CC BY
22
МОДЕЛЮВАННЯ I УПРАВЛ1ННЯ
УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК*
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕПЛООБМ1НУ КУСКОВО-ОДНОР1ДНОГО ЦИЛ1НДРА, ЯКИЙ ОБЕРТАСТЬСЯ
Державний вищий навчальний заклад "Нацiональний гiрничий ушверситет", Днiпро, Украша
Анотаця. У cmammi за допомогою розробленого нового ттегралъного перетворення знайдено температурне поле кусково-однорiдного кругового цилтдра в напрямку полярного радiуса, який обертаетъся з постiйною кутовою швидюстю навколо ос OZ, з урахуванням ктцевог швидкостi поширення тепла у виглядi збiжних ортогоналъних рядiв по функщях Бесселя i Фур 'е. Ключов1 слова: узагалънене рiвняння переносу енергп, ттегралът перетворення Лапласа, Фур'е, час релаксацИ'.
Аннотация. В статъе с помощъю разработанного нового интегралъного преобразования найдено температурное поле кусочно-однородного кругового цилиндра в направлении полярного радиуса, который вращается с постоянной угловой скоростъю вокруг оси OZ, с учетом конечной скорости распространения тепла в виде сходящихся ортогоналъныхрядов по функциям Бесселя и Фуръе. Ключевые слова: обобщенное уравнение переноса энергии, интегралъные преобразования Лапласа, Фуръе, время релаксации.
Abstract. Temperature field of piecewise homogeneous circular cylinder in the direction of the polar radius, rotating at a constant angular velocity about the axis OZ, taking into account the finite speed of propagation of heat in the form of convergent orthogonal series of Bessel functions and of Fourier with the help of the newly developed integral transformation was found in the article.
Keywords: generalized equation of energy transfer, the integral Laplace transforms, Fourier, relaxation time.
1. Вступ. Анал1з останшх дослщжень i публжацш
У феноменолопчнш теорп теплопровщносп передбачаеться, що швидюсть поширення тепла е нескшченно великою [1, 2]. Однак при високих штенсивних нестацюнарних проце-сах, що спостер^аються, наприклад, при вибухах, надзвукових потоках, великих швидкос-тях обертання, вплив скшченносп величини швидкосп поширення тепла на теплообмш стае поманим [2 - 4].
У [2] показано, що р1вняння переносу енергп у випадку узагальненого закону теплопровщносп Фур'е справедливе для одном1рного, однорщного i стацюнарного простору.
В [5] отримано узагальнене рiвняння переносу енергп для рушшного елемента су-цшьного середовища з урахуванням скшченносп величини швидкосп поширення тепла.
Метою роботи е розробка ново! узагальнено! математично! моделi температурних розподшв у кусково-однорщному цилiндрi у виглядi крайово! задачi математично! фiзики для рiвняння теплопровщносп та розв'язання отримано! крайово'! задачi для рiвняння теплопровщносп, розв'язки яко! використовуються тд час керування температурними полями.
Як показуе огляд л^ератури, теплообмш у цилшдрах, яю обертаються, вивчений на даний час ще недостатньо [5, 6]. Показано, що чисельш методи дослщження нестацюнарних неосесиметричних задач теплообмшу цилiндрiв, якi обертаються, е не завжди ефекти-вними, якщо мова йде про обчислення при великих швидкостях обертання [6].
48 © Бердник М.Г., 2016
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2016, № 3
Так, доводиться [6], що умови стшкосп обчислень у методi кiнцевих елеменпв i методi кiнцевих рiзниць, що застосовуються до розрахунку нестацiонарних неосесиметри-чних температурних полiв цилiндрiв, яю обертаються, визначаються аналогiчними характеристиками. Ц умови мають вигляд
ДК0 л . 1 Рй л 1--> 0 i---> О
Др2 Др 2
де - критерш Фур'е, Рй - критерiй Предводителева.
