Численное исследование неравновесного критического поведения сильно неупорядоченной трехмерной XY-модели с линейными дефектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 61-66.

УДК 539.612

В. В. Прудников, П.В. Прудников, В.Ю. Колесников

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОГО КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СИЛЬНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ С ЛИНЕЙНЫМИ ДЕФЕКТАМИ*

Осуществлено компьютерное моделирование критического поведения сильнонеупорядоченной трехмерной ХУ-модели с линейными дефектами со спиновой концентрацией р=0,60.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, фазовые переходы и критические явления, неупорядоченные системы, ХУ-модель, протяженные дефекты структуры.

Структурный беспорядок, обусловленный присутствием дефектов структуры играет важную роль в поведении реальных материалов. В случае систем, испытывающих фазовые превращения, дефекты структуры задают новые классы универсальности их критического поведения, модифицируя кинетические свойства данных систем. Данная статья посвящена численному исследованию влияния линейных протяженных дефектов структуры на неравновесное критическое поведение трехмерных спиновых систем, описываемых ХУ-моделью, в области высокой концентрации дефектов с <5шр=0.40, недоступной для аналитического ренормгруппового описания. На примере данных систем будут выявлены отличительные особенности в поведении слабо неупорядоченных [1; 2] и сильно неупорядоченных систем с эффектами дальнодействующей корреляции дефектов.

Для описания сложных протяженных дефектов вводятся различные модели структурного беспорядка. В данной статье применяется модель Вейнриба-Гальперина с так называемой дальнодействующей изотропной корреляцией дефектов [3], когда парная корреляционная функция g(x-y), характеризующая пространственное распределение замороженных дефектов структуры, спадает с расстоянием по степенному закону с g(x-y)~|x-y |-а , где а - параметр корреляции дефектов. Линейным протяженным дефектам, ориентированным изотропно в пространстве, в данной модели соответствует а=2. В работе [1] было осуществлено теоретико-полевое описание критического поведения непосредственно трехмерных систем с дальнодействующей корреляцией дефектов, которое показало, что данный тип дефектов, в отличие от некоррелированных дефектов, существенно изменяет критическое поведение не только изингоподобных систем с однокомпонент-

* Работа поддержана грантом 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы».

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, В.Ю. Колесников, 2009

ным параметром порядка, но и систем, характеризуемых многокомпонентным параметром порядка. Предсказываемые в [1] значениякритических индексов нашли подтверждение в результатах численных исследований для слабо неупорядоченных систем [2]. Однако область влияния эффектов сильного структурного беспорядка осталась неисследованной.

В данной статье исследуются сильно неупорядоченные спиновые системы, опии-сываемые ХУ-моделью, с гамильтонианом

Н = -3Е р>р£ё!, Ш

где = (8*, 8У ) - это плоский единичный

вектор в узле г, Л>0 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее ферромагнитный характер, р - случайные переменные, характеризующие замороженный структурный беспорядок в системе (р=1, когда узел г занят спином, и р=0, когда узел пуст). Общая спиновая концентрация в системе была выбрана равной р=0.60. Полагается, что дальнодействующие эффекты корреляции между точечными дефектами реализуются в виде случайно ориентированных линий с корреляционными характеристиками, спадающими по степенному закону с показателем а=2. Для этого был использован следующий способ создания примесных конфигураций: из заполненной спинами трехмерной решетки случайным образом удалялись линии, параллельные осям координат, до достижения заданной концентрации примесей. Для обеспечения изотропности распределения дефектов в кристалле число удаляемых линий в каждом из трех направлений поддерживалось одинаковым.

Для описания особенностей критического поведения данных систем с протяженными дефектами было применено компьютерное моделирование методами Монте-Карло. Параметром порядка для трехмерной ХУ-модели является средний модуль намагниченности системы:

'У

т =

N.

X Мх =Х ^, му =х SУ,

(2)

где М$=рЬ3 - количество спинов в решётке, угловые скобки характеризуют статистическое усреднение, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов в решетке.

Рис. 1. Температурные зависимости кумулянта Биндера и4(Т,1.) для решеток с различными размерами L

На первом этапе исследований было осуществлено определение критической температуры системы методом кумулянтов Биндера 4-го порядка. Данный кумулянт задается следующим выражением Гг/ .„м А

и4 (ь, т )=:

3 -

[<м 4> ]

(3)

К м 2> ]2

и 4 (Ь, Т) имеет важную для описания поведения конечных систем скейлинговую форму и4 (Ь, Т) = и (1},у (т - Тс) , которая позволяет определить критическую температуру Тс (Ь = да) для бесконечной системы через координату точки пересечения кривых, задающих температурную зависимость и4 (Ь, Т) для различных Ь .

Для уменьшения эффектов критического замедления использовался кластерный алгоритм моделирования Вольфа. В результате анализа температурного поведения кумулянтов для кубических решеток с размерами Ь от 64 до 128 (рис. 1) была определена критическая температура Гс=1.4455(10).

