CC BY
28
К. Тухлиев. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями.
УДК 517.5
К. Тухлиев
наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями и значения средних поперечников некоторых функциональных классов
В работе решается ряд экстремальных задач о наилучшем среднеквадратическом приближении функций заданной на всей действительной оси R := (-<»,■+») целыми функциями экспоненциального типа а > 0 . Вычислены точные неравенства между величиной наилучших приближений f е и интегралами, содержащими специальные модули непрерывности га-го порядка, связанные с оператором Стеклова, введенные в работе В. А. Абилова и Ф. В. Абиловой. Найдены точные значения средних поперечников, введенные Г. Г. Мага-
(1 ' V*
рил-Ильяевым для классов функций f е Ьудовлетворяющих условию I -1 (f (г);т)с1т\ <Ф(Г), где
т е N г е 7+, 0< д < 2, Г е R +, От (f(г); т) - обобщенный модуль непрерывности т-го порядка производной f е Ьг)^), Ф(Г) - произвольная возрастающая функция, Ф(0) = 0.
Ключевые слова: наилучшие приближения, преобразование Фурье, модуль непрерывности т-го порядка, характеристическая функция, целая функция экспоненциального типа, средние v-поперечники.
Пусть Q есть центрально-симметричное множе- Пусть ^1(Г), Г > 0 - произвольная непрерывная
ство из Ьри V > 0 является произвольным чи- возрастающая функция такая, что Т1(0) = 0. При
слом. Тогда под средним у-поперечником по Колмо- „„ лт„ 7 п ~ , „
/л т /т>\ любых т е N1, г е 7+ ,0 < а < 2 и п е R + полагаем горову множества Q в Ьр (R) понимают величину
dv (Q, Lp (R)) := inf{sup{inf{|| f -ф\\ p :фе J}: f e Q}: : J с Linc(Lp (R)),dm(J,Lp(R)) < v}.
Wqr)(nm;- \ f e L2r)(R):1 f (r);t\dt < ^(h) \.
Для произвольной центрально-симметричной множество G с Ь2 (R) определим наилучшее при-П!дпро!^ан'тво1на„!о^о^ом„д°.с-т.игае!ся. внеш- ближение Ла^)Ь №) = sup{Лг(f )2 : ! е О},
няя нижняя грань, называется экстремальным.
Средним линейным у-поперечником множества
Q в Ьр (R) называют величину
Ьр ^)):=М^ир{|| / - Л( /) ||р : / ед}:^, Л)},
где нижняя грань берется по всем парам (X, Л) таким, что X есть нормированное пространство, непосредственно вложенное в Ьр Q с X; Л: X ^ Ьр , яв-
1 -
sin t
L sin t л sin t* ^ I
:= < 1--,ecnu 0 < t < t*;1--,если t > t* !>,
[ t t*
где 4.49 < t <4.51. Для пары L)(R),Л), где
Л: L(2) (R) ^ L2 (R) является линейным непрерыв-ляется линейным непрерывным оператором, для ТГ . т. Д * „
--ным оператором, для которого VmЛеьтс (L2(R))
которого ImЛ с Linc (LP (R)) и dim(ImЛ, LP (R)) < v. -7—
F F и dim(Im Л, L2(R)) <v, полагаем
£V(G)L)(R),Л)) := sup{|| f-Лf 112: f e G}.
В силу теоремы 2.1 из [1] вытекает следующая
Здесь ImЛ есть образ оператора Л . Пару, на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной. Величину
bv (Q,Lp (R)) := sup{sup{p > 0: J n pBLp (R) с Q}:
: J с Linc (Lp (R)),dm(J,Lp (R))>
>v, dv(J n BLp (R), Lp (R)) = 1}
называют средним v-поперечником по Бернштейну множества Q в Lp (R). Следует отметить, что между перечисленными экстремальными характеристиками множества Q имеют место следующие неравенства:
bv (Q, Lp (R)) < dv (Q, Lp (R)) < Sv (Q, Lp (R)).
теорема 1. Если для всех а е R+, 0 < П < к/а, т е N, 0 < а < 2 мажоранта удовлетворяет условию
ТДп/ а)
dt \
№
Sin t
t
dt \
то при а - nvv (v >0), r e Z+ имеют место равенства
t
Вестник ТГПУ (TSPUBulletin). 2015. 2 (155)
VW(rЧ"; 4(R)) = AvW\"m; ^1}}i2(R)
SV„(W(r Ч"; ТД( ^(R), Л'„)) i2(R) =
= (nv)-
1 / \. 1 r*l 1 sint j
nj0 [ t J
2
s-1/q mq ^ J
dt
J
экспоненциального типа < + £ , рассмотренную нами при доказательстве теоремы 2.1 из [1]. Если полагать £ = уп£ , то мы имеем
7 + S, = Vn(1 + s) = С,.
Поскольку по теореме Винера-Пэли
7 + S,
I f, ii:2(R)=2 j ^(4т)гdт=2s,,
7
то, как следует из равенства
где /у (•) - любой из перечисленных выше средних у-поперечников. При этом пара (Л*п), где Лп определяется из условия Р(ЛП/,•) = Х„ (•) • Р(/,•) (^-преобразование Фурье в L2(R), Хп - характеристическая функция интервала (-уп,уп)) , будет экстремальной для среднего линейного поперечника г)(От; ТД L2(К)), и формул (3) и (4), целая функция
р = 7,'
( i 7,h
7,h
j , - ^
\-1/q
dt
^i(h)
а пространство Вп,2 является экстремальным для среднего поперечника по Колмогорову dv(wqг )(Пт; ТД L2(R)).
