CC BY
4Труды МАИ. Выпуск № 103
http://trudymai.ru/
УДК 539.3
Исследование напряженно-деформированного состояния симметричных прямоугольных пластин произвольной геометрии на основе уточненной теории
Фирсанов В.В.*, Зоан К.Х.**
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия,
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
Аннотация
Представлена уточненная теория расчета напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластин, симметричных относительно срединой плоскости и произвольной геометрии в продольном направлении. Уравнения состояния пластины описываются соотношениями трехмерной теории упругости. Искомые перемещения пластины разлагаются по нормальной к срединой поверхности пластины координате в полиномы на две степени выше, чем в классической теории типа Киргофа-Лява.
С помощью вариационного принципа Лагранжа получена система основных уравнений уточненной теории и соответствующие граничные условие.
Одна из отличающих особенностей предлагаемой уточненной теории состоит в том, что при определении поперечных нормальных и касательных напряжений используется прямое интегрирование уравнений равновесия трехмерной теории упругости.
Для изотропной прямоугольной пластины переменной толщины методом Леви получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях с переменными коэффициентами, содержащая дополнительные члены, учитывающие влияние изменения толщины на напряженно-деформированное состояние пластины.
Для решения указанной краевой задачи применяется метод конечных разностей. Рассматривается пример расчета напряженного состояния прямоугольной пластины с толщиной, меняющейся по линейному и параболическому законам. Проведено сравнение результатов, получаемых по уточненной и классической теориям. Установлено, что при исследовании напряженного состояния в зонах его искажения (соединения, зоны локального нагружения и д.р.) следует использовать уточненную теорию, так как соответствующие дополнительные напряжения оказываются одного порядка с величинами основного напряженного состояния.
Ключевые слова: прямоугольная пластина, произвольная геометрия, вариационный принцип Лагранжа, метод конечных разностей, напряженно-деформированное состояние «погранслой».
Введение
В данной работе проводятся результаты построения уточненной теории изотропных прямоугольных пластины, симметричных относительно срединой плоскости и произвольной толщины в продольном направлении. Дело в том, что при
проектировании различных переходных зон и соединений в машиностроении, в том числе авиационной и ракетно-космической отрасли, как правило, применяются пластины и оболочки переменной толщины. Поэтому актуальной задачей представляется повышение достоверности методов расчета пластин и оболочек за счет учета трехмерности напряженно-деформированного состояния (НДС) в зонах его искажении (зоны крепления, локального нагружения), где имеют место НДС типа "погранслой". Учета трехмерности НДС в указанных зонах в сочетании с методами механики разрушения позволяет оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах конструкции и обосновать тип конструкционного материала для его рационального распределения вблизи концентраторов напряжений.
Применяя метод прямого асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости, А.Л.Гольденвейзер [2] привел задачу определения НДС пластин и оболочек постоянной толщины к построению трех НДС. В первом приближении они соответствуют внутреннему (основному) НДС, определяемому по классической теории, и двум дополнительным состояниям типа "погранслой", эквивалентным краевым кручению и плоской деформации.
Сформулированные в [2] краевые задачи со специфическими граничными условиями не позволяют применить эти результаты в практике инженерных расчетов. В связи с этим в работах [3-8] с помощью вариационно-асимптотического метода построена уточненная теория расчета НДС прямоугольных пластин из композиционных материалов, круглых пластин и цилиндрических оболочек постоянной и переменной толщины. В результате расчетов тонких пластин и
оболочек установлено, что вблизи жестко защемленного края дополнительное НДС типа "погранслой" одного порядка с максимальными напряжениями основного НДС.
Другой подход [9-15] к построению уточненной теории пластин и оболочек заключается в представлении искомых перемещении в виде полиномов по нормальной координате более высокой степеней по отношению к классической теории и последующем применении вариационного принципа Лагранжа. Установлено, что уже при повышении на один-два порядка аппроксимирующих полиномов по сравнению с классической теорией, имеют место значительные локальные напряжения.
В рамках этого подхода краевые задачи статики и динамики для цилиндрических оболочек и пластин были обобщены [10-15] на случай произвольных ортотропных оболочек, а также оболочек переменной толщины, изменяющейся по линейному закону.
Следует отметить также работы [16-20] в которых рассматриваются другие методы уточненного расчета пластин и оболочек.
В данной работе основные уравнения уточненной теории пластин получаются с помощью вариационного принципа Лагранжа и разложения искомых перемещений по толщине. Такой прием позволяет рассматривать не только тонкие пластины, но и пластины средней толщины. В качестве примера рассматривается расчет НДС прямоугольной изотропной пластины переменной толщины под
действием распределенной нагрузки. Дано сравнение результатов расчета НДС пластины по уточненной и классической теориям.
