Монте-Карло исследования трехмерной модели Изинга с дальнодействующей пространственной корреляцией дефектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2004. № 4. С. 28-30. © Омский государственный университет

УДК 539.173

МОНТЕ-КАРЛО ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА С ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ ДЕФЕКТОВ*

С.В. Дорофеев, В.В. Прудников

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 25 апреля 2004 г-

Monte-Carlo simulations for 3D-Ising model with long-range correlated disorder are realized for spin concentration with p = 0,8. The obtained critical exponents are in good agreement with results of field-theoretical descriptions.

Введение

В последние годы много теоретических и экспериментальных работ было посвящено исследованию влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение твердых тел. В большинстве работ исследование ограничивается рассмотрением низкой концентрации точечных дефектов структуры, что позволяет считать дефекты структуры и создаваемые ими эффекты типа «случайной локальной температуры» гаус-совски распределенными и ()-коррелированными. В то же время вопрос о влиянии на критическое поведение эффектов корреляции дефектов значительно менее исследован. В рамках этой проблемы можно поставить вопрос о влиянии на критическое поведение протяженных дефектов, таких, как дислокации или плоские дефекты структуры, возникающие, например, на границе зерен. В работе [1] впервые с применением метода £-разложения было показано, что дальнодейству-ющая изотропная корреляция в пространственном распределении дефектов может модифицировать критические свойства неупорядоченных систем, а приведенное в работе [2] теоретико-полевое описание непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов в двухпетлевом приближении с последовательным применением для анализа рядов разложения методов суммирования позволило получить более достоверные значения индексов статического и динамического критического поведения для систем с различными значениями

параметра корреляции а.

В данной работе рассмотрен магнетик с дефектами в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а = 2. Общая концентрация примесей была выбрана равной с.1тр = 0,2. Для описания особенностей критического поведения данной системы было применено компьютерное моделирование.

Рис. 1. Кумулянт Биндера для размеров решетки L = 16, 32, 64,128

Модель

Гамильтониан структурно неупорядоченной трехмерной модели Изинга задается выражением:

H=-J

PiPj Si Sj,

(1)

*Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 04-0217524) и Минобразования РФ (грант Е02-3.2-196).

где Б г = ±1, 3 > 0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, р^ - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (р^ = 1, когда узел

Монте-Карло исследования трехмерной модели Изинга.

29

г занят спином, и р,1 =0, когда узел пуст). Мы применили следующий способ введения корреляции между переменными р,1 для модели Вейнриба-Гальперина с а = 2: из заполненной спинами кубической решетки удалялись линии спинов, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации спинов. Чтобы кристалл оставался изотропным, число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось равным. Причем линии дефектов не должны пересекаться.

Рис. 2. Пересечение для размеров решетки L = 16,32,64,128

Рис. 3. Отношение индексов а/г/ при различных ш

Для получения последовательных спиновых конфигураций был применен однокластерный алгоритм Вольфа, который в сравнении с алгоритмом Метрополиса позволяет получать менее скоррелированную последовательность спиновых конфигураций. Кроме того, для уменьшения корреляции последовательных спиновых конфигураций вычисление термодинамических величин осуществлялось через 5 переворотов кластера Вольфа, что условно можно назвать одним Монте-Карло шагом. При процессе моделирования в качестве начального состояния системы выбиралось состояние с сонаправленными спинами, которому сопоставляется температура Т = 0. Процедуре установления термодинамического равновесия в системе при температуре Т, близкой к температуре фазового перехода в системе, отводилось 104 шагов Монте-Карло, а

усреднение для каждой примесной конфигурации проводилось по 105 шагов Монте-Карло.

Рис. 4. Отношение индексов [З/и при различных ш

При моделировании поведения неупорядоченных систем кроме статистического усреднения по шагам Монте-Карло необходимо осуществлять усреднение по различным реализациям распределения линейных дефектов (образцам). Для решеток с размерами Ь = 16 и 32 проводилось усреднение по 15 ООО образцам, а для решеток с Ь = 64 и 128 - по 10 000 образцам. Численное определение значений термодинамических величин и корреляционных функций осуществлялось в соответствии со следующими выражениями для намагниченности М, теплоемкости С, восприимчивости X, кумулянта Биндера С/, корреляционной длины

М =

N.

spin

с =

1

Nspin Е = Н = -J

((E')-(Ef), PiPj Sj i X = Napin(M2),

hi

U =

1 - 3

1

(M4)

{Щ2

2 sin (tt/L) F =

- 1,

N.

