Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 1, С. 86-97

УДК 51Т.5

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ РЯДАМИ ФУРЬЕ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

М. Ш. Шабозов, М. С. Саидусайнов

В работе рассматривается задача среднеквадратичного приближения функций комплексного переменного, регулярных в некоторой односвязной области, @ С С рядами Фурье по ортогональным системам при наличии неотрицательной интегрируемой в @ весовой функции 7 := 7(|г|), т. е. когда

Ранее В. А. Абилов, Ф. В. Абилова и М. К. Керимов в Ь2,7 исследовали вопросы отыскания точных оценок скорости сходимости рядов Фурье функций f £ Ь2,7 и доказали некоторые точные неравенства типа Джексона, вычислили значение колмогоровского га-поперечника некоторых классов функций [9]. При этом широко использовали специальный вид оператора обобщенного сдвига, благодаря которому ввели обобщенный модуль непрерывности то-го порядка и на его основе — классы функций, определяемые заданной монотонно возрастающей на := [0, мажорантой. В настоящей работе продолжается исследование указанных авторов, а именно, доказывается точное неравенство Джексона — Стечкина между величиной наилучшего приближения комплексными алгебраическими полиномами функций f £ Ь2 ,7 и Ьр-нормой обобщенного модуля непрерывности. Изучаются аппроксимативные свойства классов функций, у которых Ьр-норма обобщенного модуля непрерывности имеет заданную мажоранту.

При некоторых условиях на мажоранте для введенных классов функций в Ь2,7 вычисляются берн-ШТ6ЙНОВСКИЙ, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный га-поперечники. Доказывается, что все поперечники совпадают и оптимальными подпространствами являются подпространства алгебраических комплексных полиномов.

Б01: 10.23671/У]МС. 2018.1.11400.

Ключевые слова: весовое пространство Бергмана, обобщенный модуль непрерывности, оператор обобщенного сдвига, га-поперечники.

1. В работе рассматривается среднеквадратичное приближение функций рядами Фурье по ортогональным системам в области комплексного переменного при наличии веса. В области & С С задана неотрицательная измеримая, не эквивалентная нулю функция 7(И) такая, что существует конечный интеграл

где интеграл понимается в смысле Лебега, а йо — элемент площади. Функцию 7 = 7(|я|), удовлетворяющую этим условиям назовем весовой функцией.

© 2018 Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С.

/ £ Ь2,7 := Ь2(7(И),Я).

Будем рассматривать вопросы среднеквадратичных приближений суммами Фурье комплексных функций /, регулярных в односвязной области принадлежащих пространству := ¿2(7(М), $) с конечной нормой

1/2

2,

2,7 := II/Hl2,7 = IJJ т(И)|/(z)|2 dal < то,

, jz|)|/(z)

D

где y(|z|) — весовая в области D функция. В случае, когда область D есть круг |z| ^ R (0 < R < то) пространство L2,7 — весовое пространство Бергмана B2,7, введенное в работах [1, 2]. Экстремальные задачи аппроксимации аналитических функций и задачи вычисления значений различных n-поперечников в пространстве B2,7 рассмотрены во многих работах (см., например, [3-7] и приведенные в них библиографии).

Пусть (z)}k=0 — полная ортонормированная по области D система комплексных функций в пространстве ^2,7:

те „ „

f(z) = ck(f) = jj 1(\z\)f(z)Mz)dz (1)

k=0 (D)

— суть ряды Фурье функции / G L2,7 по этой системе,

n— 1

Sn(/; z) = Y^ Ck (/)<Pk (z) k=0

— его частичные суммы порядка n. Пусть Pn — подпространство обобщенных комплексных полиномов вида

n— 1

Pn(z) = ^ dk ^k (z), k=0

где dk G C. Тогда, как хорошо известно (см., например, [8], с. 263):

те

En—1(/) = inf {||/ -pn||2,7 : Pn(z) G Pn} = II/ - Sn(/)H2>7 = ^ |ck(/)|2, (2)

k=n

где Ck(/) — коэффициенты Фурье функции /, определенные в (1). Рассмотрим теперь функцию