Головные уравнения уточненной теории пластин
Пусть прямоугольная изотропная пластина с симметричной относительно средней плоскости толщиной, нагружена поперечной нагрузкой q (х, у). Отнесём
пластину к прямоугольной системе координат, обозначив через a и Ь длину и ширину пластины, а через 2h - её переменную толщину. Толщина пластины в продольном направлении произвольна (рис.1). Координатные оси х, у совпадают с главными направлениями срединной плоскости пластины, а ось г направлена по внешней нормали к этой плоскости. Края пластины х = 0, х = а, у = 0, у = Ь могут быть любыми, т.е. свободными, шарнирно опертыми и жестко защемленными.
Рис. 1. Прямоугольная пластина В соответствии с работой [9], перемещения пластины представляются в
следующем виде:
5
^
и (х, y, 2) = Щ (у) + Щ (у ) 2 + и2 (у )—+ Щ (у ) —,
3
2 2
и2 (х y, 2 ) = у (x, у) + V! ( х у ) 2 + у (х у)—+ у (х у )—,
2
и3 (x, y, 2) = Щ (х у) + Щ (х у)+ Щ (x, у ^ 52-
Параметры 5, 5 в (1) принимают значения 0 или 1. Варьируя значения 52, можно получить варианты уточненной теории.
Геометрические уравнения трехмерной теории упругости имеют вид
£х = ди75х, £у =ди2/ду, /ху = дих1ду + ди2/дх,
У„=дих /д2 + диз¡дх, / =ди2¡д2 + диз/ду, е2=диз/д2.
(2)
С учетом формулы (2) выражения для деформаций, соответствующих перемещениям (1), записываются в виде
£
дщ 2'
дх '!
£
ду 2
^ д, , „I , /хУ ^
'=0
1=0 ду '!
'=0
дщ ду, —L + —L
ду дх
—, £2=51Щ1 + 52Щ2 2 '!
Ух2
щ +
дх
+
щ + 5
дщ
дх
л с 2 +
V
дщ
и1 + 5 о
3 2 /-ч
дх
2!
(3)
Уу2
дщ0 у +—0
ду
+
У2 + 51
дщ
ду
2 +
V + 52
дщ ^ 22 " 2!
ду
вид
Физические уравнения трехмерной теории упругости для пластины имеют
ах = А11£х + А12£у + А13£2> ау = А21£х + А22£у + А23£2, ?ху = А44уху, а2 = А31£х + А32£у + А33£2, Т х2 = А55Ух2, Ту2 = А66Уу2,
(4)
где коэффициенты а. (' = 1,6,] = 1,6) представляют собой упругие постоянные
изотропного материала пластины.
3
Дифференциальные уравнения равновесия и естественные граничные условия для пластин находим на основании вариационного принципа Лагранжа
Зи -За = 0.
(5)
В уравнении (5) вариация потенциальной энергии деформации зи
определяется как
Зи = Ш(ахб£х + ^уЗу + ^г + ^хгЗГХг + ^уЛуг + ?хуЗГху )
(6)
и ЗА - вариация работы внешней нагрузки, находится по формуле
ЗА = Л q( х, у)З
к2
Wo{ ^ у) + ^x, у)кБх + х у)—$2
dxdy
(7)
Подставляя выражения (6), (7) в (5) с учетом формул (1), (3) и (4), получим систему головных уравнений уточненной теории рассматриваемых пластин
+^=0,
дх ду
у +—^ = 0,
ду дх
дахг, да
хг + —ху = р о
2 '
дх ду
дЫ1 дМ'
— +---Н' = 0,' = 1,2,3,
дх ду
дМ\ дМ'
у + М-Щг = 0,' = 1,2,3,
ду дх дМ1 дМ\
хг +- щ = р\,($1 = 1)
дх ду
дМ2г | дК дх ду
- Н2 = р2,( $1 = 2).
(8)
Здесь приняты следующие обозначения:
+h
(N ,N ,N ,Q ,Q )= \(л л л л л )dz,
V x' y' J У xyl xz? yz-> '
x' - h
+hi
zi
(M'x, му, m; , Mlxz, M'yz ) = J (а лу л л л ) -dz,
-h il
+h i-1
(H'Xz,H'yz,Qz) = JЛЛ)j^dz, p'z=qh' / il,
где Nx, Ny, Nxy, Qz, Qyz, Mlx, My, My, Mlya, M'yz, H;, H'yz, Q - обобщенные внутренние
силовые факторы, физическая интерпретация которых в трехмерной системе координат дана в работах [10,11].
