Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 622.233.6

А. А. БИТЮРИН, В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА ОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ

Рассмотрена задача продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях в ударном сечении и в сечении, взаимодействующем с абсолютно жёсткой преградой. Построено поле волновых состояний, области волновых состояний.

Рассмотрена модель продольного удара однородного стержня массой пц и длиной /,, движущегося со скоростью У0 9 о неподвижный однородный стержень длиной /2 и массой т2, соприкасающийся с жёсткой преградой (рис. 1). Используется волновая модель продольного удара [1- 4].

1 У0 2

— --1

11 [о / т2 1 =

X

Рис. 1. Схема удара однородных стержней при неудерживающих связях

Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями вида [4]

д2щ(х ,1) 1 д\ (х\)

дх2 а2 дг2

5.x2 а2 дг

(2)

где щ (х,I ),и2(х,г) - продольное перемещение поперечного сечения соответственно стержней 1 и 2; х- координата сечения; г - время; а - скорость звука в материале стержней.

Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением: при I = /0 = О

ди

\(х>*о)=у ди\(х>1о) = ц ди2(х,г0) = 0 ди2(х,г0)^0

дг 0 ' дх дг дх

Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х = 0 и равенство нулю скорости сечения х= 1\ + ¡2 при взаимодействии стержня 2 с преградой:

дх дг

а также определяют равенство сил и условия сопряжения стержней в сечении х=1\ при непосредственном их взаимодействии

диМЛ)^ слиад^<0) (5)

дх дх дх

сЦ(У;= ди2(У) есди дщ(Ц,1) ^ 6)

дг дг ' дг

либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:

(1\.О = 0 ди2(11>0 _0 (у)

дх ' дх

© А. А. Битюрин, В. К. Манжосов, 2005 Вестник УлГГУ 3/2005

По методу Даламбера решение уравнений (2) записывается в виде

Щ (х> 1)=1\(ах- х)+у, (ей + Д-;, 0 < л-< /,,

0=/2Ш-+ Ф2Ы + 1\ <*</,+/2, (8)

где /|(о1 — х), /2(Ш-х) - функции, описывающие прямые волны, распространяющиеся соответственно по 1-му и 2-му стержням в направлении оси х; (¡>^01 + х),(р2(М + х) - функции, описывающие обратные волны, распространяющиеся по первому и второму стержням в противоположном направлении: /{(М-х), /{(сп-х), ф((си + х)у ф2(с11 + х) производные функций.

Целесообразно перейти к относительным величинам, определяющим прямые и обратные волны:

~ 1[/п К _ ~

/(аЬху= /'(М-х)/— \ ф* (ш + х)=у' (а! + х)/—, деформацию в сечении ъ(хЛ)=-Г(а1 — х) +

а

а

+ (¡Г (М + х)> скорость сечения \Г(х,1 ) =

у (х.1)

Уо

= /'(си-х)+(р (сН + х).

Произведён расчёт удара для случая — = 2:3, — = 1:2 и построено поле состояний (рис. 2).

/2 4

В области нулевого состояния 10 для первого стержня его поперечные сечения охвачены начальными прямой и обратной волнами /'(сл0 — 0,5, + Продольная деформация в сечениях

г(х,1 )= 0, скорость сечений )= 1.

1

/

У

о

Щ

/

0

V.

X

7

гщ

/

1 ="/, + /2

0

0,4/

/

0,4//Й

0,8//«

1,2//а.

1,61/а

7' = 0,5, Ф=0,5 х' ✓ V =1 Х?' = 0,5 г 1о у'ч =-0,166 <Г = 0,33 с---—--- \ 7' = 0, ф =0 Ф=0Ч\ V =0 г = о 7' = 0,33 По ^ = 0,33 Ч

Г = -0,666 /'= -оЖ I1 ч ф= -0,166 V ч Г = -0,333 ч ч ч II. 'ч,- АЬ / А 1

у" = -0,33 е=0 уЬ ,'-'/•'=-0,166 ф= -0,166 ЙК /У'=0,33 ч / ф =0ччч3 у' Ф =-0,333 7=0 ,Йкч Г = -0,666 ,4 = -0,333ч V = 0

г=<к''ь ч ^ N / 1б ГЧ /'=0 1ЬчЧ г = -0,333 Ч 7'=-0,з>ч V = -0,333> Ф= -0,333 Чч V --о,ззз >;'Пб ✓ ч

X

Ч

Рис. 2. Поле состояюш при ударе однородных стержней при неудерживающих связях

Длительность этого состояния для произвольного сечения первого стержня ограничена линией 0,41 0,41/а и определяется ординатой которую имеют точки линии 0,41 0,41/а для этого сечения. Эта линия разделяет на поле состояний две области: область нулевого состояния первого стержня 10 и область первого состояния первого стержня II.

