CC BY
52
УДК 517.958:622.233.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА СИСТЕМЫ ОДНОРОДНЫХ СТЕРЖНЕЙ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ
А. А. Битюрин, В. К. Манжосов
Ульяновский государственный технический университет,
432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.
E-mail: [email protected]
Осуществляется математическое моделирование продольного упругого центрального удара стержневой системы, состоящей из двух однородных стержней различной длины и площади поперечного сечения, о жёсткую преграду при неудерживающих связях.
Ключевые слова: деформация, моделирование, продольный удар, стержень.
Введение. Задача о продольном ударе стержня с учётом его распределенной массы и описания движения поперечных сечений волновыми уравнениями была сформулирована Навье, Буссинеском, Сен—Венаном, Сирсом.
Во второй половине XX века применение ударных технологий в машиностроении, горнодобывающей промышленности, строительстве, приборостроении привело к значительному количеству теоретических и экспериментальных исследований в области продольного удара.
В известных работах модель учёта неудерживающих связей в задачах продольного удара стержней сводится к тому, что процесс удара считался завершенным, если в ударном сечении возникла деформация растяжения и происходил разрыв связи. Возможность повторного соударения стержней исследователями не рассматривалась. Такая модель продольного удара, с одной стороны, отсекала информацию о последующем нагружении стержня при повторных соударениях, а с другой стороны, представляла некорректную информацию о восстановлении скорости стержня при продольном ударе.
В данной работе представлена модель продольного удара стержней при разрывах связей и с учётом возникновения повторных соударений [1].
1. Постановка задачи. Рассматривается продольный удар однородного стержня 1, движущегося с предударной скоростью У0, по стержню 2, взаимодействующему с жёсткой преградой. Длина первого стержня 1\ и масса Ш\, длина и масса второго соответственно 12 и т2 (см. рис. 1). Общая длина обоих стержней 1 = 11 + ¿2. Оба стержня состоят из одного материала. Используется волновая модель [1-5].
Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями
9Ч0М) 1Л1(1,()=0_ (1)
dx2 a2 dt2
Анатолий Александрович Битюрин (к.т.н.), старший преподаватель, каф. теоретической и прикладной механики. Владимир Кузьмич Манжосов (д.т.н., проф.), зав. кафедрой, каф. теоретической и прикладной механики.
Уо , г
_____________2__________________£
X
ГП\
т2
Г
О ¿1 1\ + ¡2 — I
Рис. 1. Схема соударения однородных стержней
Л.2(М) 1 Л2(г,()=0_ (2)
дх2 а2 дЬ2
Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением при Ь = ¿0 = 0:
дп1(х,го) дщ(х,го) _ ди2 (х,Ьо) п дщ^^о)
т -У°' дх - °' т -°’
Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х = 0 и равенство нулю скорости сечения х = I при взаимодействии стержня 2 с жёсткой преградой:
дщ(0,г) ди2(1^)_
дх ~ ’ М ~ ’ а также равенство сил и условия сопряжения стержней в сечениях х = ¿1 при непосредственном их взаимодействии:
И,««.ЬЦ«2Ы, если 5^1М<0, дх дх дх
ди1(11,Ь) ди2(11,Ь) ди1(11,Ь)
—дГ~ = ~8^’ есл" -а^-<0'
либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:
5йМ = 0, ММ = о, если «,«„!>-«*<МК0, дх дх
где Е — модуль упругости первого рода, А и А — площади поперечных сечений соответственно первого и второго стержней, а — скорость распространения продольной волны деформации.
2. Метод решения. Решение дифференциальных уравнений (1), (2) реализуется методом Даламбера [2] в следующем виде:
и1(х,Ь) = /1(аЬ — х) + (р1(аЬ + х), 0 ^ х ^ 11, (3)
и2(х,Ь) = /2(аЬ — х) + ^>2(а£ + х), 11 ^ х ^ 11 + 12, (4)
£\{х, ¿) = ^ = —/[{аЬ — х) + + ж), (5)
г?1 (ж, ¿) = ^и1^’ ^ = 4ЛН — ж) + «V? 1 (+ ж)], (6)
ь2(ж, ¿) = ди2^ ^ = -/2(а.^ - ж) + <£>2(а,£ + ж), (7)
г>2(ж,¿) = ди'2^^ = а[/!2(а1 - ж) + ч>'2{аЬ + ж)]. (8)
Перейдём к относительным величинам, характеризующим прямые и обратные волны:
/'(а* - х) = /'(а* - х)/ (^) , !*р'(а1 + х) = ч>'(аЬ + х)/ (^) ,
а также деформацию в сечении и его скорость:
- - -ё(х, ¿) = — ¡'{аЬ — х) + (р'(а1 + ж), у(х, I) = ——-— = ¡'{аЬ — х) + (р'(а1 + х).
