CC BY
15
УДК 631.2 : 631.171 : 65.011.56
А.П. СЛЕСАРЕНКО, М.А. РОМАНЧЕНКО, О. С. СОРОКА
МОДЕЛЮВАННЯ СТАЦ1ОНАРНО1 ТЕПЛОПЕРЕДАЧ1 В 3-ВИМ1РН1Й БАГАТОШАРОВ1Й СТРУКТУР1 З ТРУБЧАСТИМИ НАГР1ВАЧАМИ ДЛЯ СИСТЕМИ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ТЕПЛОВИМ РЕЖИМОМ ПРИМ1ЩЕННЯ
Будуеться математична модель 3-вишрно!' багатс^внево! електротеплоакумулюваль-но! системи, призначено! для обiгрiву великого примщення, яка мае забезпечувати тепло-вий стандарт нагрiву пiдлоги з урахуванням впливу навколишнього середовища. Математична модель надае можливiсть виршення задач оптимального керування наявними енер-горесурсами, що живлять систему, для здшснення заданих теплових стандартiв у режимi реального часу.
1. Постановка проблеми
Концепщя забезпечення теплових режим1в виробничих споруд агропромислового комплексу, в основу яко! покладено принцип оргашзацп подач1 тепла в примщення за схемою «знизу вгору», ефективного використання природних потоюв тепла вщ нетрадицшних вщнов-люваних джерел енергп (НВДЕ) { впровадження засоб1в регулювання енергопотоюв у
обiгрiвнiй (опалювальнш) системi, якою е запропонована авторами багаторiвнева електротеп-лоакумулювальна система опалення (БЕТСО), сформульована в робот [1].
В робот [2] обгрунтовано методологiю створення автоматизованих електротеплоакуму-лювальних установок, що забезпечують дотримування стандарта теплового режиму мшрок-лiмату виробничих споруд рiзного функцiонального призначення. Система автоматичного регулювання базуеться на використанш у контурi зворотного зв'язку блоку моделювання БЕТСО, основнi вимоги до яко! полягають у тому що, по-перше, для якiсного регулювання необхщний досить високий ступiнь наближення моделi до реального об'екта й точнють виконання числових розрахункiв (висока точнють моделi); по-друге, використання моделi в САР БЕТСО в режимi реального часу вимагае виконання необхщних прорахунюв досить великого обсягу шформацп за вщносно короткий час (висока швидкодiя моделi). Отже, актуальним е створення адекватно! ршенню означено! вище задачi керування математич-но! моделi.
Метою роботи е побудова математично! моделi багатофункцiонально! електронагрь вально! системи, призначено! для обiгрiву великого примiщення, яка б забезпечувала одно-часно дотримування теплового стандарту на^ву, а також можливють рацiонального (або оптимального) керування вшма наявними енергоресурсами для його здшснення в режимi реального часу.
Основт задачг полягають у визначеннi функщональних залежностей теплових полiв на поверхш i в серединi БЕТСО вщ сукупностi незалежних зовнiшнiх впливових факторiв для подальшо! розробки системи структурно-функщонального керування обiгрiву примiщення на основi рiшення зворотних задач теплопередачi.
Методи досл1дження: теорiя теплопередачi в енергоактивних середовищах; метод кiнцевих iнтегральних перетворювань для рiвнянь математично! фiзики.
2. Загальна характеристика БЕТСО та н граничних умов
Вирiшення низки проблем - прогнозування теплового стану примщення, забезпечення контролю та регулювання обiгрiву технолопчно активних зон (ЗТА) примщень АПК дозво-ляе запропонована на^вальна система (НС) - БЕТСО, що забезпечуе бшьш високий якiсний рiвень дотримування стандартiв теплового режиму при збереженш енергоресурсiв.