Якщо Рй = 105, що вщповщае кутовiй швидкостi обертання металевого цилшдра ш = 1,671 срадiусом 100 мм, змшш Др i ДК0 повиннi бути тдпорядковаш таким умовам:
Др<2 10-5 i ДК0 < 2 10-10.
Для рiвномiрно охолоджуваного цилшдра за умови Ы=5 (Ы - критерш Бю) час, не-обхщний для того, щоб температура досягла 90% стащонарного стану, дорiвнюe ¥о « 0,025 [6]. Це означав, що потрiбно принаймнi здiйснити 1,3 -108 операцiй по часу для того, щоб був досягнутий стащонарний розподiл температури.
Проте потрiбно вщзначити, що протягом одного циклу обчислень потрiбно здшсни-
ти 3,14 -105 обчислень, адже внутрiшнiй стан у кшьщ характеризуеться 3,14 -105 точками. У результат видно, що число обчислень, необхщних для отримання чисельного результату, видаеться нереальним.
Тому для виршення крайово'1' задачi, яка виникае при математичному моделюванш нестацiонарних процеав теплообмiну в цилiндрах, якi обертаються, будемо застосовувати штегральш перетворення.
2. Постановка задач1
Розглянемо розрахунок нестащонарного температурного поля суцiльного кругового циль ндра зовнiшнього радiуса Я у цилшдричнш системi координат р,р,z) кусково-однорiдного в напрямку полярного радiуса г, який обертаеться з постшною кутовою шви-дкiстю ш навколо ос 02 з урахуванням кшцевоi швидкосп поширення тепла. Теплофiзи-чнi властивосп його в кожному шарi не залежать вщ температури за умови щеального теплового контакту мiж шарами, а внутрiшнi джерела тепла вщсутш. У початковий момент часу температура цилшдра постшна 00, а на зовшшнш поверхнi цилiндра температура
вщома i не залежить вщ часу О (р).
Вiдноснi температури в8 р, р, г) ^ -го шару цилiндра обчислюються за формулою
0S (p,p, t ) =
Ts (Р,Р, t)- Go Tmax - G0
де Ts (p, p, t) - температура s -го шару цилшдра, Tmax = max G(p(, p = L., s = 1, 2.
(p R
Таким чином, вiдносну температуру цилшдра d(p, p, t) можна представити у вигля-
Дi
Ы Л \в1 (p,p, *) якщ° Pe(Po,Pi), (1)
^РРt ) = L ( t) ( ) (1)
Ы (Р,Р, t) якщ° Ре(Р1,Р2 ).
3. Розв'язок задач1
У [5] отримано узагальнене рiвняння переносу енергл для рушшного елемента суцiльного середовища з урахуванням скшченносп величини швидкостi поширення тепла. Згiдно з [5], узагальнене рiвняння балансу енергл твердого тша, яке обертаеться з постiйною куто-вою швидкiстю со навколо ос 02, теплофiзичнi властивостi якого не залежать вщ темпе-ратури, а внутршш джерела тепла вiдсутнi, приймае вигляд
I дТ дТ
у е^--+ ш--+ т г
I д дф
д2Т д Т —^ + <с-
дл2
дфд^
= Л
д 2Т 1 дТ 1 д 2Т д 2Т
—Г +--+ ^—Г +—Г
дг г дг г дф д2
(2)
де у - щiльнiсть середовища, с - питома теплоемнють, Л - коефщент теплопровiдностi, Т(р,ф,t) - температура середовища, I - час, тг - час релаксацп.
Математично задача визначення вщносно'' температури цилiндра в(р,ф, t) (1) скла-даеться в штегруванш гiперболiчних диференцiальних рiвнянь теплопровщносп (2) в об-ластi Б, = {(р,ф,^)р е (р3-1,р,), фе (0,2^), 1 е (0,да) }, що, з урахуванням прийнятих допу-щень, запишеться у видi
дв,
■ + с
дв,
д t д ф з початковими умовами
граничною умовою
■ + т,
д 2в,
д 2в
д t
— + тгс
д фд t
± = а2
д 2в,
■ + ■
1 дв.