Относительные величины будут использоваться в дальнейшем.
Рассмотрим некоторое произвольное сечение О на ¿-том интервале времени (см. рис. 2). Это сечение является границей сопряжения О-того и О + 1-го участков. На сечение О слева падает прямая волна / (а£ — ж^-1), сформированная на (г — 1)-м интервале времени в (О — 1)-м сечении, а справа — обратная волна ^+1(а£ + ж^+1), сформированная на (г — 1)-м интервале времени в (О + 1)-м сечении. Поскольку ударные волны в однородных участках имеют прямоугольный вид, волна fj (а£ — ж^-1) иллюстрирована в виде левого верхнего прямоугольника переменного тона, а волна <^-+1(а£ + Xj+l) —в виде правого верхнего прямоугольника.
Стрелками и направлением затемнённого растра указано направление распространения соответствующей волны деформации.
Интервал времени А1 = ^ равен времени распространения волны деформации на участке длиной А1; х^1 и х^1 — координаты ] — 1-го и О + 1-го сечений.
При преобразовании падающих волн в сечении О формируется прямая волна /.,+1(а£ — Xj), распространяющаяся от сечения О к сечению О + 1, и обратная волна ^pj (а£ + Xj), распространяющаяся от сечения О к сечению О — 1. Причём производные функций определяются как [2]
/■+1(а* — xj) = q/ (^) (а^ — xj) + (а£ + xj),
^ (а£ + xj) = q^(j)^j+l(aí + xj) + г/(°) (а^ — xj),
где <?/0) = (г+21)/.г. — коэффициент прохождения прямой волны /^(а,£ — х^,
. а,
падающей на границу х = х^ со стороны ^-того участка; г,- = — отноше-
ние площадей поперечных сечений сопряженных О-того и о + 1-го участков;
¥>'•+1 {аЬ + Хэ+1)
/,-(а£ - ж,-1) И1
\
,
3-А ( \
/5 + 1 ►
^{аЬ + Х])
/<+1 (а* - х^
Рис. 2. Граница сопряжения однородных участков
г<р(з) = 1+^- — коэффициент отражения обратной волны <£>'+1(а£ + х^, падающей на границу х = Xj со стороны j + 1-го участка; = ^рх — коэф-
фициент прохождения обратной волны (+^а£ + Xj), падающей на границу
Г • 1
х = Xj со стороны ] — 1-го участка; rf{j) = — коэффициент отражения
прямой волны / (а£ — Xj), падающей на границу x = Xj со стороны О — 1-го участка.
Деформация в сечении Xj, принадлежащим О-тому участку, определится
как
е,- (xj, £) = — /,' (а£ + xj) + q^(j>j+1 (а£ + X) + г/ (°)/'(а^ — xj) =
= — (1 — г/ (О0) + xj) + q^(J>j+l(at + xj).
Деформация в сечении Xj, принадлежащим О + 1-му участку, определится как:
^ , £) = — q/ (°)/.;'(а^ + xj) — ^ °)(+1 (а£ + X) + ( (а£ — xj) =
= —q/ + xj) + I1 — г^О)) (-+1(а£ + X).
Равенство е^- ^, £) = е^^^- , £) может быть только в том случае, когда г/(О) =0, г^(О) =0, q/(О) = 1, q^(j) = 1, а это возможно только тогда, когда
г,- = ^ = 1, т. е. при сопряжении однородных участков. Скорости сопря-
женных сечений участков всегда равны между собой ц, ^ , £) = ц,+l(xj , £). Разница скоростей сопряженных сечений привела бы к разрыву стержня в этих сечениях.