В области первого состояния первого стержня II его поперечные сечения охвачены начальной пря-мой волной /'(а10-х)=0,5 и новой обратной волной ф'(а/ + л) = -0,166. Продольная деформация в соответствующих сечениях первого стержня г(х, I)--0,666 , скорость сечений \Г(х, I) = 0.33. В момент

времени / = 0,41/а обратная волна ф''(си + х)= -0,166 достигнет сечения х = 0 и отразится от него

—

в виде новой прямой волны /'(си -0^=-0,166, распространяющейся от сечения х = 0 к сечению

.г = 0,41 (наклонная линия 0,41/а 1 на поле состояний).

Область II для первого стержня на поле состояний ограничена линиями 0,41 0,41/а и 0,41/а I. Длительность этого состояния для произвольного сечения первого стержня определяется разностью ординат которые имеют точки линий 0,41 0,41/а и 0,41/а 1 для данного сечения.

Новая прямая волна /' = -ОД 66 и обратная волна <р = -0,166 определят новое состояние поперечных

сечений первого стержня. На рис. 2 этому состоянию соответствует область второго состояния первого участка 12. Продольная деформация в соответствующих сечениях ёХх,0 = 0> скорость сечений

V (0,33. Область 12 для первого стержня на поле состояний ограничена линиями 0,41/а 1 и 1

1,21/а. Длительность данного состояния для произвольного сечения второго стержня определяется разностью ординат /, которые имеют точки линии 0}41/а 1 и 1 1,21/а для этого сечения.

Линия 0,41 2 разграничивает на поле состояний для второго стержня две области состояний: область нулевого состояния второго стержня ПО и область первого состояния второго стержня П1.

В области нулевого состояния ПО поперечные сечения второго стержня охвачены начальными пря-

мой и обратной волнами /'(м0-х)=0 и + х) = 0 соответственно. Продольная деформация и

скорость в сечениях ^(хЛи \Г(х^ )= 0 . Длительность этого состояния для произвольного сечения

второго участка определяется ординатой которую имеют точки линии 0,41 2 для этого сечения.

В области первого состояния второго стержня П1 поперечные сечения этого участка охвачены прямой

волной /'(ш — х)= 0,33 и начальной обратной волной(¡Г;(я'о + х)= 0. Продольная деформация в соответствующих сечениях второго участка е(-0,33 , скорость сечений \Г(х,1)= 0,33. Длительность

этого состояния для произвольного сечения второго участка определяется разностью ординат которые имеют точки линий 0,41 2; 2 3 и 1 3 для этого сечения.

При / = 0,8На в ударном сечении х = 0,41 первого стержня возникает волновое состояние 13, при котором скорость сечения становится отрицательной V" = -0,33. В то же время сечение х = 0,41 второго стержня имеет положительную скорость \Г = 0,33 (область состояний П 1).

Так как связь в сечении х = 0,41 неудерживающая, произойдет отрыв сечения х = 0,41 первого стержня,

и падающая на это сечение прямая волна /' = -0,166 возбуждает обратную волну <р = -0,166 . Состояние поперечных сечений 1-го стержня определяет область состояний В.

В момент отрыва в сечении х = 0,41 второго стержня также изменится волновое состояние (ср = 0, /' = о),

и это состояние продлится до момента времени / = 1,2На. На поле состояний - это область П 3.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов, О. Д. Бурильные машины / О. Д. Алимов, Л. Т. Дворников. - М.: Машиностроение, 1976.-295 с.

2. Алимов, О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. -354 с.

3. Малков, О. Б. Расчёт ударных импульсов в ступенчатых стержневых системах / О. Б. Малков. - Омск: Омский государственный технический университет, 2000. - 112 с.

4. Манжосов, В. К. Модель удара неоднородного стержня о жёсткую преграду / В. К. Манжосов, А. А. Битюрин // Механика и процессы управления. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - С. 79 - 88.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических паук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.

Битюрин Анатолий Александрович, аспирант Ульяновского государственного университета. Имеет публикации по моделированию продольного удара неоднородного стержня.