■(Ф)

spin

Ф =

3

~Y

3 -Л

J = 1

У] Sx cx|)(2-/./-/)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

В данных выражениях угловые скобки обозначают статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта сверху - усреднение по различным образцам.

В соответствии с известным скейлинговым соотношением для кумулянта Биндера:

и(Ь,Т)=и(Ь1/ЦТ-Тс))

(10)

30

С.В. Дорофеев, В.В. Прудников

температура фазового перехода Тс может быть определена по пересечению температурных зависимостей кумулянта и для решеток с различными размерами Ь. На рис. 1 представлены рассчитанные кривые зависимостей 11(Ь,Т) для решеток с размерами Ь = 16,32,64,128. В результате было определено, что Тс = 3, 9275 ± 0, 0005.

На рис. 2 приведены графики температурных зависимостей отношения для решеток тех же размеров, пересечение которых также позволяет независимо определить критическую температуру Тс = 3,9281 ±0,0001.

Рис. 5. Отношение индексов 7/1/ при различных а>

Аномальное поведение ряда термодинамических величин вблизи температуры фазового перехода Тс характеризуется набором критических индексов, для вычисления которых были определены значения различных термодинамических величин непосредственно при Тс = 3,9281 для решеток с размерами Ь = 16,32,64, 128. Использование известных размерных критических зависимостей для этих величин позволяет определить критические индексы а,и,/3,7 при статистической обработке результатов моделирования. При анализе полученных значений термодинамических величин для различных Ь мы использовали схему линейной аппроксимации для зависимости (ХЬ~А) от , где X - любая термодинамическая величина из соотношений (1114).

С{Ь) = А*Ьа/1/*{1 + В*Ь-ш), (11) М(Ь)=А*Ь-Р'1/*(1 + В*Ь-ш), (12) х(Ь) = А*1Л/"*(1 + В*Ь-ш), (13) гПТ

= Ь* (1 + В * Ь~ш). (14)

Проводилось исследование зависимости среднеквадратичных погрешностей а этой процедуры аппроксимации от изменения значений показателей А и си. На рис. 3-6 приведены значения а процедуры аппроксимации для полученных размерных зависимостей теплоемкости (рис. 3), намагниченности (рис. 4), восприимчивости (рис.

5) и температурной производной кумулянта (рис.

6). По минимуму а для каждой термодинамической величины и были определены значения критических индексов а, [3, 7, и и си.

0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 V

Рис. 6. Индекс V при различных а>

В табл.1 приведены значения показателей а/и, ¡З/и, 7/гл и при значениях си, обеспечивающих минимальные погрешности аппроксимации.

Таблица 1

Соответствующие минимумам погрешности отношения критических индексов и индекс си

ind ajv Щу 7 jv V

Знач. -0,096(3) 0,457(2) 2,032(1) 0,7(1)

cu 0,9 0,65 0,7 0,8

Затем было осуществлено определение среднего значения си = 0,7625 ~ 0,75, при котором и были окончательно определены остальные критические индексы. Полученные значения критических индексов представлены в табл. 2, в которой для сопоставления приведены их значения, вычисленные в работе [2] теоретико-полевыми методами.

Таблица 2 Значения критических индексов при си = 0, 75 и соответствующие индексы из работы [2]

ind a /3 7 и

Наст. -0,08(1) 0,36(1) 1,44(2) 0,71(1)

[2] -0,1048 0,3504 1,4453 0,7155

Полученные методами компьютерного моделирования критические индексы с использованием скейлинговых соотношений (11-14), как видно из табл. 2, находятся в хорошем соответствии с результатами теоретико-полевых методов [2].

[1] Weinrib A., Halperin B.I. Critical phenomena in systems with long-range correlated quenched disorder // Phys. Rev. 1983. B 27. 413.

[2] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects // Phys. Rev. V. 2000. B 62. № 13. P. 8777-8786.

-±-W=0.8 -*-W=0.75 0.7