Моделирование временных рядов заболеваемостей на базе фрактального анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.86

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ЗАБОЛЕВАЕМОСТЕЙ НА БАЗЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

© 2006 г. А.З. Биджиев

The article is devoted to methods of reception preliminary prefocecasting information for the time series, which have long-term memory. The levels of such do not satisfy to property of independence. Because consequently the classical methods of forecasting can appear inadequate. For reception prefocecasting of the information the toolkit fractal analyze is offered. Its efficiency is showed on time series of morbidity.

1. Предмет и цель исследования

В контексте экономико-математического моделирования настоящее исследование относится к проблематике прогнозирования и регулирования социально-экономического развития на базе индикативного планирования [1]. Планово-прогнозные расчеты основываются на исследованиях реального состояния экономики и анализа динамики показателей социальной сферы. При этом народно-хозяйственный прогноз и бюджет образуют единую систему, состоящую из прогнозных и бюджетных показателей развития экономики. Процедуры разработки бюджетов и социально-экономических прогнозов взаимосвязаны и адекватны реальным социально-экономическим процессам. На основе прогнозов принимаются многие макроэкономические решения как административного, так и нормативного характера.

При прогнозировании ключевую роль играют временные ряды (ВР) экономической динамики и социально-экономических показателей за прошедшие годы. Успешно используются методы анализа и прогнозирования ВР, которые базируются на инструментарии математической статистики, в первую очередь, таких ее разделов, как корреляционный, регрессионный, кластерный, дискриминантный анализ, а также модели авторегрессии [1, 2]. Принципиально важно отметить, что прогнозирование на базе вышеуказанных статистических методов оказалось достаточно успешным потому, что рассмотренные ВР отражали эволюцию так называемых стационарных процессов.

В настоящей работе рассматриваются два ВР заболеваемостей по двум отделениям республиканской больницы (Карачаево-Черкесская Республика): Y = (у,), i = 1,2,...,и - ВР еженедельного количества зарегистрированных больных в пульмонологическом отделении; Z = (z), i = 1,2,.,п - ВР

еженедельного количества зарегистрированных больных в детском реанимационном отделении. Индексом I = 1,2,...,п занумерованы дни календарного периода с 1 января 2002 г. по 31 декабря 2004 г., п = 157. В целях наглядности и визуализации динамики эти ВР представляем графически на рис. 1, 2. 50 45 -

ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо

CNJCNJC\ICN|CNJCNCNCNICNJCNCNCNICNJCNJCNICNCNJCNJCNCNCNICNICNCN ^T^cvj^LOcoi^odoid^^CNi^csicrl^LÖcdi^odoid

ООООООООО^-^^-^ООООООООО^-^т-т-ООООООООО^-^'*-:^-т-союсчог^юсчсгсг^-^смог^тгтг^сясЬтг^сош

ONCMCMNT-'-'-OOOOCONNWN' ---------i

■■f-oOOOCMCMOJCM'

■ о о

) О Ol CNJ

Рис. 1. ВР Y еженедельного количества зарегистрированных больных в пульмонологическом отделении республиканской больницы

см см о о о о OJ см

CNJCNCSICNICNJCNCNCNIOJCNCNOOOOOOMCOOOOCOOOOOCO^^^^^^^^^^^^^;

ооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ооооооооооооооооооооооооооооооооооооо

(NCNCNICMCNCNCNICNICNCNCNCNCNCNCNCNICNICNCNCNICNCNCNCNC^

ооооооот-^т-^-ооооооооот-^^^ооооооооо^-^*-;-^

--OOcnCNJCMC\JC\J^-T-T-T-OOOOCMCNJCMOJT-4-T-T-OOOOCMCM

I CNJ CNJ (N 1- ■

■ о о <

Рис. 2. ВР 2 еженедельного количества зарегистрированных больных в детском реанимационном отделении республиканской больницы

Приведем сначала численные значения статистических показателей этих ВР: математическое ожидание МУ = 3,67, М2 = 0,92; дисперсия ВУ = 8,83, В2 = 2,24; стандартное отклонение БУ = 2,97, Б2 = 1,12; коэффициент вариации УУ = 0,81, У2 = 1,21; коэффициент асимметрии АУ = 0,80, А2 = 5,28; коэффициент эксцесса ЕУ = 4,70, Е2 = 80,77.