= (3)

k=0

где Н С (0,1), (£,п) ^ $ х причем равенство в (3) понимается в смысле сходимости в пространстве х $;7(|£|)7(|п1))-

Сразу отметим, что в ряде частных случаев можно указать явные выражения для функции Т(£, гу; /г). Так, например, если ^ = {г £ С; < 1}, 7(|<г|) = 1, то система функций </?&(,г) = (к + 1)/тггк, к = 0,1,... , является ортонормированной (см., например, [8, с. 208]). В этом случае имеем (см., например, [9])

те те

т&тн) = = -5> + 1ЖФ)к = - ■

к=0 к=0 ( ^ ' )

В пространстве рассмотрим оператор Рн:

Рн/(г) = Л 7(К|)/(С)Т(г, с; 1 - Л) С (4)

который будем называть оператором обобщенного сдвига. Оператор Рн обладает следующими свойствами:

1) Рн(/1 + /2) = Рн(/1) + Рн(/2) (V/1,/2 е ^2>7);

2) Рн(А/) = АВД) (V А е С) (V / е Ь2>УУ,

3) ||Рн(/)|| < II/II (V/ е ¿2>7);

4) Рн^(г) = (1 - Л)пщ(г);

5) ||Рн(/) - / 1Н 0, Л ^ 0+.

При помощи оператора обобщенного сдвига Рн для произвольной функции / е ¿2,7) определим конечные разности первого и высших порядков равенствами

ДН/(г) = /(г) - Рн/(г) = (I - Рн)/(г),

m / \

(z) = Ah (Am-1/(z)) = (I - Fh)m / (z) = £(-1)m-k k Fhk)/(z),

г—n V /

. k

k=0

где Fof (z) = I/(z) = /(z), F^k)/ (z) = Fh(F^k 1)/(z)), k = 1,..., m, m G N, I — единичный оператор в пространстве р2,7- Величину

ЗД; i)2>7 = sup (удт/(z) 112,y : 0 <h < t} (5)

будем называть обобщенным модулем непрерывности m-го порядка функции / G L2,7-Лемма 1. Для произвольной функции / G р2,7 справедливо равенство

те

пт(/; t)2>7 = £(1 - (1 - t)k )2т |Ck (/)|2. (6)

k=0

< Прежде всего, заметим, что оператор (4) с учетом (3) представим в виде

Fh/(z) = // y(IC|)/(C)T(z,C;1 - h) dz = JJ7(ld)/(C){ E(z)^fc(C)(1 - h)4 dz

D d ^ k=0 J

те / \ те

= E \ y(ICI)/(C)Vk(C) dC I Vk(z)(1 - h)k = £ Ck(/(z)(1 - h)k, k=0 \ D / k=0

используя который последовательно находим

те

Ah/(z) := /(z) - Fh/(z) = £ Ck(/)Vk(z)(1 - (1 - h)k).

k=0

Далее, последовательно применяя полученную формулу, при любом m G N и h G (0,1) имеем:

дт/(z) = ддт-1 /(z^ = £ ck(/)Vk(zK1 - (1 - h)kr (7)

k=0

Применяя равенство Парсеваля к соотношению (7), и в силу того, что система функций в °бласти & С С является ортонормированной, запишем

те ,

- 2m,

Am/1|2>7 = £[1- (i -*)*] m\ck(/)\2, h e (o,i) k=0

откуда в силу (5) получаем (6). >

В работе [9] доказано, что для произвольной функции / e L2,7 при любом t e (0,1) справедлива оценка

En-1 (/)2,y < [1 - (1 - t)n] -m"m(/; t)2,Y, m,n e N, (8)

причем при каждом фиксированном n константа в правой части неравенства (8) не может быть уменьшена. В самом деле, с одной стороны, для произвольной функции / e L2,7 имеем

sup -¿)Tm (9)

f €L2,7 "m(f ; t)2,7

С другой стороны, как следует из равенства (2) для функции /0(z) = ^>n(z), где ^>n(z) — n-ый член ортогональной системы |^>k(z)}£=o> имеем En-i(/o)2,7 = |cn(/o)| = 1. Для этой же функции из равенства (6) вытекает, что

"m(/o; t)2>7 = [1 - (1 - t)n]m.

