Моделирование силового взаимодействия при движении сферического сегмента по сферической поверхности с трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

хз

~ ( ^ijab^abs

^s3mn dy

хз

Cijabf-abs

D

s3mn

dy ) =

^г jab

хз

a

ijab J

eabsDsSmn dy ) —

хз

- D.

ijs3 J tabs ( C^abmn 0

c,

abmn

abmn

)-c.

abmn

dy) = (B,

Jijmn

'цзЗ J еэаЬ ( ( С,

0 1

4. Вид анизотропии. Представим тензор С^-к1 в виде матрицы 9x9, используя обозначения Ц}аМа13Ц}13 = £^С^Ыеки 101 = £11, = £22, = £33, и)4 = £(23), Ю5 = £(31), Ю6 = £(12), И}7 = в[23], 108 = £[31], ц}д = £[12]) где = = — • Согласно работе [5], мы имеем трансверсально-

изотропный случай как для так и для (или Е3(0)[О ^ в ^ 2-/г], ^1(71")). Это означает, что

тензор как и определяется 8 независимыми константами. А для тензора получим сим-

метрию чуть более общего случая Е3(0)[О ^ в ^ 2-/г]. Это соответственно означает, что тензор В^-к1 определяется 13 независимыми константами, но многие из них нулевые.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

2. Горбачёв В.И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 57-60.

3. Горбачёв В.И., Емельянов А.Н. Осреднение задач моментной упругости композитов // Упругость и неупругость: Доп. мат-лы. Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, поев. 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 г.). М.: Изд-во МГУ, 2012. 81-88.

4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Eringen A.C. Microcontinuum field theories: foundations and solids. N. Y.: Springer, 1999.

Поступила в редакцию 10.07.2013

УДК 531.36

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА ПО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ТРЕНИЕМ

А. А. Жулидова1

Изучается задача о движении шарового сегмента по внутренней поверхности полусферы с сухим трением. Получены выражения для коэффициентов плотности давления, являющейся линейной функцией от координат, и найдены значения этих коэффициентов для частных случаев движения тела (чистое скольжение, чистое верчение). Также представлены выражения для сил и моментов с учетом полученных коэффициентов.

Ключевые слова: сферическая поверхность, сухое трение, плотность давления как линейная функция от координат.

The problem of motion of a spherical segment on the inner surface of a hemisphere with dry friction is studied. A number of expressions for the pressure density coefficients are obtained in the case when this density depends linearly on coordinates. These coefficients are determined for the special cases of sliding or rotation and are used to derive expressions for forces and moments.

Key words: spherical surface, dry friction, pressure density as a linear function of coordinates.

Рассматриваемая задача опирается на известную задачу о движении тела по плоскости с сухим трением (см., например, [1]).

1 Жулидова Анна Александровна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anna.zhulidovaQgmail.com.

1. Постановка задачи. Рассмотрим однородный сегмент шара радиуса R, который без отрыва скользит с трением но внутренней поверхности полусферы того же радиуса, не выходя за границы данной полусферы. Сегмент имеет массу т. В точке С центре пятна контакта сегмента и полусферы введем репер Севе-фе-R. Обозначим центр масс сегмента через S. Обозначим через 9 угол между вертикалью и радиусом ОС, а также введем угол ф, отражающий движение сегмента вокруг оси ()()' (рисунок).

Обозначим через í^rep угловую скорость репера Севе^ея, через ш = {шв,шф,шр} уг-Общая модель системы ловую скорость тела относительно репера

Се-ввфе-п, через u;abs абсолютную угловую скорость тела, а через и и v компоненты скорости точки С. Так как тело движется без отрыва, то = Шф = 0, a cor = ш.

Выражения для угловой скорости репера, абсолютной угловой скорости тела и скорости центра пятна контакта имеют вид

Пгер = ф sin 9ев - ве.ф + ф cos 9 eR, u;abs = í)rep + ш eR, dR

vc = — = [íírepi R] = ÖRee + ipRsmde^ = иев + иеф,

где R = ОС = —Ren.

Рассмотрим точку P на поверхности касания сегмента и полусферы. Обозначим угол между радиусами ОС и ОР через /3, а угол между е$ и проекцией CP на плоскость, перпендикулярную ед, через а. Тогда

CP = Ä sin/3 cos а: ее + R sin /3 sin а е.ф + Д(1 — cos/3)eR,

Vp = vc + [c^absi CP] = (и cos ß — (v ctg 9 + ojR) sin ß sin a) eg + ((v ctg 9 + ojR) sin ß cos а + + v cos /3) е.ф + (v sin ß sin а + и sin ß cos a) eR.