При данном значении критической температуры было проведено моделирование кубических решеток с линейными размерами Ь=128 методом коротковременной динамики (МКД). Особенностью метода является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 3000 шагов Монте-Карло

Рис. 2. Временные зависимости намагниченности т($ (а) и кумулянта Биндера и2@) (Ь) для образцов с размером решетки L=128 при Тс=1.4455

на спин (МОБ)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности. В последние годы МКД был применен к исследованию критического поведения широкого ряда систем (см. обзор [4]), при этом получаемые результаты находятся в хорошем соответствии с результатами применения традиционных методов Монте-Карло. МКД позволяет получать значения как динамических, так и статических критических индексов.

МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [5; 6]. Так, в работе [5] на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого времени ^с для /с-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма

М(к\г ,т, Ь, ш0) =

= Ь~кв1ум(к)(Ь~2ґ,Ьиут,Ь-1 Ь,ЬХот0), (4)

где і - время, т= (Т-Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - произвольный масштабный фактор, Ь - линейный размер решетки, в, V, ъ - известные критические индексы, х0 - новый независимый критический индекс, задающий масштабную размерность начального значения намагниченности то. Для неупорядоченных систем вычисление м (к)(ґ)

осуществля-

ется в виде

м(к V) =

к

(5)

Начальное состояние системы выбирается обычно либо с Ш0<< 1, либо с Шс=1. Исследования показывают, что динамический процесс, начинающийся с полностью упорядоченного состояния (т0=1), более предпочтителен из-за меньшего влияния флуктуаций на результаты. Более того, в этом случае не возникает зависимости от нового критического индекса х0. В данной статье мы исследовали оба случая как с то=1, т. е. полностью упорядоченным начальным состоянием, так и с т0<< 1 - неупорядоченным начальным

состоянием.

1. Случай с шо=1 На ранней стадии релаксации системы корреляционная длина еще достаточно мала, и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Поэтому для решеток с достаточно большими размерами Ь динамическая скейлинговая зависимость (4) для намагниченности (^=1) приобретает при

Ь = г'2 следующий вид в критической области;

М (г ,т) = г (',

(6)

-РЬ

(і + аі1у2т + О (т2)).

При критической температуре т=0 релаксация намагниченности характеризуется степенной зависимостью от времени £

М (г) ~ г ~вуг.

(7)

1

Рис. 3. Линейная аппроксимация временной зависимости намагниченности т@) (а)

и кумулянта Биндера и() (Ь)

Если т ^ 0, то степенная зависимость М(Ь) модифицируется скейлинговой функцией

Р(', гх'У2т) . Для независимого определения

динамического критического индекса г используется кумулянт второго порядка

и2(1, Ь) =

м(2)(г)

М 2(г)

'

(8)

со скейлинговой зависимостью

и 2 Ь)~ г*'2, (9)

где 1 - размерность системы. На рисунке 2 (а, Ь) приведены полученные кривые для намагниченности М(Ь) и кумулянта 02 (Ь) для образцов с размером решетки Ь=128 при Тс=1.4455, представленные в двойном логарифмическом масштабе для всего временного интервала измерения до 3000 МОБ. На рисунке 3 (а, Ь) представлены временные зависимости тех же величин, но в интервалах [300,3000] для М(Ь) и [1600,2200] для и2(Ь), где они демонстрируют степенную зависимость от времени, определяемую влиянием дефектов структуры на критическое поведение.

В данной статье мы также осуществили учет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, так как только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов в термодинамическом пределе Ь^да. Для этого мы применили следующие выражения для временной зависимости наблюдаемых величин:

М (г) ~ г ~вУ2 (1 + Аг ~Чг), (10)

и (г) ~ гф (' + вг ~ю12),

(11)

где А, В - неуниверсальные амплитуды, о является критическим индексом поправки к скейлингу.

Для расчета значений критических индексов Р/уг, д/г и о/г на временном интервале, соответствующем влиянию структурного беспорядка, был применен метод наименьших квадратов для осуществления наилучшей аппроксимации значений М(Ь) и и(Ь) выражениями (11)-(12). Процедура заключалась в следующем: 1) временной интервал проявления влияния дефектов структуры разбивался на всевозможные участки Д1, начиная от участков с Д1 = 50 до участков с Д1 = 550; 2) на каждом из участков Д1 осуществлялось определение значений показателей Р/уг и 1/ъ при фиксированном значении о/г; 3) найденные значения показателей усреднялись по выбранным участкам с определением их среднего значения и погрешности аппроксимации; 4) индекс о/г определялся из условия минимальности значений относительных погрешностей проведенных аппроксимаций.

Наряду с аппроксимационной погрешностью для показателей Р/уг и д/г определялась их статистическая погрешность. Для этого общее количество используемых для усреднения 8000 примесных конфигураций делилось на 4 группы. Для каждой из групп вычислялись показатели Р/уг и д/г, затем вычислялись отклонения от показателей, найденных при использовании усредненных по общему количеству примесных конфигураций значений.