Имеем

sup ^^ > wrnr1 = t1 - - *)n] (Ю)

feL2,7 "m(J; t)2,Y "m(/0; t)2,7

Таким образом, сопоставляя неравенства (9) и (10), получаем

sup f"-A(/|2'7 = ---i——, 0<i<l. (11)

2,7 (l-(l-i)™)™' v ;

Полагая в (11) t = 1/n, имеем

^n-l(/)2,7 (Л (л 1

/IlL i/n)2>7 V V ™

n -m

откуда сразу вытекает соотношение

En-1(/)2

sup sup f = (1 - e ) .

neNfeL2,7 "m(J;1/n)2,7

Всюду далее под весовой функцией на отрезке [0, h] будем понимать неотрицательную измеримую и суммируемую на [0, h] функцию q(t), не эквивалентную нулевой.

Теорема 1. Пусть m, n e N, 0 < p ^ 2, 0 <h< 1, q — весовая функция на интервале (0, h)

7-E""Uh'' = 7-5-HTf (12)

f eL2,Y A V/P h V

I 0 "m(/, t)2,Yq(t) dt I I 0(1 - (1 - t)n)mpq(t) dt I

< Воспользуемся следующим упрощенным вариантом неравенства Минковского [10, с. 104]:

1/p / / h \ 2/p\ 1/2

те

p/2

Е/ (t)i2

dt

4k=ra

EU I/rk(t)IP dt

k=n \n /

(13)

/

верного при всех 0 < p ^ 2 и h G R+ Полагая в неравенстве (13) /k = /kq1/p5 получаем

h / те \ p/2 \ 1/P / те / h \

/ El/k(t)I4 q(t)dt I > E (/ I/k(t)Ipq(t)dt I

0 \k=n J / \^k=ra \ 0 /

2/p

1/2

(14)

1 )

Используя неравенство (14), равенства (6) и (2) и учитывая очевидное соотношение

knf J (1 - (1 - t)k)mpq(t) dt = J (1 - (1 - t)f)mpq(t) dt,

получаем

h Л 1/p ( h \ 1/p

| от(/, t)2>7 q(t) dt= П (nm(/, t^r z q(t) dt

, ,h/~ 2m \ p/2 Л1/р

/■ h { те . . 2m \ p/2

l (E(1 -(1 -t)k) Ick(/)N q(t)dt

2/pl

Eick(/)i2 (/ (1 -(1 -t)k)"%(t)dt

k=f h

1/2

(15)

1/p

те 1/2

2

> (/ (1 - (1 - t)f)mpq(t) dtj |ff |ck(/)|

/ h \ 1/p J (1 - (1 - t)f)mp q(t) dt | Ef-1 (/)2>7.

Из (15) получаем оценку сверху величины, стоящей в левой части равенства (12):

sup

f €¿2,7 l h

En-1(/)2,-

1/p

<

1

1/p'

(16)

/fim(/,t)2>7q(t) dt 0

/(1 - (1 - t)f)mpq(t) dt

Для получения оценки снизу той же величины по-прежнему полагаем /о (г) := е

¿2,7- Поскольку для этой функции

Ef-1 (/0)2,7 = 1, fim(/0,t)2>7 = (1 - (1 - t)^m, 0 < t < 1

h

h

h

то имеем

h h

Jnm(/0,i)2>79(i) dt = J (1 - (1 - t)n)mpq(i) dt. 0 0

Следовательно,

_En-l(f)2,j_K-i(/o)2;7

SUP , . 1 /„ ^

f €L2,7/h \1/p" (h \1/P

i 0 W, t)2>7q(t)dt j i 0 Om(/o, t)2,Yq(t) dt I

1

(17)

(0(1 - (1 - ^

Из сопоставления оценки сверху (16) и оценки снизу (17) получаем требуемое равенство (12), чем и завершаем доказательство теоремы 1. > Из теоремы 1 вытекают следующие утверждения:

Следствие 1. Пусть т, п е Н, р = 1/т, Л е (0,1) д — весовая функция на интервале (0, Л). Тогда справедливо равенство

En—1(/)2,y

sup -Т---\~Jn

f eL2'M /^m/m(/,t)2;7q(t) dt) Vo

j[1 - (1 - t)n]q(t) dtj . (18)

h 0

В частности, из (18) при q(t) = 1 следует равенство

_En-l{f)2,f_ _ _1_ /,QN

Полагая в (19) h = 1/(n + 1), получаем

_£n-l(/)2,7_ Л 1 V"1^^ Г9Г»

sup -——-11-Г-rn =1--—Г , 20

f eL2 Y / 1/(n+1) Л, \ V n + 1J

' 7 i(n+1) o om/m(/,t)2,T dt

из которого, в свою очередь, следует экстремальное равенство

En—1(/)2,7 m

sup sup —- --= e .

raeN f€L2 Y I 1/(n+1) 1/m \

i (n+1) o ^m/m(/,t)2>7 dt

n— 1

Следствие 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Положим q(t) = n(1 -1) n G N Тогда при любом h G (0,1) справедливо равенство

sup __ f mp+1 Г (21)

/ h \ VP \ [1 - (1 - h)"]^1 J ( J

u o fim(/,t)2>7 (1 - t)n—1 dtj

m

Из (21), в частности, при Н = 1/п, п £ Н, получаем

.«р Юр --- = (22)

пек /е£2,7 / 1/п \1/Р (1 - е 1)т+1/р

(п 0 ад, ¿)2>7(1 - ¿)п-1

В свою очередь, из (22) при р = 1/га, т £ N следует равенство

Еп-1(/)2,7 ^ Х 4 2т

вир вир -т-----г-^ = 2

raeNfeL2W 1/n i/m \ Vе - 1

24n 0 ^(/,i)2>7(1 - t)n-1 dt

2. Приведем ряд определений и обозначений, необходимых нам для дальнейшего изложения. Пусть S — единичный шар в пространстве £2,7! Лп С L2,7 — n-мерное подпространство; Лп С ^2)7 — подпространство коразмерности n; L : L2,7 ^ Лп — линейный непрерывный оператор; L^ : L2,7 ^ Лп — непрерывный оператор линейного проектирования; M — выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2,7. Величины

6„(M,L2,7) = sup {sup {е > 0; eS П Лга+1 С M} : Лп+i С L2,7},

d„(M, ¿2,7) = inf {sup { inf {У/ - g||2 : g G Л„} : / G M} : Л„ С L2,7 }, ¿„(M, L2,7) = inf { inf { sup {||f - L/1|2 : / G M} : LL2,7 С Л„} : Л„ С L2,7}, dn(M, L2,7) = inf { sup {||f ||2,y : / G M П Лп} : Лп С L2,7},

П„(М, L2,7) = inf {inf {sup {||f - L±f ||2 : / G m} : L^2,7 С Л„} : Л„ С ¿2,т}

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандов-ским, проекционным п-поперечниками подмножества M в пространстве L2,7. Извест-

nn иространстве L2,7 выполняются соотношения:

bn(M, L2,7) < dn(M, L2,y ) < dn(M, ¿2,7) = (M, ¿2,7) = nra(M, ¿2,7). (23)

Введем классы функций, вытекающие из неравенства (8) и утверждения теоремы 1. Пусть h G (0,1), m G N. Через W2,7,m($) обозначим класс функций / G ¿2,7, обобщенный модуль непрерывности (6) которых удовлетворяет неравенству

fim(/,h)2,7 < $(h),

где Ф — неотрицательная, монотонно возрастающая функция на [0,

Через WpL2,Yq, h) обозначим класс функций / G L2,7, при любых m G N h G (0,1) и 0 < p ^ 2 удовлетворяющих условию

h \ 1/р

ад; t)2,Y q(t) dtl < 1.

vO )

n, m G N h G (0, 1) Л„(^2,7,т(Ф),Ь2,7) = Era-1 (W2,7,m($)) = [1 - (1 - h)"]-^(h), (24)

где An(-) — любой из n-поперечников 6n(^), dn(0, dn(^), Пп(^), а

(Ф))

= sup {En-i(/)2,7 : / G W2

(ф)}.