Розглянемо фiзичну модель БЕТСО у виглядi прямокутно! призми, верхня площина яко! являе собою поверхню пiдлоги, а весь масив грдачо! структури занурений у грунт. Структура БЕТСО в перерiзi (площина х0у) розглянута в [1] при моделюванш 1-вимiрно! шарувато! структури. Будемо вважати, що в плаш примщення (як у повпр^ так i в грунтi) iснують певнi усереднеш температурнi умови, але з кожного боку рiзнi. Вiсь 0х напрямлена угору з початком в середиш нижньо! гранi, вiсь 0у - по ширинi БЕТСО, а вюь 0е - уздовж БЕТСО (рис. 1).
Рис. 1. Загальна схема БЕТСО Отже, надалi розглядатимемо 3-вимiрну модель БЕТСО, тепло в якш генеруеться при незалежному шдведенш енергп до кожного нагрiвального елемента блоку (ярусу) спещаль-них електрообiгрiвникiв трубчастого типу (СЕТ), розташованих у площинах, паралельних площинi у02. Така прямокутна призма, яка мае усередиш шарувату структуру, представлена на рис. 1. Початок системи координат розташований в центрi основи призми з такими габаритними розмiрами: висота А (0 < х < А); ширина 2В (-В < у < В); довжина дорiвнюе 2Ь (-С < г < С).
Шарувата структура БЕТСО в поперечному перерiзi (перерiз 0АА'В) показана на рис. 2, де позначено: х1 - координати контакту сумжних шарiв (1 = 1, 2, .. , N N - юльюсть шарiв), Л^ -
в1дпов1дт коефщенти теплопровщносп, p; - функци розподлу потужносп джерел тепла по ширит смути. З огляду на сказане вище стосовно умов розподшу тепла в плат примiщення будемо вважати, що всередит призми мае мюце симетричний розподш температури в площинах x0z i х0у. Таким чином, можна обмежитись лише квадрантом 0 СВ'В з нульовими граничними умовами для потокiв тепла на гранях означено! обласп 0АС ''С (у = 0) та ОАВ'В (x = 0) (див. рис. 1).
Приймаемо дискретне симетричне по шириш смути пщведення потужностi в шарах, де
розташоваш блоки СЕТ, во яких мають певнi координати у = ус j. Кшькють СЕТ для визначе-носп буде непарною, так щоб завжди був присутнiй СЕТ з координатою у = 0. Таким чином, розподш густини теплово! пaтужностi, що шдводиться до окремого i-го шару, мае вигляд:
(Mi - 1)/2
Р;(у) = z р;. • f( y-yc,j), (1)
j = -(Mi - 1)/2 i,j
де p;,j - густина потужностi джерел тепла, розподшених у СЕТ, Вт/м3;М; - кiлькiсть СЕТ в i-му шарi; fy - функцiя розподiлу теплово! потужностi в областi локалiзацi!j-го трубчастого
c
нагрiвника iз центром у точцi у = у;..
Iншi припущення, прийнятi в розглянутш моделi: 1) розподiл густини потужносп в областях локалiзацi! СЕТ приймаеться однаковим i незалежним вщ температурного режиму НС; 2) функщя розподiлу теплово! потужностi в обласп локалiзацi! СЕТ приймаеться у виглядi трапецiеподiбно! форми (рис. 2); 3) стутнь трапецiеподiбностi 8 припускае можливють
варiювання; 4) кiлькiсть активних шарiв NA у шарах НС може бути довшьною: 0 < NA < N; 5) зсув найближчо! до бiчно! граш (у = B) труби вщ цiе! гранi вибираеться однаковим для вшх активних шарiв lst = B - у;,(М;-1)/2; 6) вщстань мiж трубами СЕТ вибираеться однако-вою lp = 2 • (B-lst)/M;.
