Фрактальный анализ одного временного ряда страхования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА СТРАХОВАНИЯ

© 2006 г. В.А. Перепелица, Д.А. Тамбиева

The paper is dedicated to preprognosis analysis of time series (TS) of insurance. The analysis was done on the base of R/S-analysis and methods of devising phase portraits to quasicycles. The main target of the research was to find TS fractal characteristics such as recurrence, periodicity, memory availability and others.

В работе [1] Э. Петерс обосновывает причины неадекватности господствовавшей многие десятилетия в теории финансов линейной парадигмы. Он рассматривает в качестве альтернативы новейшие математические инструменты - фрактальную геометрию [2], теорию хаоса [3], нечеткую логику [4], нейронные сети [5] и другие, входящие составными частями в новую, нелинейную парадигму и составляющие инструментарий разработчиков интеллектуальных систем [6].

Понятие «эффект памяти» вводится Э. Петерсом как составляющая нелинейной парадигмы. Он предлагает анализировать финансовые ряды с учетом времени или, точнее, «предыстории» прогнозируемого события. «Предыстория» позволяет выявить наличие факта детерминированности исследуемого процесса. Сама процедура выявления «предыстории» («эффекта памяти» или просто «памяти») осуществляется на базе введенного Х. Херстом [7] в исследовательский инструментарий метода нормированного размаха (Я/Б-анализа).

При моделировании и прогнозировании эволюционирующих процессов и систем статистические данные представляются временными рядами (ВР) числовых значений основного показателя (ВР курса доллара [8], ВР урожайности с/х культур [9], ВР объемов жилищного строительства [10], ВР заболеваний гриппом и ОРЗ [8] и т.д.). В контексте моделирования этих процессов наиболее актуальной является проблема прогнозирования дальнейшего поведения рассматриваемых ВР. А именно, принципиально важным является положительный ответ на вопрос: обладают ли рассматриваемые ВР долговременной памятью [1]. Например, общепризнанным является тот факт, что такой памятью обла дают природные ВР [1]. Наличие или отсутствие долговременной памяти в рассматриваемом ВР мо жет быть установлено с помощью алгоритма Я/Б-анализа [1, 10].

В данной работе авторами рассматривается ВР движения денежных средств на расчетном счете одного из региональных отделений государственного внебюджетного фонда РФ, которое в дальнейшем для краткости будем называть РО ГВФ РФ, а сам ряд назовем социальным ВР (СВР) и обозначим через 7 .

г : , I = 1,2,..., п , (1)

где 21 - I -е по порядку наблюдение, т.е. сумма, поступившая на расчетный счет РО ГВФ РФ в / -й период рассматриваемого календарного отрезка времени. На рис. 1 представлена гистограмма исследуемого СВР.

Построенная эмпирическая функция распределения исследуемого СВР (рис. 2) относится к семейству распределений с «тяжелыми хвостами» [8].

В [8] обосновываются причины малой информативности статистических показателей как следствие наличия фрактальных свойств во временном поведении рядов, эмпирическая функция распределения которых не соотносится с нормальным распределением. Таким образом, с целью выявления оценок динамики рассматриваемого СВР, отражаемых такими характе-

120000 100000 80000 60000 40000 20000 0

СВР Z

1 1

Л 1 1 Ii L Ii ■ ill

IflPWITlTI Л ШШШ ИЛЖИП 1IIшш

ристиками, как наличие или отсутствие трендоустой-чивости, отсутствие или наличие долговременной памяти, а вместе с ней и наличие квазициклов, авторами проведены Я/Б-анализ [1, 8] и разложение фазового портрета СВР на квазициклы.

250 200 150 100 50

которых yT = H (т) =

log(R(r)/S (т)) log(/2)

абсциссы

И

250

200

150

100

50

2* 3*

• I » I »

5* 6* 7*

б

Рис. 2. Эмпирическая функция распределения СВР подневных наблюдений

Алгоритм R/S - анализа ВР

Приведем описание реализованного авторами в программной среде C++ алгоритма R/S - анализа ВР. В представленном СВР Z (1) последовательно выделяем его начальные отрезки ZT= zi, z2,..., zT, т = 3,4,..., n , для каждого из которых вычисляем те-1 т

кущее среднее zT = — ^ zi . Далее для каждого фикси-

т i=1

рованного ZT, т = 3,4,..., n , вычисляем накопленное отклонение для его отрезков длины t:

XT t = 2(zi -zT), t = 1,т . Вычисляем разность между 1 =1

максимальным и минимальным накопленными отклонениями R = R(t) = max(XT t) - min (XT t), которую

1<t<T 1<t<T

принято называть термином «размах R ». Этот размах нормируется, т.е. представляется в виде дроби R /S, где S = S (т) - стандартное отклонение для отрезка ВР ZT , 3 < т < n .