Пусть ßo = £ 1, r = Rs'mßo ~ Rßo- Тогда ß = sßo = se, Rsin/3 ~ Rß = sr, где s € [0; 1]. Запишем выражение для vP с точностью до е:

vP = ((г/, — lost sin а)ед + (v + wsr cos а)е,ф) + se(—v ct.g 9 sin аед + v ctg 9 cos ае.ф + + (v sino; + г/,cos a)eR) + 0(e2).

Компоненты vP имеют вид

vg = и — lost sin a — sev ctg 9 sin а, Иф = v + ujsr cos a + sev ctg 9 cos a, vr = se(v sin a + и cos a).

Тохда

|vP|2 = ii2 + v2 +co2s2r2 + 2uisr(vcos a — и sin a) + se(—2г/,г; ctg 0 sin a; + 2vwsr ctg 9 + 2v2 ctg 9 cos a) + 0(e2).

2. Плотность давления. Предположим, что плотность давления р(Р) в точке Р является линейной функцией от координат радиуса-вектора г(Р) в системе координат Ce$e^e-R [2|:

р(Р) = ро + Pisr cos а + p2sr sin а.

Тохда плотности силы реакции опоры, силы трения и момента определяются соответственно из следующих выражений [3 5|:

dN = р(Р) dS = p(P)sr2 ds da, dF = -ц — dN, dM = [SP, dF + dN].

vp

Запишем выражения для силы реакции опоры и компонент силы трения и момента:

1 2тг

N = J J(ро + pisrcos а + P2sr sin a)sr2 dads=poirr2, o o

1 2тг 1 2тг

Fe = — J J Y^p(P)sr2 dads, F^ = —ц, J J у—^-p{P)sr2 dads,

oo oo

1 2тг

FR = -»j dais = 0,

о 0

1 271 / 2 s2r2 _ /Л

ff / VRS2r3 sin a V^Sr { 2R ~ n 9 о / s2r2\

Me =-(I I I p(P){ |v !---^-j-— + s r sin ail — -^jpJ +

о 0

(1)

^2^3 / ^2^2 \ \

H--—sin см———/г ) dads,

/г \ 2R J J

1 2?r , 2 s2r2 _ /Л

ff /r^(vesr { 2r 11 vrs2r3 cos a s2r3 /s2r2 Л

M, = j j „(Р) -^-L----_ со. а (_ _ ft j _

0 0 \

2 3 Л ,

— s t cos a 1--da ds,

V 2_ñ2 J J

1 2тг

MR = -,f jp{P) _ dads,

о 0

dKs

Согласно теореме об изменении кинетического момента, имеем —-— = М, где Ks = Js^>- Здесь —

dt

тензор инерции тела в главных осях. Компоненты тензора инерции в силу центральной симметрии тела имеют вид {А, А, С). Тогда JCo + [Orep, Ju>] = М, откуда

CojeR + [tp sin в eg — в вф + íp cos в eR, CweR] = Мдвд + M^e^ + Мден.

Из последнего равенства получим выражения для компонент момента:

Мв = -Свш, Мф = -Сфш sind, MR = Си. (2)

Рассмотрим плотность силы реакции опоры dN = dNgeg + dN^e^p + dN^e r и запишем выражения для ее компонент dN$, dNф и dNr:

dNg = —dN sin (3 cos a, dN.ф = — dN sin (3 sin a, dNR = dN cos (3.

( f32\ ( s2e2\ Учитывая, что sin (3 = (3 = se, cos (3 = ( 1 —— J = ( 1--— J , с точностью до е получим

1 2тг

Nq = — J J (ро + P\st cos a + p2sr sin a)s2r2e cos a dads = —^р\ттг3е,

0 0

1 2тг

N^p = — J J (po + pisrcos a + p2sr sin a)s2r2e sin a dads = —^р2тгг3е, (3)

о 0

1 2тг

NR = / /too + nsr coS a + P2sr Si„ a,)«? dads = N= Po1rrK

0 0

Выражение для Л^д имеет вид

N¡1 = тдсоъв + гпв2К +тф2К8т2 9. (4)

С учетом выражений (2)-(4) система уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов ро, Р\ и р2 запишется следующим образом:

тд eos в + mÓ2R + mip2R sin2 в

(5)

Р0 - 2

71mr¿

awpo + anpi + (112P2 = Mq = -С виз, , d2oPo + CL21P1 + CL22P2 = Мф = -Сфш sin в.