Рис. 2. Ф1зична модель БЕТСО (поперечний перер1з) та розподш потужносп джерела тепла в СЕТ (праворуч) Розподiл потужносп виду (1) означае, що перерiз «труби» мае вигляд квадрата iз стороною, довжина яко! дорiвнюе товщиш активного шару. Така замiна припускаеться з огляду на те, що для аналiзу найбшьш цiкавим е розподш температури на поверхш тдлоги (верхня грань НС x = A), де розподш теплового поля певною мiрою вирiвнюеться, а рiзниця теплового поля вiд джерел квадратно! форми перерiзу i джерел кругло! форми перерiзу буде практично непомгтною.
Активний шар будемо далi називати ярусом, причому вщлш ярусiв зручшше вести вiд поверхнi пiдлоги в глибину на^вально! системи. Граничнi поверхш моделi вiдповiдають таким атрибутам реально! НС:
1) верхня грань (x = A, - B < у < B, - с < z < C) вщповщае поверхнi пiдлоги, що оми-ваеться повiтрям усерединi примiщення там, де мае мюце конвекцшний теплообмш:
- А N—
dt
5x
x=A
= 0(1 - Xdx = A ;
(2)
де а - коефщент тепловiддaчi з поверхш пiдлоги (величину а вважаемо незалежною вiд температурного режиму); гс - температура повiтря в примщенш на деякому вiддаленнi вiд
поверхш шдлоги; теплообмiн за рахунок теплового випромшювання може бути врахований приблизно, маючи на увазi, що температурш перепади мiж поверхнею пiдлоги та оточуючи-ми стiнами i стелею примiщення невеликi;
2) основа призми (х = 0, - В < у < В, - с < ъ < С) знаходиться на достатнiй глибинi у грунт (глибина термостатування), тому на й поверхнi приймаються граничш умови 1-го роду:
4=о = 1о ; (3)
3) на бiчних гранях приймемо граничш умови 3 -го роду такого виду (1 = 1,..., N):
(
г. + ь.
■ у
V
(
= и
у=± В
г; +
V
= го
(4)
де ьу = Аср/Оу:
= А
ср/аъ - фактори тепловтрат через бiчнi та торцевi гранi НС.
Величини Ьу, Ьъ обраш постiйними по всiй висот шарувато! структури з тiею метою, щоб
одержати аналiтичне рiшення. Чим меншi цi величини, тим з бшьшим завищенням будуть отриманi потужност джерел, що забезпечують заданий рiвень розiгрiву НС (у тому чист поверхнi пщлоги). Усередненi величини теплопровщност шарiв ^ср (принаймнi тих, де мстять-ся пустотiлi СЕТ) можуть бути отриманi одним з вщомих способiв. Величини Ьу, Ьъ можуть бути обранi рiзними. Температура грунту за межами НС приймаеться фшсованою i такою, що мае певний заданий профшь, так що кожному шаровi вщповщае певна середня температура грунту на певнш глибинi г01(1 = 1,..., Отже, по глибиш температура грунту змiнюеться вщ рiвня г01 = г0 (найнижчий шар НС, 1 = 1) до рiвня = гп (для р1вня поверхнi пщлоги iз заданою температурою гп).
3. Формулювання гранично'1 задачi теплопровiдностi
Вщшуканню шдлягае функцiя сталого температурного розподiлу усередиш призми (темпера-турне поле), обмежено! пласкими граничними поверхнями прямокутно! форми. Усередиш пря-мокутна призма структурована - вона складаеться iз N однорщних пласких шарiв, що грани-чать мiж собою в област сумжних границь, причому тепловий контакт шарiв вважаемо нещеальним (мае мюце кiнцевий термiчний опiр). Шукане усталене температурне поле в сере-диш шарувато! структури г = г(х,у,ъ) розпадаеться на N взаемозалежних температурних полiв:
и1 = и1(х,у,ъ), (5)
яю реалiзуються (установлюються) у межах ьго однорiдного шару.