Перечислим основные особенности статистических характеристик рассматриваемых ВР. Во-первых, достаточно одной визуализации представленных на рис. 3, 4 эмпирических функций распределения для того, чтобы утверждать, что поведение рассматриваемых ВР не подчиняется нормальному закону. К этому утверждению добавим, что ВР У и 2 не обладают свойством стационарности.

Частота 250 т

200 -

0,0 2,3 4,5 6,8 9,1 11,4 13,6 15,9 18,2 20,5 22,7 25

Рис. 3. Эмпирическая функция распределения ВР У еженедельного количества зарегистрированных больных в пульмонологическом отделении

Частота

500-г 400 -: 300200100-

0,0 0,5 1,1 1,6 2,2 2,7 3,3 3,8 4,4 4,9 5,5 6,0

Рис. 4. Эмпирическая функция распределения ВР 2 еженедельного количества зарегистрированных больных в детском реанимационном отделении

Во-вторых, рассматривая ряды приращений Ду, = у++1 - yi и Дг, = - г,, I = 1, п -1, убеждаемся, что максимальное значение абсолютных величин этих приращений ( тах |Ду, I и тах \Дг\) превосходят соответственно

1<, < п 1<, < п

значения математического ожидания. Принимая во внимание этот факт, а также наличие достаточно частой смены знаков у этих приращений, можно утверждать, что трендовые компоненты [1, 2], базирующиеся на скользящих средних (рис. 5, 6), фактически не представляют ценной информации о дальнейшем поведении рассматриваемых ВР.

Таким образом, традиционные (базирующиеся на трендах и регрессии) статистические методы предпрогнозного анализа рассматриваемых ВР не являются адекватными этим рядам. В силу этого целью настоящей работы является применение принципиально новых методов предпрогнозного исследования ВР, базирующегося на фрактальном анализе [3].

Ч)

s

о ■6-

§ О.'

о N

!о

-S

01.01.2002 г. 28.01.2002 г. 25.02.2002 г. 22.04.2002 г. 20.05.2002 г. 17.06.2002 г. 15.07.2002 г. 12.08.2002 г. 09.09.2002 г. 07.10.2002 г. 04.11.2002 г. 02.12.2002 г.

30.12.2002 г.

27.01.2003 г. 24.02.2003 г. 24.03.2003 г. 21.04.2003 г. 19.05.2003 г. 16.06.2003 г. 14.07.2003 г. 11.08.2003 г. 08.09.2003 г. 06.10.2003 г. 03.11.2003 г. 01.12.2003 г.

29.12.2003 г.

26.01.2004 г. 23.02.2004 г. 22.03.2004 г. 19.04.2004 г. 17.05.2004 г. 14.06.2004 г. 12.07.2004 г. 09.08.2004 г. 06.09.2004 г. 04.10.2004 г. 01.11.2004 г. 29.11.2004 г. 27.12.2004 г.

St

Ю

Я Я § §

в в

DD

тз

Ч)

а ■6-

§ О.'

о

!о

-S

01.01.2002 г. 28.01.2002 г. 25.02.2002 г. 22.04.2002 г. 20.05.2002 г. 17.06.2002 г. 15.07.2002 г. 12.08.2002 г. 09.09.2002 г. 07.10.2002 г. 04.11.2002 г. 02.12.2002 г.

30.12.2002 г.

27.01.2003 г. 24.02.2003 г. 24.03.2003 г. 21.04.2003 г. 19.05.2003 г. 16.06.2003 г. 14.07.2003 г. 11.08.2003 г. 08.09.2003 г. 06.10.2003 г. 03.11.2003 г. 01.12.2003 г.

29.12.2003 г.

26.01.2004 г. 23.02.2004 г. 22.03.2004 г. 19.04.2004 г. 17.05.2004 г. 14.06.2004 г. 12.07.2004 г. 09.08.2004 г. 06.09.2004 г. 04.10.2004 г. 01.11.2004 г. 29.11.2004 г. 27.12.2004 г.

