CC BY
10
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2004. № 4. С. 34-36.
\Т TTV КОП 1 7Q
(с) Омский государственный университет ^Av^ ooy.i/o
МОНТЕ-КАРЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ ДЕФЕКТОВ НА КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ XY-МОДЕЛИ
В.Ю. Колесников, В.В. Прудников
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а1
Monte-Carlo simulations for the 3D XY model with long-range correlated disorder are realized for the spin concentration with p = 0, 8. The obtained critical exponents are in good agreement with the results of field-theoretical description.
В большинстве работ, посвященных исследованию спиновых систем с примесями, рассматривается случай ¿-коррелированных (точечных) дефектов. Влияние точечных дефектов на критическое поведение задается критерием Харриса [1]. Он устанавливает, что беспорядок влияет на критическое поведение слабо неупорядоченных систем, если критический индекс теплоемкости сад для соответствующей однородной системы положителен. В противном случае беспорядок не изменяет характеристик критического поведения. Известно, что индекс сад положителен только для систем, характеризующихся однокомпонентным параметром порядка (изинго-подобные магнетики). Для слабо неупорядоченных систем с многокомпонентным параметром порядка (XY-магнетики, гейзенберговские магнетики) точечные дефекты не изменяют критического поведения.
В реальных кристаллах при введении немагнитных атомов примеси вокруг них образуется поле напряжений, имеющее характер притяжения. В результате дефекты, возникающие в кристалле, представляют собой устойчивые протяженные структуры - дислокации из атомов примеси. Такие дефекты уже обладают квазидальним порядком (т. е. корреляционная функция их пространственного распределения убывает по степенному закону д(х — у) ~ |х — с показателем а = 2).
В работе [2] проведено теоретико-полевое исследование критического поведения трехмерных систем с дальней пространственной корреляцией дефектов для различных значений параметра корреляции а (в том числе и для а = 2). В ней показано, что дефекты, обладающие свойством
1 e-mail: [email protected]
дальней пространственной корреляции, изменяют критическое поведение не только систем с однокомпонентным параметром порядка, но и систем с двухкомпонентным (XY-модель) и трех-компонентным (модель Гейзенберга) параметром порядка.
В данной работе исследуется критическое поведение трехмерной ферромагнитной XY-систе-мы с примесями немагнитных атомов, образующих случайно распределенные линии, что является простой реализацией дальнодействующей пространственной корреляции дефектов (случай а = 2). Концентрация примесей была выбрана равной pimp = 0,2. Исследования критического поведения системы осуществлялись методами компьютерного моделирования.
Трехмерная классическая XY-модель описывается гамильтонианом вида
f = а)
где J - константа обменного взаимодействия ближайших соседей, Si = {SXi,Syi} - плоский единичный классический вектор в узле г. Сумма берется по всем парам ближайших соседей. Константа обменного взаимодействия положительна (J > 0) в случае ферромагнетика и отрицательна (J < 0) в случае антиферромагнетика. Трехмерная ферромагнитная XY-модель демонстрирует фазовый переход второго рода в ферромагнитное состояние. В качестве параметра порядка системы выступает средний модуль полной намагниченности М = J~2i ■ В численных расчетах обычно используют приведенную намагниченность на спин.
При моделировании использовался следующий способ создания примесных конфигураций в системе: из заполненной спинами решетки случай-
ХУ-модель с дальнодействующей корреляцией дефектов
35
ным образом «вычеркивались» линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для изотропности кристалла «вычеркивалось» одинаковое число линий в каждом направлении. Накладывалось условие непересекаемости линий дефектов, что позволяет гарантировать существование в системе единого протекающего спинового кластера.
На первом этапе исследований был проведен расчет температуры фазового перехода по методу кумулянтов Биндера. Использовался кластерный алгоритм моделирования Вольфа. Для решеток с размерами Ь = 16,32,64 проводилось усреднение соответственно по 1500, 700 и 500 примесным конфигурациям. Для каждой примесной конфигурации нужные величины усреднялись по 1 000 шагам Монте-Карло на спин (один шаг соответствует перевороту кластера). Начальное состояние системы выбиралось полностью упорядоченным, когда все спины сонаправлены оси У, что соответствует нулевой температуре системы (холодный старт). Для достижения конфигурации, соответствующей заданной температуре, проводился процесс релаксации системы в равновесное состояние термализация. На нее отводилось 200 шагов Монте-Карло на спин.
Рис. 1. Кумулянты Биндера 4-го порядка для различных размеров решетки Ь = 16, 32, 64 в диапазоне температур [1,85; 1,90] с шагом 0,002
Выражение для кумулянта 4-го порядка можно представить в виде
(2)
где скобки (...) обозначают статистическое усреднение, а скобки [...] усреднение по различным примесным конфигурациям. Кумулянт имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму
и(ь,т) = и{ь1^{т-тс)). (3)
Данная скейлинговая зависимость кумулянта позволяет определить критическую температуру через координату точки пересечения кривых,
задающих температурную зависимость 1/(Ь,Т) для различных Ь (рис. 1). В результате критическая температура системы: Тс = 1, 875 =Ь 0, 001.