Температурне поле в межах НС й умови за !! межами, як прийнято вище, вважаемо симетричними вщносно площин х0у й х0ъ, тому далi розглядаемо 1/4 частину НС, обмеже-ну площинами симетрп й гранями, що мають тепловий контакт iз навколишнiм середови-щем. Граничнi умови на поверхнi х0у й х0ъ вiдповiдно такi:
би;
дъ
= 0 м ди, = 0; у < В; —^
ду
=0, ъ<Ь;
< х < х1, 1 = 1,..., N.
(6)
у=0
Функцп и1 = и1 (х,у,ъ), що вщшукуються в областях х1 -1 < х < х1, 0 < у < В, 0 < г < С
(1 = 1,..., N), задовольняють рiвнянню теплопровiдностi виду:
2 2 2 д и; д и; д и; 1
~г +~г+~Г = -г Р1(у'Ъ).
дх ду дъ А1
(7)
На верхнш i нижнiй гранях мають бути виконаш граничнi умови, вщповщно 3-го i 1-го роду:
- А
N
дuN
дх
х=А
= аМх=А - гс); 0 < у < В, 0 < г < с;
(8)
ъ=± С
х
-1
ъ = 0
Ч=0 =1с; 0 < у <в, о < 2 < с. Граничнi умови на бiчних гранях:
5и1 ду
= о; х1 _1 < х < х1, 1 =
у=0
(
и + ь„
у
V
ди1
ду
= X
01; х1 _1 < х < х1, 1 = 1,..., N.
у=в
Граничнi умови на торцевих гранях:
ди1 д,
=0;
; х1 _1 < х < х1; 1 =
и + И,
2 =0
ди1 д,
= и •
01 ; х1 _1 < х < х1, 1 = 1,..., N.
(9) (10)
(11)
(12) (13)
,=с
Укладання труб в активних шарах визначае вид функцiй розподшу джерел р1 (у,,). На рис. 3 показано в плат розмщення труб у деяких варiантах: 1) укладання суцшьних труб по довжиш НС; 2) секцiонування труб; 3) секцюнування труб з теплоiзолюючими перегородками.
Рис. 3. Вар1анти розподшу гршчих труб СЕТ в активних шарах: а - сущльт нагр1вач1 (к1льк1сть труб на ширит смуги м = 5); б - секцюноваш труби 1з зазорами (кшькють секцш Ь = 5); в - секцюноваш труби 1з тонкими тепло1золюючими перегородками
Варiанти моделей НС на рис. 3 ютотно в^^зняються з точки зору побудови аналпично-го рiшення. Варiант (а) НС, що мютить суцiльнi на^вач^ характеризуеться однорiднiстю структури по ои 0 г - аналiтика реалiзуеться методом кiнцевих iнтегральних перетворю-вань (К1П) (подвiйне перетворення). При цьому важливо тдкреслити, що метод К1П дозволяе реалiзувати "нерiвномiрний" спосiб на^вання й по г - координат (диференцшо-ванi зони) за рахунок вщповщного виду пiдведення потужностi в труби, наприклад, за рахунок схщчастого виду пщведення потужностi й вщповщного завдання функцп розподiлу
р1 (у,,) . На практицi може бути реалiзована технiчно (з елементами комутацп й керування) мультиплiкативна схема пщведення потужносп в активний шар:
Р1(у,2) = Р1 (у) • (14)
де вираз р1 (у) вiдповiдае рiвнянню (1), що описуе набiр М труб iз щiльнiстю потужностi р1, J; вагова функщя схщчастого виду ql (,) описуе диференцiйований нагрiв поверхш пщлоги в окремих зонах (ЗТА) уздовж НС. 1х рiвнi вибираються в iнтервалi значень 0,5...2 вщносно
певно! середньо! температури для забезпечення технолопчних завдань в примiщеннi на однш окремiй лши подлоги.
Якщо на довжиш НС органiзовано Ь секцш (Ь - непарне), то вони обмежеш координатами:
к _ 2 )• 2 <(к+2 '•1
Ь _ 1 Ь _ 1 к =--,...,0,...,-
2
2
(15)
де 18ес = 2С/ь - довжина одше! секцп.