О О

S 5 § §

£ £ 01 01

[4]. Знание перечисленных фрактальных характеристик рассматриваемого ВР представляет аналитику предпрогнозную информацию, т.е. позволяет ему оценить перспективность надежного прогнозирования ВР с помощью клеточно-автоматной прогнозной модели [5].

Основным инструментарием фрактального анализа ВР является алгоритм Ж^-анализа, краткое описание которого можно найти в [3, 6]. Приведем его более подробное описание, используя обозначения ВР 2 и его начальных отрезков = т = 3,4,...,п, для каждого из которых вы- 1 т

числяем текущее среднее гт = — £ 21 . Далее для каждого фиксированного

т /=1

2т, т = 3,4,.,п вычисляем накопленное отклонение для его отрезков длины т. xт,( = -ит), i = 1,т, затем - разность между максимальным и

1=1

минимальным накопленными отклонениями R = R (г) = max( XTt )-- min (XT t), которую принято называть термином «размах R». Этот раз-

мах нормируется, т.е. представляется в виде дроби R/S, где S = S(t) -стандартное отклонение для отрезка ВР ZT 3 < т< п.

Показатель Херста H = H(t) вытекает из соотношения R/S = ( a-r)H, H = H(t). Логарифмируя обе части этого равенства и полагая, согласно [3], a = 1/2, получаем значения декартовых координаты (хт, ут) точек

H-траектории: ут = H(т) = log(R(TVs(t)), = т, т = 3,4, ,п.

log(V 2)

На выходе алгоритма R/S-анализа получается также R/S-траектория, которая представляется в логарифмических координатах последовательностью точек, у которых хт = log(T/2), ут = log(R(T)/S(T)). Соединяя отрезком соседние точки (хт,ут) и (хт+1,ут+1), т = 3,4,.,п-1, получаем графическое представление R/S-траектории (Н-траектории) в логарифмических координатах (в обычных декартовых координатах).

Одной из основных фрактальных характеристик ВР является цвет шума [3, 7], который соответствует этому ряду на том или другом временном отрезке. Значения H > 0,6 определяют собой черный цвет шума. Чем больше значение H е [2/3,1], тем большая трендоустойчивость присуща соответствующему отрезку ВР. Значения H в окрестности ~0,5±0,1 определяют область белого шума, который соответствует «хаотичному поведению ВР» и, следовательно, наименьшей надежности прогноза. Значения H в окрестности ~0,3±0,1 определяют пребывание соответствующего отрезка ВР в области розового шума. Розовый шум говорит о присущем рассматриваемому отрезку ВР свойстве антиперсистентности в случае [3], который означает, что ВР реверсирует чаще, чем ряд случайный (частый возврат к сред-

нему). Рассматриваемым в настоящей работе рядам присущи черный и белый шумы, а также, нестрого говоря, «серый шум», соответствующий области нечеткого разграничения между областями черного и белого шумов.

Основанием для утверждения, что ВР Z обладает долговременной памятью, является выполнение следующего условия. Его Н-траектория через несколько своих начальных точек оказывается в области черного шума, а для его R/S-траектории указанные точки вхождения в черный шум демонстрируют наличие тренда. Глубину этой памяти определяет такой номер т = l, для которого выполняется следующее условие: в точке l Н-траектория получает отрицательное приращение, а R/S-траектория в этой точке демонстрирует так называемый «срыв с тренда» [3, 6], т.е. резкое изменение тренда предшествующих точек R/S-траектории.

Фрактальный анализ рассматриваемого ВР Y в целом начинается с формирования на базе этого ВР семейства M(Y) = {Y r}, r = 1,2,...,m, состоящего из m < n ВР Yr = (yr), i = 1,2,.,n, где ряд yr получается путем удаления первого элемента y1r 1 в ряде Yr 1. Здесь m определяется как наибольшее значение индекса r, такое, что ряд Ym еще имеет точку смены тренда в его R/S-траектории. Исходный ВР Y также принадлежит семейству M(Y), в котором ему присвоено значение индекса r = 0.

В качестве иллюстративного примера рассмотрим на рис. 7 R/S- и Н-траектории для отрезка Y4 M(Y) из семейства рассматриваемого ВР Y, учитывая при этом, что представление этих траекторий начинается с третьей точки (i = 3), т.е. точки i = 1 и i = 2 на R/S- и Н-траекториях не представляются в силу особенностей алгоритма R/S-анализа.