3. Пример расчёта. Рассмотрим продольный упругий удар о жёсткую преграду однородных стержней с длинами 11 = 12 = 0,51. Соотношение площадей поперечных сечений первого и второго стержней А = ^ = 0,5 (см. рис. 2). Применим метод характеристик для построения поля состояний (см. рис. 3). Области состояний 1о-15, 11о—11б с соответствующими значениями ¡(а£ — X), ((а£ + X), е^,^, V(x,í) определяют параметры прямых и обратных волн деформаций, продольную деформацию и скорость поперечных сечений. Длительность состояния для произвольного сечения определяется разностью ординат £, которые имеют точки наклонных линий для этого сечения.
При £ = 21/а происходит отрыв однородного стержня 2 от жёсткой преграды, при £ = 2,51/а происходит отрыв в контактном сечении X = 0,51.
4. Анализ результатов. Авторами осуществлялось математическое моделирование продольного удара однородных стержней с длинами 11 = 0,21, 11 = = 0,41, 11 = 0,51, 11 = 0,61, 11 = 0,81 при соотношении площадей поперечных сечений предыдущего участка к последующему А = 0,5 и А = 0,33, где А = Анализ результатов моделирования удобнее проиллюстрировать на графике зависимости максимальной относительной продольной деформации в опасном сечении етах от длины начального участка 11 и величины А (см. рис. 4).
Выводы.
1. При ударе однородного стержня о стержень, взаимодействующий с преградой, при 11 = 0,41, А = 0,5 наблюдается повторное соударение стержней
^ X
1
1 /
Рис. 3. Поле состояний при ударе системы однородных стержней о жёсткую преграду
в контактном сечении X = 11. При других соотношениях длин однородных участков повторные соударения не наблюдаются.
2. Исходя из анализа графика следует отметить, что максимальная относительная продольная деформация е тах в опасном сечении будет зависеть от длины 11 и от параметра А. При переходе 11 через значение 0,51 максимальная деформация етах изменяется скачкообразно от значений 0,67 ^ 0,75 до 1,10 ^ 1,12 (рис. 4).
Используя данные математического моделирования, можно рассчитать значение абсолютной деформации (удлинение или укорочение) любого ¿-того
Рис. 4. Зависимость максимальной относительной продольной деформации вшах: 1 — êmax(ii) при A = 0,5; 2 — ëmax(ii) при A = 0,33
участка стержневой системы Апоскольку имеет место зависимость, полученная с учётом [6] и (3)—(8) :
Л/ /
А Ц = Це—, a
где Ali — абсолютная продольная деформация ¿-того участка стержневой системы, li — длина этого участка.
Как видно, изменение линейных размеров стержневой системы будет зависеть от относительной продольной деформации, начальной предударной скорости и характеристик материала.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Изменение деформации на участках стержневой системы после повторного удара в контактном сечении // Вестн. УлГТУ, 2007. — №3. — C. 23-28.
2. Александров Е. В., Соколинский В. Б. Прикладная теория и расчёт ударных систем. — М.: Наука, 1969. — 199 с.
3. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. — М.: Наука, 1985. — 354 с.
4. Битюрин А. А., Манжосов В. К. Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях // Вестн. УлГТУ, 2005. — №3. — C. 23-25.
5. Манжосов В. К. Модели продольного удара. — Ульяновск, 2006. — 159 с.
6. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. — М.: Высш. шк., 2003. — 641 с.
Поступила в редакцию 04/XII/2008; в окончательном варианте — 15/II/2009.
MSC: 65M25, 68T35, 12L12
MATHEMATICAL MODELING OF LONGITUDINAL BLOW OF THE SYSTEM OF HOMOGENEOUS RODS ABOUT RIGID BARRIER AT NOT-HOLDING CONNECTIONS
A. A. Bityurin, V. K. Manzhosov
Ulyanovsk State Technical University,
432027, Ulyanovsk, Nothern Venetz str., 32.
E-mail: [email protected]
Mathematical modeling of the longitudinal elastic central blow of the rod system, consisting of two homogeneous rods of various lengths and the area of cross section over a rigid barrier is implemented at not-holding connections.
Key words: deformation, modeling, longitudinal blow, rod.
Original article submitted 04/XII/2008; revision submitted 15/II/2009.
Anatoliy A. Bityurin (Ph. D. (Techn.)), Lecturer, Dept. of Theoretical & Applied Mechanics. Vladimir K. Manzhosov (Dr. Sci. (Techn.)), Head of Dept., Dept. of Theoretical & Applied Mechanics.