Варiант (б) - практично одержати строге рiшення в замкненому вцщ для структуровано! по двох координатах НС навряд чи вийде, а практична користь незначна. Варiант (с) - замкнене ршення, очевидно, одержати можна, користь вщ такого ршення може бути в тiм, щоб на строгiй математичнiй моделi проанатзувати взаемний вплив температурних режимiв сум1ж-них (а також бiльш вщдалених) секцiй. Надалi будемо розглядати постановку й ршення задачi теплопровiдностi за варiантом (а) для одного квадранта, що показаний на рис. 3, а.
4. Побудова ршення гранично'1 задачi теплопровiдностi для шаруватоТ призми
Ршення рiвняння Пуассона (7) з набором зосереджених джерел виду (14) в кожному iз шарiв
2 2 2 д и; д и; д и; 1
—Т+тт +тт=_ т"Р1(у) • ql(z)
д,
(16)
дх ду будемо шукати методом К1П [3].
Температурне поле в кожному iз шарiв будемо шукати у виглядi 2-х складових (вщповь дно до принципу суперпозицп):
и1 (х,у,,) = г01 + У01 (х,у,,) + У1 (х,у,,), (17)
де функщя ~01 (х, у,,) = ^ + У0Дх,у,,), (18)
е рiшенням однородного рiвняння Лапласа
Д~01 = 0 (19)
з заданими граничними умовами (8)-(13), а функцiя у1(х,у,,) - е частковим ршенням вихщного неоднородного рiвняння з однорщними граничними умовами.
Нижче наведенi окремо обидвi задачi теплопровiдностi вщносно шуканих функцш у1 (х, у,,)
i у,
1 (х,у,г)
разом iз вiдповiдними граничними умовами:
2 2
д у01 , д у01
2
д у0
дх
ду"
д,
01 |х=0 " 10 101!
дv0N
_ Л
N '
ду01
ду у=0
Г
у0, + И
V
ду01
д, ,=0
у0. + И
дх
= 0,
ду01 ду
= 0,
ду01 д,
х=х
N
= 0, (20) (21)
= а[у0^^ _ (хс _ х0^] = (22) (23)
222
д у1 д у1 д у1 1
—т+—т = — Р1(у) • ql (,) ,(27)
дх ду д, " (28)
— = =х_, (29)
у1 = 0,
Чх=0 '
_ Л
ду
N
дх
= сум
ду1 ду
Г
= 0,
у=0
= 0.
у=в
= 0.
(24)
(25)
(26)
у- + Иу
V д,
у- + И,
ду1
ду, = 0,
ду1 д,
= 0,
у=в
= 0.
(30)
(31)
(32)
(33)
+
ъ=0
, =с
,=с
Складене (повне) ршення (17) задовольняе вихщному рiвнянню (16) iз граничними умовами на зовшшшх граничних пласких поверхнях. Крiм того, отриманi рiшення для кожного iз шарiв 1 = 1,..., N повинш бути узгодженi на границях пласких шарiв
х = х1 (1 = 1,2,..., N -1) по температурах i теплових потоках на границях, причому для кожного iз наборiв функцш окремо, тобто для наборiв у01 (х, у, ъ) i у1 (х, у, ъ).
Використовуючи стандартну схему ршення таких задач методом К1П [3], виключимо послщовно диференщальш операци по "ъ" й "у".
Ядро перетворення К(ъ, V), що виключае операцiю диференцiювання по "ъ", е ршенням гранично! задачi для областi 0 < ъ < С:
2
5 2К(ъ^) 2К( ) 0 ■ + v К(ъ, V) = 0,
дъ
2
(34)
дК(ъ, V)
дъ
ъ = 0
= 0 I К(ъ^) + Ъ.