Следует отметить, что восемь из тринадцати внутренних факторов, а именно Nx, N , N, Qx, Q, Mx, M' , M' , аналогичны соответствующим силовым
факторам, принятым в классической теории тонких пластин в общем случае нагружения, когда рассматривается изгиб пластины и её плоское напряженное состояние.
Соответствующие граничные условия на краях x = 0, a представляются в следующем виде:
Nx = Nx V u0 = ^ Nxy = Nxy V Vo = ^ Qxz = Qxz V Wo = Wo,
Mlx=Mx v ut= ut, Ml=Mxy V vt=vt, i = 1,2,3, (9)
м1^ = mxz v w = w, i = 1,2, при s = 1;
на краях y = 0, b :
Ыху = Ыху V и0 = Ыу = Ыу V V = Vo, 0,2 = V щ = ^
М' = М' v и. = и, М'= М' v V = V, ' = 1,2,3, (10)
М = Муг v щ = щ, ' = 1,2, при Б = 1;
где верхней чертой обозначены значения внешних силовых факторов, действующих по боковым граням пластины.
Очевидно, что краевые условия (9), (10) охватывают все разнообразие возможных условий закрепления пластины, а их количество полностью соответствует порядку системы дифференциальных уравнений (8).
Решая уравнения (8) с учетом краевых условий (9), (10), находим перемещения и1, V и щ . Напряжения ах, ау , т определяются формулами (3), (4),
а поперечные напряжения т^, т , а2 по аналогии с [4] получаются с помощью
интегрирования трехмерных уравнений равновесия теории упругости
г (да дт Л 2 (да дт Л \
* Яг РН> Л РН> Яг *
дх ду
- к V ^ ^ у
-к V
ду дх
'дт дт
аг =-|| —^ + уг
- к V
дх ду
dz.
Системе обыкновенных дифференциальных уравнений для краевой задачи
Рассматривается изотропная прямоугольная пластина, толщина которой определяется функцией к(х), при этом -к < г < к и координата 7=0 соответствует срединной поверхности пластины, а толщина к(х) мала в сравнении с другими размерами пластины.
Далее полагаем, что пластина на рис.1 имеет шарнирные опоры на краях у = 0, Ь. Тогда разложим нагрузку и перемещения в ряды по тригонометрическим функциям вида
Я (х у) = IQm (х)^{^ту), и (Xу) = Iиш (х)вт(^ту),
(11)
т=1
т=1
V (XУ) = ХУгт (Х)С°8(¥тУ), (XУ) = 1Wjm (Х)(^тУ), 1 = 0,3, J = 0,2
т=1
т=1
где = тя / Ь.
После подстановки разложений (11) в уравнения (8) и граничные условия (9), (10), находим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций
иш, V™, W7m, I = 0,3, J = 0,2, т = 1,2,3,... и соответствующие краевые условия. В
результате система дифференциальных уравнений равновесия пластины, после её преобразования к перемещениям и отбрасывания нелинейных слагаемых, представляется как
I
я=О
а
(2
«11 —_ „,2^ и
ту-ш0 гуш11 ы , ,2 туш22
К + К, ——г ах
итт ( X )-23Г12 ( ( X ) +
1(
-=0 (
+КГ - Wom (X) + ^КГ1 ^1т (х) + 5*2КГ ^2т (X) = 0, I = 1,2,3,4
3х
а.х
-X
I ^ Ти-т ( X ) + 1
^=0 -»02
^=0
d2
к:-0 + к:
-X2
г к
^ (X )
+КГ2^т (X) + 5К712^ы (X) + 52к;>22^2т (X) = 0, / = 5,6,7,8,
(12)
X к;-' (х )-Х ¥к7 2Уш (х )+
-=0 ах -=0
Г л2
1 й
V ] ] йх2
+$2
2
2 т,Г щ022\ттг ( \ с »10 , 7^щ111 ы 2тт »122 ттг ( \
V К» (х) + $1 Кщ + Кщ "7ТК Ж1т (х)
V йх у
т^»20 , т^щ211 и , -2 т/-щ222
К1 + К1 ттк
+
] ] ■> V йх у
т ( х ) = К330т , ] = 9,10,11.
Здесь коэффициенты к с верхними и нижними индексами обозначают переменные величины, зависящие от геометрических параметров и упругих постоянных изотропного материала пластины. В отличие от уравнений теории пластин постоянной толщины [14] в системе уравнений (12) имеют место дополнительные слагаемые, учитывающие влияние изменения толщины на НДС пластины. Ввиду громоздкости соответствующих им выражений, здесь они не приводятся.
Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений (12) с переменными коэффициентами, в ряде случаев, не может быть решена с помощью преобразования Лапласа. Поэтому для решения указанной системы предлагается использовать метод конечных разностей, который имеет ряд преимуществ по сравнению с другими методами. Во - первых, он позволяет решить систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами; во - вторых, достаточно мелкая разбивка пластины в ее краевой зоне дает возможность учесть дополнительные НДС типа "пограничный слой"; в - третьих, правые части системы уравнений (12), соответствующие нагрузочным членам, могут представлять собой не только аналитические функции, но и функции ступенчатого вида и иметь точки
разрыва [9,10].
Исследование напряженно-деформированного состояния пластины под действием распределенной нагрузки
Рассматривается пластина переменной толщины, находящаяся под действием распределенной нагрузки q (x, y) = Q sin (ymy), где Q = const. Тогда компоненты
перемещений и соответствующих им напряжений пластины, определяются первыми слагаемыми в разложении (11).
В качестве первого примера рассматривается квадратная изотропная пластина со следующими параметрами: a = b = 1( м), толщина определяется
соотношением
h(x) = hm - tg (a)
x.
h - h
где tg(a) = —-0, коэффициент Пуассона ju = 0,3, модуль упругости E = 2 • 10
b
ii
Результаты вычисления максимальных нормальных напряжений пластины, жестко защемленной на двух краях х = 0, а, по уточненной теории представлены на рис 25. Отметим, что на этих рисунках аббревиатура "Уточ" соответствует варианту уточненной теории (^ = = 1) и "Клас" (^ = = 0) следует рассматривать как
соответствующую расчету по классической теории.
Анализ полученных результатов показывает, что вне краевой зоны значения напряжений, определенных по уточненной и классической теориям, практически совпадают (рис. 2). Максимальное рассогласование результатов расчета имеет место (рис. 3) при определении нормальных тангенциальных напряжений а и составляет
10%. При исследовании НДС пластины с помощью предлагаемой теории, 12
напряжения в краевой зоне существенно уточняются: нормальные тангенциальные напряжения ах - на 24,8% (рис. 2) и а - на 17,6% (рис. 3). Максимальные
нормальные поперечные напряжения а2, соответствующие уточненной теории, в краевой зоне пластины оказываются одного порядка с максимальными величинами основного изгибного напряжения (рис. 4). Здесь надо отметить, что нормальные поперечные напряжения а2, определяемые по классической теории, пренебрежимо малы, а по уточненной теории составляют около 30% от максимальных изгибных напряжений ах (рис. 2, 4). Графики изменения напряжений ах, а по толщине в
краевой зоне x=a показаны на рис. 6.
— — ч чЛ
у \\
У
7 У
// У о. 2 0 4 0 Л 6 0 8 \
-и
50-
Рис. 2. Изменение ах по длине Рис. 3. Изменение по длине
-ю-
-20
а
-зо
-40-
-50
_
/ 0 2 0 4 0 6 0 8
X
Рис. 4. Изменение аг по длине Рис. 5. Изменение ах по длине в
краевой зоне
%
0 2 >0 4 0 6 0 8 \
/
• Уточ.--Клас.
Рис. 6. Изменение ах,аупо толщине в Рис. 7. Изменение ах по длине краевой зоне
100
50
-50 -150
_Л
Л
\\
V
д \
//
V
1 /! 2 0 1 \
//> 4 0 6 0 8 1
// 1
X 1
' /V Л
Г
* ц
\
1\
и
1
т
и- / ' " 2 0 4 0 6 0 Е
Уточ--Клас. I |-Уточ.--Клас.|
Рис. 8. Изменение а у по длине Рис. 9. Изменение аг по длине
Рис. 10. Изменение ах в краевой зоне Рис. 11. Изменение ах ,ау по толщине
в краевой зоне
В качестве второго примера рассматривается квадратная изотропная пластина с аналогичными параметрами, толщина которой определяется функцией второго порядка И(х) = 0.028х2 - 0.072х + 0.049 (рис.1). В этом случае, в системе уравнений (12) существенную роль играют переменные коэффициенты, учитывающие влияние изменения толщины на НДС пластины. Результаты вычисления НДС пластины представлены на рис 7-11.
Заключение
На основании полученных результатов можно установить следующее:
1. На основании вариационного принципа Лагранжа и разложения компонентов перемещений в полиномиальные ряды по толщине на один-два порядка выше по отношению к классической теории построена краевая задача уточненной теории пластин произвольной геометрии в продольном направлении.
2. Проведено сравнение результатов расчета НДС пластины при использовании уточненной и классической теорий. Установлено, что при
исследовании НДС в краевых зонах пластины следует использовать уточненную теорию, так как в них максимальные напряжения существенно уточняются.