На основании визуализации представленных на рис. 7 траекторий можно сформулировать следующее заключение: смена тренда R/S-траектории

в точке т = 5, сопровождаемая уходом Н-траектории в зону белого шума

2 '

Н(6) и 0,5, позволяет оценить глубину памяти ряда Y е M(Y) числом 12 = 5.

1.3 1.2 1,1 1.0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7

R/S-траектория

5 Н-траектория """"

5__, Точка смены тренда

Рис. 7. R/S- и Н-траектории ВР Y eM(Y)

Осуществляя R/S-анализ для каждого представителя семейств М(Т) и M(Z), получаем последовательности значений 1г = l ^г) и I г = I (Iг ), г = 1,2,...,т глубины памяти соответствующих ВР Y е М(Т) и Iге М(1). На рис. 8, 9 представлены графики нечеткого множества глубины памяти для ВР Y и ВР I.

МО

1,0 и 0,9 -0,8 -0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 -0,2 -0,1 -0

0,9

0,53

0,45

0,41

0,3

0,26

0,19

0,3

0,15

,—, °'11 0,08 0,08 ППпп

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Рис. 8. Нечеткое множество глубины памяти ВР Y еженедельного количества зарегистрированных больных в пульмонологическом отделении

/«СО

1,0-1 0,90,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,30,2 0,1 0

0,9

0,36

0,77

0,5

0,45

0,36

0,18

0,23

0,14

0,18

. 0,09 0,09

М.гп. П.П.-.П.П.П

0,09 „пс 0,09

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 21 22

Рис. 9. Нечеткое множество глубины памяти ВР I еженедельного количества зарегистрированных больных в детском реанимационном отделении

3. Качественные выводы о предпосылках надежного прогнозирования

рассматриваемых ВР

На основании представленных выше результатов фрактального анализа можно сформулировать следующие утверждения.

1. В качестве наиболее адекватного инструментария для представления такого параметра, как «глубина памяти ВР в целом», целесообразно использовать нечеткие множества (НМ) [8]. Например, для рассмотренного ВР Y глубина его памяти представляется в виде НМ Щ = {(I ;ц(1 ))}, I = 3,4,...,14.

2. В выявленном спектре значений глубины памяти {3,4,.,14} для ВР Y основной вес составляют часто встречающиеся значения 3,4 и 5 (рис. 8)

Среднее этих значений составляет 3 • (3 + 4 + 5) = 3 -12 = 4 недели или 1

месяц. Для ВР Z среднее значение наиболее часто встречающейся глубины

памяти составляет 1 •(4 + 5 + 6 + 7)=1 • 22 = 5,5 недель. Отсюда можно 44

сделать вывод о цикличности ВР Y, равной 4 неделям, и цикличности ВР Z, равной 5,5 неделям.

Литература

1. Басовский Л.Е. Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учеб. пособие. М., 2003.

2. Сигел Э.Ф. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

3. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

4. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х. // Новые технологии в управлении, бизнесе и праве: Тр. III Междунар. конф. г. Невинномысск, 30 мая 2003 г Не-винномысск, 2003. С. 159-163.

5. ПерепелицаВА. и др. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 4. С. 5-11.

6. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов. Ростов н/Д, 2002.

7. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2001.

Кабардино-Балкарский государственный университет 3 февраля 2006 г.

УДК 518.5

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© 2006 г. И.В. Калиенко, Д.А. Безуглов, И.В. Решетникова

Среди линейных уравнений с переменными коэффициентами важную роль играют уравнения с периодическими коэффициентами. Они широко используются при решении практических и научно-технических задач для описания различных процессов и явлений [1], происходящих, например, в замедляющих системах с периодической структурой [2], параметрических цепях [3] и т.п. Применение разностных систем для численного решения дифференциальных уравнений влечет за собой ряд трудностей, связанных с недостаточной гладкостью и точностью полученного решения. Для улучше -ния этих характеристик применяют измельчение сетки, либо изменяют разностную схему [4]. Для определения приближенных значений искомой функции