дК(ъ, V) дъ
= 0
(35)
Сформульована задача е задачею Штурма-Лiувiля на визначення власних чисел, ршен-ня яко! е функщя соб(1^) , що автоматично задовольняе 1-й умовi (35) ^ крiм того, повинна задовольняти 2-й умовi (35):
[со8(^) - Ъъ^1п(^)]|ъ=С = 0,
з чого витшае характеристичне ршняння:
ctg(vC) = Ъъ V .
V2
(36)
Визначений з (36) ряд власних чисел Vp, р = 1,2,.. дозволяе утворити систему власних функцiй:
(37)
Застосуемо К1П до рiвняння (20) з урахуванням К1П вихiдно! координатно! функцi!
Кр(ъ) = Кр ^ъ) = cos(VpЪ).
У01(х,у,ъ):
_ 1С
_01 (х, у, Vp ) = K(VpЪ) • Уо1 (х, у, ъ)аъ .
(38)
Використання граничних умов дозволяе отримати послщовшсть рiвнянь стосовно кожного шару структури, що розглядаеться:
д _р д у,
дх
ду
г -Vp2Уpl(x,y,Vp) = о,р = 1,2,„
(39)
По знайденому К1П ур1 (х, у, vp) вщновлення вихiдно! функцi! виконуеться за формулою:
уо1(х,у,ъ) = Е
р=1 Np
-_01(х,у^р),р = 1,2,..,
1 С 2 1
N = — I cos (vpъ)dъ = —
р Со р 2
1 + -
(Ъ^С) 1 +
(40)
(41)
Рiвняння (39), отримане шляхом застосування до вихiдного рiвняння К1П з ядром Кр (ъ),
виршуетъся щодо функцiй _о1 (х, у, vp), як повиннi задовольняти таким умовам:
Ч^у^р^=о = (tо - t0l) • s1nc(vpC), 1
= ^...,N-1;
(42)
ъ = С
+
_ш +
_р > хN •дуом
а дх
= (tо - tON) • s1nc(vрС); 1 = N ;
дур,
ду
= о,
у=о
ур1 + Ъу ^'
ду
V
= о.
(43)
(44)
у=в
Зазначимо, що вщповщно до напластування шарiв граничш умови 3-го роду на бiчнiй стiнцi НС дозволяють враховувати будь-який заданий профшь температурного розподiлу у грунт, причому в межах окремого шару зовшшня температура грунту приймаеться пост-iйною, яка дорiвнюе усередненш температурi за межами НС на рiвнi поточного шару
tоi,1 = 1,...,N .
Ядро перетворення К(у, м), що виключае операцiю диференцiювання по "у", е ршенням гранично! задачi для област 0 < у < В :
2
д 2К(у, м) 2К( ) о + м К(у,м) = О,
дК(у, м)
ду
дъ
= О,
2
К(у, М) + Ъу
у=О
дК(у, М) ду
= О.
(45)
(46)
у=В
Ршенням (45) з урахуванням 1-! з умов (46) е функщя cos(мy), що повинна бути пщлегла ще й 2-й умовi (46), тобто необхщно виконання рiвняння:
ctg(мB) = Ъу м . (47)
2
Це рiвняння породжуе ряд власних чисел м q i вщповщно набiр власних функцiй:
Кд(у) = Kq(мqy) = ^(мqy), q = 1,2,... (48)
Введемо К1П функцiй уо1 (х, у, V р) по координат "у":
ур^(х; м Vр) = — 1 Ка(мау) • уо^^ Vp)dУ
1В
р
'О1
в
qvмq.!
ОГ
р
(49)
Пюля 2-х послiдовно проведених К1П вихщне диференцiaльне рiвняння Лапласа у про-сторi зображень представляеться у виглядк
д2_p,q _
01 - (Vр + м¿рур^х;мq, Vр) = о, q,р = 1,2,...