+
1 д в
др2 Р дР р2 д ф1
в, (р,ф,0)=о, врф1= 0
д I
в2 (1, ф, t ) = V (ф), умовами щеального теплового контакту
в1 (Рl,Ф, t ) = в2 (Рl,Ф, t), Л дв1 (Рl,Ф, t) = Л дв2 (Рl,Ф, t)
Л1 -= Л2 -,
др др
а на осi цилiндра виконуеться умова обмеженосп
в1 (р,ф, t) < да,
Я1
де р1 =—, р0 = 0, р2 = 1, Я1 - радiус меж1 шарiв, Л, - коефiцiент теплопровiдностi, у, -Я
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Л,
щшьшсть, с, - питома теплоемнiсть, а, =-
сзГз
шару цилшдра, аО, = , , = 1,2 , Vфф)е С(б).
Я 2
- коефщент температуропровiдностi , -го
Тодi ршення крайово' задачi (3) - (8) в, (р,ф, t) е двiчi неперервно диференцшова-ним по р i ф, один раз по t в областi Б i неперервним на В [7], тобто
в, (р,ф, ^е С2,1 (В )П С (в ), а функцп V(ф), в, (р,ф, {) можуть бути розкладеш в комплексний ряд Фур'е [8]:
\ва р,рг) в (р, г)! (. )
(9)
де
\esnnр,г) 1 2П в(р,р,г)! ( . )й
}=П1 у(р) |"ехр(_пр)йр,
Уп
де
(р, г) = в(п (р, г)+. в(п (р, г), Уп = Ур1 +. уП2) , . -
уявна одиниця.
З огляду на те, що в* (р,р, г) функцГi дiйснi, надалi обмежимося розглядом в*,п (р, г)
для п = 0,1,2,..., тому що в*п(р,г) i в*_п(р,г) будуть комплексно спряженими [8]. Пщста-
вляючи значення функцiй з (9) у (3) - (8), у результат одержимо систему диференщальних рiвнянь:
дв(Ш
д 2в() к; с п
+ вт) + + т)двп) = а
д г
'п 1 "Г о 1 - „
д г2 д г
п 2
5
д 2в( ) 1 дв(г) п 2 ° 5,п 1е7 5,п п
-:—I---:---
др2 р др р2
п в« и
(10)
з початковими умовами
в('п (р,0)=0, = 0,
граничною умовою
С (1, г) = Уп
дг
С)
(11)
(12)
(13)
(14)
умовами iдеального теплового контакту
вп (р1, г )=в2(,п (р, г),
а в (P1, г) а в рь г)
л<1-= Л-2-
др др
а на осi цилiндра виконуеться умова обмеженосп
е(;п (р, г )<®,
де Э(п1) = _шп, ^ = шп , т\ = 2, т2 = 1, . = 1,2 .
Для розв'язання крайово'1' задачi (10)-(14) побудуемо iнтегральне перетворення [9 -
10]:
}(„ )=I р г(рМр = £
р0 ^ р*-1
2 р*
„,к р)
а *
рг(P)dP,
(15)
де
<0(п,кP), а(р):
2
-р
V а1 J
а1 якщо р е
-р
V а 2 J
, а2 якщо р е
(Po, р1 )> (Pl, р 2 ).
Власш функцп в* р) i власнi значення знаходяться iз розв'язку задачi
Штурма-Лiувiлля:
й2 ^ , 1
ёр Р йР &(0)< », йг
2 2
\+д = о,
Р
а
Мп,к
V «5 у
= о,
Мп,к «1
-Р1
=д
Мп,к «2
д&
Р1
Л
Мп,к «1
-Р1
др
Мп,к «2
Р1
дР
(16) (17)
(5 = 1,2). (18)
Розв'язавши задачу Штурма-Лiувiлля (16) - (18), одержуемо
а
ГМ»к л
Jп
(' Мп,к Л
«1
Р
«1
Р
Jn
Мп,к «1
(Мпк Л
Ч
(^п,к ^
Р1
«2
Р
«2
Р
Ч
Мп,к «2
(19)
Р1
де
Ч
( Мп.к Л —р
«2
= У
Мп, к «2
-Р2
^ (Мп,к ^
-Р
«2
Jn
- Jn
Мп,к «2
Р2
^ (Мпкк. ^
Уп
«2
Р
, -тп(х)Л(х) - Фу
нкцil
Бесселя 1го i 2го роду пго порядку вщповщно [11].
