11 + К 2"1 0 11 + К 2й2 0 11 + К 21

2 + К 20 , 0, 2 + К 20 , 0 2 + К 20 , 0, 2 + К 20

£ £ £ £

+ К3"0, 0, -2К311 + К3?, 0, -2К311 + К3"Л 0, -2К31 + К3"3

2 ' 2 ' 2 ' 2

£ £ £ £

—2К 4"0 — 2 К 4"1 -2К4"2 -2К 4"з -^К41 + К400, 0, ^^ + К401, 0, ^К4^ + К402, 0, -2Кр3 + К40з

£ £ £ £

- 2 К 9°0 - 2 К 9° - 2 К 9°

Т^С\и0 11 . К а°0 уГа^ + К 0°1 . к П°2

0 ' 2 0 ' 0 ' 2 0 ' 0 ' 2 0 ' 0

£2 £2 £2

- 2 К10^0 ^ К10001 -2 К10" 2

К10"0, 2К 11 + К10°0, К10"1, 2К 11 + КЮ^, К10"2, 2К 11 + К10°2, К1003

£ £ £

-2 К11"0 -2 К1Г1 -2 К11°2

К11" 0, 2К 11 + К11°0 , К11"1, 2К 11 + К11° , К11" 2, 2К 11 + К11°2,К11и

0 £2 0 0 £2 0 0 £2 0 0

С, :=

к\\\ Kit Kill Ml ML Ml K1H кг,'1

2s 2s

2s 2s

K1w

2s 2s

K2'" K2' K2w" K2' K2'1 K2w K2Ц K2'2 K2;

■ +

2s 2s

+

2s 2s

+ ■

K3'" | K3'" K3w" K3'1 | K3'1 K3w

K 3' 2 K 311

2s 2s

2s

K4'" | K4'" K4w K4'г | K4'1

2s K 4w

+

2s 2s K3' K3w

2s 2s

K 9'" 2s

2s 2s K 9w K 9w"

2s 2s

K 4'2 K 4'

2s

K 9'1

K 9w K 9w

2s

K10'" K1"w K1"w"

2s

2s

K1"'1 K10L + K1"w

2s

2s

K 9'2 K1"' 2

K1'3 K1'3

2s

K 2'3 K 2'3

2s

K 3' K 3'3

2s

K 4w

2s 2s

K 4'3 K 4'3

K9"2 K 9w

2s

2s

K11'" K11w" K11w 2s s2 2s

K11'1 Km K11w1 K11'2 K11w K11w

2s

2s

2s

2s

2s

K1""2 K1"w2 .—^ + ■ 1

K 9'3 2s K1"'3

Km

2s

Векторы искомых перемещений X находятся в виде

X=РМ+Qj. J=1> -1

Здесь

Х0 = = 0,

Р = -( Вт)"1Q, Р, = -(В, + А,РМ)"1С

-1,

01 = (BJ10, = (В, + 4Р.-1)-ЧF. - AQ,-1),j = 2,tf -1

-1,

-j v J J J

j J^-J -

Расчеты проведены с помощью программы "Maple 2018". В результате получены перемещения в узлах сетки, для аппроксимации которых используются сплайны. С помощью ранее приведенной схемы из уравнений теории упругости определяются деформации и напряжения оболочки.

Результаты расчетов и их сравнение с классической теорией

На рис. 2 - 7 показаны результаты расчета НДС полусферической оболочки,

жестко закрепленной по нижнему контуру основания и имеющей следующие 12

параметры: радиус Я = 1м, относительная полутолщина к / Я = 1/100, коэффициент Пуассона ¡и = 0.3. Оболочка находится под действием нагрузки, равномернораспределеной на внутренней поверхности. Графики рис. 2-7 иллюстрируют изменения нормальных и касательных напряжений в краевой зоне оболочки.

\< \

ГГ лг.

V Л

\ N

ч г

эю -0. 005 0 0.( 05

1 <711 ~~ " "" о! 1кл

Рис. 2. Изменение < по толщине на Рис. 3. Изменение < по толщине на

22

л п краю в = —

п ж

краю в = —

/ V

/ \

\

/ \

/

/

! >

I

/

/ 1 г

/ 1_>

/

/ е.

/

1 1 П ■

/

1

1

1

1 _

/ 5

/

/

/

010 -0. 005 0 э.о

3

-0.

/ \

/ \

\

\

\

\

\ I

по -0. 005 о 0.< 3 05

1 А .