3. Учет трехмерности НДС в пластине показал, что поперечные нормальные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, в краевой зоне («пограничный слой») оказываются одного порядка с максимальными величинами основного изгибного напряжения. Этот результат имеет важное значение, так как позволяет достоверно оценить прочность и трещиностойкость силовых корпусов летательных аппаратов, а также элементов конструкций в других отраслях машиностроения, в том числе, выполненных из композиционных материалов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 17-08-00849)
Библиографический список
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966. - 636 с.
2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976. - 512 с.
3. Фирсанов В.В. Об уточнении классической теории прямоугольных пластинок из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций // 2002. Т. 8. № 1. С. 28 - 64.
4. Фирсанов В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок на основе неклассической теории // Проблемы машиностроения и надежности машин // 2016. № 6. С. 35 - 43. (V.V. Firsanov. Study
of stress-deformed state of rectangular plates based on nonclassical theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2016, vol. 5, no. 6. pp. 515 - 522).
5. Фирсанов В.В. Напряженное состояние типа "пограничный слой" - краевое кручение прямоугольной пластинки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений // 2016. № 6. С. 44 - 51.
6. Фирсанов В.В. Математическая модель напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластинки переменной толщины с учетом пограничного слоя // Механика композиционных материалов и конструкций (МРБД - Chemical Abstracts) // 2016. Т. 22. № 1. С. 3 - 18.
7. Фирсанов В.В., Павлова О.В. Напряженно-деформированное состояние пограничный слой в краевой зоне прямоугольной пластинки // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. № 6. С. 236 - 242.
8. Фирсанов В.В. Локальное напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки на основе трехмерных уравнений теории упругости // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2013. № 2. С. 10 -19.
9. Фирсанов В.В. Напряженное состояние "пограничный слой" - краевое кручение цилиндрической оболочки // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. № 6. С. 144 - 153.
10. Фирсанов Вал.В., Зоан К.Х. Напряженное состояние "пограничный слой" в прямоугольной пластине переменной толщины // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. № 6. С. 443 - 451.
11. Фирсанов В.В., Чан Н.Д. Энергетически согласованная теория цилиндрических оболочек // Проблемы машиностроения и надежности машин // 2011. № 6. С. 49 - 54. (V.V. Firsanov and Ch.N.Doan. Energy-cousistent theory of cylindrical shells // Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2011, vol. 40, no.6, pp. 543 - 548.)
12. Фирсанов В.В., Чан Н.Д. Исследование статики и свободных колебаний цилиндрических оболочек на основе неклассической теории // Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т. 20. № 1. С. 104 - 123. (V.V. Firsanov, T.N.Doan. Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory // An International Journal «Composites: Mechanics, Computations, Applications», 2015, vol. 6, issue 2, pp. 135 - 166).
13. Чан Н.Д., Фирсанов В.В. Напряженно-деформированное состояние прямоугольных пластин на основе уточненной теории // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т .14. № 1. С. 23 - 32.
14. Фирсанов В.В. Напряженное состояние пограничный слой в цилиндрических оболочках на основе неклассической теории // Проблемы машиностроения и надежности машин // 2018. № 3. С. 44 - 51. (V.V. Firsanov. The stressed state of the "boundary layer" type cylindrical shells investigated according to a nonclassical theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity. 2018, vol. 47, no. 3, pp.241 - 248).
15. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме построения неклассической теории пластин // Известия АН. Механика твердого тела. 1990. № 2. С. 158 - 167.
16. Зверяев Е.М. Конструктивная теория тонких упругих оболочек. Препринт №33. -М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016. - 25 с. Doi:10.20948/prepr-2016-33.
17. Dicarlo A., Polio Guidugli P., Williams W.O. Shells with thickness distension // International Journal Solid and Structures, 2001, vol. 38, Issue 6 - 7, рр. 1201 - 1225.
18. Jaiani G. Differential hierarchical models for elastic prismatic shells with microtemperatures // ZAMM-Z (Journal of Applied Mathematics and Mechanics), 2015, vol. 95, Issue 1, pp. 77 - 90, doi: 10.1002/zamm.201300016
19. Зверяев Е.М. Выделение уравнений типа Тимошенко из пространственных уравнений теории упругости для пластины на основе принципа сжатых отображений // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53459
20. Зверяев Е.М., Олехова Л.В. Итерационная трактовка полуобратного метода Сен-Венана при построении уравнений тонкостенных элементов конструкций из композиционного материала // Труды МАИ. 2015. № 79. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=55762