Показатель Херста H = H (т), характеризующий фрактальную размерность рассматриваемого ВР и соответствующий ему цвет шума, получаем из соотношения R/S = (a *т) , H = H (т). Логарифмируя обе части этого равенства и полагая, согласно [1, 2], a = 1/2, получаем последовательность декартовых координат (хт, ут) точек H - траектории, ординаты

хт = т, т = 3,4,...,п .

Требуемая для фрактального анализа ряда (1) Я/Б-траектория представляется в логарифмических координатах последовательностью точек, абсциссы которых хт = ^(т/2), а ординаты - ут = ^(((т) / Б (т)). Соединяя отрезком соседние точки (хт, ут) и (хт+1,ут+1), т= 3,4,...,п-1, получаем графическое представление Я/Б-траектории (^-траектории) в логарифмических координатах (в обычных декартовых координатах).

Одной из основных фрактальных характеристик ВР является цвет шума [1,11], который соответствует этому ряду на том или другом временном отрезке. Значения Н > 3/5 определяют собой черный цвет шума. Чем больше значение Н е [3/ 5,1], тем большая трендоустойчивость присуща соответствующему отрезку ВР. Значения Н в окрестности 0,4 < Н < 0,6 определяют собой нечетко в смысле [12] область белого шума, который соответствует «хаотичному поведению ВР» и, следовательно, наименьшей надежности прогноза. Значения Н в окрестности ~0,3 ±0,1 определяют собой пребывание соответствующего отрезка ВР в области розового шума, который говорит о присущем рассматриваемому отрезку ВР свойстве антиперсистентности [1], означающем, что ВР реверсирует чаще, чем ряд случайный (частый возврат к среднему).

Рассматриваемому в настоящей работе ряду, за редким исключением, присущи черный и белый шумы, а также, нестрого говоря, «серый шум», соответствующий области нечеткого разграничения между областями черного и белого шумов.

Относительно наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР (1) не представляется возможным дать положительное или отрицательное заключение в случае, когда его Н -траектория не находится сколь-нибудь продолжительное время в области черного шума, а поведение Я/Б-траектории носит хаотический характер, начиная с ее начальных точек.

Основанием для утверждения того, что некоторый ВР обладает долговременной памятью, является выполнение перечисленных ниже условий [1].

1. Его Н-траектория через несколько своих начальных точек оказывается в области черного шума, а для его Я/Б-траектории указанные точки вхождения в черный шум демонстрируют собой наличие тренда. Глубину этой памяти определяет такой первый по порядку (в области черного шума) номер т = I, для которого выполняется следующее условие: в точке I Н-траектория получает отрицательное приращение, а Я/Б-траектория в этой точке демонстрирует так называемый «срыв с тренда» [1], т.е. резкое изменение тренда предшествующих точек Я/Б-траектории.

2. Факт наличия долговременной памяти в рассматриваемом ВР можно обосновать также с помощью процедуры перемешивания его элементов [1]. Если в данном ВР случайным образом перетасовать элементы и полученный ряд представить на вход алгоритма Я/Б-

и

0

*

а

0

*

1

9

*

анализа, то на выходе максимальное значение показателя Херста и Н-траектории окажется явно меньше по сравнению со значениями Н для исходного ВР в случае, если ВР обладает долговременной памятью.

Авторами настоящей работы осуществлен массовый фрактальный анализ, т.е. построены Н- и Я/Б-траектории для данного СВР. На основании полученных результатов можно утверждать, что рассматриваемый СВР состоит из квазициклов (в переводе с греческого «квази»- это «как бы»).

Указанные выше точки смены тренда чаще всего представляют собой окончание этих квазициклов.