Рис. 4. Временная зависимость намагниченности т(() для различных значений начальной намагниченности т0=0.002, 0.003, 0.004

Рис. 5. Линейная аппроксимация критических показателей 9(ш0) при т0^0

Рис. 6. Временные зависимости второго момента намагниченности М @) (а) и автокорреляционной функции Л@) (б)

Итоговые значения рассчитанных критических индексов с учетом статистических погрешностей и погрешностей аппроксимаций равны:

г=2.514(16), Р/у=0.540(23), ш=1.25(18).

2. Случай с то<< 1

Полагая в (4) Ь = г12 , для первого момента намагниченности (к =1) и малой величи-

чением намагниченности во временном

+ ™г / хо

интервале г о ~ то .

Для независимого вычисления динамических критических индексов в и г, а также отношения статических критических индексов р/у в данной работе на каждом этапе эволюции системы наряду с намагниченностью системы определялась автокорреляционная функция

ны тог

1/2

получаем следующее выраже-

ние:

А(г) =

М(г,т,т0)~ т0г (1 + аг 2Ут) + + 0(т2, то2),

г

N.

л

(13)

(12)

где в=(х0-Р/у)/г. Для т^0 и достаточно малых t получаем асимптотическое поведение М(г)~ гв , характеризуемое увели-

и второй момент намагниченности М2)(Ь). Их скейлинговый анализ показал [4], что при то=0 и критической температуре т=0 данные величины характеризуются степенной зависимостью от времени

А(г)~ гса, м (2)(г)~ г

(14)

— С

2

где са=С/ъ-0, С2=(С-2в^)/ъ, сС - размерность системы.

Для определения динамического индекса 0 было исследовано временное поведение намагниченности для образцов с размером решетки Ь=128 при Тс=1.4455 с начальными малыми значениями т0=0.002; 0.003 и 0.004 на временах до 3000 МСБ. На рисунке 4 представлены в двойном логарифмическом масштабе усредненные временные зависимости для намагничен-ностей данных систем. Они позволяют определить показатели 0(т0) и их асимптотическое значение 0(т0^0) на основе линейной аппроксимации значений 0(т0) при т0^0 (рис. 5). На рисунке 6 для данных систем, стартующих из неравновесного начального состояния с близким к нулю значением т0=10-6, представлены временные зависимости для второго момента намагниченности (рис. 6 а) и автокорреляционной функции (рис. 6 б), также изображенные в двойном логарифмическом масштабе. Анализ данных зависимостей позволяет определять значения показателей са и С2 в соответствии с (14). В таблице приведены вычисленные значения показателей 0(т0), 0(т0^0), са , С2 и погрешности их определения.

Значения показателей временных зависимостей намагниченности, автокорреляционной функции и второго момента намагниченности

На основе значений данных показателей были определены и значения критических индексов:

в=0.366(24), г=2.488(20), р/у=0.574(39).

Сопоставление полученных значений критических индексов г и рЛ» при разных начальных неравновесных условиях (с тэ=1 и тэ<< 1) показывает их достаточно хо-

рошее согласие в пределах погрешностей определения. Сравним эти значения критических индексов со значениями, вычисленными в работе [1] в рамках теоретико-полевого подхода:

z=2.365, v = 0.76, р =0.37, p/v=0.487

и значениями, полученными в работе [2] при компьютерном моделировании слабо неупорядоченной XY-модели с линейными дефектами со спиновой концентрацией p=0.80 для случая с то<< 1:

в =0.374(14), z =2.342(57), p/v = 0.534(35)

и для случая с т<э=1:

z =2.364(7), v =0.778(26), fi =0.370(30), P/v = 0.476(54), a =1.05(4).

Сопоставление показывает, что значения критических индексов в и P/v хорошо согласуются в пределах статистических погрешностей моделирования и аппроксимаций и не проявляют явной зависимости от концентрации дефектов, в то время как динамический критический индекс z для сильно неупорядоченных систем принимает большие значения, чем для слабо неупорядоченных, и разница их значений превышает погрешности их определения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A.

Field-theory approach to critical behavior of systems with long-range correlated defects // Phys. Rev. В. 2000. V. 62. P. 8777.

[2] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Zheng B. et al.

Short-time critical dynamics of the threedimensional systems with long-range correlated disorder // Progress of Theoretical Physics. 2007. V. 117. № 6. P. 973-991.

[3] Weinrib A, Halperin B.I. Critical phenomena in sys-

tems with long-range-correlated quenched disorder // Phys. Rev. B. 1983. V. 27. P. 413-427.

[4] Zheng B. Monte Carlo simulations of short-time

critical dynamics // Int. J. Mod. Phys. B 1998. V. 12. P. 1419-1484.

[5] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. New

universal short-time scaling behaviour of critical relaxation process // Z. Phys. B. 1989. V. 73. P. 539-549.

[6] Huse D. Monte Carlo simulations of short-time critical relaxation of Ising model // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 304.

Показатель Значения показателей Погрешности

і m0=0.002 ) 0.36175 0.01812

0 ( m0=0.003 ) 0.35835 0.01262

0 ( m0=0.004 ) 0.35644 0.01166

0( m0^0 ) 0.36635 0.02430

Ca -0.8377 0.00937

C2 0.74435 0.03046