< Оценка сверху всех рассматриваемых n-поперечников класса ^2;7;ТО(Ф) следует из неравенства (8), поскольку

En-1 = sup En-1 (/)2,y

/е^2,7,т(Ф) 5

^ sup {[1 - (1 - h)n]-m^m(/,h)2,7 } < [1 - (1 - h)n]-m$(h).

f €W2 ,7 , m (Ф)

n

оценку сверху

An(^2>7>т(Ф)) < [1 - (1 - h)n] -m$(h). (26)

n

ства (26) в (n + 1)-мерном подпространстве полиномов

Pn+1 = < Pn+i(z) : Pn+i(z) = E ak^ (z) f , I k=0 J

введем в рассмотрение шар

Sn+1 := {Pn+1 (z) G P„+1 : ||pn+1N2,Y < [1 - (1 - h)"]-"Ф(Л)}

и покажем, что шар Sn+1 С W2;7;TO($). В самом деле, для произвольного pn+1(z) G Sn+1, согласно равенству (6), имеем

n

^(Pn+1; h)2,Y = £ [1 - (1 - h)k]2m|ak(pn+1)|2 fc=0

n

< [1 - (1 - h)n]2m £ |ak(pn+1)|2 = [1 - (1 - h)n]2m||pn+1|2)7 fc=0

^ [1 - (1 - h)n]2m[1 - (1 - h)n]-2m$2(h) = $2(h).

Таким образом, мы доказали, что для произвольного pn+1 С Sn+1 имеет место неравенство (pn+b h)2,Y ^ Ф(Л) а это означает, что Sn+1 С W2;7;TO($). Но тогда согласно опре-

nn

запишем

An(W2)7,m(Ф),^2>7) ^ 6n(W2)7;m($),L2;7) ^ 6n(Sn+1 ,¿2,7) ^ [1 - (1 - h)n]-"$(h). (27)

Утверждение теоремы 2 вытекает из сопоставления оценки сверху (26) и оценки снизу (27). >

n

ло доказано в работе [9].

Следствие 3. В утверждении теоремы 2 при h = 1/n, n G N, имеет место асимптотическое равенство

An(W2)7,m($),L2,7) =

'-НГРШ-е-'^Ш-

Теорема 3. Пусть т £ N 0 < р ^ 2 Н € (0,1), д ^ 0 — весовая функция на интервале (0, Н). Тогда для произвольного п £ N справедливы равенства.

А„(^р£2,7 (От; д,Л),Ь2,7) = £„_1(^р£2,7 (От; д,Н))

н \ _1/р

У (1 - (1 - ¿)п)трд(^) I , (28)

где Ап(-) — любой из перечисленных выше п-поперечнпков.

< Оценку сверху всех перечисленных выше п-поперечников получаем из неравенства (16), соотношения (23) и определения класса функций 1^рЬ2,7(От; д, Н):

Ап(^рЬ2,7(От;д,Л),^2,7) ^ (п(^рЬ2,7(От; д,Л),^2,7)

/ н \ _1/р

< Е„_1(^РЬ2,7 (От; д,Н)) < (У (1 - (1 - ¿)п)трд(4) (И . (29)

Для получения оценок снизу на множестве Рп П .¿2,7 рассмотрим шар

н \ _1/р!

^п+1

Рп+1 с Рп+1 : 11Рп+1 У2,7 < (I (1 - (1 - ¿)п)трд(4) (И

и докажем включение стп+1 с (От; д, Н).