Власш значення мп к знаходяться iз розв'язку трансцендентного рiвняння
Мn,kJп
( Мп,к Л -Р1
V «1 У
Н
«1 Jr
де
Н
( Мп, к Л — Р V «2 у
Мп, к
«2
(
У
Мп,к
Р2
( Мп,к Л Р1
V «1 У
> (Мп,к >
= о -
T'
и п
Р
V «2 У
Ч
(
- Jп
V «2 у
Формула оберненого перетворення мае вигляд
,( ) ^ до (Мп,кР)
Г (Р)=Е —(-
п=1 ||бо (Мп,к Р,
(Мп,к Л Р1
V «2 у
( Мп,к Л Р1
V «2 У
Л ( У'
1п
Мп,к «2
Р2
Мп,к «2
Р
о =
Л2 Л
1 (Мп,к ),
де
||бо (Мп,к Р)2
Р1 2«!
( 2 2 ^ 1 П «1
1- 2 2
Мпк Р1
Мп,kJп
( Мп,к Л
-— Р1
«1
аlJ,
( Мп,к Л
-Р1
«1
2
2
+ Р
2«2
«2 Н
Мп,к
«2
— Р2
Мпк Ч
Мп,к «2
-Р1
(20)
Р1 2«!
22 П «2
22 Мп,к Р1
«2 Н
Мп,к «2
Р1
Мп,кЧ
(Мп,к Л
Р1
V «2 у
До системи диференщальних рiвнянь (10) застосовуемо iнтегральне перетворення (15) враховуючи позначення (1), в результатi одержуемо систему звичайних диференща-льних рiвнянь:
2
+
2
1
+
Э Г) Г)
d t
а(тг)
i(mi)
'n 'r
d t
+ T
d Э)
r 2 d t2
62
( Unkk Л
a2
V
Г)
un,k
з початковими умовами
e^k., t)=0, = o (i = 1,2).
dt
(21)
(22)
Застосовуемо до системи диференщальних рiвнянь (21) iнтегральне перетворення Лапласа [12]:
f (s )=J f (t) e - sT dT.
0
У результатi одержуемо систему алгебршчних рiвнянь вiдносно Эп():
Э) + 4 ^) + Тг*вПт))+ Trs Э) = q„k k
^ п' ( Un,k ^ 62
де i = 1,2, qn k = /и n,k .