Используя выражения для компонент момента и Мф из системы (1) и подставляя в них выражения

для компонент скорости, учитывая, что /»~еи —— ~ е, с точностью до е получим

2 R

1 2тг

e(v sin а + и eos a)s3r3 sin а — (v + wsr eos a)sr2 í — h)

аю = / /I —/i-, -- +

У У y л/u2 + v2 + uj2s2r2 + 2u)sr(v eos a: — usina)

2 o / s2r2\ s2r3 /s2r2 Л \ , , + s r sin a ( 1 - ) + —sm a ( ~~ " I I cta as,

1 2тг

e(v sin o; + u eos a)s3r3 sin a — (v + wsr eos a)sr2 — h^j

a 11= / sr eos a — ¡i---—+

J J \ Jb? + v2 + w2s2r2 + 2wsr(veosa — usina)

o o 4

s2r2\ s2r3 f s2r2 2R? ) ^ R~ a \ ~2R

1 2тг

2 o . / S'r' \ S'r° . ( S'r' Л \ , ,

+ s r sm a ( 1 — ) H—— sm a ( — n I aa as,

(e(t> sin a + u eos a)s3r3 sin a — (v + wsr eos a)sr2 í — h) — ц.---— +

Wu2 +v2 + w2s2r2 + 2ujsriv eos a — u sin a)

2 O ( s2r2\ s2r3 /s2r2 Л \ , ,

+ sr sma I 1 - ) + —smQ; ( "Т^г - "> ) I dotas,

} 2f í (u ~ Ш8Г sma)sr2 (— h) — e(v sin a + u eos a)s3r3 eos a «20 = / / - -

лУи2 + u2 + lo2s2t2 + 2ujsriv eos a — u sin a) o o 4

S2T3 (s2r2 Л 2 я Л s2r2\ \ , , --— eos a I — h, j — s r eos a 11 — I I«s,

1 2тг ,

«2i = / / sr eos a — /i

(и — wsr sin a)sr2 — h^j — e(v sin a + -ucos a)s3r3 eos a

л/и2 + v2 + lo2s2t2 + 2ujsriv eos a — и sin a) o o 4

S2r3 /s2r2 Л 2 Я Л S2r2\\ , , --— eos a I — n j — s r eos a 11 — I I«s,

/ (u — uisr sin a)sr2 í^jr — Л.) — в(г» sin a + ucos a)s3r3 eos a a22 = / / sr sin a —/i-

л/и2 + г>2 + w2s2r2 + 2Lüsrív eos a — и sin a) o o 4

/ ^2^,2 \ / ^2^,2 \ \ --— eos a í — h J — s2r3 eos a í 1 — J j dads.

Для системы (5) Д = аца22 — 012021 ф 0, значит, система имеет единственное решение -(аюро + Свш) а 12

Р1 =

Р 2 =

-(агоРо + Сгрш эт в) а22

Д

ап -(аюро + С0и;) «21 -(«20^0 + Сфш втб1)

аюРо + С0и; ) а22 ( агоРо + С-фи) эт в ) ап

А

А

(6)

Д

«11 ( «20^0 + Сфш эт в) а21 ( аюй) + Сб^

Д

Д

Рассмотрим частные случаи формул (6):

1) если и = и = 0 (чистое верчение), что значит, что в = 0 и фътв = 0, то ащ = аго = 0; следовательно, р\ = Р2 = 0, т.е. распределение нормальной нагрузки в области контакта равномерно;

2) если ш = 0 (чистое скольжение), то ац = 022 = 0, откуда следует, что р\ = — а20^°; р2 = С учетом того, что

1 [хг2тт(г2 — 4 Ш — еКг) аю = ^-^ ; 0 . =-, 0,20

«21

«12

Кл/У^Ту2 ' 4 КЛД^ТУ2

распределение нормальной нагрузки описывается формулой

1 аг2ш(г2 — 4ЕЛ, — еЕг) 1 4 1 д

—, а12 = -7гг, а21 = --7гг,

т Г ¿г сое 0 + 6|2Л + 81п2 0 ^ / авЬ2 - Шк - еКг) р(Р) = —--5-— ( 1---(и сое а + V эт а) ) .