В качестве иллюстративного примера использования инструментария фрактального анализа ВР рассмотрим на рис. 3 Я/Б-траекторию и Н-траекторию для отрезка 7 4 СВР (1), представляющего собой ВР

Формирование нечеткого множества (НМ) значений глубины памяти СВР

Оценим результаты проведенного Я/Б-анализа ВР из семейства Б (7) путем формирования НМ значений глубины памяти о начале ряда для каждого ВР этого семейства.

Пусть для каждого из ВР

■<4

i = 1, nr

ежедневных поступлений денежных средств на расчетный счет РО ГВФ РФ: 2,-, , = 4,5, ...

r = 1, m в результате его R/S -анализа построены R/S- и Н- траектории, определяющие собой номер lr - й точки, в которой произошла смена тренда, т.е. lr - номер находящейся «выше» зоны белого шума первой по порядку точки, в которой H - траектория получила отрицательное приращение, a R/S-траектория сменила тренд.

Введем следующие обозначения: N(l)-количество

Zr

=

п = 248 обозначает собой число, которым занумеровано 31 декабря 2002 г.

На основании визуализации представленных на рис. 3 траекторий можно сформулировать заключение.

Точки т = 3 и т = 4 уже находятся (см. Н-траекторию) в области черного шума, затем при переходе с 4-й точки в 5-ю наблюдается срыв в область белого шума (значение Н(5) = 0,52), что позволяет предварительно оценивать глубину памяти в этой окрестности рассматриваемого ВР 74 числом 4.

Смена тренда Я/Б-траектории в точке т = 4 , сопровождаемая уходом Н-траектории в зону белого шума, позволяет оценить «глубину долговременной

Начальный тренд

(4

i = 1, nr из семейства S(Z),

у

каждого из которых номер точки смены тренда lr равен

числу l ;

N (l)

l = min lr ; L = max lr ; m = 2 N(l);

1< r <m

l=l0

d(l) = -

m

- доля таких рядов в S (Z), у каждого

из

i

0,9 -0,8 0,7 0,6 -0,5 -

04.

0,3 0,2

0,

0

Сменатренда

Рис. ^ R/S - траектория и Н - траектория отрезка Z4 СВР подневных наблюдений (1)

V

памяти о начале ВР Z 4 » числом 4. Проведенный численный анализ

R/S-

Н-

траекторий последовательности отрезков ZT, т = 3, n исследуемого СВР (последовательным отсечением по одному начальному элементу) привел к следующему результату. Приблизительно 37 % графиков Н-траекторий для этих отрезков демонстрируют «срыв с тренда» уже с 3-й точки, 34 % графиков R/S-траекторий - с 4 или 5-й точки.

Вместе с тем, имеют место графики R/S- и Н-траекторий исследуемого СВР, для которых характерна продолжительная последовательность «микросрывов» с тренда на отрезке длиной до 10 и более точек. Такое поведение графиков R/S- и Н-траекторий нельзя однозначно квалифицировать как признак наличия долговременной памяти в исходном СВР. Поэтому полагаем, что данному СВР характерно слабо-выраженное наличие долговременной памяти.

которых потеря памяти произошла на глубине l; L(Z)={l}-множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S(Z); M(l)= {(l, ¿u(l))} -

НМ глубины памяти для начального СВР (1), где ¿u(l) -значения функции принадлежности «глубины l» НМ M(Z). Значения ju(l) пропорциональны числам d (l), l е l(z) и получаются путем нормирования значений долей d (l) так, что / )< 1 для всякого l е L(S).

В табл. 1 представлены значения термов [13] НМ, выражающего глубину памяти исследуемого СВР (1). Значения функции принадлежности элементов /(l ) последней строки в табл. 1 вычисляются следующим образом. Сначала находим максимальную долю d * = max d(l) (в табл. 1 значение

leL(Z)

d* = 0,37) и соответствующую ей глубину l *, (в табл.1 значение l* = 3). Для этой глубины l * экспертным путем устанавливается значение функции принадлежности /* = ju(l *) (в табл. 1 значение

/* = /(з) = 0,90 ). После чего для остальных элементов l е L(Z) соответствующие им значения функции принадлежности /(l) вычисляются по формуле

/(l) =/ d (l).