Розв'язавши систему рiвнянь (23), одержуемо
V а2 у
V
Г)
-Э)
a2un, k
(23)
i=anki-
V([rrs 2 + s + qn,k )+(- 1)i+1^nfnmi )(1 + sTr)
(rs 2 + s + qn,k ) + ra2 n 2 (1 + sTr )2
, (- = 1,2),
(24)
i/n,k Л
a2
де an, k =-62
a2
Застосовуючи для зображення функцш (17) формули оберненого перетворення Лапласа, одержуемо орипнали функцiй:
(25)
enVk, t)=ZC n,k ( )-{n(l)-[(rs; + 1)+Tr®ni]+ Vn(2)-[Tr®n-(2t ps j + 1>f]}-
j=1
- ( - 1)+ XZn,k (sj )- {{ • [j + 1)- Tr®ni]+ vn2 - [tr®n + (trsj + 1)i]
j=3
- ( -^ 2
ёГ-'(/n,k,t) = iZn,k(ij)- { - [ +1)+ Trrani]- V'" - [tr®n - (2ts +1)]}-
j=1
- ( -1)+ i Zn,k(sj)- {) • [ts +1)- Trrani]- V1 - [ran + ( +1))]}
j=3
Г -1),
(т rs] +1) +(t r ran)
(26)
Z ( ) 0,5s-lan,k . , „ „ „
де Zikvj / = ^-Л2—7-\2 , а значення sj для j = 1, 2, 3, 4 визначаються за фор-
мулами
n
S1,2 _
(&ni- l)±V(l + Trani)2 - 4xrq„k rani +1)± ^(l-Tr&ni)2 - 4xrqn,k
2т
' S,3,4 _ '
2т
Таким чином, з урахуванням формул обернених перетворень (9) i (20), одержуемо температурне поле кусково-однорiдного кругового цилiндра в напрямку полярного радiу-са, який обертаеться з постшною кутовою швидюстю со навколо осi 02 з урахуванням кь нцево1 швидкостi поширення тепла:
е(р,ф,t)_ j
jj [eni)(n n,, t)+i-en2 >( n,, t)]
00 (U n,kр)
k _1
00 (u „ p)
де значення ejf^(unk, t) i en~2) , t) визначаються за формулами (25), (26).
- ехр(шф), (27)
4. Висновки
У статп за допомогою розробленого нового штегрального перетворення знайдено температурне поле (27) кусково-однорщного кругового цилшдра в напрямку полярного радiуса, який обертаеться з постiйною кутовою швидюстю с навколо осi 02 з урахуванням кшце-во1 швидкосп поширення тепла, у виглядi збiжних ортогональних рядiв по функцiях Бесселя i Фур'е. Знайдений аналiтичний розв'язок узагальнено1 крайово1 задачi теплообмiну цилiндра, який обертаеться, з урахуванням скшченносп величини швидкостi поширення тепла, може знайти застосування при модулюванш температурних полiв, якi виникають у багатьох техшчних системах (в супутниках, прокатних валках, турбiнах та ш.).
СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ
1. Берд Р. Явления переноса / Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. - М., 1974. - 686 с.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности / Лыков А.В. - М., Высшая школа, 1967. - 599 с.
3. Лакуста Л.В. Некоторые оценки границ применимости гиперболического уравнения теплопроводности / Л.В. Лакуста, Ю.А. Тимофеев // ИФЖ. - 1979. - Т. 37, № 2. - С. 366 - 370.
4. Подстригач Я.С. Обобщенная термомеханика / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно. - К.: Наукова думка, 1976. - 310 с.
5. Бердник М.Г. Анал^ичний розв'язок узагальнено! крайово! задачi Неймана теплообмiну суцшь-ного цитндра, який обертаеться, з урахуванням кшцево! швидкосп поширення тепла / М.Г. Бердник // Вюник Дншропетровського ун-ту. - (Серiя «Мехашка»). - 2005. - № 10. - С. 197 - 202.
6. Kuwashimo Kensuke Temperature distribution within a rotatinq cylindrieal body / Kuwashimo Kensuke, Yamada Tominori // Bull. JSME. - 1978. - Vol. 21, N 152. - P. 266 - 272.
7. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / Михлин С.Г. - М.: Высшая школа, 1977. - 427 с.
8. Толстов Г.П. Ряды Фурье / Толстов Г.П. - М.: Наука, 1980. - 384 с.
9. Бердник М.Г. Интегральные преобразования для кусочно-однородных сред в некоторых задачах теплопроводности / М.Г. Бердник // Дифференциальные уравнения и их приложения. - Днепропетровск: ДГУ, 1984. - С. 82 - 87.
10. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Гринберг Г. А. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1958. - 732 с.
11. Грэй Э. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике / Э. Грэй, Г.Б. Мэтьюз. - М.: ИЛ., 1949. - 386 с.
12. Галицын А.С. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности / А.С. Галицын, А.И. Жуковский. - Киев: Наукова думка, 1979. - 561 с.
Стаття надтшла до редакцп 16.05.2016