дх
2
(5О)
Вщповщно до перетворення (49) функцп уО'^х; м q, Vр) повиннi задовольняти таким граничним умовам на дш та пщлозк
=p,а / ч
уОГ(х; Мq, Vp)
=р,а хN д_ON
х = О
= ^О - tоl)s1nc(vpC)s1nc(м qB), 1 = 1;
ON
а дх
= ^О - tоN)s1nc(v рС^шс(м qB), 1 = N.
(51)
(52)
Ршення (5О) знаходиться у вигщщ комбiнацiй гiперболiчних функцiй :
О
х = х
N
у^4 (х; мq, Vр ) = ^ (ч, р) • (х - х^)] + ^ (ч, р) • эЦШдр (х - )], 1 = 1,2,.., N, (53)
/ 2 2
л/М q +v р ; коефщенти c1(q,p) та d1(q,p) - знаходяться шляхом виршення
де шар =
системи 2N лiнiйних неоднорщних рiвнянь, якi утворюються з умов (51), (52), а також 2^-1)
умов узгодження наборiв функцш Ур1а (х; м q, V р) на N-1 границях шарiв НС, модифшова-них з урахуванням К1П:
у01
у0'Ч+1 - 1Т А1+1
дх
+ (41+1 - 41 ^пф1 рC)sinc(м qB),l = 1,2,.., N -1, (54)
х=х;
( -p,q ^
дх
4+1"
дх
х=х;
1 = 1,2,.., N -1,
(55)
* . . . . . . 1 де 11 - термiчнi контактш опори мiж ьм та i+1-м шарами.
Оригiнали шуканих функцiй вщновлюються за формулами:
0 cos(Мqy) _ра
'= 2 • ^ М q, V р), 1 = 1,2,..,N,
V р) = ^
q=1
1 В 2 1
Mа = —|cos (маy)dy = -q Во q 2
1 + ■
(Ьу/В)
(56)
(57)
1 + (м qhy)
З урахуванням (40), (41) загальш вираження шуканих координатних функцiй у01 (х, у, 7) з (18) можуть бути записаш через !хш образи К1П у виглядк
у01(х,У,7) = 2
^^р7) О cos(Мqy) _
р=1 Np q=1
Аналогiчно будуеться ршення для функцiй у1 (х, у, 7), яю визначаються розподшом джерел тепла в НС. Воно може бути записано у виглядi подвшного ряду по власних функщях вiдповiдних задач Штурма-Лiувiля:
Р 4 V ' ^ - - - ^ ч--' =p,а ^ .. ч
(59)
М,
а
рд
у01
(х;м ч , V р)
(58)
cos(vpz) 0 cos(МаУ) -р ч У1(х,у,7) = 2 —^ -—• ур,а(х; мч, Vр) р=1 Мр а=1 мч
Функцп ур,а(х;ма,Vр) також визначаються через комбшацп функцш гiперболiчного
синуса i косинуса вiд аргументiв Шра(х - х1) з невизначеними коефщентами. Останнi визначаються шляхом вирiшення систем 2N неоднорiдних лiнiйних рiвнянь в просторi зображень К1П.
Зазначимо, що згщно з принципом суперпозици функцп у01 (х, у,7) в рiвняннi (17) вщповь дають за тепловий внесок навколишнього середовища - повiтря та грунту {^Д^^} й пiдкоряються рiвнянню Лапласа при вщсутносп джерел, а функцп координат у1 (х, у, 7) визначаються розподiлом джерел {р1 (у, 7), 1 = 1,2,.^} в середиш НС при однорiдних гранич-них умовах на границях НС. Обидвi системи функцiй задовольняють умовам узгодження температур i потоюв тепла на границях шарiв НС. Таким чином, загальне ршення гранично! задачi щодо визначення розподiлу усталеного температурного поля в багатошаровш 3-вимiрнiй структурi у формi призми з довшьно розташованими трубчастими джерелами тепла побудоване.