Для произвольного полинома рп+1 С стп+1 на основании равенства (6) запишем

От(Рп+1; 4)2,7 = £ (1 - (1 - *)*)N(Рп+1)|

п

< (1 - (1 - 4)п)2^ |Ск(рп+1)|2 = (1 - (1 - 4)п)2тУРп+1У2,7

к=0

()

От(Рп+1; ¿)2,7 < (1 - (1 - ¿ГГНРп+11|2,7• (30)

р

д

ной 4 в пределах от 4 = 0 до 4 = Н, получаем

н н

У От(Рп+1; 4)2,тд(4) < Црп+1УР,^ (1 - (1 - 4)п)трд(4) 00

(н \ _1 н

У (1 - (1 - 4)п)трд(4) (И I У (1 - (1 - 4)п)трд(4) = 1, 00 и, следовательно, включение стп+1 С (От; д, Н) доказано. В силу определения берн-

пп

Ап (^рЬ2,7 (От; д, Н), ¿2,^ ^ 6п (^р£2,7 (От; д, Л), ¿2,7)

н \ _1/р

н 4 (31)

п\тр ' 4 - 1

^ 6п(ап+1,^2,7) ^ П (1 - (1 - 4)п)трд(4)

Требуемое равенство (28) получаем из сопоставления оценки сверху (29) и оценки снизу (31), чем и завершаем доказательство теоремы 3. >

Литература

1. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. Наилучшие приближения и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Bp, 1 < p < то // Докл. АН.—2006.—Т. 410, № 4.—С. 461-464.

2. Шабозов М. Ш., Шабозов О. Ш. О наилучшем приближения некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана В2,7 // Докл. АН.—2007.—Т. 412, № 4.-С. 466-469. DOI 10.1134/S1064562407010279.

3. Вакарчук С. В., Шабозов М. Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Мат. c6.-2010.-T. 201, № 8.-С. 3-22. DOI 10.4213/sm7505.

4. Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. Значение га-поперечников и наилучшие линейные методы приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Изв. ТулГу. Естеств. науки.—2014.—Вып. 3.—С. 40-57.

5. Саидусайнов М. С. О значении поперечников и наилучших линейных методах приближения в весовом пространстве Бергмана // Изв. ТулГу. Естеств. науки.—2015.—Вып. 3.—С. 91-104.

6. Саидусайнов М. С. О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Чебышевский сб.—2016.—Т. 17, выи 1.—С. 240253.

7. Лангаршоев М. Р. О наилучших линейных методах приближения и точных значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Укр. мат. журн.—2015.—Т. 67, № 10.-С. 1366-1379.

8. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного.—М.-Л.: Наука, 1964.-440 с.

9. Абилов В. А., Абилова Ф. В., Керимов М. К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(D,p(z)) // Журн. выч. математики и мат. физики.—2010.—Т. 50, № 6.-С. 999-1004.

10. Piakus А. га-Widths in Approximation Theory.—Berlin-Heidelberg-N. Y.-Tokyo: Springer-Verlag, 1985.-287 p.

11. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.—М.: МГУ, 1976.—325 с.

Статья поступила 14 января 2017 г.

Шабозов Мирганд Шавозович Институт математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан, главный научный сотрудник

отдела теории функций и функционального анализа ТАДЖИКИСТАН, 734063, Душанбе, ул. Айни, 299/4 E-mail: [email protected]

Саидусайнов Муким Саидусайнович Таджикский национальный университет, докторант кафедры функционального анализа и диф. уравнений

ТАДЖИКИСТАН, 734025, Душанбе, пр. Рудаки, 17 E-mail: [email protected]

MEAN-SQUARE APPROXIMATION OF COMPLEX VARIABLE FUNCTIONS BY FOURIER SERIES IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE

Shabozov M. Sh., Saidusaynov M. S.

In this paper we consider the problem of mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier series in orthogonal system. The functions f under consideration are assumed to be regular in some simply connected domain D C C and square integrable with a nonnegative weight function 7 := y(|z|) which is integrable in D, that is, when f e L2,Y := L2(y(|z|), D).