0

1< r <m

и

Таблица 1

Значения носителей [13] НМ глубины памяти исследуемого СВР подневных наблюдений 2

Глубина 1 Количество N(l) Доля d(l) Значения функции принадлежности )

3 74 0,37 0,9

4 32 0,16 0,389

5 36 0,18 0,438

6 18 0,09 0,219

7 22 0,11 0,266

8 10 0,05 0,122

9 4 0,02 0,049

10 2 0,01 0,024

11 0 0 0

12 2 0,01 0,024

Следующий этап - формирование НМ М (2) осуществляется путем попарного объединения элементов первой и последней строк таблицы вида табл. 1. Например, конкретно из табл. 1 получаем НМ М(2) = {(3; 0,9), (4; 0,389), (5; 0,438), (6; 0,219), (7; 0,268), (8; 0,122), (9; 0,0486), (10; 0,024), (11; 0), (12; 0,0243) .

Выводы, вытекающие из результатов выполненных расчетов, состоят в следующем.

1. Глубина «памяти конкретного ВР в целом» не является фиксированным числом; ее величина меняется вдоль рассматриваемого ВР, т.е. для различных его отрезков она является различной, например, как видно из табл. 1, для СВР численное значение глубины памяти колеблется в отрезке натурального ряда 3, 4, ..., 12.

2. Для численного представления глубины памяти рассматриваемого ВР 2 в целом наиболее целесообразным является математический аппарат теории НМ, т. е. оцениваемая глубина представляет собой нечеткое множество

М(2) = {((, И(1))\ I е{/0, 10 +1,..., Ь0}, (2) где I - численное значение встречающейся глубины памяти; /и(1)- значение функции принадлежности для этой глубины (рис. 4).

„ Ш_

0,9 -

0,8 -

0,7 -

0,6 -

0,5 -

0,4 -

0,3 -

0,2 -

0,1 -0

■

Метод разбиения фазового портрета на квазициклы

В арсенале современных методов прогнозирования ВР возрастающее значение приобретает такой подход, как визуализация их фазовых портретов [14], получаемых в интерактивном режиме использования ПЭВМ.

В качестве фазового пространства фр размерности р = 2 для ВР (1) используем простейший вариант вида Ф2 (2) = { (, }, 1 = 1, 2, п -1.

Как известно, при построении фазового пространства для конкретного ВР принципиально важным является вопрос о его размерности р, которая должна быть не менее чем размерность аттрактора наблюдаемого ряда. В свою очередь размерность аттрактора можно оценить с достаточно приемлемой точностью, если использовать фрактальную размерность. Последняя, как отмечено в [15], вычисляется по формуле С = 2 - Н . Поскольку для анализируемых в настоящей работе ВР значения Н е (0,1), то получаем оценку С < 2 . Таким образом, для целей нашего исследования имеются основания использовать фазовое пространство фр(2) размерности р = 2 .

При исследовании СВР достаточно информативным и целесообразным является построение фазовых портретов ВР (1) в фазовом пространстве фs (2) размерности р = 2 следующего вида: Ф2 (2) = {(2г, 1г-\)}, ' = 1, 2,..., п -1. Такого вида фазовая траектория СВР представлена на рис. 5. Она состоит и 56 квазициклов Ск , к = 1, 2,..., 56, два из которых представлены на рис. 6; размерности Ьк этих квазициклов представлены в виде НМ на рис. 7

300000

-100000

zi

300000

10 11 12 13 14

Рис. 4. Гистограмма НМ глубины памяти СВР подневных наблюдений, полученная на базе R/S -анализа

-100000

Рис. 5. Фазовый портрет исходного СВР подневных наблюдений (1)

Выявлено, что поведение квазициклов фазового портрета характеризуется в 68 % случаев сменой направления вращения звеньев траектории, кроме того, длина квазициклов более чем в 90 % совпадает со значениями глубины памяти, полученными в результате Я/Б- анализа (табл. 2).

Ci

z,

i+1

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

2000

4000

6000

8000

35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0

Ч+1

5000 10000 15000 20000 25000 30000 3500С

Рис. 6. Разложение на квазициклы фазового портрета на рис. 5 (2 квазицикла)

0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -0

l

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 7. Гистограмма НМ длин квазициклов СВР подневных наблюдений, полученная на базе фазового анализа

Таблица 2

Сводная таблица количественных оценок длин квазициклов для СВР подневных наблюдений, полученных на основе R/S - и фазового анализов

Фазовый анализ R/S-анализ

Длина квазицикла 1 Количество квазициклов длины 1, % Длина квазицикла 1 Количество квазициклов длины 1, %