х=х
х=х
Створена вщповщна комп'ютерна модель теплопередачi в такш моделi БЕТСО дозво-ляе вирiшувати велику кiлькiсть питань стосовно оптимiзацil ii теплового режиму, керування тепловими потоками тощо.
5. Висновки
Обгрунтована фiзична модель й розроблена строга математична модель стацюнарного режиму теплопередачi запропоновано! 3-вимiрноl багаторiвневоl (багатошарово!) електро-теплоакумулювально! системи опалення, в якш мiстяться розподiленi трубчастi джерела тепла. Кшькють однорщних шарiв та ix теплофiзичнi характеристики довiльнi.
Наукова новизна полягае в тому, що побудована система рiвнянь визначае функцю-нальну залежнiсть температурних полiв на поверхш БЕТСО i в ii серединi вiд сукупностi незалежних розподшених у просторi впливових факторiв, яка дозволяе виршувати зворотнi задачi, тобто знаходити розподши джерел тепла в нетермоiзольованiй НС за певними умовами щодо розподiлiв або значень температур.
Практична значущгсть полягае в тому, що ршення задачi теплопередачi доведено до створення комп'ютерно! моделi, яка дозволяе проводити оптимiзацiю ii теплових режимiв, а також слугуе основою для теоретико-експериментального ршення зворотних задач щодо розробки системи структурно-функцюнального керування тепловими потоками (див., на-приклад, [2]), реалiзацil рiзниx функцiональниx режимiв БЕТСО тощо.
Список лiтератури: 1. Вюн. ХДТУСГ 1м. П. Василенка «Пробл. енергозабезпеч. та енергозбереж. в АПК Украши». Харк1в, 2004. Вип. 27. Т. 1. С. 245-250. 2. Романченко Н.А., Слесаренко А.П., Сорока А.С. Оптимальне керування тепловими режимами м1кроктмату в технолопчно активних зонах виробничих споруд // АСУ и приборы автоматики. 2009. № 2. С. 113-120. 3. ПоложийГ. Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964. 560 с.
Надшшла до редколегИ 22.10.2009
Слесаренко Анатолш Павлович, лауреат Держ. премп Украши, д-р ф1з. -мат. наук, профе-сор, пров. наук. ствроб. 1нст. проблем машинобудування 1м. А.М. Пщгорного НАН Укра!-ни. Науков1 штереси: комплексне математичне моделювання, д1агностика та вдентифжащя теплових процеав; теплоф1зика; математична ф1зика та диференцшш р1вняння; оптимальне керування тепловими режимами в енергетищ, радюелектрошщ, в елементах енергетич-ного, електронного та косм1чного обладнання. Захоплення та хобк пошук невиршених проблем. Адреса: Укра!на, 61046, Харк1в, вул. Пожарського, 2/10, роб. тел. 95-95-64, дом. тел. 65-51-89.
Романченко Микола Анастасшович, канд. техн. наук, доцент каф. електротехнологш сшьсько-господарського виробництва, завщувач кафедри Харк1вського нацюнального техшчного утверситету сшьського господарства 1м. Петра Василенка. Науков1 штереси: електротехно-логп та електроенергетика, проблеми ефективного використання нетрадицiйниx вщновлю-ваних джерел енерги. Захоплення та хобк бдшльництво. Адреса: Укра1на, 61125, Харкав, вул. Енгельса, 19, роб. тел. 712-28-33, дом. тел. 733-15-89.
Сорока Олександр Степанович, канд. ф1з.-мат. наук, доцент каф. м1кроелектрошки, елект-ронних прилад1в та пристро!в ХНУРЕ. Науков1 штереси: радюф1зика та електрошка, при-кладна електродинамжа пристро1в НВЧ та КВЧ, математичне моделювання теплових та електромагттних процеав у технолопчних установках НВЧ. Адреса: Укра!на, 61166, Харкав, пр. Лешна, 14, роб. тел. 702-13-62, дом. тел. 336-82-24.