Задача изучения поведения величин наилучших
приближений А<(/{г-)) , где ге!К, 5 = 0,1,...,
г-1 на различных классах целых функций, определяемых заданной мажорантой рассмотрена в работах [2]. Здесь аналогичная задача решается для введенная нами класса целых функций
Ж(г) (О ; ТД
^ V т' 1 '
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1; 5 = 0,1,..., г -1, где г е N и 0<г<да .
Тогда имеют место следующие равенства:
f s*(Х):= ^РГ fs*(Х)
является элементом шара
B7,(p,) = {g7, е B,,2:|| g<
(3)
(4)
(5)
(6)
* и2(Р) котоPый,
как легко проверить, принадлежит классу W( г )(От; ТД
Используя неравенство А<(/£-5)^ (к) >"\/2£7-5, доказанные нами в [1], и соотношение (6), сразу получаем
An((f J-s)MR) >p(nv)
( r-s )
(7)
Учитывая неравенство (7), равенство (5) и (3), имеем
sup
k( f(r-s) )l2(r) : f ) ("m; ^1)} =
(nv)-
L2(R)
sin t
sup{ Avx( f(r-s ))2: f eW; r )("m; ^1)} >
( r ),
1 f N sin
—jt I 1--
ni I t
mq -1/ q
dt
44 "I.
> Avn(( f s )( ))L2(R) >
1
-x
(1)
Доказательство. Полагая, в равенстве теореме 2.2 из [1], t = п / 7 и подбирая число v е (0,да) так, чтобы 7 = vn и с учетом определения класса W^r) ("m; ), имеем оценку сверху
sup {avx( f(r-s) )h (R) : f eW^ ) ("; ^)}<
'2(R) Vs (1 + s)r
mq -1/ q
n(1
mq
r(1+s)Л - sinA dt + s) ^ t J
44 -I.
(8)
В неравенстве (8) от £ зависит только правая часть. Поэтому вычисляя верхнюю грань по £ > 0, от ее правой части будем иметь
sup{ Anr( f(r-s ))2: f eW r )("m; ^1)} >
(nv)-s
1 n f ■
П П i1 - j
-1/q
dt
^1(1/ V).
(2)
J_
e*( sin t
j0 1 t
j-1/q
dt
"I.
(9)
Для получения оценки снизу выражения, записанного в левой части равенства (1), рассмотрим целую функцию
, . ¡2 | ят(а + £*)х зтах ,
г-(х)1 П - "7х >-£'>°
Сопоставляя оценку сверху (2) и оценку снизу (9), приходим к требуемому равенству (1). Теорема 2 доказана.
1
К. Тухлиев. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями...
Описок литературы
1. Тухлиев К. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве L2 (R). I // Известия АН РТ, отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. н., 2013, № 3 (152), С. 19-29.
2. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации функций на вещественной оси II // Укр. матем. вюник, 2012, Т. 9, № 4, С. 578-602.
Тухлиев К., кандидат физико-математических наук, доцент. Худжандский государственный университет им. Б. Гафурова.
Ул. Мавлонбекова, 1, Худжанд, Республика Таджикистан, 735700. E-mail: [email protected]
Материал поступил в редакцию 20.12.2014.
K. Tukhliev
BEST MEAN SQUARE APPROXIMATION BY ENTIRE FUNCTIONS AND VALUES OF THE AVERAGE WIDTHS OF SOME
FUNCTIONAL CLASSES
We solve number of extremal problems on the best mean square approximation of functions defined on the whole line R := +<») by entire functions of exponential type J > 0 . Calculated exact inequalities between the best approximations of the value of f e L2(R) and integrals containing special moduli of continuity of the m-th order associated with the operator Steklov introduced in V. A. Abilova and F. V. Abilovoy. For the widths were calculated the exact mean values formulated by G. G. Magaril-Ilyaev for the classes functions f e L)(R) satisfying the
condition J' Qq (fw;r) drj <Ф(0, where m e N, r e Z+, 0< q < 2, t e R+, Qm (fw;r) - generalized modulus
of continuity m order derivative f e L^)(R), Ф(') - the arbitrary increasing function Ф(0)=0. Similar problems for periodic functions in the space L2[0,2^] previously considered works of V. A. Abilova, F. I. Abilovoy, S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozova and others.
Key words: 'he best approximation, Fourier transform, modulus of continuity of m-order, 'he characteristic function, entire function of exponential type, the mean of v-widths.
References
1. Tukhliev K. O nailuchshih priblizhenijah celymi funkcijami v prostranstve L2 (R). I [Best approximations of entire functions in the space L2 (R). I]. IzvestiyaAN RT, otd. fiz.-mat, him., geol. i teh. n, 2013, no. 3 (152), pp. 19-29 (in Russian).
2. Vakarchuk S. B. O nekotrykh ekstremal'nykh zadachakh teorii approksimatsii funktsiy na veshchestvennoy osi. II [Some extreme problems in the theory of approximation of functions on real axis. II]. Ukr. matem. visnik, 2012, vol. 9, no. 4, pp. 578-602 (in Russian).
Khujand State University named B. Gafurov.
Ul. Mavlonbekova, 1, Khujand, Respublika Tajikistan, 735700. E-mail: [email protected]