3 41 3 37

4 16 4 16

5 18 5 18

6 9 6 9

7 16 7 11

8 0 8 5

9 0 9 2

10 0 10 1

11 0 11 0

12 0 12 1

Таким образом, согласно Я/Б-анализу и методу разбиения фазового портрета на квазициклы, в рассматриваемом СВР более 1/3 квазициклов имеют длину, равную 3. Известно, что ряды с подобной динамикой Я/Б-траектории плохо поддаются прогнозированию и квалифицируются как ВР со слабой трен-доустойчивостью и слабо выраженным «эффектом памяти» [1]. Циклическая компонента этого СВР оказалась не выявленной. Квазициклы, составляющие эту компоненту, относятся к объектам микроэкономики. Важно отметить, что учитываемая в [15] циклическая компонента в известных публикациях, относящихся к прогнозированию, рассматривается только в тех случаях, когда речь идет о макроэкономических прогнозах. Например, цикл жизни товара (длительного пользования), цикл деловой активности фирмы и т.д.

Полученные оценки НМ глубины памяти на базе Я/Б-анализа и результаты, полученные в процессе применения метода разбиения фазового портрета на квазициклы (рис. 5, 6), допускают содержательную финансово-экономическую интерпретацию. Отметим, что отчисления денежных средств в РО ГВФ РФ страхователями осуществляются ежемесячно и строго контролируются налоговыми органами РФ, поэтому оставался открытым вопрос: почему ряд, в котором по определению должна присутствовать циклическая компонента, не демонстрирует наличие устойчивого «эффекта памяти», в то время как финансовые ряды котировок ценных бумаг [1], курса доллара [8] такую устойчивость демонстрируют?

В контексте улучшения предпрогнозных характеристик в настоящей работе рассматриваются два новых подхода к исследованию СВР, а именно, агрегирование и фазовый анализ ряда приращений рассматриваемого СВР.

Фрактальный анализ агрегированного СВР недельных уровней

В процессе агрегирования СВР построен производный от исходного СВР подневных наблюдений-СВР понедельных наблюдений, полученный путем суммирования в течение каждой недели значений подневных наблюдений. Условно назовем его СВРН и

обозначим 2н : 2н , у = 1,2,..., 53. В резуль-

тате применения к ряду СВРН Я/Б-анализа были получены оценки длин квазициклов, представленные в табл. 3 и в виде гистограммы НМГП СВРН (рис. 8).

Таблица 3

Значения носителей [13] НМ глубины памяти исследуемого СВР ряда понедельных наблюдений 2 п

Глубина памяти 1 Количество N(l) ВР е 5(ZН) с глубиной памяти l Доля d(l) Значения функции принадлежности м(1)

3 5 0,125 0,32

4 8 0,2 0,514

5 14 0,35 0,9

6 7 0,175 0,45

7 4 0,1 0,257

8 1 0,025 0,064

9 1 0,025 0,064

0

С

46

z

0

1 -

0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0

и(/)

С

п п

j+1

150000 -т-

100000 50000 0

50000

100000

150000

Рис. 8. Гистограмма НМ глубины памяти СВРН, полученная на базе ШБ-анализа

В результате применения фазового анализа к СВРН были получены квазициклы, часть из которых изображена на рис. 9. В табл. 4 представлены длины всех квазициклов СВРН, а на рис. 10 - НМ длин этих квазициклов.

z

С1

80000 60000 40000 20000 0

20000

40000

60000

80000

z

200000 150000 100000 50000 0

z

100000 80000 60000 40000 20000 0

j+1

50000

j+i

100000

Сз

150000

j

200000

20000 40000 60000 80000 10000

0

100000 80000

н

-Zj 100000

z

j+1

100000 80000 60000 40000 20000 0

0 20000 40000 60000 80000 10000

0

Рис. 9. Первые шесть квазициклов СВРН

Таблица 4

Размерности Ь^ квазициклов Ск для СВРН

СК С1 С2 Сз С4 С5 Сб С7 С8 Ср С10 С11

Lk 5 3 5 4 5 5 5 5 5 4 6

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

/

1

5

6

7

8

Рис. 10. Гистограмма НМ длин квазициклов СВРН, полученная на базе фазового анализа

Глубины памяти СВРН демонстрируют наличие циклической компоненты, состоящей в основном из квазициклов длины 5.