Затем при данной критической температуре было проведено моделирование системы методом коротковременной динамики [3], который основан на проявлении универсального критического поведения уже на начальных этапах эволюции системы, а не только при достижении системой равновесного состояния. При реализации данного метода для моделирования системы применялся алгоритм Метрополиса. Выбиралось также полностью упорядоченное начальное состояние системы. Рассмотрим известные для метода коротковременной динамики скейлинговые соотношения для намагниченности, ее логарифмической производной по температуре и кумулянта Биндера 2-го порядка [3]:
М(£,т) (4)
дтЫМ(^т)\т=0 (5)
и(г) = [{м&)] /[(М)}2 -
(6)
где £ время, т = (Т — Тс) /Тс - приведенная температура, с1 - размерность системы, г динамический критический индекс, /3, и статические критические индексы.
При получении временных зависимостей намагниченности и кумулянта Биндера 2-го порядка для решетки с Ь = 64 проводилось усреднение по 100 примесным конфигурациям и по 40 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Исследование динамики величин производилось на временном интервале в 1000 шагов Монте-Карло на спин.
Рис. 2. Динамика намагниченности во времени в двойном логарифмическом масштабе
Проведенные предварительные исследования показали, что для неупорядоченной ХУ-спстемы сильное влияние на результаты моделирования оказывает конечность размера моделируемой системы. Так, для решеток с размерами Ь = 16, 32 критическое спадание намагниченности по степенному закону не наблюдалось, в то время как
36
В.Ю. Колесников, В.В. Прудников
для решетки с Ь = 64 был выделен характерный степенной закон релаксации намагниченности при критической температуре (рис. 2). Аппроксимируя эту зависимость прямой линией в диапазоне от 250 до 1000 шагов, получаем показатель степенной зависимости намагниченности от времени (4) (З/иг = 0, 221 ± 0, 002.
Из временной эволюции кумулянта Биндера 2-го порядка (рис. 3) путем аппроксимации прямой линией на временном интервале от 250 до 800 шагов Монте-Карло на спин определялся показатель степенной зависимости кумулянта от времени (6) (1/г = 1,269 ±0,003.
Рис. 3. Зависимость от времени кумулянта Биндера 2-го порядка в двойном логарифмическом масштабе
Далее осуществлялось исследование временной зависимости логарифмической производной намагниченности по температуре (рис. 4). Для вычисления производной был произведен расчет релаксации намагниченности для двух температур, близких к критической: Т = 1,8725 и 1,8775. Усреднение значений намагниченности для каждой температуры проводилось по 80 примесным конфигурациям и по 20 прогонкам для каждой примесной конфигурации. Затем для вычисления производной применялась разностная формула второго порядка точности. Аппроксимация временной зависимости логарифмической производной намагниченности (5) на временном интервале от 300 до 1000 шагов Монте-Карло на спин степенным законом позволила получить показатель 1/и г = 0, 55 =Ь 0, 04.
Начальные моменты и величина временных интервалов, по которым производилась аппроксимация, выбирались из требования минимальности погрешности аппроксимации. Затем на выделенном интервале выбиралась последовательность подинтервалов, отличающихся начальными моментами, на которых проводилась аппроксимация прямой. В результате была получена совокупность значений того или иного степенного показателя, по которой и определялись их средние значения и среднеквадратичные погрешности.
Рис. 4. Логарифмическая производная намагниченности от времени в двойном логарифмическом масштабе
Полученные значения степенных показателей позволили рассчитать значения динамического и статических критических индексов. В таблице представлены полученные результаты, а также приведены значения критических индексов из работы [2], рассчитанные в рамках теоретико-полевого подхода.
Полученные значения критических индексов и их сравнение с теоретическими значениями
Kp. индекс Знач. Погр. Теор. зн. [1У
z 2,364 0,007 2,365
V 0,78 0,06 0,76
a 0,40 0,03 0,37
Сопоставление найденных в данной работе значений критических индексов, описывающих критическое поведение трехмерной XY-модели с линейными дефектами, показывает их хорошее согласие в пределах статистических погрешностей численного эксперимента с результатами работы [2]. Это подтверждает факт существенности влияния дальней пространственной корреляции дефектов на критическое поведение трехмерной XY-модели.
[1] Harris А.В. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models //J. Phys. C7. 1974. P. 1671.
[2] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects. // Phys. Rev. B62. 2000. P. 8777-8786.
[3] Janssen H.K., Schaub B. and Schmittmann B. // Z. Phys. B73. 1989. P. 539.