1 J

1 ср

1

\ го 1 л

\

\

\

\ /

\ / 1 *

\ / — 1"

ЧУ

10

Рис. 4. Изменение <гъъ по толщине на Рис. 5. Изменение < по толщине на

13

краю в =

п ~2

краю в =

п ~2

Рис. 6. Изменение < по углу О Рис. 7. Изменение &22 по углу О

Отметим, что аббревиатура «кл» соответствует результатам расчета по

классической теории.

Анализируя графики на рис. 2 - 5 можно установить следующие:

1. Максимальное нормальное напряжение <, определяемое по уточненной теории, превышает значение этого же напряжения, соответствующего классической теории, на 50%.

2. Максимальное нормальное напряжение &22, соответствующее уточненной теории, превышает напряжение, определяемое по классической теории, на 45 %.

3. Максимальное поперечное нормальное напряжение <гъъ составляет 35% и максимальное касательное напряжение <13 - 22 % от основного изгибного напряжения <.

Из рис 6, 7. следует, что при удалении от края напряжения, полученные по уточненной и классической теориям, практически совпадают, что подтверждает достоверность полученных результатов.

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

Выводы

На основании полученных результатов, можно сделать вывод, что, при исследовании НДС сферической оболочки вблизи зон искажения напряженного состояния, например, вблизи жестко защемленного края, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок, следует использовать уточненную теорию, так как максимальные напряжения в этой зоне существенно уточняются.

Поперечные нормальные и касательные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, в краевой зоне оказываются одного порядка с максимальными значениями напряжений, соответствующих классической теории. Такие высокие уровни дополнительных напряжений необходимо учитывать при оценке прочности и долговечности оболочечных конструкций.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 17-08-00849)

Библиографический список

1. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. - Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976. - 512 с.

3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

4. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика

летательных аппаратов: учебник для авиационных специальностей вузов; Под ред. И. Ф. Образцова. - М.: Машиностроение, 1986. - 536 с.

5. Авдонин А.С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1969. - 402 с.

6. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. Учебное пособие для студентов. - М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.

7. Горшков А.А., Астахова А.Я., Цыбин Н.Ю. Основы теории упругих тонких оболочек. Учебное пособие. - М.: НИУ МГСУ, 2016. - 231 с.

8. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 6. С. 139 - 146.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М: Наука, 1983. - 616 с.

10. Самарский А.А, Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 532 с.

11. Формалев В.Ф, Ревищников Д.Л. Численные методы. - М.: Физматлит, 2004. -400 с.

12. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т. 8. № 1. С. 28 - 64.

13. Фирсанов В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок на основе неклассической теории // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2016. № 6. С. 35 - 43. (V.V. Firsanov. Study of

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

stress-deformed state of rectangular plates based on nonclassical theory // Journal of

machinery, manufacture and reliabitity, 2016, vol. 5, no. 6, pp. 515 - 522)

14. Фирсанов Вал.В., Доан Ч.Н. Энергетически согласованный подход к исследованию упругих оболочек произвольной геометрии // Вестник Московского авиационного института. 2011. Т. 18. № 1. С. 194 - 207.

15. Фирсанов В.В., Чан Н.Д. Энергетически согласованная теория цилиндрических оболочек // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2011. № 6. С. 49 - 54. (V.V. Firsanov and Ch.N.Doan. Energy-cousistent theory of cylindrical shells // Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2011, vol. 40, no. 6, pp. 543 - 548.

16. Фирсанов В.В. Напряженное состояние пограничный слой в цилиндрических оболочках на основе неклассической теории // Проблемы машиностроения и надежности машин // 2018. № 3. С. 44 - 51. (V.V. Firsanov. The stressed state of the "boundary layer" type cylindrical shells investigated according to a nonclassical theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2018, vol. 47, no. 3, pp. 241 - 248)

17. Фирсанов В.В., Во А.Х. Исследование продольно подкрепленных цилиндрических оболочек под действием локальной нагрузки по уточненной теории // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=98866

18. Зверяев Е.М. Выделение уравнений типа Тимошенко из пространственных уравнений теории упругости для пластины на основе принципа сжатых отображений // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53459

Труды МАИ. Выпуск № 105_http://trudymai.ru/

19. Зверяев Е.М., Олехова Л.В. Итерационная трактовка полуобратного метода Сен-

Венана при построении уравнений тонкостенных элементов конструкций из композиционного материала // Труды МАИ. 2015. № 79. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=55762

20. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis (2nd ed.). New York: CRC Press, 2004, 831 p.