CC BY
125. Угольников А. Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.
6. Угольников А. Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций многозначной логики // Математические вопросы кибернетики. Вып. 2. М.: Наука, 1989. 174-176.
7. Угольников А. Б. О глубине формул в неполных базисах // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука, 1988. 242-245.
Поступила в редакцию 06.06.2011
УДК 531.01
О ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ МОДЕЛЯХ ТРЕНИЯ О. С. Сентемова1
Рассматривается задача о движении однородного шара на горизонтальной плоскости. Предполагается, что пятно контакта представляет собой сферический сегмент, причем центр давления не совпадает с центром пятна контакта, а смещен в сторону скольжения шара. Сила трения имеет две составляющие (параллельную и ортогональную скорости скольжения), а момент трения — три составляющие (вертикальную и горизонтальные — параллельную и ортогональную скорости скольжения).
Ключевые слова: трение, поликомпонентная модель трения.
The problem of motion of a homogeneous ball on a horizontal plane is considered. It is assumed that the contact patch is a spherical segment, whereas the pressure center does not coincide with the center of the contact patch and is displaced in the direction of the ball sliding. The friction force has two components that are parallel and orthogonal to the sliding velocity; the friction force moment has a vertical component and two horizontal components.
Key words: friction, multicomponent model of friction.
Рассмотрим задачу о движении однородного шара массы m с центром в точке S и радиуса a по неподвижной горизонтальной плоскости. Аналогично [1-5] заменим точечный контакт шара с плоскостью пятном контакта, которое, как и в [3, 4], будем полагать сферическим сегментом. Пусть R — радиус сферы, сегментом которой задается пятно контакта, O — центр сферы, r — радиус пятна контакта (рисунок).
Введем безразмерные параметры пятна ar контакта: о = —, е = —, и = ое. Ra
Положение произвольной точки P пятна контакта задается углами а Е [0,2п] и в Е [0,во], где во = arcsinц (рисунок). Введем правый ортонормированный репер ei, в2, ез, такой, что орт ei направлен по скорости скольжения u = uei (скорости точки C шара), орт е2 ортогонален скорости скольжения u и лежит в горизонтальной плоскости, а орт ез направлен по восходящей вертикали. Угловую скорость шара обозначим и = Uiei + u>2e2 + ^зез. Следуя [6, 7], плотность нормального давления зададим формулой
1 — ^9 +7Q(p) cos а. Ро
1 Сентемова Ольга Сергеевна — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
в
Здесь N — нормальное давление, а = 2ttR2(1 — cos/Зо) — площадь пятна контакта, р = 2_Rsin— — расстояние от точки С до точки Р, ро = 2_Rsin^ — расстояние от точки С до границы пятна контакта, функция q(p) — решение интегрального уравнения [6]
Р
Р Р0
K\?\-E(Q-
q(g) dg + J о p
3
sq(g) dg = b(p),
6(P) = 3(1 -v*)R Í(P° ~ p2)f ~ Pl
где v — коэффициент Пуассона; K(g), E(g) — эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно; E — модуль Юнга; y — малый параметр системы, зависящий от свойств поверхности, сил молекулярного взаимодействия между телами и т.д. Давление шара на элементарную площадку dX определяется формулой N(P) = p(P) da, где da = R2 sin в da, или
3
N(P) =-—-г ((cos /3 - cos /30)з + 7 Q{B) cos a") sin /3 d¡5 da, Q{B) = Ml ~ cos/3d)"
4тг(1-cos/30)2 v J 3N
Полагая, что сила трения, действующая на площадку dX и приложенная к точке P, удовлетворяет закону Кулона, найдем результирующую силу трения F, действующую на шар и приложенную в точке C, и главный момент Mc сил трения относительно этой точки:
M.
F = J dF(P) = Fiei + F2e2, Mc = J [p,dF(P)]Miei + M2^2 + M3e3,
Lc
S S
где
во 2n
Fi = —k-j- / / -r^-r ((cos/3 — cos/3o) 2 + iQifi) cos aA sin(3df3da,
4тг(1 -cos/30)2 J J IupI v '
во 2n
Mj = —k-j- / / 7——7 f (cos (3 — cos /Зо) 2 + yQÍP) cos qA sin (3 d¡3 da,
4тг(1 -cos/30)2 J J l%l v J
0 0
г = 1, 2; Э = 1, 2, 3. Здесь к — коэффициент трения Кулона, р = СР, щ — компоненты вектора ир, а Wj — компоненты вектора [р, ир].
а
Учитывая, что R = —, эт/Зо = еб, видим, что результирующая сила трения Е и главный момент Мс о
зависят от параметров пятна контакта О, 7, е. При этом момент Мс гладко зависит от этих параметров, а сила Е гладко от О, 7 и негладко от е (в окрестности е = 0). Заметим, что параметр 0 входит в выражения сил и моментов только в произведении с е, причем Е, Мс гладко зависят от параметра ц = еО. В случае 0 = 0, 7 = 0 эта модель совпадает с поликомпонентной моделью трения Контенсу-Журавлева [5], а при О = 0, 7 = 0 — с поликомпонентной моделью трения, предложенной в [3]. Таким образом,
Е = Е(и, V, ¡, 1), Мс = тФ(и, V, ¡, 7), (1)
где т = ае, V = ти.
Разлагая компоненты силы трения и момента силы трения в ряды по малым параметрам ¡, 7, получим
Р = ^(00) + + 7^(10) + 0(л2 + 72), г = 1,2; (2)
М, = и(Щ + лм(01) + 7м]10) + 0(л2 + 72), э = 1, 2, 3. (3)
При этом первые ненулевые слагаемые в рядах (2), (3) имеют вид
1 / 2п \ 1 / 2п
0 0 0 0 0 0
Р
ы(01) = -
М((10) = -
и{к ~ cos2 а) ~ \ rsul3 sin а и0
da I ds,
0 , N u sin о; cos о; — i rscc>3 cos о;
s^Q(s)---da
uo
ds,
Mo =--r
3 2тг
—2 —u sin a + rsu3 sin a , . ,
sz -da ds, uo
uo
-•'u2
— 2uru3s sin a + r2u3s2
Таким образом, в отличие от [1, 2], результирующая сила трения имеет составляющую, перпендикулярную скорости скольжения (^2 = 0), главный момент сил трения имеет горизонтальные составляющие (Ы\ = 0, М2 = 0). Это происходит как за счет сдвига центра давления пятна контакта по направлению скольжения, так и за счет того, что пятно контакта предполагается неплоским. Необходимо отметить, что в случае плоского пятна контакта эффект возникновения силы трения, ортогональной скорости скольжения, был описан в работах [8, 9], где он связан с несимметричным распределением нормальных давлений.
Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ (грант МК-698.2010.1).
2
s
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. 60-67.
2. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // Прикл. матем. и механ. 1998. 62, вып. 5. 762-767.
3. Карапетян А.В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 4. 515-519.
4. Ишханян М.В., Карапетян А.В. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2010. № 2. 3-12.
5. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. О механизме явления шимми // Докл. РАН. 2009. 428, № 6. 761-564.
6. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.
7. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2002.
8. Самсонов В.А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1981. № 2. 76-78.
9. Иванов А.П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 2. 189-203.
Поступила в редакцию 26.05.2010
УДК 539.3
О СВЯЗИ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ И МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В МИКРОКОНТИНУАЛЬНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
М. У. Никабадзе1
Тензор напряжений выражен через произвольное симметричное тензорное поле второго ранга и тензор моментных напряжений. Даны представления для тензоров напряжений и моментных напряжений через произвольные тензорные поля, удовлетворяющие
1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