Earlier, V. A. Abilov, F. V. Abilova and M. K. Kerimov investigated the problems of finding exact estimates of the rate of convergence of Fourier series for functions f e L2,7 [9]. They proved some exact Jackson type inequalities and found the values of the Kolmogorov's n-width for certain classes of functions. In doing so, a special form of the shift operator was widely used to determine the generalized modulus of continuity of rnth order and classes of functions defined by a given increasing in R+ := [0, majorant. The article continues the research of these authors, namely, the exact Jackson-Stechkin type inequality between the best approximation of a functions f e L2,Y by algebraic complex polynomials and Lp norm of generalized module of continuity is proved; approximative properties of classes of functions are studied for which the Lp norm of the generalized modulus of continuity has a given majorant. Under certain assumptions on the majorant,the values of Bernstein, Kolmogorov, linear, Gelfand, and projection n-widths for classes of functions in L2,7 were calculated. It was proved that all widths are coincide and an optimal subspace is the subspace of complex algebraic polynomials.

n

rator.

References

1. Shabozov M. Sh., Shabozov O. Sh. Best approximation and the value of the widths of some classes of functions in the Bergman space Bp, 1 < p < to, Doklady Akademii Nauk [Dokl. Akad. Nauk], 2006, vol. 410, no. 4, pp. 461-464 (in Russian).

2. Shabozov M. Sh., Shabozov O. Sh. On the best approximation of some classes of analytic functions in the weighted Bergman spaces, Doklady Akademii Nauk [Dokl. Akad. Nauk], 2007, vol. 412, no. 4, pp. 466-469 (in Russian). DOI 10.1134/S1064562407010279.

3. Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh. The widths of classes of analytic functions in a disc, Matematicheskij sbornik [Sbornik: Mathematics], 2010, vol. 201, no. 8, pp. 3-22 (in Russian). DOI 10.4213/sm7505.

4. Shabozov M. Sh., Saidusaynov M. S. The values of n widths and best linear methods of approximation for some analytic classes functions in the weighted Bergman space, Izvestija Tul'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvennye nauki [News of the Tula state university. Natural sciences], 2014, no. 3, pp. 40-57 (in Russian).

5. Saidusaynov M. S. On the Values of widths and the best linear methods of approximation in the weighted Bergman space, Izvestija Tul'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvennye nauki [News of the Tula state university. Natural sciences], 2015, no. 3, pp. 91-104 (in Russian).

6. Saidusaynov M. S. On the best linear method of approximation of some classes analytic functions in the weighted Bergman space, Chebyshevskij sbornik [Chebyshevskii 56.], 2016, vol. 17, no. 1, pp. 240-253 (in Russian).

7. Langarshoev M. R. On the Best Linear Methods of Approximation and the Exact Values of Widths for Some Classes of Analytic Functions in the Weighted Bergman Space, Ukrainian Mathematical Journal, 2016, vol. 67, no. 10, pp. 1537-1551. DOI 10.1007/sll253-016-1171-z.

8. Smirnov V. I., Lebedev N. A. Konstruktivnaja teorija funkcij kompleksnogo peremennogo [Constructive Theory of Functions of Complex Variables], Nauka, Moscow, 1964, 440 p. (in Russian).

9. Abilov V. A., Abilova F. V., Kerimov M. K. Sharp estimates for the convergence rate of Fourier series of complex variable functions in L2(D,p(z)), Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2010, vol. 50, no. 6, pp. 946-950. DOI 10.1134/S0965542510060023.

n

11. Tikhomirov V. M. Nekotorye voprosy teorii priblizhenij [Some Questions of Approximation Theory], Moscow, Izd. Moscow. Univ., 1976, 325 p.

Received 14 January, 2017

Shabozov Mirgand Shabozovich Academy of Science Republic of Tajikistan, Institute of Mathematics named after A. Juraev, Main Research Worker of the Department of the Theory of Functions and Functional Analysis 299/1 Ayni St., Dushanbe, 734063, Tajikistan E-mail: [email protected]

Saidusaynov Mukim Saidusaynovich Tajik National University, Doctorial Candidate of the Department of Functional Analysis and Differential Equations 17 Rudaky avenue, Dushanbe, 734025, Tajikistan E-mail: [email protected]