Наиболее существенное улучшение предпрогноз-ных характеристик в результате применения процедуры агрегирования состоит в том, что агрегирование СВР не содержит квазициклов длины 3, т.е. агрегирование привело к появлению свойства трендоустойчи-вости.

Фрактальный анализ ряда приращений СВР

Наряду с рассмотренным выше агрегированным рядом СВРН авторами рассматривается ряд прираще-

?п .

ний СВР, который назовем СВРП и обозначим 2

, к = 1,2,..., 247, (3)

ZП =

н

0

С

6

0

н

0

н

н

z

0

Ряд 2п получен путем вычитания элемента 2, из элемента 2,+1 (2,+1 - 2,) исходного ряда 2 . К полученному ряду был применен фазовый анализ. В процессе разбиения фазового портрета СВРП (рис. 11) на квазициклы отчетливо проявилось подобие полученных квазициклов между собой (рис. 12), а также подобие их общему фазовому портрету, который представляет собой наложение квазициклов, по виду близких к функции улитки Паскаля и особенно ее частного случая - функции кардиоиды [16]. Направление вращения звеньев относительно центра тяжести фазового портрета и квазициклов в 85 % случаев идет по направлению вращения часовой стрелки.

Доля квазициклов, подобных фазовому портрету в СВРП, близка к 1.

-300000

300000 zk+i

300000

300000

Рис. 11. Фазовый портрет ряда СВРП

'к+1

15ПППП

IUuuuu

-10001

100000

zk

00000 150000

-60000 -401

-к+1

-finnnn -60000

-200а

-20000

к

20000

Ci

30000. 20

-30000 -2000

-30000

к+г

0000

С17

15000

'к+1

-5000 -5000 0

-10000

-30000

15000

20000

'к+1

чпппп

30000

z

к

20000

Рис. 12. Шесть квазициклов ряда СВРП

С

С

5

6

П

П

С

8

П

z

П

П

z

к

С

19

П

П

П

П

z

к

Очевидным является тот факт, что если исходный СВР 2 демонстрировал отсутствие циклической компоненты, то производные от него СВРН и СВРП демонстрируют явное её наличие. Причем и в том, и в другом случаях в соответствующих НМ наибольшее значение функции принадлежности ) достигается для длины квазицикла I.

Отметим, что примененные к рассматриваемому СВР нелинейные методы анализа дали положительный результат в том смысле, что если сам ряд плохо поддается представленным в настоящей работе методам предпрогнозного анализа и как следствие является плохо прогнозируемым, то производные от него ряды СВРН и СВРП обладают существенно лучшими предпрогнозными характеристиками. Более того, СВРН и СВРП можно квалифицировать как ВР с памятью, глубина которой характеризуется нечеткими

множествами М (2Н) и М (2П), у которых значения функции принадлежности ш() свидетельствуют об отсутствии квазициклов длины I = 3 и наличии трен-доустойчивости вдоль квазициклов длины I = 5 (Ш(1 )= 0,9).

Авторами настоящей работы на базе теории клеточного автомата [9] построена многоуровневая прогнозная модель для данного СВР. Точность результатов прогнозирования на базе этой модели для СВРН и СВРП оказалась существенно более высокой (~ 4 раза), чем для исходного СВР.

Литература

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

2. ФедерЕ. Фракталы. М., 1991.

3. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М., 1988.

4. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М., 2004.

5. Назаров А.В., Лоскутов А.И. Нейросетевые алгоритмы прогнозирования и оптимизации систем. СПБ., 2003.

6. Курейчик В.В. Эволюционное моделирование: Учеб. пособие по курсам «Эволюционное моделирование» и «Генетические алгоритмы». Таганрог, 2003.

7. Hurst H.E. «Long-term Storage of Reservoirs,» Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1991. Vol. 88.

8. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально-экологических рисков. Ростов н/Д, 2001.

9. Перепелица В.А. и др. // Новые технологии в управлении, бизнесе и праве. Тр. III Междунар. конф.: Невинно-мысск, 2003. С. 163-167.

10. Перепелица В.А. и др. // Там же. С. 159-163.

11. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, 2001.

12. Асои К. и др. Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон. / Под ред. Т.Тэрано, К.Асаи, М.Сугэно. М., 1993.

13. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень, 2000.

14. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. // Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. М., 1996.

15. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

16. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1977.

Карачаево-Черкесская государственная академия

10 августа 2005 г.