7ГГ

гКл/и2 + V2

Так как г2—АНк—еНг < 0, то при росте ииу нормальное давление возрастает от центра в направлении движения тела.

3. Силы и моменты. Запишем выражения для сил трения и моментов:

1 2тг

^ = -¡л

о о

1 2тг

^ =

О О 1 2тг

Мц = -ц

о о

и — швг эт а — зеу ^ в эт а л/и2 + V2 + ш282г2 + 2шзг(у сое а — и эт а)

V + швг сов а + зеу ctg в сое а л/и2 + V2 + ш2з2г2 + 2шзг(у сое о; — и эт а)

—и эт а + V сое а + шзг + ctg 0 л/и2 + -и2 + ш2з2г2 + 2шзг(у сое о; — и эт а)

(ро + сое а + р2вг эт а)зг2 йа

(ро + Рг^г сое а + р2вг эт а)зг2 йа

(ро + Рг^г сое а + р2вг эт а)з2г3 (1а

Рассмотрим частные случаи:

1) и = V = 0. Так как в этом случае р\ =Р2 = 0, то

1 2тг

1 2тг

^ = -[I

О о

—швгвто; о ^

/ о о о Ро^г аайв = 0, Рф = -ц уш^г

Ш8ГС08 0; 2 , ,

Ровг аа а,в = 0,

о о

\/ш282Т2

1 2тг

Мд = -/X

о о

Л

2 3 7 7 2 3

Ро« г ааав = —/лро - тгг ;

Ш282Г2

2) а; = 0. В этом случае

1 2тг

^ = -/х

о о

и — зеу ctg в вт а л/и2 +у2

(ро + Р\8Г сое а + р2зг эт а)зг2 йайз = —

1 цттг2(4рои — ер2ГУ ctg в) 4 ТЭТ^ :

1 2тг

„ í í V + S£V Ctg в COS CK , . о , , 1 1ШГ2(4роУ + ep\VV Ctg 9)

= — ß / / --(ро +Pisrcos о; + p2sr sm a)sr da as = — ---,

J J Vu2 + v2 4 V"U2+v2

о 0

1 2тг

/■ /■ —и sin a: + v cos а; + sev ctg 0 , . 2 о , ,

Mr = —¡i / / --(Po + Pisr cos CK + sin CKjs r dads =

J J Л/У? + V2

о 0

1 fmr3(2poev ctg 0 + rp\v — rp2U) ~~4 V^2 + v2 '

4. Уравнения движения. Запишем уравнения движения тела

mv = mg + N + F, J<¿ + [Пгер, Jw\ = M.

Учитывая уравнения (2), (3) и выражения

vs = [Orep,R-h] = (R - h)0 ев+ ip sin в еф),

Vs = Vs + [í^rep, vs] = vs + [Пгер, [Orep, R - h]] = 9(R -h)ee + ip{R - h) sin в еф +

+ ipé(R - h) eos в еф - (R - h){i> sin в ев - в еф + ф cos в ел)ф cos в + (R - Л,)(г/>2 + в2) eR, получим уравнения движения тела в разложении по векторам репера Се^е^е^:

m(R — h)(6 — ф2 sin в cos в) = — mg sin 0 — iр\ттг3£ + Fg,

lo

m{R — К){ф úiíQ + 2фв cos в) = —-p2irr e + F^, Cw = MR.

Автор приносит благодарность A.B. Карапетяну за помощь в написании статьи и В.А. Самсонову за полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самсонов В. А. О трении при скольжении и верчении тела // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. № 2. 76-78.

2. Синицын В. А. О движении твердого тела с плоским основанием по шероховатой плоскости // Проблемы аналитической механики и управления движением. М.: ВЦ АН СССР, 1985. 87-93.

3. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. М.; Ижевск: НИЦ "РХД", 2011.

4. Карапетпян A.B., Русинова A.M. Качественный анализ динамики диска на наклонной плоскости с трением // Прикл. матем. и механ. 2011. 75, вып. 5. 731-737.

5. Сальникова Т.В., Трещев Д.В., Галлямов С.Р. Движение свободной шайбы по шероховатой горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2012. 8, № 1. 83-101.

Поступила в редакцию 25.09.2013